“
Si dice che una grandezza è il limite di un’altra grandezza, quando la seconda può approssimarsi alla prima
entro qualsiasi quantità data, per quanto piccola, sebbene la prima grandezza non possa mai superare la
grandezza alla quale si avvicina.”
— Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, Encyclopédie, voce “Limite” (1765)
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Nel 127 abbiamo definito il limite con la classica formulazione \(\varepsilon \)-\(\delta \) e abbiamo verificato qualche limite tornando ogni volta alla definizione. Questo procedimento è prezioso a livello concettuale, ma diventa rapidamente impraticabile non appena le funzioni si fanno un po’ più articolate: chi vorrebbe verificare con \(\varepsilon \)-\(\delta \) il limite di \(\dfrac {2x^3-5x+1}{x^3+7x^2}\) per \(x \to +\infty \)?
In questo capitolo costruiamo una vera e propria algebra dei limiti: dimostriamo che il limite si comporta in modo prevedibile rispetto a somma, prodotto, quoziente, potenza. Una volta acquisiti questi teoremi, calcolare un limite diventa un esercizio di sostituzione: si valuta la funzione nel punto e si legge il risultato.
C’è però un’eccezione importante: alcune combinazioni di limiti — come \(\infty - \infty \) o \(0/0\) — non sono determinate dalla sola conoscenza dei limiti delle singole parti. Le chiamiamo forme indeterminate e richiedono tecniche specifiche di risoluzione. Le tre tecniche più semplici (raccoglimento del termine dominante, scomposizione, razionalizzazione) sono il cuore della seconda metà del capitolo. Tecniche più sofisticate (limiti notevoli, gerarchia degli infiniti, regola di de l’Hôpital) saranno trattate nei capitoli successivi: 129 e 138.
Teorema 128.1 — Algebra dei limiti — caso finito
Siano \(f, g\) funzioni con \(\displaystyle \lim _{x \to x_0} f(x) = L\) e \(\displaystyle \lim _{x \to x_0} g(x) = M\), con \(L, M \in \mathbb{R} \). Allora:
Lo stesso enunciato vale per \(x \to x_0^\pm \) e per \(x \to \pm \infty \).
Dimostrazione (somma). Sia \(\varepsilon > 0\). Per ipotesi esistono \(\delta _1, \delta _2 > 0\) tali che, in un intorno bucato di \(x_0\):
Posto \(\delta = \min (\delta _1, \delta _2)\), per la disuguaglianza triangolare:
Le dimostrazioni di prodotto e quoziente seguono uno schema analogo (si veda un testo di analisi).
Esempio 128.1 — Limite di un polinomio
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 2}(3x^2 - 5x + 4)\). Applichiamo l’algebra dei limiti:
In generale, per ogni polinomio \(P(x)\): \(\displaystyle \lim _{x \to x_0} P(x) = P(x_0)\).
Esempio 128.2 — Limite di una funzione razionale
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 1} \dfrac {2x + 5}{x^2 + 3}\). Numeratore e denominatore sono polinomi continui, e il denominatore in \(x_0 = 1\) vale \(4 \neq 0\). Quindi:
I teoremi precedenti vanno completati con le regole sull’infinito, in cui interpretiamo \(\pm \infty \) come “simboli” di un’algebra estesa. Le regole intuitive (e dimostrabili) sono le seguenti, dove \(L\) indica un numero reale e “\(\infty \)” un limite infinito (di segno definito).
| Somma | \(L + (\pm \infty ) = \pm \infty \) |
| \((+\infty ) + (+\infty ) = +\infty \) | |
| \((-\infty ) + (-\infty ) = -\infty \) | |
| Prodotto | \(L \cdot (\pm \infty ) = \pm \infty \) (per \(L > 0\), segno invariato; per \(L < 0\), segno opposto) |
| \((\pm \infty ) \cdot (\pm \infty ) = \pm \infty \) (regola dei segni come per i numeri) | |
| Quoziente | \(\dfrac {L}{\pm \infty } = 0\) |
| \(\dfrac {\pm \infty }{L} = \pm \infty \) (segno secondo la regola dei segni, per \(L \neq 0\)) | |
| \(\dfrac {L}{0^+} = \pm \infty \) (segno = segno di \(L\)); analogamente per \(0^-\) |
Con la notazione \(0^+\) si indica una quantità che tende a \(0\) rimanendo positiva, e analogamente \(0^-\) per quantità che tendono a \(0\) rimanendo negative.
Esempio 128.3 — Algebra estesa
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} \dfrac {3 + x}{x}\). Il numeratore tende a \(3\) (finito non nullo), il denominatore a \(0^+\). Quindi:
Nota — Le regole non coprono tutto
Alcune combinazioni non compaiono nella tabella: ad esempio \(\infty - \infty \), \(0 \cdot \infty \), \(0/0\), \(\infty /\infty \). Non è una dimenticanza: queste forme non sono determinate dalla sola conoscenza dei limiti dei singoli pezzi — è il tema della prossima sezione.
Definizione 128.1 — Forma indeterminata
Le sette forme indeterminate classiche sono:
Esempio 128.4 — \(0/0\) può dare qualsiasi valore
Le tre funzioni \(f(x) = \dfrac {x}{x}\), \(g(x) = \dfrac {x^2}{x}\), \(h(x) = \dfrac {x}{x^2}\) presentano tutte la forma \(0/0\) per \(x \to 0\):
La stessa forma simbolica dà luogo a risultati diversi: conta come \(x\) e \(x^2\) tendono a zero, non solo il fatto che vi tendano.
Attenzione! — Casi che non sono indeterminati
Attenzione a non confondere: \(\dfrac {\infty }{0}\) non è una forma indeterminata (vale \(\pm \infty \)), e nemmeno \(1/\infty = 0\), \(0^\infty = 0\), \(\infty ^\infty = +\infty \). Sono indeterminate solo le sette forme elencate sopra.
Sia \(R(x) = \dfrac {P(x)}{Q(x)}\) con \(P, Q\) polinomi di gradi \(p\) e \(q\). Per \(x \to \pm \infty \) vale la regola dei gradi:
dove \(a_p, b_q\) sono i coefficienti di grado massimo (testa) di numeratore e denominatore, e il segno nel caso \(p > q\) dipende da quello di \(a_p / b_q\).
Idea della dimostrazione. Si raccoglie a fattor comune la potenza di \(x\) di grado massimo presente nella frazione. Tutti i termini di grado inferiore tendono a \(0\).
Procedura — Limite di una razionale per \(x \to \infty \)
Esempio 128.5 — Caso \(p = q\)
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {2x^2 - 5x + 1}{3x^2 + 7x}\). Raccogliendo \(x^2\):
Esempio 128.6 — Caso \(p < q\)
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {4x + 1}{x^2 - 3} = 0\), perché grado numeratore \(< \) grado denominatore. Equivalentemente: \(\dfrac {4x+1}{x^2-3} = \dfrac {4/x + 1/x^2}{1 - 3/x^2} \to 0/1 = 0\).
Esempio 128.7 — Caso \(p > q\)
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {x^3 - 2x}{x^2 + 1}\). Raccogliendo \(x^3\) sopra e \(x^2\) sotto:
Quando in \(x_0\) si annullano sia \(P(x)\) sia \(Q(x)\), allora \((x - x_0)\) è fattore comune di entrambi (teorema di Ruffini). Si scompone, si semplifica il fattore \((x - x_0)\) e si calcola il nuovo limite.
Esempio 128.8 — \(0/0\) polinomiale
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 3} \dfrac {x^2 - 9}{x - 3}\). In \(x_0 = 3\) numeratore e denominatore valgono entrambi \(0\). Scomponiamo:
Esempio 128.9 — \(0/0\) con scomposizione meno immediata
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 2} \dfrac {x^3 - 8}{x^2 - 4}\). Sia \(x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\) (differenza di cubi), sia \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Quindi:
Se compare una radice, si moltiplica e divide per il coniugato (o per l’opportuna espressione che elimina la radice).
Esempio 128.10 — Razionalizzazione del numeratore
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\sqrt {1 + x} - 1}{x}\). Numeratore e denominatore tendono a \(0\). Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato \(\sqrt {1 + x} + 1\):
Quest’ultima, per \(x \to 0\), tende a \(\dfrac {1}{1 + 1} = \dfrac {1}{2}\).
Tipica situazione: differenza di radici o differenza di razionali con denominatori diversi. Si elimina la sottrazione con un raccoglimento, un denominatore comune o una razionalizzazione.
Esempio 128.11 — Differenza di radici
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \bigl (\sqrt {x^2 + x} - x\bigr )\). È una forma \(\infty - \infty \). Razionalizziamo:
Raccogliendo \(x\) sopra e sotto (per \(x > 0\), \(\sqrt {x^2} = x\)):
Esempio 128.12 — Differenza di razionali
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 1} \biggl (\dfrac {1}{x - 1} - \dfrac {2}{x^2 - 1}\biggr )\). È una forma \(\infty - \infty \). Mettiamo a denominatore comune (\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\)):
Si riconduce a \(0/0\) o \(\infty /\infty \) scrivendo il prodotto come quoziente. Se \(f(x) \to 0\) e \(g(x) \to \infty \):
Esempio 128.13 — \(0 \cdot \infty \)
Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } x \cdot \biggl (\sqrt {1 + \dfrac {1}{x}} - 1\biggr )\). Forma \(\infty \cdot 0\). Razionalizziamo il fattore tra parentesi:
Quindi \(x \cdot (\sqrt {1 + 1/x} - 1) = \dfrac {1}{\sqrt {1 + 1/x} + 1} \to \dfrac {1}{2}\) per \(x \to +\infty \).
Esempio 128.14 — Limite di razionale per \(x \to -\infty \)
\(\displaystyle \lim _{x \to -\infty } \dfrac {5x^3 + 2x}{1 - x^3}\). Stesso grado (\(p = q = 3\)); coefficienti direttivi \(5\) e \(-1\). Quindi il limite vale \(5 / (-1) = -5\). Verifica: \(\dfrac {5x^3 + 2x}{1 - x^3} = \dfrac {x^3(5 + 2/x^2)}{x^3(1/x^3 - 1)} = \dfrac {5 + 2/x^2}{1/x^3 - 1} \to \dfrac {5}{-1} = -5\).
Esempio 128.15 — \(0/0\) con prodotto notevole
\(\displaystyle \lim _{x \to -1} \dfrac {x^3 + 1}{x^2 - 1}\). Forma \(0/0\). Scomposizioni: \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)\) (somma di cubi) e \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Semplificando \((x + 1)\):
Esempio 128.16 — \(\infty - \infty \) all’infinito con radici
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \bigl (\sqrt {x^2 + 3x} - \sqrt {x^2 + 1}\bigr )\). Razionalizziamo:
Raccogliendo \(x\) (positivo) dalle radici: \(\sqrt {x^2 + 3x} = x\sqrt {1 + 3/x}\), e simile per l’altra. Quindi:
Esempio 128.17 — Razionale fratta in \(0/0\)
\(\displaystyle \lim _{x \to 4} \dfrac {\sqrt {x} - 2}{x - 4}\). Forma \(0/0\). Razionalizziamo il numeratore:
Esempio 128.18 — Limite unilaterale che richiede attenzione al segno
\(\displaystyle \lim _{x \to 1^-} \dfrac {x^2 + 1}{x - 1}\). Il numeratore tende a \(2\) (finito, positivo), il denominatore tende a \(0\). Da sinistra di \(1\), \(x - 1 < 0\), cioè \(x - 1 \to 0^-\). Quindi \(\dfrac {2}{0^-} = -\infty \).
Esercizio 128.1
Riepilogo
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