“
Si chiami \(dx\) una quantità arbitraria; e si chiami \(dy\) la quantità che sta a \(dx\) come \(y\) sta alla sottotangente: allora \(dy\) è
la differenza, cioè il differenziale, di \(y\).”
— Gottfried Wilhelm Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis (Acta Eruditorum, 1684), traduzione adattata
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Nei capitoli precedenti abbiamo costruito una teoria quantitativa della continuità: una funzione continua su un intervallo si comporta “bene” nel senso che limite e valore coincidono (130) e si possono dedurre proprietà globali come l’esistenza di max/min e di zeri (131). Ma la continuità da sola non dice nulla su come il grafico sale o scende: una funzione può essere continua e cambiare pendenza bruscamente (un angolo), o variare lentissimamente, o impazzire oscillando.
Il concetto che cattura la pendenza locale di una funzione è la derivata. Storicamente, il problema della tangente a una curva e il problema della velocità istantanea di un corpo in moto erano i due problemi-chiave alla fine del Seicento. Furono risolti, in modo indipendente e con linguaggi diversi, da due giganti:
La controversia sulla priorità — ricordata dalla storia come “la disputa Newton-Leibniz” — è uno dei capitoli più aspri della storia della scienza. Le due notazioni convivono fino a oggi: Newton scrive \(\dot s\) per indicare la velocità \(s'(t)\), e questa notazione sopravvive in fisica.
In questo capitolo:
Sia \(f : I \to \mathbb{R} \) definita su un intervallo \(I \subseteq \mathbb{R} \), e sia \(x_0 \in I\) un punto interno. Scegliamo un incremento \(h \ne 0\) tale che \(x_0 + h \in I\).
Definizione 133.1 — Rapporto incrementale
Il rapporto incrementale di \(f\) in \(x_0\) relativo all’incremento \(h\) è
La notazione tradizionale alternativa — ereditata da Leibniz — è \(\dfrac {\Delta y}{\Delta x}\), dove \(\Delta x = h\) è la variazione dell’ascissa e \(\Delta y = f(x_0 + h) - f(x_0)\) è la variazione dell’ordinata.
Significato geometrico immediato: \(R(x_0, h)\) è la pendenza della retta secante che passa per i due punti \(P_0 = (x_0, f(x_0))\) e \(P_h = (x_0 + h, f(x_0 + h))\) del grafico di \(f\).
Esempio 133.1 — Rapporto incrementale di \(f(x) = x^2\) in \(x_0 = 1\)
Per \(h \ne 0\):
Per \(h = 1\), \(R = 3\); per \(h = 0.1\), \(R = 2.1\); per \(h = 0.01\), \(R = 2.01\). Sembra che, quando \(h \to 0\), il rapporto incrementale tenda a \(2\). È proprio così: lo formalizza la definizione di derivata.
Definizione 133.2 — Derivata in un punto
Forma equivalente: ponendo \(x = x_0 + h\) (cioè \(h = x - x_0\)), si ottiene
Notazioni. Sono tutte equivalenti:
La notazione \(df/dx\) è di Leibniz; \(f'\) è di Lagrange; il puntino \(\dot f\) è di Newton.
Definizione 133.3 — Derivate laterali
Teorema 133.1 — Derivabilità implica continuità
Dimostrazione. Per \(x \ne x_0\) scriviamo
Passando al limite per \(x \to x_0\): il primo fattore tende a \(f'(x_0)\) finito, il secondo a \(0\). Dunque \(f(x) - f(x_0) \to 0\), cioè \(f(x) \to f(x_0)\): \(f\) è continua in \(x_0\).
Attenzione!
Il viceversa è falso: una funzione può essere continua in \(x_0\) senza essere ivi derivabile. L’esempio canonico è \(f(x) = |x|\) in \(x_0 = 0\): \(f\) è continua ovunque (lo è sui due rami e con \(\lim _{x \to 0} |x| = 0 = f(0)\)), ma le derivate laterali in \(0\) valgono \(f'_-(0) = -1\) e \(f'_+(0) = +1\), dunque diverse: \(f\) non è derivabile in \(0\). Si parla di punto angoloso (136).
Geometricamente, il rapporto incrementale \(R(x_0, h)\) è la pendenza della retta secante per \(P_0 = (x_0, f(x_0))\) e \(P_h = (x_0 + h, f(x_0 + h))\). Quando \(h \to 0\), \(P_h \to P_0\) e la retta secante “ruota” attorno a \(P_0\), avvicinandosi (se il limite esiste) a una posizione limite: la retta tangente al grafico in \(P_0\).
Esempio 133.2 — Retta tangente alla parabola
Trovare la retta tangente al grafico di \(f(x) = x^2\) nel punto di ascissa \(x_0 = 1\).
Per definizione:
La tangente è \(y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1\).
Consideriamo un corpo che si muove lungo una retta, e indichiamo con \(s(t)\) la sua posizione all’istante \(t\) (in metri, \(t\) in secondi). Tra gli istanti \(t_0\) e \(t_0 + h\) il corpo si sposta di \(\Delta s = s(t_0 + h) - s(t_0)\) in un tempo \(\Delta t = h\). La velocità media nell’intervallo \([t_0, t_0 + h]\) è
e questo è esattamente il rapporto incrementale di \(s\) in \(t_0\). La velocità istantanea all’istante \(t_0\) si ottiene facendo tendere \(h \to 0\):
Era questa l’idea di Newton: la flussione di una quantità fluente \(s\) è quella che oggi chiameremmo la sua derivata temporale, e si scrive \(\dot s\).
Analogamente, l’accelerazione istantanea è la derivata della velocità (e dunque la derivata seconda della posizione): \(a(t) = v'(t) = \ddot s(t)\). Tratteremo le derivate successive nei capitoli successivi.
Esempio 133.3 — Velocità istantanea
Un corpo si muove con legge \(s(t) = 3t^2 + 2t\) (con \(s\) in metri e \(t\) in secondi). Determinare la sua velocità istantanea all’istante \(t_0 = 2\,{\mathrm{s} }\).
Rapporto incrementale:
Limite per \(h \to 0\): \(v(2) = 14\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).
Fino a qui la derivata era un numero: il valore \(f'(x_0)\) associato a un punto. Se \(f\) è derivabile in ogni punto di un insieme \(A \subseteq I\), la corrispondenza \(x \mapsto f'(x)\) definisce una nuova funzione.
Definizione 133.4 — Funzione derivata
Sia \(A \subseteq I\) l’insieme dei punti in cui \(f\) è derivabile. La funzione derivata di \(f\) è
\(f\) si dice derivabile in \(I\) se è derivabile in ogni punto di \(I\) (con derivate laterali agli estremi, se inclusi); in tal caso \(A = I\).
Esempio 133.4 — Calcolo della funzione derivata di \(f(x) = x^2\) tramite definizione
Funzione derivata: \(f'(x) = 2x\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \).
Esempio 133.5 — Derivata della funzione costante
\(f(x) = c\) con \(c \in \mathbb{R} \). Per ogni \(x\):
La funzione costante ha derivata nulla ovunque. (Geometricamente: pendenza \(0\), retta orizzontale.)
Esempio 133.6 — Derivata della funzione identità
\(f(x) = x\). Per ogni \(x\):
\(f'(x) = 1\). (Geometricamente: la retta \(y = x\) ha pendenza \(1\).)
Esempio 133.7 — Derivata di \(\operatorname{sen} x\) tramite limiti notevoli
Per ogni \(x \in \mathbb{R} \):
Per la formula di addizione: \(\operatorname{sen} (x+h) = \operatorname{sen} x \cos h + \cos x \operatorname{sen} h\). Quindi
Usando i limiti notevoli \(\lim _{h \to 0} (\cos h - 1)/h = 0\) e \(\lim _{h \to 0} \operatorname{sen} h / h = 1\) (129):
Si conclude \(D(\operatorname{sen} x) = \cos x\).
Le regole pratiche per calcolare le derivate delle funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, trigonometriche) e le regole di combinazione (somma, prodotto, quoziente, composizione) sono raccolte nei due capitoli successivi: 134 e 135. Da quel momento in poi si lavorerà con la tabella e non più con il limite del rapporto incrementale, riservato a casi di studio teorico o quando si vuole calcolare la derivata in un singolo punto critico (per esempio, decidere se una funzione definita a tratti è derivabile nel punto di raccordo).
Esempio 133.8 — Funzione derivata di \(f(x) = 1/x\) tramite definizione
Quindi \(f'(x) = -1/x^2\) per ogni \(x \ne 0\).
Esempio 133.9 — Derivata di \(f(x) = \sqrt {x}\) in \(x_0 = 4\)
Per \(h\) piccolo (positivo o negativo, purché \(4 + h > 0\)):
Razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per \(\sqrt {4+h} + 2\):
Quindi \(f'(4) = 1/4\).
Esempio 133.10 — Retta tangente a una parabola in un punto generico
Sia \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\). Determinare l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa \(x_0 = 1\).
Derivata: come visto nell’esempio precedente, \(D(x^2) = 2x\); la regola della somma (che useremo formalmente nel prossimo capitolo) dà \(f'(x) = -2x + 4\). Quindi \(f'(1) = -2 + 4 = 2\) e \(f(1) = -1 + 4 + 1 = 4\).
Tangente: \(y = 4 + 2(x - 1) = 2x + 2\).
Esempio 133.11 — Funzione non derivabile: valore assoluto
Mostrare che \(f(x) = |x|\) non è derivabile in \(x_0 = 0\) usando le derivate laterali.
Derivata destra: per \(h > 0\), \(|h| = h\), dunque
Derivata sinistra: per \(h < 0\), \(|h| = -h\), dunque
\(f'_+(0) = 1 \ne -1 = f'_-(0)\): \(f\) non è derivabile in \(0\). Geometricamente, il grafico di \(|x|\) presenta un angolo (vertice della “V”) in \(x = 0\). È continua, però, e questo conferma che continuità non implica derivabilità.
Esempio 133.12 — Posizione, velocità e accelerazione
Il moto di un punto materiale lungo l’asse \(x\) è descritto da \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\) (con \(s\) in metri, \(t\) in secondi). Calcolare velocità e accelerazione all’istante \(t_0 = 1\,{\mathrm{s} }\) usando la definizione di derivata.
Velocità.
Espandiamo \((1+h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3\) e \((1+h)^2 = 1 + 2h + h^2\):
Dunque \(s(1+h) - s(1) = s(1+h) - 4 = -3h^2 + h^3\) (il coefficiente di \(h\) è nullo!), e \(v(1) = \lim _{h \to 0} (-3h + h^2) = 0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).
Accelerazione. Servirebbe calcolare \(v(t)\) in generale e poi farne la derivata, oppure usare il limite del rapporto incrementale di \(v\). Calcolando con le regole (cfr. 134) si trova \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\) e \(a(t) = 6t - 12\), da cui \(a(1) = -6\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\).
Interpretazione: in \(t_0 = 1\,{\mathrm{s} }\) il corpo è momentaneamente fermo (velocità nulla), ma sta decelerando: subito dopo si muoverà in direzione opposta a quella di partenza.
Esempio 133.13 — Continuità senza derivabilità: cuspide
Sia \(f(x) = \sqrt [3]{x^2} = x^{2/3}\). Studiare la derivabilità in \(x_0 = 0\).
Continuità: \(\lim _{x \to 0} x^{2/3} = 0 = f(0)\), continua. Derivata:
Le derivate laterali esistono ma sono infinite e di segno opposto: \(f\) non è derivabile in \(0\). Si parla di cuspide (136); geometricamente il grafico forma una “punta” in \(0\) con tangente verticale di doppia direzione.
Esercizio 133.1
Suggerimento: scomporre \(f(x_0+h) - f(x_0-h) = [f(x_0+h) - f(x_0)] + [f(x_0) - f(x_0-h)]\).
Riepilogo
Rapporto incrementale di \(f\) in \(x_0\) relativo a \(h \ne 0\):
È la pendenza della retta secante per \((x_0, f(x_0))\) e \((x_0 + h, f(x_0 + h))\).
Significato geometrico: \(f'(x_0)\) è la pendenza della retta tangente al grafico in \((x_0, f(x_0))\). Equazione della tangente:
Funzione derivata: \(f' : A \to \mathbb{R} \), dove \(A \subseteq I\) è l’insieme dei punti di derivabilità. Esempi calcolati tramite definizione:
Le regole pratiche e le derivate di tutte le funzioni elementari sono raccolte in 134; la derivata di funzione composta e inversa in 135.
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