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Capitolo 130
Continuità

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La funzione \(f(x)\) sarà, tra i due limiti assegnati alla variabile \(x\), funzione continua di tale variabile se, per ogni valore di \(x\) intermedio tra questi limiti, il valore numerico della differenza \(f(x+\alpha ) - f(x)\) decresce indefinitamente con quello di \(\alpha \).”

— Augustin-Louis Cauchy, Cours d’analyse de l’École royale polytechnique (1821), Cap. II, §2 (traduzione adattata)

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130.1 Introduzione motivazionale

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Nei capitoli 127, 128 e 129 abbiamo studiato il limite di una funzione: un concetto che cattura il comportamento di \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a un valore \(x_0\), senza chiedersi cosa accada esattamente in \(x_0\). Anzi, nella definizione di limite il punto \(x_0\) è esplicitamente escluso dal dominio considerato.

Ma molte funzioni che incontriamo — polinomi, esponenziali, seno, coseno — hanno una proprietà naturale: il limite per \(x \to x_0\) esiste, è finito, e coincide proprio con \(f(x_0)\). Il grafico “si chiude” nel punto, senza salti né buchi. Questa proprietà si chiama continuità.

Le funzioni continue costituiscono la classe più “ben educata” tra tutte le funzioni reali: su di esse vale una serie di teoremi potentissimi (Weierstrass, valori intermedi, zeri) che vedremo nel 131, e per esse il calcolo dei limiti si riduce a una semplice sostituzione: \(\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\). Capire dove una funzione è continua, e dove perde questa proprietà, è quindi un passo cruciale per affrontare lo studio di funzione (141) e gli asintoti (132).

In questo capitolo definiamo la continuità in un punto e in un intervallo, elenchiamo le funzioni elementari continue (e dove lo sono), e classifichiamo i punti in cui una funzione non è continua: la natura del “salto” o del “buco” è uno strumento diagnostico fondamentale per lo studio del grafico.

130.2 Definizione di continuità in un punto

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Definizione 130.1 — Continuità in un punto

Sia \(f : D \to \mathbb{R} \) con \(D \subseteq \mathbb{R} \), e sia \(x_0 \in D\) un punto di accumulazione di \(D\) (126). Diciamo che \(f\) è continua in \(x_0\) se

\[ \lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0). \]

Esplicitando le condizioni nascoste in questa scrittura, la continuità in \(x_0\) richiede tre requisiti simultanei:

1.
\(f\) è definita in \(x_0\) (cioè \(x_0 \in D\));
2.
esiste finito il limite \(\displaystyle \lim _{x \to x_0} f(x) = \ell \);
3.
il valore della funzione coincide con il limite: \(\ell = f(x_0)\).

Se anche una sola di queste condizioni viene a mancare, la funzione non è continua in \(x_0\): si parla allora di punto di discontinuità, e nella sezione 130.5 ne faremo la classificazione.

Definizione 130.2 — Continuità destra e sinistra

\(f\) è continua a destra in \(x_0\) se \(\displaystyle \lim _{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\); è continua a sinistra in \(x_0\) se \(\displaystyle \lim _{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\). La continuità in \(x_0\) equivale a continuità destra e sinistra in \(x_0\).

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Figura 130.1: A sinistra: funzione continua in \(x_0\); limite e valore coincidono. A destra: stessa funzione modificata in \(x_0\) in modo che \(f(x_0) \ne \displaystyle \lim _{x \to x_0} f(x)\): la condizione (3) della definizione viene a mancare e \(x_0\) è un punto di discontinuità.

Esempio 130.1 — Funzione polinomiale

Sia \(f(x) = x^2 - 3x + 2\). Per ogni \(x_0 \in \mathbb{R} \):

\[ \lim _{x \to x_0} (x^2 - 3x + 2) = x_0^2 - 3x_0 + 2 = f(x_0). \]

\(f\) è dunque continua in ogni punto di \(\mathbb{R} \). Tutti i polinomi lo sono (vedi sezione 130.4).

Esempio 130.2 — Funzione non definita in un punto

Sia \(f(x) = \dfrac {x^2 - 1}{x - 1}\). La funzione non è definita in \(x_0 = 1\) (denominatore nullo), quindi non può essere continua lì: viola la condizione (1). Però il limite esiste:

\[ \lim _{x \to 1} \dfrac {x^2 - 1}{x - 1} = \lim _{x \to 1} (x + 1) = 2. \]

Estendendo \(f\) ponendo \(\tilde f(1) := 2\), la nuova funzione \(\tilde f\) è continua in \(x = 1\). Si dice che \(x = 1\) è un punto di discontinuità eliminabile per \(f\).

Esempio 130.3 — Funzione definita ma con limite diverso dal valore

Sia

\[ f(x) = \begin {cases} \dfrac {\operatorname{sen} x}{x} & x \ne 0,\\[2pt] 0 & x = 0. \end {cases} \]

Qui \(f(0) = 0\), ma \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{sen} x}{x} = 1\) (129). Le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte, ma la (3) no: \(f\) non è continua in \(0\). Basterebbe ridefinire \(f(0) := 1\) per ottenere una funzione continua.

130.3 Continuità in un intervallo

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Definizione 130.3 — Continuità in un intervallo

Sia \(I \subseteq \mathbb{R} \) un intervallo. Diciamo che \(f : I \to \mathbb{R} \) è continua in \(I\) se è continua in ogni punto interno di \(I\) e, agli eventuali estremi appartenenti a \(I\), è continua dal lato interno all’intervallo.

In pratica:

L’insieme di tutte le funzioni continue su \(I\) si denota tradizionalmente \(C(I)\) o \(C^0(I)\).

Esempio 130.4 — \(\sqrt {x}\) su \([0, +\infty )\)

La funzione \(f(x) = \sqrt {x}\) è continua in \((0, +\infty )\), e si vede che è anche continua a destra in \(0\) (perché \(\lim _{x \to 0^+} \sqrt {x} = 0 = f(0)\)). È dunque continua su tutto il suo dominio \([0, +\infty )\).

130.4 Continuità delle funzioni elementari

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Teorema 130.1 — Continuità delle funzioni elementari

Le seguenti funzioni sono continue in ogni punto del proprio dominio naturale:

A partire da queste, la classe delle funzioni continue si espande attraverso le operazioni algebriche e la composizione.

Teorema 130.2 — Operazioni con funzioni continue

Siano \(f, g\) continue in \(x_0\). Allora sono continue in \(x_0\):

1.
la somma \(f + g\) e la differenza \(f - g\);
2.
il prodotto \(f \cdot g\) e il prodotto per uno scalare \(\lambda f\) (con \(\lambda \in \mathbb{R} \));
3.
il quoziente \(f / g\), purché \(g(x_0) \ne 0\);
4.
se \(g\) è continua in \(x_0\) e \(f\) è continua in \(g(x_0)\), allora la composizione \(f \circ g\) è continua in \(x_0\).

Dimostrazione. Sono conseguenza immediata dei teoremi sull’algebra dei limiti (128). Per esempio, per la somma: \(\lim _{x \to x_0} (f+g)(x) = \lim _{x \to x_0} f(x) + \lim _{x \to x_0} g(x) = f(x_0) + g(x_0) = (f+g)(x_0)\). Analogamente per gli altri casi. La continuità della composta segue dal cambio di variabile nei limiti: se \(y = g(x) \to g(x_0)\) e \(f\) è continua in \(g(x_0)\), allora \(f(g(x)) \to f(g(x_0))\).

Esempio 130.5 — Continuità per composizione

\(h(x) = \operatorname{sen} (x^2 + 1)\) è continua su \(\mathbb{R} \): è composizione di \(g(x) = x^2 + 1\) (polinomio, continuo) e \(f(y) = \operatorname{sen} y\) (continua su \(\mathbb{R} \)).

Esempio 130.6 — Dominio di continuità di una funzione razionale fratta

\(f(x) = \dfrac {2x + 1}{x^2 - 4}\) è continua su \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\): numeratore e denominatore sono polinomi (continui ovunque) e il quoziente è continuo dove il denominatore non si annulla, cioè per \(x \ne \pm 2\).

Esempio 130.7 — Funzione esponenziale composta

\(h(x) = e^{-x^2}\) (la celebre “gaussiana”) è continua su \(\mathbb{R} \): composizione di \(g(x) = -x^2\) (continua) e \(f(y) = e^y\) (continua).

130.5 Classificazione dei punti di discontinuità

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Quando una funzione non è continua in \(x_0\), la natura della discontinuità si classifica in base al comportamento dei due limiti laterali

\[ \ell ^- = \lim _{x \to x_0^-} f(x), \qquad \ell ^+ = \lim _{x \to x_0^+} f(x). \]

Definizione 130.4 — Punto di discontinuità di prima specie — salto

\(x_0\) è un punto di discontinuità di prima specie (o di salto) per \(f\) se entrambi i limiti laterali \(\ell ^-\) e \(\ell ^+\) esistono finiti, ma sono diversi tra loro:

\[ \ell ^- \ne \ell ^+, \qquad \text {entrambi finiti.} \]

La quantità \(s = |\ell ^+ - \ell ^-|\) si chiama salto di \(f\) in \(x_0\).

Definizione 130.5 — Punto di discontinuità di seconda specie

\(x_0\) è un punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti laterali non esiste o è infinito.

Definizione 130.6 — Punto di discontinuità di terza specie — eliminabile

\(x_0\) è un punto di discontinuità di terza specie (o eliminabile) se \(\ell ^- = \ell ^+ = \ell \) esiste finito, ma:

In entrambi i casi basta (ri)definire \(f(x_0) := \ell \) per ottenere una funzione continua in \(x_0\): in questo senso la discontinuità è “eliminabile”. La funzione modificata si chiama prolungamento per continuità di \(f\) in \(x_0\).

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Figura 130.2: I tre tipi di discontinuità. I specie: limiti laterali finiti e diversi, separati da un salto \(s = |\ell ^+ - \ell ^-|\). II specie: almeno un limite laterale è infinito (qui un asintoto verticale) oppure non esiste. III specie: i limiti laterali coincidono in \(\ell \) finito, ma \(f(x_0) \ne \ell \) (oppure \(f\) non è definita in \(x_0\)); ridefinendo \(f(x_0) := \ell \) si “tappa il buco”.

Esempio 130.8 — Funzione segno — prima specie in \(0\)

\(\operatorname {sgn}(x) = \begin {cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0\end {cases}\). Si ha \(\ell ^- = -1\), \(\ell ^+ = 1\): entrambi finiti, diversi. Salto: \(s = |1 - (-1)| = 2\). Punto di prima specie.

Esempio 130.9 — \(1/x\) in \(0\) — seconda specie

\(f(x) = 1/x\) in \(x_0 = 0\): \(\ell ^- = -\infty \), \(\ell ^+ = +\infty \). Punto di seconda specie: il grafico ha un asintoto verticale (132).

Esempio 130.10 — \(\operatorname{sen} (1/x)\) in \(0\) — seconda specie

Per \(f(x) = \operatorname{sen} (1/x)\) in \(x_0 = 0\) nessuno dei due limiti laterali esiste, perché la funzione oscilla infinite volte tra \(-1\) e \(1\) in ogni intorno di \(0\) (per \(x\) molto piccolo, \(1/x\) è grandissimo e copre infiniti periodi del seno). Punto di seconda specie.

Esempio 130.11 — Eliminabile: prolungamento per continuità

\(f(x) = \dfrac {\operatorname{sen} (3x)}{x}\) non è definita in \(x = 0\), ma \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{sen} (3x)}{x} = 3\) (129). Il punto \(x = 0\) è una discontinuità eliminabile: la funzione prolungata

\[ \tilde f(x) = \begin {cases} \operatorname{sen} (3x)/x & x \ne 0 \\ 3 & x = 0\end {cases} \]

è continua su tutto \(\mathbb{R} \), ed è il prolungamento per continuità di \(f\) in \(0\).

130.6 Esempi svolti

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Esempio 130.12 — Studio della continuità di una funzione a tratti

Sia

\[ f(x) = \begin {cases} x^2 + 1 & x \le 1 \\ 2x & x > 1 \end {cases}. \]

È \(f\) continua in \(x_0 = 1\)?

Calcoliamo: \(f(1) = 1^2 + 1 = 2\) (dal primo ramo, valido per \(x \le 1\)). Limiti laterali:

\[ \ell ^- = \lim _{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 2, \qquad \ell ^+ = \lim _{x \to 1^+} 2x = 2. \]

I limiti laterali coincidono e valgono \(f(1) = 2\). La funzione è continua in \(x_0 = 1\), e di conseguenza su tutto \(\mathbb{R} \) (perché i due rami sono polinomi continui ovunque).

Esempio 130.13 — Funzione con parametro — determinare \(a\) per la continuità

Sia

\[ f(x) = \begin {cases} \dfrac {x^2 - 4}{x - 2} & x \ne 2 \\[2pt] a & x = 2 \end {cases}. \]

Per quale valore di \(a\) la funzione è continua in \(x = 2\)?

Calcoliamo il limite per \(x \to 2\):

\[ \dfrac {x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac {(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \;\to \; 4. \]

Per la continuità deve essere \(a = 4\).

Esempio 130.14 — Classificare i punti di discontinuità

Sia \(f(x) = \dfrac {x^2 - 1}{x^2 - x}\). Il dominio è \(\mathbb{R} \setminus \{0, 1\}\) (denominatore \(x(x-1) = 0\) per \(x = 0\) e \(x = 1\)). Classifichiamo i due punti esclusi.

In \(x_0 = 0\): il numeratore \(x^2 - 1 \to -1\), il denominatore \(x(x-1) \to 0\). Forma \(-1/0\), non indeterminata. Studiamo il segno del denominatore: per \(x \to 0^-\) si ha \(x < 0\) e \((x-1) < 0\), prodotto \(> 0\), quindi denominatore \(\to 0^+\); segue \(\ell ^- = -1/0^+ = -\infty \). Per \(x \to 0^+\) si ha \(x > 0\) e \((x-1) < 0\), prodotto \(< 0\), denominatore \(\to 0^-\); segue \(\ell ^+ = -1/0^- = +\infty \). Seconda specie.

In \(x_0 = 1\): semplifichiamo il fattore \((x-1)\):

\[ \dfrac {x^2-1}{x^2-x} = \dfrac {(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = \dfrac {x+1}{x} \quad \text {per } x \ne 1. \]

Quindi \(\displaystyle \lim _{x \to 1} f(x) = 2\), finito. Ma \(f\) non è definita in \(1\): terza specie (eliminabile), prolungabile con \(\tilde f(1) := 2\).

Esempio 130.15 — Parte intera

La funzione parte intera \(f(x) = \lfloor x \rfloor \) (il massimo intero \(\le x\)) presenta una discontinuità di prima specie in ogni \(x_0 = n \in \mathbb{Z} \): per \(x \to n^-\) si ha \(\lfloor x \rfloor = n - 1\), per \(x \to n^+\) si ha \(\lfloor x \rfloor = n\). Salto \(s = |n - (n-1)| = 1\).

Esempio 130.16 — Dominio di continuità di una composizione

Studiare il dominio di continuità di \(h(x) = \ln (x^2 - 4)\).

\(h\) è la composizione di \(g(x) = x^2 - 4\) (continua su \(\mathbb{R} \)) e \(f(y) = \ln y\) (continua su \((0, +\infty )\)). Perché la composizione sia ben definita serve \(g(x) > 0\), cioè \(x^2 - 4 > 0\), ovvero \(x < -2\) oppure \(x > 2\). Dominio = dominio di continuità: \((-\infty , -2) \cup (2, +\infty )\).

Esempio 130.17 — Discontinuità di un quoziente di trascendenti

Studiare \(f(x) = \dfrac {\operatorname{sen} x}{x^2 - \pi ^2}\) nei suoi punti di non definizione.

Il denominatore \(x^2 - \pi ^2 = (x-\pi )(x+\pi )\) si annulla in \(x = \pm \pi \).

In \(x_0 = \pi \): \(\operatorname{sen} \pi = 0\), quindi forma \(0/0\). Scriviamo \(\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} (\pi + (x - \pi )) = -\operatorname{sen} (x - \pi )\). Posto \(t = x - \pi \):

\[ \dfrac {-\operatorname{sen} t}{t(t + 2\pi )} = -\dfrac {\operatorname{sen} t}{t} \cdot \dfrac {1}{t + 2\pi } \;\to \; -1 \cdot \dfrac {1}{2\pi } = -\dfrac {1}{2\pi }. \]

Limite finito: terza specie (eliminabile), prolungabile con \(\tilde f(\pi ) := -1/(2\pi )\).

In \(x_0 = -\pi \): analogamente, ponendo \(t = x + \pi \), si trova limite \(1/(2\pi )\) finito: anche qui terza specie.

130.7 Esercizi proposti

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Esercizio 130.1

1.
Verificare, applicando la definizione, che \(f(x) = 3x^2 - 5x + 1\) è continua in \(x_0 = 2\).
2.
Stabilire se \(f(x) = \dfrac {x^2 - 9}{x - 3}\) è continua in \(x = 3\). In caso negativo, indicare il tipo di discontinuità e l’eventuale prolungamento per continuità.
3.
Sia \(f(x) = \begin {cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 + a & x > 1\end {cases}\). Determinare \(a \in \mathbb{R} \) in modo che \(f\) sia continua in \(x = 1\).
4.
Sia \(f(x) = \begin {cases} \dfrac {\operatorname{sen} (5x)}{x} & x \ne 0 \\ k & x = 0\end {cases}\). Determinare \(k\) in modo che \(f\) sia continua in \(x = 0\).
5.
Classificare i punti di discontinuità di \(f(x) = \dfrac {|x|}{x}\).
6.
Studiare il punto \(x_0 = 0\) per \(f(x) = \dfrac {1 - \cos x}{x^2}\): stabilire il tipo di discontinuità e, se eliminabile, prolungare per continuità.
7.
Determinare il dominio di continuità di \(f(x) = \dfrac {x + 1}{x^3 - x}\).
8.
Determinare il dominio di continuità di \(f(x) = \ln (9 - x^2)\).
9.
Determinare il dominio di continuità di \(f(x) = \sqrt {x^2 - 5x + 6}\).
10.
Studiare la continuità in \(x = 0\) di \(f(x) = \begin {cases} e^{1/x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0\end {cases}\).
11.
Sia \(f(x) = \begin {cases} \dfrac {e^{ax} - 1}{x} & x \ne 0 \\ 3 & x = 0 \end {cases}\). Determinare \(a \in \mathbb{R} \) perché \(f\) sia continua in \(0\).
12.
Stabilire se \(f(x) = x \operatorname{sen} (1/x)\) (definita per \(x \ne 0\), prolungata con \(f(0) := 0\)) è continua in \(x = 0\). Suggerimento: usare il teorema del confronto e \(|\operatorname{sen} y| \le 1\).
13.
Classificare tutti i punti di discontinuità di \(f(x) = \dfrac {x^2 - 1}{x^3 - x}\).
14.
Sia \(f(x) = \begin {cases} \cos x & x \le 0 \\ a x + b & 0 < x < 1 \\ x^2 + 1 & x \ge 1 \end {cases}\). Determinare \(a, b \in \mathbb{R} \) in modo che \(f\) sia continua sia in \(0\) sia in \(1\).
15.
Sfida. La funzione di Dirichlet \(D(x) = \begin {cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end {cases}\) è continua in qualche punto di \(\mathbb{R} \)? Motivare la risposta sfruttando la densità di \(\mathbb{Q} \) e di \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).

130.8 Riepilogo del capitolo

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