87 Binomio di Newton

“

Ho dedotto da questo metodo le serie infinite per le potenze frazionarie del binomio.”

— Isaac Newton, lettera a Henry Oldenburg (24 ottobre 1676)

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87.1 Introduzione motivazionale

Sviluppando le prime potenze di un binomio $a + b$, otteniamo formule che probabilmente conosci:

Sorpresa! I coefficienti $1, 1; \ 1, 2, 1; \ 1, 3, 3, 1; \ 1, 4, 6, 4, 1; \ 1, 5, 10, 10, 5, 1$ sono esattamente le righe del triangolo di Tartaglia (86)! Non è una coincidenza: i coefficienti dello sviluppo del binomio sono i coefficienti binomiali (da cui il loro nome). Vale infatti il celebre

La formula racchiude un legame profondo tra algebra (potenze e prodotti) e combinatoria (conteggio dei sottoinsiemi). Conoscerla permette di:

Il nome “binomio di Newton” è universalmente usato in suo onore, anche se la formula per $n$ intero precede Newton di secoli.

87.2 Sviluppo della potenza del binomio

Teorema 87.1 — Binomio di Newton

Per ogni $n \in \mathbb{N} $, $a, b \in \mathbb{R} $:

\[ (a + b)^n = \sum _{k=0}^{n} \binom {n}{k}\, a^{n-k}\, b^k. \]

Esplicitamente:

\[ (a + b)^n = \binom {n}{0} a^n + \binom {n}{1} a^{n-1} b + \binom {n}{2} a^{n-2} b^2 + \cdots + \binom {n}{n} b^n. \]

\[ \boxed {\ (a + b)^n = \sum _{k=0}^n \binom {n}{k}\,a^{n-k}\,b^k\ } \]

Dimostrazione (combinatoria). Scriviamo $(a + b)^n$ come il prodotto di $n$ fattori uguali:

Per sviluppare il prodotto, da ognuno degli $n$ fattori dobbiamo scegliere o $a$ o $b$, e poi moltiplicare. Ogni scelta dà un termine della forma $a^{n-k}\cdot b^k$, dove $k$ è il numero di fattori da cui abbiamo scelto $b$ (e $n - k$ il numero da cui abbiamo scelto $a$).

Quante volte appare il termine $a^{n-k} b^k$? Esattamente quante sono le scelte degli $k$ fattori (su $n$) da cui prendere $b$: cioè $\binom {n}{k}$ (86).

Nota — Dimostrazione alternativa per induzione

Si può anche dimostrare per induzione su $n$ (163):

Base ($n = 0$): $(a+b)^0 = 1 = \binom {0}{0} a^0 b^0$. $\checkmark$
Passo: assumendo vera per $n$, si dimostra per $n + 1$ moltiplicando per $(a + b)$ e usando la formula di Stifel $\binom {n}{k-1} + \binom {n}{k} = \binom {n+1}{k}$.

Nota — Confronto con il triangolo di Tartaglia

Lo sviluppo di $(a+b)^n$ ha:

$n + 1$ termini;
i coefficienti sono la $n$-esima riga del triangolo di Tartaglia: $\binom {n}{0}, \binom {n}{1}, \ldots , \binom {n}{n}$;
l’esponente di $a$ decresce da $n$ a $0$;
l’esponente di $b$ cresce da $0$ a $n$;
in ogni termine, la somma degli esponenti di $a$ e $b$ vale sempre $n$.

Esempio 87.1 — $(a+b)^5$

\[ (a + b)^5 = a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5. \]

I coefficienti $1, 5, 10, 10, 5, 1$ si leggono dalla quinta riga del triangolo di Tartaglia.

Esempio 87.2 — Sviluppo di $(a - b)^n$

Sostituendo $b \to -b$ nel binomio di Newton:

\[ (a - b)^n = \sum _{k=0}^n \binom {n}{k}\,a^{n-k}\,(-b)^k = \sum _{k=0}^n (-1)^k \binom {n}{k}\,a^{n-k}\,b^k. \]

I segni si alternano: $+, -, +, -, \ldots $

Per esempio:

\[ (a - b)^4 = a^4 - 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 - 4 a b^3 + b^4. \]

Esempio 87.3 — Sviluppo di $(2x + 3y)^3$

Identifico $a = 2x$ e $b = 3y$, $n = 3$:

\[ (2x + 3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3. \]

Calcolando: $8x^3 + 36 x^2 y + 54 x y^2 + 27 y^3$.

87.3 Termine generale dello sviluppo

Spesso non serve sviluppare tutto il binomio: basta trovare un termine specifico. La formula generale ci dà:

Teorema 87.2 — Termine generale dello sviluppo del binomio

Nello sviluppo di $(a + b)^n$, il termine di posto $k + 1$ (cioè il $(k+1)$-esimo a partire da sinistra, $k = 0, 1, \ldots , n$) è

\[ T_{k+1} = \binom {n}{k}\,a^{n-k}\,b^k. \]

Nota — Indicizzazione

Attenzione: il primo termine (a sinistra) corrisponde a $k = 0$; il secondo a $k = 1$; e così via, fino all’ultimo a $k = n$. Quindi il termine “di posto $j$” nello sviluppo (con $j = 1, 2, \ldots , n+1$) è $T_j$ con $k = j - 1$.

Esempio 87.4 — Trovare un termine specifico

Trovare il quarto termine dello sviluppo di $(x + 2)^7$.

Soluzione. Quarto termine $\Rightarrow k = 3$. Identifico $a = x, b = 2, n = 7$:

\[ T_4 = \binom {7}{3}\,x^{7-3}\,2^3 = 35\cdot x^4\cdot 8 = 280\, x^4. \]

Esempio 87.5 — Termine medio

Trovare il termine centrale dello sviluppo di $(x + 1/x)^{10}$.

Soluzione. $10 + 1 = 11$ termini totali $\Rightarrow $ il centrale è il sesto, $k = 5$. Identifico $a = x, b = 1/x, n = 10$:

\[ T_6 = \binom {10}{5}\,x^5\,(1/x)^5 = 252\cdot x^5 \cdot \frac {1}{x^5} = 252. \]

Il termine centrale è una costante (non dipende da $x$). Interessante!

Esempio 87.6 — Termine senza $x$

Determinare il termine non dipendente da $x$ (cioè il termine “costante”) nello sviluppo di $(x^2 - 1/x)^9$.

Soluzione. Termine generale:

\[ T_{k+1} = \binom {9}{k}(x^2)^{9-k}(-1/x)^k = \binom {9}{k}(-1)^k\, x^{18 - 2k}\cdot x^{-k} = \binom {9}{k}(-1)^k\, x^{18 - 3k}. \]

“Senza $x$” significa esponente $= 0$: $18 - 3k = 0 \Rightarrow k = 6$.

$T_7 = \binom {9}{6}(-1)^6 = 84$.

87.4 Applicazioni

Calcoli numerici approssimati

Il binomio di Newton serve a calcolare approssimazioni di numeri della forma $(1 + x)^n$ con $|x|$ piccolo, conservando solo i primi termini dello sviluppo.

Esempio 87.7 — Interesse composto al 5% su 10 anni

Calcolare $(1.05)^{10}$ con l’approssimazione che tiene i primi $3$ termini.

Soluzione. $(1 + 0.05)^{10} \approx \binom {10}{0} + \binom {10}{1}\cdot 0.05 + \binom {10}{2}\cdot 0.05^2 = 1 + 0.5 + 0.1125 = 1.6125$.

(Valore esatto con calcolatrice: $1.62889$. L’approssimazione a 3 termini è già al $1\%$.)

Sviluppo di $(1 + x)^n$

È la versione più compatta del binomio, comoda per calcoli simbolici e per derivare la serie binomiale.

Nota — Serie binomiale di Newton – cenni

Newton (1665) generalizzò la formula a esponenti reali qualsiasi $\alpha \in \mathbb{R} $:

\[ (1 + x)^\alpha = \sum _{k=0}^{\infty } \binom {\alpha }{k}\, x^k\qquad \text {per $|x| < 1$,} \]

dove $\binom {\alpha }{k} = \dfrac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}$ è il coefficiente binomiale generalizzato. Per $\alpha \in \mathbb{N} $ la serie è finita (i termini con $k > \alpha $ si annullano) e si riduce alla formula classica. Per $\alpha $ non intero la serie è infinita ma converge per $|x| < 1$.

Esempio: $\sqrt {1 + x} = (1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac {x}{2} - \tfrac {x^2}{8} + \tfrac {x^3}{16} - \cdots $ per $|x| < 1$. Sviluppo approfondito in 133.

87.5 Identità combinatorie

Il binomio di Newton è una vera miniera di identità combinatorie. Sostituendo valori particolari di $a$ e $b$, otteniamo molte uguaglianze utili.

Teorema 87.3 — Identità dedotte dal binomio

1.: Ponendo $a = b = 1$ in $(a+b)^n$:
\[ \sum _{k=0}^n \binom {n}{k} = 2^n. \]

Somma dei coefficienti di una riga del triangolo di Tartaglia (86).
2.: Ponendo $a = 1, b = -1$:
\[ \sum _{k=0}^n (-1)^k \binom {n}{k} = 0\qquad (n \geq 1). \]

Somma alternata: i coefficienti di posto pari e di posto dispari si compensano esattamente.
3.: Sommando e sottraendo le due:
\[ \sum _{k\text { pari}} \binom {n}{k} = \sum _{k\text { dispari}} \binom {n}{k} = 2^{n-1}\qquad (n \geq 1). \]
4.: Ponendo $a = 1, b = x$:
\[ (1 + x)^n = \sum _{k=0}^n \binom {n}{k}\, x^k. \]
5.: Calcolando la derivata (134) di $(1 + x)^n = \sum \binom {n}{k} x^k$ e ponendo $x = 1$:
\[ \sum _{k=0}^n k\,\binom {n}{k} = n\cdot 2^{n-1}. \]

Esempio 87.8 — Numero di sottoinsiemi di un insieme

Il numero di tutti i possibili sottoinsiemi (incluso il vuoto e l’insieme intero) di un insieme di $n$ elementi è $2^n$. Dimostrazione: contiamo per cardinalità — $\binom {n}{0}$ sottoinsiemi vuoti + $\binom {n}{1}$ con un solo elemento + …+ $\binom {n}{n}$ con $n$ elementi. Totale: $\sum _k \binom {n}{k} = 2^n$. $\checkmark$

Verifica diretta: ogni elemento o “c’è” o “non c’è” nel sottoinsieme — $2$ scelte indipendenti per ognuno degli $n$ elementi $\Rightarrow $ $2^n$ scelte totali.

87.6 Esempi svolti

Esempio 87.9 — Sviluppo completo di un binomio

Sviluppare $(x + 2)^4$.

Soluzione. Coefficienti $1, 4, 6, 4, 1$ (riga $n = 4$ del triangolo). Esponenti di $x$: $4, 3, 2, 1, 0$. Esponenti di $2$: $0, 1, 2, 3, 4$.

\[ (x + 2)^4 = x^4 + 4\cdot x^3\cdot 2 + 6\cdot x^2\cdot 4 + 4\cdot x\cdot 8 + 16 = x^4 + 8 x^3 + 24 x^2 + 32 x + 16. \]

Esempio 87.10 — Termine specifico

Calcolare il coefficiente di $x^3$ nello sviluppo di $(3x - 2)^6$.

Soluzione. $a = 3x, b = -2, n = 6$. Termine generale: $T_{k+1} = \binom {6}{k}(3x)^{6-k}(-2)^k$.

Esponente di $x$: $6 - k = 3 \Rightarrow k = 3$.

\[ T_4 = \binom {6}{3}(3x)^3 (-2)^3 = 20\cdot 27 x^3\cdot (-8) = -4320\,x^3. \]

Coefficiente cercato: $-4320$.

Esempio 87.11 — Coefficiente di $x^k$ in $(1+x)^n$

Trovare il coefficiente di $x^4$ in $(1 + x)^{10}$.

Soluzione. Dallo sviluppo $(1+x)^{10} = \sum \binom {10}{k} x^k$, il coefficiente di $x^4$ è $\binom {10}{4} = 210$.

Esempio 87.12 — Approssimazione

Calcolare $1.01^5$ con il binomio di Newton.

Soluzione. $(1 + 0.01)^5 = 1 + 5\cdot 0.01 + 10\cdot 0.0001 + 10\cdot 0.000001 + \ldots $

$\approx 1 + 0.05 + 0.001 = 1.051$ (a $3$ termini).

(Valore esatto: $1.0510100501$. Già l’approssimazione a 3 termini è ottima.)

Esempio 87.13 — Identità verificata

Verificare numericamente che $\sum _{k=0}^4 \binom {4}{k} = 2^4$.

Soluzione. $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$. $\checkmark$

Esempio 87.14 — Termine indipendente da $x$

Trovare il termine indipendente da $x$ nello sviluppo di $\left (\sqrt x + \dfrac {1}{x}\right )^9$.

Soluzione. Termine generale: $T_{k+1} = \binom {9}{k}(\sqrt x)^{9-k}(1/x)^k = \binom {9}{k}\, x^{(9-k)/2 - k} = \binom {9}{k}\, x^{(9 - 3k)/2}$.

Esponente nullo: $(9 - 3k)/2 = 0 \Rightarrow k = 3$.

$T_4 = \binom {9}{3} = 84$.

Esempio 87.15 — Somma alternata

Verificare numericamente che $\sum _{k=0}^5 (-1)^k \binom {5}{k} = 0$.

Soluzione. $\binom {5}{0} - \binom {5}{1} + \binom {5}{2} - \binom {5}{3} + \binom {5}{4} - \binom {5}{5} = 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0$. $\checkmark$

87.7 Esercizi proposti

Esercizio 87.1

1.

Sviluppa completamente:

(a) $(x + 1)^4$;
(b) $(x - 1)^5$;
(c) $(2 + y)^3$;
(d) $(x + 2y)^4$.

2.

Trova il termine di posto specificato:

(a) terzo termine di $(x + 3)^7$;
(b) sesto termine di $(2 - x)^8$;
(c) centrale di $(x + 1)^{10}$;
(d) ultimo termine di $(a + b)^{12}$.

3.

Trova il coefficiente di:

(a) $x^3$ in $(x + 4)^6$;
(b) $x^4$ in $(2x - 1)^7$;
(c) $a^2 b^3$ in $(a + b)^5$;
(d) $x^5$ in $(x^2 + 1)^6$.

4.

Trova il termine indipendente da $x$ nello sviluppo di:

(a) $\left (x + \dfrac {1}{x}\right )^6$;
(b) $\left (x^2 - \dfrac {1}{x}\right )^9$;
(c) $\left (x^3 + \dfrac {2}{x}\right )^{12}$.

5.

Calcola con il binomio di Newton (e arrotonda):

(a) $1.02^5$;
(b) $0.99^4 = (1 - 0.01)^4$;
(c) $2.1^4 = (2 + 0.1)^4$.

6.

Calcola $\sum _{k=0}^n \binom {n}{k}$ per $n = 1, 2, 3, 4, 5$ e verifica che sia $2^n$.

7.

Calcola $\sum _{k=0}^n (-1)^k \binom {n}{k}$ per $n = 2, 3, 4$ e verifica che sia $0$.

8.

Quanti termini ha lo sviluppo di $(a + b)^{20}$? E qual è il coefficiente del termine centrale?

9.

(Discussione.) Spiega perché i coefficienti dello sviluppo di $(a+b)^n$ sono i coefficienti binomiali $\binom {n}{k}$. (Suggerimento: la dimostrazione combinatoria del teorema.)

10.

(Sfida.) Mostra che il coefficiente di $x^n$ in $\left (1 + x + x^2 + \cdots \right )^n$ vale $\binom {2n-1}{n}$. (Suggerimento: stelle e barre, 86.)

87.8 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Binomio di Newton: per ogni $n \in \mathbb{N} $ e $a, b \in \mathbb{R} $:
\[ (a + b)^n = \sum _{k=0}^n \binom {n}{k}\,a^{n-k}\,b^k. \]
I coefficienti dello sviluppo sono i coefficienti binomiali $\binom {n}{k}$ (riga $n$-esima del triangolo di Tartaglia, 86).
Lo sviluppo ha esattamente $n + 1$ termini, con esponente di $a$ decrescente da $n$ a $0$ ed esponente di $b$ crescente da $0$ a $n$, somma sempre $n$.
Termine generale: $T_{k+1} = \binom {n}{k}\,a^{n-k}\,b^k$ ($k = 0, 1, \ldots , n$).
Per $(a - b)^n$: $\sum _k (-1)^k \binom {n}{k} a^{n-k} b^k$ (segni alterni).
Per $(1 + x)^n$: $\sum _k \binom {n}{k} x^k$ — forma compatta utile.
Identità deducibili:
- $\sum _k \binom {n}{k} = 2^n$ (numero totale di sottoinsiemi);
- $\sum _k (-1)^k \binom {n}{k} = 0$ (per $n \geq 1$);
- $\sum _{k\text { pari}} = \sum _{k\text { dispari}} = 2^{n-1}$;
- $\sum _k k\binom {n}{k} = n\cdot 2^{n-1}$.
Storia: Euclide ($n=2$, iii sec. a.C.) $\rightarrow $ Khayyām ($n$ qualsiasi, xi-xii sec.) $\rightarrow $ Pascal (1654, dim. per induzione) $\rightarrow $ Newton (1665, serie binomiale per esponenti reali).
Generalizzazione di Newton (cenni): per $\alpha \in \mathbb{R} $ e $|x| < 1$,
\[ (1 + x)^\alpha = \sum _{k=0}^\infty \binom {\alpha }{k}\,x^k, \]

con $\binom {\alpha }{k} = \alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)/k!$ (coefficiente binomiale generalizzato). Sviluppo in 133.
Prossimi passi: applicazioni in calcolo della probabilità — formula di Bernoulli per le prove ripetute (124) e distribuzione binomiale (157).

Capitolo 87
Binomio di Newton

87.1 Introduzione motivazionale

87.2 Sviluppo della potenza del binomio

87.3 Termine generale dello sviluppo

87.4 Applicazioni

Calcoli numerici approssimati

Sviluppo di \((1 + x)^n\)

87.5 Identità combinatorie

87.6 Esempi svolti

87.7 Esercizi proposti

87.8 Riepilogo del capitolo

Capitolo 87 Binomio di Newton

87.1 Introduzione motivazionale

87.2 Sviluppo della potenza del binomio

87.3 Termine generale dello sviluppo

87.4 Applicazioni

Calcoli numerici approssimati

Sviluppo di \((1 + x)^n\)

87.5 Identità combinatorie

87.6 Esempi svolti

87.7 Esercizi proposti

87.8 Riepilogo del capitolo

Capitolo 87
Binomio di Newton