“
Sia \(e\) il numero il cui logaritmo iperbolico è uguale all’unità, e sia \(\omega \) una quantità infinitamente piccola: allora \((1+\omega )^{1/\omega }\)
sarà uguale a \(e\).”
— Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (1748), Liber I, §122 (traduzione adattata)
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Nel 128 abbiamo imparato a calcolare limiti di funzioni algebriche — polinomi, razionali, espressioni con radici — usando le tecniche di raccoglimento, scomposizione e razionalizzazione. Ma cosa succede quando nella funzione compaiono seno, coseno, esponenziale o logaritmo?
Considera, ad esempio, \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{sen} x}{x}\). La forma è \(0/0\), ma nessuna delle tecniche algebriche del capitolo precedente funziona: il seno non si scompone come un polinomio, non si razionalizza, non si raccoglie. Eppure il limite esiste, ed è uno dei risultati più importanti dell’analisi.
In questo capitolo introduciamo i cosiddetti limiti notevoli: pochi limiti fondamentali — uno trigonometrico, uno esponenziale — da cui derivano per sostituzione un’intera famiglia di formule. Memorizzati i due limiti fondamentali e i loro derivati, si dispone di uno strumento potente per affrontare tutte le forme indeterminate che coinvolgono funzioni trascendenti elementari. Tecniche ancora più generali (regola di de l’Hôpital, sviluppi in serie) saranno trattate nel 138.
Il capitolo si chiude con il confronto tra infiniti e infinitesimi: una gerarchia che stabilisce, ad esempio, che \(e^x\) “vince” su qualunque polinomio per \(x \to +\infty \), e che \(\ln x\) “perde” contro qualunque potenza \(x^\alpha \) con \(\alpha > 0\).
Teorema 129.1 — Limite notevole trigonometrico fondamentale
Dimostrazione. Consideriamo il cerchio trigonometrico unitario e un angolo \(x \in (0, \pi /2)\) misurato in radianti (129.1). Sul cerchio individuiamo:
L’osservazione geometrica fondamentale è che il primo triangolo è contenuto nel settore, e il settore è contenuto nel secondo triangolo. Confrontando le aree:
da cui, moltiplicando per \(2\) e dividendo per \(\operatorname{sen} x > 0\):
Passando ai reciproci si inverte il senso delle disuguaglianze:
Per \(x \to 0^+\) si ha \(\cos x \to 1\); per il teorema del confronto (vedi 127, teoremi sui limiti), anche \(\operatorname{sen} x / x \to 1\). La funzione \(\operatorname{sen} x / x\) è pari (rapporto di due funzioni dispari), quindi il limite vale \(1\) anche per \(x \to 0^-\), e dunque per \(x \to 0\).
Esempio 129.1 — Seno di multiplo
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{sen} (3x)}{x}\). Riscriviamo per ricondurci al limite notevole: \(\dfrac {\operatorname{sen} (3x)}{x} = 3 \cdot \dfrac {\operatorname{sen} (3x)}{3x}\). Ponendo \(t = 3x\), \(t \to 0\) quando \(x \to 0\). Quindi \(3 \cdot \dfrac {\operatorname{sen} t}{t} \to 3 \cdot 1 = 3\).
In generale: \(\displaystyle \lim _{x \to 0}\dfrac {\operatorname{sen} (kx)}{x} = k\) per ogni \(k \in \mathbb{R} \).
Esempio 129.2 — Rapporto di seni
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{sen} (5x)}{\operatorname{sen} (2x)}\). Forma \(0/0\). Moltiplichiamo e dividiamo per opportuni multipli:
Passando al limite: \(1 \cdot \dfrac {1}{1} \cdot \dfrac {5}{2} = \dfrac {5}{2}\).
Esempio 129.3 — Limite con sostituzione
\(\displaystyle \lim _{x \to 2} \dfrac {\operatorname{sen} (x - 2)}{x^2 - 4}\). Forma \(0/0\). Poniamo \(t = x - 2\), \(t \to 0\). Numeratore: \(\operatorname{sen} t\). Denominatore: \((x-2)(x+2) = t(t+4)\). Quindi:
Dal limite fondamentale \(\operatorname{sen} x / x \to 1\) discendono per via algebrica alcuni limiti notevoli derivati, tutti relativi a \(x \to 0\).
Teorema 129.2 — Limiti notevoli goniometrici derivati
Per \(x \to 0\) valgono:
Dimostrazione. (1) Usiamo l’identità \(1 - \cos x = 2\operatorname{sen} ^2(x/2)\):
(2) Segue da (1): \(\dfrac {1 - \cos x}{x} = \dfrac {1 - \cos x}{x^2} \cdot x \to \dfrac {1}{2} \cdot 0 = 0\).
(3) \(\dfrac {\operatorname{tg} x}{x} = \dfrac {\operatorname{sen} x}{x} \cdot \dfrac {1}{\cos x} \to 1 \cdot 1 = 1\).
(4) Ponendo \(t = \operatorname{arcsen} x\), si ha \(x = \operatorname{sen} t\), e \(t \to 0\) quando \(x \to 0\). Quindi \(\dfrac {\operatorname{arcsen} x}{x} = \dfrac {t}{\operatorname{sen} t} = \dfrac {1}{\operatorname{sen} t / t} \to 1\).
(5) Analogo a (4) con \(t = \operatorname{arctg} x\), \(x = \operatorname{tg} t\).
Esempio 129.4 — Combinazione \(1 - \cos \) e \(\operatorname{sen} \)
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {1 - \cos x}{x \operatorname{sen} x}\). Forma \(0/0\). Spezziamo:
Esempio 129.5 — Tangente di multiplo
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{tg} (4x)}{\operatorname{sen} (3x)}\). Forma \(0/0\):
Esempio 129.6 — Arcotangente con sostituzione
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{arctg} (x^2)}{x \operatorname{sen} x}\). Forma \(0/0\):
Esempio 129.7 — Coseno con argomento composto
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {1 - \cos (2x)}{x^2}\). Usando l’identità \(1 - \cos (2x) = 2\operatorname{sen} ^2 x\):
Il secondo limite notevole fondamentale coinvolge il numero \(e\) di Nepero (o di Eulero), definito proprio attraverso questo limite. Il numero \(e \approx 2.71828\) è la base dell’esponenziale naturale ed è una delle costanti matematiche più importanti.
Teorema 129.3 — Limite notevole di Nepero, successione
La successione \(\bigl ((1 + 1/n)^n\bigr )_{n \in \mathbb{N} }\) è monotona crescente e limitata superiormente; il suo limite si chiama numero di Nepero e si indica con \(e\):
Dimostrazione (cenno). Sviluppando \((1+1/n)^n\) con la formula del binomio (vedi 87):
Ciascun fattore \(n(n-1)\cdots (n-k+1)/n^k\) è \(\le 1\) e cresce al crescere di \(n\): questo dà la monotonia. La limitatezza segue da \(\sum _{k=0}^{n} 1/k! < \sum _{k=0}^{\infty } 1/k! < 3\). Per il teorema della convergenza monotona, la successione converge ad un numero che chiamiamo \(e\).
Il risultato si estende a variabile reale e a forme equivalenti.
Teorema 129.4 — Limite di Nepero, forma continua
Equivalentemente, ponendo \(t = 1/x\):
Esempio 129.8 — Coefficiente nell’argomento
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \biggl (1 + \dfrac {2}{x}\biggr )^x\). Riscriviamo per ricondurre al limite di Nepero. Ponendo \(t = x/2\), \(x = 2t\), \(t \to +\infty \) quando \(x \to +\infty \):
In generale: \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \biggl (1 + \dfrac {k}{x}\biggr )^x = e^k\) per ogni \(k \in \mathbb{R} \).
Esempio 129.9 — Argomento al denominatore
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \biggl (1 + \dfrac {1}{3x}\biggr )^x\). Ponendo \(t = 3x\), \(x = t/3\), \(t \to +\infty \):
Esempio 129.10 — Forma \(1^\infty \) con manipolazione
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \biggl (\dfrac {x}{x - 1}\biggr )^x\). Riscriviamo: \(\dfrac {x}{x-1} = 1 + \dfrac {1}{x-1}\). Ponendo \(t = x - 1\):
Dal limite di Nepero discendono per sostituzione una famiglia di limiti relativi alle funzioni esponenziali e logaritmiche.
Teorema 129.5 — Limiti esponenziali e logaritmici notevoli
Per \(x \to 0\) valgono:
Dimostrazione. (1) Dalla forma continua del limite di Nepero \((1+x)^{1/x} \to e\) per \(x \to 0\), prendendo il logaritmo naturale (che è una funzione continua):
(2) Poniamo \(t = e^x - 1\), da cui \(x = \ln (1 + t)\) e \(t \to 0\) quando \(x \to 0\):
(3) Scriviamo \(a^x = e^{x \ln a}\). Posto \(t = x \ln a\), \(t \to 0\):
(4) Usando il cambio di base \(\log _a(1+x) = \ln (1+x)/\ln a\):
(5) Scriviamo \((1+x)^\alpha = e^{\alpha \ln (1+x)}\). Sia \(t = \alpha \ln (1+x) \to 0\):
Esempio 129.11 — Esponenziale di multiplo
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {e^{3x} - 1}{x}\). Ponendo \(t = 3x\): \(\dfrac {e^t - 1}{t/3} = 3 \cdot \dfrac {e^t - 1}{t} \to 3\).
In generale: \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {e^{kx} - 1}{x} = k\) per ogni \(k \in \mathbb{R} \).
Esempio 129.12 — Logaritmo composto con seno
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\ln (1 + \operatorname{sen} x)}{x}\). Forma \(0/0\). Spezziamo:
Esempio 129.13 — Differenza di esponenziali
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {e^{2x} - e^{3x}}{x}\). Forma \(0/0\). Aggiungiamo e sottraiamo \(1\) al numeratore:
Esempio 129.14 — Radice cubica
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\sqrt [3]{1 + x} - 1}{x}\). Applicando direttamente (5) del teorema con \(\alpha = 1/3\): il limite vale \(1/3\).
Per \(x \to +\infty \), molte funzioni elementari tendono a \(+\infty \), ma a velocità molto diverse: una potenza \(x^{10}\) è “più piccola” di \(e^x\), e un logaritmo \(\ln x\) è “più piccolo” di qualunque potenza \(x^\alpha \) con \(\alpha > 0\). La nozione di ordine di infinito formalizza queste osservazioni.
Definizione 129.1 — Confronto tra infiniti
Siano \(f, g\) due funzioni tali che \(f(x), g(x) \to +\infty \) per \(x \to x_0\) (con \(x_0\) finito o infinito). Diciamo che \(f\) è un infinito di ordine superiore a \(g\) se
di ordine inferiore se il limite vale \(0\), dello stesso ordine se il limite è finito e non nullo.
Analoga definizione vale per gli infinitesimi (funzioni che tendono a \(0\)): \(f\) è un infinitesimo di ordine superiore a \(g\) se \(f/g \to 0\).
Teorema 129.6 — Gerarchia degli infiniti per \(x \to +\infty \)
Per ogni \(\alpha > 0\) e \(a > 1\):
In termini di “velocità” di crescita:
In sintesi: per \(x \to +\infty \), i logaritmi crescono più lentamente di qualunque potenza, e le potenze crescono più lentamente di qualunque esponenziale con base \(> 1\).
Esempio 129.15 — Polinomio contro esponenziale
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {x^{100}}{e^x}\). Per la gerarchia, il limite vale \(0\): l’esponenziale “schiaccia” qualunque potenza, anche di grado elevatissimo.
Esempio 129.16 — Logaritmo contro radice
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {\ln x}{\sqrt [5]{x}}\). È \(\ln x / x^{1/5}\): per la gerarchia, \(\ln x \prec x^{1/5}\), quindi il limite vale \(0\).
Esempio 129.17 — Esponenziale meno potenza
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \bigl (e^x - x^{10}\bigr )\). Forma \(\infty - \infty \). Raccogliendo \(e^x\):
Esempio 129.18 — Confronto di infinitesimi
Per \(x \to 0\), l’infinitesimo \(x^2\) è di ordine superiore a \(x\), ed \(x\) è di ordine superiore a \(\sqrt {x}\). Infatti \(x^2 / x = x \to 0\) e \(x / \sqrt {x} = \sqrt {x} \to 0\).
Esempio 129.19 — Combinazione di tre limiti notevoli
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {(e^x - 1) \operatorname{sen} (2x)}{1 - \cos x}\). Forma \(0/0\). Spezziamo:
Esempio 129.20 — Logaritmo e coseno
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\ln (1 + x^2)}{1 - \cos x}\). Forma \(0/0\):
Esempio 129.21 — Nepero modificato a \(\infty \)
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \biggl (\dfrac {x + 3}{x - 2}\biggr )^x\). Riscriviamo \(\dfrac {x+3}{x-2} = 1 + \dfrac {5}{x-2}\). Posto \(t = (x-2)/5\), \(x = 5t + 2\), \(t \to +\infty \):
Esempio 129.22 — Gerarchia per \(x \to 0^+\)
\(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} x \ln x\). Forma \(0 \cdot (-\infty )\). Riscriviamo come \(\dfrac {\ln x}{1/x}\), che è \(-\infty /+\infty \). Posto \(t = 1/x\), \(t \to +\infty \) per \(x \to 0^+\):
per la gerarchia (\(\ln t \prec t\)).
Esempio 129.23 — Tangente meno seno al cubo
\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{tg} x - \operatorname{sen} x}{x^3}\). Forma \(0/0\). Raccogliamo \(\operatorname{sen} x\):
Dunque:
Esercizio 129.1
Riepilogo
Limiti goniometrici derivati: per \(x \to 0\),
Limiti esponenziali e logaritmici notevoli: per \(x \to 0\),
Gerarchia degli infiniti per \(x \to +\infty \):
Il logaritmo cresce più lentamente di qualunque potenza positiva; ogni potenza cresce più lentamente di qualunque esponenziale con base maggiore di \(1\).
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