“
Quando i valori successivamente attribuiti a una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a un valore
fissato, in modo da differire da esso per quanto poco si voglia, quest’ultimo è chiamato il limite di tutti gli
altri.”
— Augustin-Louis Cauchy, Cours d’Analyse (1821)
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Il limite è il concetto fondamentale dell’analisi matematica. Risponde a domande del tipo:
Tutte queste domande si formalizzano con la stessa definizione di limite, che useremo nei capitoli a venire per:
La definizione moderna — nota come definizione \(\varepsilon \)-\(\delta \) — è stata raffinata da Cauchy e Weierstrass nell’Ottocento, in risposta alla necessità di rigore che le “quantità infinitesime” di Leibniz non garantivano. Useremo il linguaggio degli intorni del 126.
Sia \(f\) una funzione e \(x_0\) un punto di accumulazione del suo dominio. Scriviamo
e leggiamo “il limite per \(x\) che tende a \(x_0\) di \(f(x)\) è \(L\)”, se: quando \(x\) si avvicina a \(x_0\) (senza mai essere uguale a \(x_0\)), i valori \(f(x)\) si avvicinano a \(L\).
Esempio 127.1 — Esplorazione tabulare
Vogliamo capire il limite di \(f(x) = \dfrac {x^2 - 1}{x - 1}\) per \(x \to 1\). La funzione non è definita in \(x = 1\) (denominatore nullo); ma possiamo calcolare valori vicini:
I valori si stabilizzano verso \(2\) sia da destra sia da sinistra. Quindi \(\displaystyle \lim _{x \to 1} \frac {x^2 - 1}{x - 1} = 2\). Algebricamente: \(f(x) = \dfrac {(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\) per \(x \neq 1\), e \(x + 1 \to 2\) per \(x \to 1\).
L’intuizione “\(f(x)\) si avvicina a \(L\)” va ora resa precisa. La domanda chiave è: quanto vicino dobbiamo richiedere che \(f(x)\) stia a \(L\), e di conseguenza quanto vicino bisogna che \(x\) stia a \(x_0\)? La risposta è il celebre criterio di Weierstrass.
Definizione 127.1 — Limite finito in un punto — \(\varepsilon \)-\(\delta \)
Sia \(f: A \to \mathbb{R} \) e sia \(x_0\) un punto di accumulazione di \(A\). Si scrive
se per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta > 0\) tale che, per ogni \(x \in A\):
Lettura: per quanto piccolo (\(\varepsilon \)) sia il margine che fissiamo attorno a \(L\), possiamo trovare un margine corrispondente (\(\delta \)) attorno a \(x_0\) tale che tutte le \(x\) in quel margine (e \(x \neq x_0\), ecco perché \(|x-x_0| > 0\)) abbiano \(f(x)\) entro il margine prefissato attorno a \(L\).
Nota — \(x_0\) non deve essere nel dominio
La condizione \(|x - x_0| > 0\) esclude esplicitamente \(x = x_0\): il limite non considera il valore (eventuale) di \(f\) in \(x_0\), ma solo i valori vicino a \(x_0\). Per questo \(x_0\) può non appartenere al dominio.
Esempio 127.2 — Verifica con la definizione
Verificare con la definizione \(\varepsilon \)-\(\delta \) che \(\displaystyle \lim _{x \to 2}(3x - 1) = 5\).
Soluzione. Sia \(\varepsilon > 0\). Dobbiamo trovare \(\delta > 0\) tale che \(0 < |x - 2| < \delta \Rightarrow |(3x - 1) - 5| < \varepsilon \). Calcoliamo:
Quindi se scegliamo \(\delta = \varepsilon / 3\), allora \(|x - 2| < \delta \) implica \(3|x - 2| < 3\delta = \varepsilon \). La definizione è verificata.
Definizione 127.2 — Limite \(\pm \infty \) per \(x \to x_0\)
Sia \(f: A \to \mathbb{R} \) e \(x_0\) punto di accumulazione di \(A\). Si dice
se per ogni \(M > 0\) esiste \(\delta > 0\) tale che \(0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > M\). Analogamente \(\lim _{x \to x_0} f(x) = -\infty \) scambiando \(f(x) > M\) con \(f(x) < -M\).
In termini di intorni: per ogni intorno \(V\) di \(+\infty \) esiste un intorno \(U\) di \(x_0\) tale che \(f(U \setminus \{x_0\}) \subseteq V\). (Definizione unificata, valida per ogni tipo di limite.)
Esempio 127.3 — \(\lim _{x\to 0} 1/x^2 = +\infty \)
Sia \(M > 0\). Cerchiamo \(\delta \) tale che \(0 < |x| < \delta \Rightarrow 1/x^2 > M\), cioè \(x^2 < 1/M\), cioè \(|x| < 1/\sqrt M\). Basta scegliere \(\delta = 1/\sqrt M\).
Nota — Asintoto verticale
Quando \(\lim _{x \to x_0} f(x) = \pm \infty \) si dice che la retta \(x = x_0\) è un asintoto verticale del grafico di \(f\). Si veda il 132.
Definizione 127.3 — Limite per \(x \to \pm \infty \)
Sia \(f\) definita su un intorno di \(+\infty \). Si dice
se per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(N > 0\) tale che \(x > N \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon \).
Analogamente, \(\lim _{x \to +\infty } f(x) = +\infty \) se per ogni \(M > 0\) esiste \(N > 0\) con \(x > N \Rightarrow f(x) > M\).
Le versioni per \(x \to -\infty \) si ottengono sostituendo \(x > N\) con \(x < -N\).
Esempio 127.4 — Limite finito all’infinito
Verificare che \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \frac {1}{x} = 0\).
Soluzione. Sia \(\varepsilon > 0\). Vogliamo \(|1/x - 0| < \varepsilon \), cioè \(1/x < \varepsilon \) (per \(x > 0\)), cioè \(x > 1/\varepsilon \). Basta scegliere \(N = 1/\varepsilon \).
Esempio 127.5 — Asintoto orizzontale
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {2x + 3}{x + 1} = 2\), perché \(\dfrac {2x + 3}{x + 1} - 2 = \dfrac {1}{x + 1} \to 0\). La retta \(y = 2\) è un asintoto orizzontale.
Combinando “finito/infinito” per \(x\) e per \(f(x)\) si hanno quattro tipi di limite:
Tutti e quattro si scrivono uniformemente come “per ogni intorno \(V\) di \(L\) esiste intorno \(U\) di \(x_0\) tale che \(f(U \setminus \{x_0\}) \subseteq V\)”, purché si accettino come “punti” anche \(\pm \infty \) con i loro intorni.
A volte una funzione si comporta in modo diverso a destra e a sinistra di \(x_0\): pensiamo a \(f(x) = 1/x\) in \(x_0 = 0\) (tende a \(+\infty \) da destra, a \(-\infty \) da sinistra). Per descrivere questi casi servono i limiti unilaterali.
Definizione 127.4 — Limite destro e sinistro
Sia \(f: A \to \mathbb{R} \), \(x_0\) punto di accumulazione di \(A\).
Analoghe definizioni per limite destro/sinistro infinito.
Teorema 127.1 — Esistenza del limite e limiti unilaterali
Esempio 127.6 — Funzione segno
Sia \(f(x) = \dfrac {|x|}{x}\) per \(x \neq 0\). Si ha \(f(x) = 1\) per \(x > 0\) e \(f(x) = -1\) per \(x < 0\). Quindi \(\lim _{x \to 0^+} f(x) = 1\) e \(\lim _{x \to 0^-} f(x) = -1\). I due limiti sono diversi: \(\lim _{x \to 0} f(x)\) non esiste.
Esempio 127.7 — \(\lim 1/x\) in \(0\)
Per \(f(x) = 1/x\): \(\lim _{x\to 0^+} 1/x = +\infty \) e \(\lim _{x\to 0^-} 1/x = -\infty \). Il limite globale non esiste (in senso finito); si dice solo che \(f\) ha asintoto verticale in \(x = 0\), con comportamenti opposti dai due lati.
Teorema 127.2 — Unicità del limite
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo \(L_1 \neq L_2\), ad esempio \(L_1 < L_2\). Scegliamo \(\varepsilon = (L_2 - L_1)/2 > 0\): gli intervalli \((L_1 - \varepsilon , L_1 + \varepsilon )\) e \((L_2 - \varepsilon , L_2 + \varepsilon )\) sono disgiunti. Per la definizione, esistono \(\delta _1, \delta _2 > 0\) tali che per \(0 < |x - x_0| < \min (\delta _1, \delta _2)\) si avrebbe \(f(x)\) in entrambi gli intervalli: contraddizione.
Teorema 127.3 — Permanenza del segno
Dimostrazione. Scegliendo \(\varepsilon = L/2 > 0\) nella definizione, esiste \(\delta > 0\) tale che \(0 < |x - x_0| < \delta \) implica \(|f(x) - L| < L/2\), cioè \(f(x) > L - L/2 = L/2 > 0\).
Teorema 127.4 — Confronto, o “dei due carabinieri”
Dimostrazione. Sia \(\varepsilon > 0\). Per ipotesi esistono \(\delta _1, \delta _2 > 0\) con \(|f(x) - L| < \varepsilon \) per \(0 < |x - x_0| < \delta _1\) e \(|h(x) - L| < \varepsilon \) per \(0 < |x - x_0| < \delta _2\). Posto \(\delta = \min (\delta _1, \delta _2)\), in tale intorno bucato: \(L - \varepsilon < f(x) \leq g(x) \leq h(x) < L + \varepsilon \), quindi \(|g(x) - L| < \varepsilon \).
Esempio 127.8 — Carabinieri: \(x \operatorname{sen} (1/x) \to 0\)
La funzione \(f(x) = x \operatorname{sen} (1/x)\) non è definita in \(0\), e il termine \(\operatorname{sen} (1/x)\) oscilla. Ma \(-|x| \leq x \operatorname{sen} (1/x) \leq |x|\), e \(\pm |x| \to 0\) per \(x \to 0\). Per il teorema dei carabinieri: \(\lim _{x \to 0} x \operatorname{sen} (1/x) = 0\).
Teorema 127.5 — Limitatezza locale
Dimostrazione. Scegliendo \(\varepsilon = 1\) nella definizione, esiste \(\delta > 0\) tale che \(|f(x) - L| < 1\) per \(0 < |x - x_0| < \delta \). Allora \(|f(x)| < |L| + 1\) in tale intorno.
Esempio 127.9 — Limite di un polinomio
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 3}(2x^2 - x + 5)\).
Soluzione. Si dimostra (e in pratica si applica direttamente, in virtù dei teoremi sull’algebra dei limiti del 128) che per ogni polinomio \(\lim _{x \to x_0} P(x) = P(x_0)\). Quindi il valore è \(2(3)^2 - 3 + 5 = 18 - 3 + 5 = 20\).
Esempio 127.10 — Verifica \(\varepsilon \)-\(\delta \) con quadratica
Verificare che \(\displaystyle \lim _{x \to 1} x^2 = 1\).
Soluzione. Sia \(\varepsilon > 0\). \(|x^2 - 1| = |x - 1||x + 1|\). Restringiamo a \(|x - 1| < 1\), cioè \(0 < x < 2\), da cui \(|x + 1| < 3\). Quindi \(|x^2 - 1| < 3|x - 1|\). Posto \(\delta = \min (1, \varepsilon /3)\), \(|x - 1| < \delta \) implica \(|x^2 - 1| < 3\delta \leq \varepsilon \).
Esempio 127.11 — Limiti unilaterali diversi
Determinare \(\displaystyle \lim _{x \to 2^+} \frac {1}{x - 2}\) e \(\displaystyle \lim _{x \to 2^-} \frac {1}{x - 2}\).
Soluzione. Da destra: \(x - 2 > 0\) piccolo, quindi \(1/(x-2) \to +\infty \). Da sinistra: \(x - 2 < 0\) piccolo in modulo, quindi \(1/(x-2) \to -\infty \). Il limite globale non esiste; asintoto verticale in \(x = 2\).
Esempio 127.12 — Carabinieri all’infinito
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \frac {\operatorname{sen} x}{x}\).
Soluzione. Per ogni \(x > 0\): \(-\dfrac {1}{x} \leq \dfrac {\operatorname{sen} x}{x} \leq \dfrac {1}{x}\). Poiché \(\pm 1/x \to 0\), anche \(\operatorname{sen} x / x \to 0\).
Esercizio 127.1
Riepilogo
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