“
Per punto limite di un insieme di punti \(P\) intendo un punto della retta posto in tal modo che in ogni intorno
arbitrariamente piccolo di esso si trovino infiniti punti di \(P\).”
— Georg Cantor, Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen (1872)
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Tutta l’analisi matematica del quinto anno — limiti, continuità, derivate, integrali — poggia su un piccolo numero di concetti elementari sulla geometria della retta reale. Domande del tipo “cosa succede a \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a \(x_0\)?” richiedono una nozione precisa di vicinanza: cosa significa che un punto è “vicino” a un altro, in modo che la frase abbia un senso matematico e non solo intuitivo?
La risposta, costruita nel corso dell’Ottocento da Bolzano, Cauchy, Weierstrass e infine sistemata da Cantor in un celebre articolo del 1872, è la nozione di intorno. Da essa derivano tutti gli altri concetti che useremo:
Questo capitolo è breve ma fondamentale: ogni capitolo successivo lo usa nelle sue ipotesi.
Gli intervalli sono i sottoinsiemi di \(\mathbb{R} \) con la struttura più semplice: tutti i punti compresi tra due estremi, eventualmente infiniti.
Definizione 126.1 — Intervallo
Un sottoinsieme \(I \subseteq \mathbb{R} \) si dice intervallo se per ogni \(a, b \in I\) con \(a < b\) tutti i punti \(x\) con \(a < x < b\) appartengono ancora a \(I\).
A seconda che gli estremi \(a, b\) siano inclusi o esclusi, e che siano finiti o infiniti, si ottengono le otto forme classiche:
Nota — Convenzione su \(\pm \infty \)
I simboli \(+\infty \) e \(-\infty \) non sono numeri reali: indicano che l’intervallo si estende illimitatamente in quella direzione. Per questo motivo accanto a \(\pm \infty \) si usa sempre la parentesi tonda, mai la quadra: scrivere \([2, +\infty ]\) è un errore.
Ogni intervallo è l’insieme delle soluzioni di una disequazione (o di un sistema di due disequazioni). Per esempio:
Le tecniche di risoluzione di disequazioni viste nei capitoli 23 e 24 producono sempre insiemi che sono unioni di intervalli.
Il concetto chiave per fare analisi è quello di intorno: una regione attorno a un punto, arbitrariamente piccola, dentro la quale si vuole controllare il comportamento di una funzione.
Definizione 126.2 — Intorno circolare
Sia \(x_0 \in \mathbb{R} \) e \(\delta > 0\). Si chiama intorno circolare (o sferico) di \(x_0\) di raggio \(\delta \) l’insieme
Più in generale, un intorno di \(x_0\) è un qualunque intervallo aperto \((a, b)\) che contenga \(x_0\) all’interno. Ogni intorno contiene un intorno circolare e viceversa, dunque ai fini delle definizioni di limite le due nozioni sono interscambiabili.
Per studiare il comportamento di una funzione all’infinito, è utile definire anche intorni di \(+\infty \) e di \(-\infty \).
Definizione 126.3 — Intorni di \(\pm \infty \)
Sia \(M > 0\).
L’intuizione è che “\(x\) è vicino a \(+\infty \)” significa “\(x\) è abbastanza grande”.
A volte interessa solo un lato del punto \(x_0\):
Definizione 126.4 — Intorno destro e sinistro
Sia \(x_0 \in \mathbb{R} \) e \(\delta > 0\).
Notare che il punto \(x_0\) stesso non appartiene né all’intorno destro né a quello sinistro.
Questi serviranno per i limiti destro e sinistro (127).
Quando si fa il limite di una funzione \(f(x)\) per \(x \to x_0\), \(x_0\) deve essere un punto vicino al quale ci sono infiniti punti del dominio di \(f\), altrimenti la richiesta “\(x\) si avvicina a \(x_0\)” non ha senso. La definizione precisa è la seguente.
Definizione 126.5 — Punto di accumulazione
Sia \(A \subseteq \mathbb{R} \) e \(x_0 \in \mathbb{R} \). Si dice che \(x_0\) è un punto di accumulazione per \(A\) se ogni intorno di \(x_0\) contiene almeno un punto di \(A\) diverso da \(x_0\):
L’insieme dei punti di accumulazione di \(A\) si chiama insieme derivato di \(A\) e si indica con \(A'\) o \(\mathcal D(A)\).
Nota — Conseguenza: infiniti punti vicini
Si può dimostrare (e fa parte della definizione equivalente data da Cantor) che se \(x_0\) è di accumulazione per \(A\) allora in ogni suo intorno si trovano in realtà infiniti punti di \(A\). Da qui il nome: i punti di \(A\) “si accumulano” attorno a \(x_0\).
Esempio 126.1 — Punti di accumulazione di vari insiemi
Attenzione! — Un punto può essere di accumulazione anche se non appartiene all’insieme
Questo è il caso più delicato della definizione: \(x_0\) può non appartenere ad \(A\) ma esserne ugualmente punto di accumulazione. È esattamente la situazione tipica dei limiti: nel calcolare \(\lim _{x \to 0} \dfrac {\sin x}{x}\), \(x_0 = 0\) non appartiene al dominio, ma vi è punto di accumulazione — e quindi il limite ha senso.
I punti di \(A\) che non sono di accumulazione si chiamano isolati: stanno da soli, senza compagni vicini.
Definizione 126.6 — Punto isolato
Sia \(A \subseteq \mathbb{R} \). Un punto \(x_0 \in A\) si dice isolato se esiste un intorno \(I_\delta (x_0)\) tale che
Cioè in qualche intorno di \(x_0\) il solo punto di \(A\) è \(x_0\) stesso.
Nota — Dicotomia in \(A\)
Per ogni insieme \(A\) vale: i punti di \(A\) si dividono in punti di accumulazione (che appartengono ad \(A\), \(A \cap A'\)) e punti isolati. I punti di accumulazione che non appartengono ad \(A\) (\(A' \setminus A\)) non sono né dell’uno né dell’altro tipo: sono “punti di frontiera esterni”.
Veniamo agli “aggettivi” che useremo per gli insiemi in \(\mathbb{R} \): aperto, chiuso, limitato. Sono nozioni elementari ma decisive per i teoremi (131).
Definizione 126.7 — Insieme aperto
Un insieme \(A \subseteq \mathbb{R} \) si dice aperto se per ogni \(x_0 \in A\) esiste \(\delta > 0\) tale che \(I_\delta (x_0) \subseteq A\) (cioè un intero intorno di \(x_0\) sta dentro \(A\)).
Definizione 126.8 — Insieme chiuso
Un insieme \(A \subseteq \mathbb{R} \) si dice chiuso se il suo complementare \(\mathbb{R} \setminus A\) è aperto.
Equivalentemente: \(A\) è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione, cioè \(A' \subseteq A\).
Nota — Aperto e chiuso non sono opposti
Aperto e chiuso non sono concetti complementari nel senso usuale:
Esempio 126.2 — Esempi e contro-esempi
Definizione 126.9 — Insieme limitato
\(A \subseteq \mathbb{R} \) è limitato se esistono \(m, M \in \mathbb{R} \) tali che \(m \leq x \leq M\) per ogni \(x \in A\). Equivalentemente: esiste \(K > 0\) tale che \(|x| \leq K\) per ogni \(x \in A\).
Un insieme \(A\) è chiuso e limitato (in \(\mathbb{R} \)) se e solo se è compatto: questa è la nozione che servirà nel teorema di Weierstrass (131). Esempi di chiusi e limitati: \([0, 1]\), \(\{1, 2, 3\}\), \(\{0\} \cup \{1/n \mid n \geq 1\}\).
Esempio 126.3 — Classificare gli insiemi
Per ciascuno dei seguenti insiemi indicare \(A'\), i punti isolati, dire se è aperto, chiuso, limitato.
(a) \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4 < 0\}\).
Soluzione. \(x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2\), quindi \(A = (-2, 2)\). \(A' = [-2, 2]\). Punti isolati: nessuno. Aperto: sì. Chiuso: no (\(-2, 2\) sono di accumulazione ma non in \(A\)). Limitato: sì.
(b) \(A = \left \{\dfrac {(-1)^n}{n} \mid n \in \mathbb{N} ,\ n \geq 1\right \}\).
Soluzione. \(A = \{-1, 1/2, -1/3, 1/4, \ldots \}\). I valori positivi tendono a \(0\) da destra, i negativi da sinistra. \(A' = \{0\}\). Tutti i punti di \(A\) sono isolati. Aperto: no. Chiuso: no (\(0 \in A'\) ma \(0 \notin A\)). Limitato: sì.
(c) \(A = (-\infty , 0] \cup \{2\}\).
Soluzione. \(A' = (-\infty , 0]\). Il punto \(2\) è isolato. Aperto: no. Chiuso: sì (\(A' \subseteq A\)). Limitato: no.
Esempio 126.4 — Punto di accumulazione non appartenente
Sia \(A = \left \{1 - \dfrac {1}{n} \mid n \in \mathbb{N} ,\ n \geq 1\right \} = \{0,\, 1/2,\, 2/3,\, 3/4,\, \ldots \}\). Mostrare che \(1\) è punto di accumulazione di \(A\), pur non appartenendovi.
Soluzione. Sia \(\delta > 0\) arbitrario. Dobbiamo trovare un elemento di \(A\) diverso da \(1\) in \((1 - \delta , 1 + \delta )\). Cerchiamo \(n\) tale che \(1 - 1/n \in (1-\delta , 1)\), cioè \(0 < 1/n < \delta \), cioè \(n > 1/\delta \). Scegliendo \(n = \lceil 1/\delta \rceil + 1\) otteniamo \(1 - 1/n \in A\) e nell’intorno richiesto. Inoltre \(1 \notin A\) perché non esiste \(n\) tale che \(1 - 1/n = 1\).
Esempio 126.5 — Verifica di insieme aperto
Mostrare che l’insieme \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\}\) è aperto.
Soluzione. Sia \(x_0 \in A\), cioè \(x_0 > 3\). Scegliamo \(\delta = x_0 - 3 > 0\). Allora per ogni \(x \in I_\delta (x_0) = (x_0 - \delta ,\ x_0 + \delta ) = (3,\ 2x_0 - 3)\) vale \(x > 3\), quindi \(x \in A\). Pertanto \(I_\delta (x_0) \subseteq A\), e \(A\) è aperto.
Esercizio 126.1
Riepilogo
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