88 Numeri complessi: forma algebrica z = a + ib

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Capitolo 88
Numeri complessi: forma algebrica $z = a + ib$

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In molti calcoli mi è apparsa di tal sorta una radicale quantità di numero negativo, ed ho trovato esser cosa nuova, e non mai più trattata da nessuno, e di gran piacere a riguardarla.”

— Rafael Bombelli, L’Algebra, libro III (1572)

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88.1 Introduzione motivazionale

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La storia dei numeri complessi è una delle più affascinanti della matematica. Per duemila anni i matematici si rifiutarono di accettare l’idea di una “radice quadrata di un numero negativo”. Poi, nel xvi secolo, durante la sfida tra Cardano e Tartaglia per la risoluzione delle equazioni cubiche, accadde qualcosa di strano: la formula risolutiva (formula di Cardano, 1545) richiedeva, anche per equazioni con soluzioni reali, di passare attraverso radici quadrate di numeri negativi come passaggio intermedio.

Cardano stesso li chiamò quantitates sofisticae (“quantità sofistiche”) — un’altra terminologia che riflette il disagio del tempo è numeri impossibili, immaginari, fantastici. Fu Rafael Bombelli (1572) a sistemare per primo le regole di calcolo, mostrando che, trattando questi nuovi numeri secondo regole coerenti, si ottenevano alla fine risposte reali corrette.

Per tre secoli i complessi rimasero strumenti pratici di calcolo accettati con sospetto. La svolta arriva nel xviii-xix sec.:

Leonhard Euler (1748) introduce il simbolo $i$ per $\sqrt {-1}$ e scopre la formula $e^{i\pi } + 1 = 0$, considerata da molti la più bella della matematica.
Carl Friedrich Gauss (1799) dimostra il Teorema fondamentale dell’algebra: ogni equazione polinomiale di grado $n$ ha esattamente $n$ soluzioni in $\mathbb{C} $ (contate con la loro molteplicità). I complessi diventano indispensabili.
Sempre Gauss (1831) introduce la rappresentazione geometrica nel piano complesso (oggi detto piano di Gauss), togliendo definitivamente l’aura “immaginaria” al concetto.

L’estensione di $\mathbb{R} $ a $\mathbb{C} $ è solo l’ultimo di una serie di ampliamenti del concetto di numero che hai già attraversato:

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} . \]

Ogni passaggio è stato motivato dal voler risolvere equazioni: $x + 5 = 3$ richiede $\mathbb{Z} $; $2x = 1$ richiede $\mathbb{Q} $; $x^2 = 2$ richiede $\mathbb{R} $; $x^2 = -1$ richiede $\mathbb{C} $.

In questo capitolo:

motiviamo l’introduzione dei complessi a partire dall’insufficienza dei reali;
definiamo l’unità immaginaria $i$ con $i^2 = -1$;
presentiamo la forma algebrica $z = a + ib$;
definiamo le quattro operazioni di campo;
introduciamo coniugato e modulo;
interpretiamo i complessi come punti del piano di Gauss.

La forma trigonometrica e la formula di de Moivre saranno trattate nei capitoli successivi (120, 121).

88.2 Insufficienza dei reali

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Considera l’equazione di secondo grado:

\[ x^2 + 1 = 0,\qquad \text {cioè}\qquad x^2 = -1. \]

Nessun numero reale $x$ soddisfa questa equazione, perché ogni quadrato reale è $\geq 0$ (49). Quindi, restando nei reali, l’equazione non ha soluzioni.

Lo stesso problema si presenta per ogni equazione $x^2 = k$ con $k < 0$, e più in generale per ogni equazione di secondo grado $a x^2 + b x + c = 0$ con discriminante negativo ($\Delta = b^2 - 4ac < 0$).

Nota — Il caso storico delle cubiche

Per le cubiche $x^3 + px + q = 0$, la formula di Cardano (1545) ha la forma

\[ x = \sqrt [3]{-q/2 + \sqrt {(q/2)^2 + (p/3)^3}} + \sqrt [3]{-q/2 - \sqrt {(q/2)^2 + (p/3)^3}}. \]

Esistono casi (detti casus irreducibilis) in cui l’equazione ha tre soluzioni reali, ma il termine $(q/2)^2 + (p/3)^3$ sotto radice è negativo. Per ottenere la risposta reale, dobbiamo passare attraverso radici quadrate di numeri negativi e cancellarle poi nei calcoli.

Esempio classico (Bombelli, 1572): $x^3 = 15x + 4$ ha la soluzione reale evidente $x = 4$. La formula di Cardano dà $x = \sqrt [3]{2 + \sqrt {-121}} + \sqrt [3]{2 - \sqrt {-121}}$. Bombelli scoprì che — manipolando coerentemente le “radici di numeri negativi” — queste espressioni si semplificano e danno proprio $x = 4$.

La soluzione: ampliare l’insieme dei numeri, introducendo un nuovo numero — l’unità immaginaria — che soddisfi $i^2 = -1$.

88.3 Unità immaginaria i

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Definizione 88.1 — Unità immaginaria

Si chiama unità immaginaria (notazione: $i$) il “numero” definito dalla proprietà

\[ i^2 = -1. \]

\[ \boxed {\ i^2 = -1\ }\qquad \text {(definizione di $i$).} \]

Nota — Notazione

In matematica e fisica si usa $i$ per l’unità immaginaria. In ingegneria elettrica, dove $i$ è già usata per l’intensità di corrente, si usa $j$ al suo posto. Ma il significato è lo stesso.

Teorema 88.1 — Potenze di $i$

Le potenze intere di $i$ seguono un ciclo di periodo $4$:

\[ i^0 = 1,\quad i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1,\quad i^5 = i,\quad \ldots \]

In generale: $i^n$ dipende solo dal resto della divisione di $n$ per $4$:

\[ i^n = \begin {cases} 1 & \text {se $n \equiv 0 \pmod 4$,} \\ i & \text {se $n \equiv 1 \pmod 4$,} \\ -1 & \text {se $n \equiv 2 \pmod 4$,} \\ -i & \text {se $n \equiv 3 \pmod 4$.} \end {cases} \]

Dimostrazione. Per induzione: $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. Quindi $i^{n+4} = i^n\cdot i^4 = i^n\cdot 1 = i^n$. Le potenze si ripetono ciclicamente ogni $4$ passi.

Esempio 88.1 — Calcolo di potenze di $i$

$i^7 = i^{4 + 3} = i^3 = -i$.
$i^{10} = i^{8+2} = (i^4)^2\cdot i^2 = 1\cdot (-1) = -1$.
$i^{2025} = i^{2024 + 1} = i^1 = i$ (perché $2025 = 4\cdot 506 + 1$).
$i^{-1} = 1/i = -i$ (verifica: $i\cdot (-i) = -i^2 = 1$).

88.4 Forma algebrica z=a+ib

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Definizione 88.2 — Numero complesso, forma algebrica

Un numero complesso è un’espressione della forma

\[ z = a + ib, \]

con $a, b \in \mathbb{R} $. L’insieme dei numeri complessi si denota $\mathbb{C} $.

I due numeri reali $a$ e $b$ si chiamano rispettivamente:

parte reale di $z$: $\mathrm {Re}(z) = a$;
parte immaginaria di $z$: $\mathrm {Im}(z) = b$.

\[ z = a + ib,\quad a = \mathrm {Re}(z),\ b = \mathrm {Im}(z),\quad \mathbb{C} = \{a + ib : a, b \in \mathbb{R} \}. \]

Nota — Casi particolari

Se $b = 0$: $z = a$ è un numero reale. Quindi $\mathbb{R} \subset \mathbb{C} $ (i reali sono i complessi a parte immaginaria nulla).
Se $a = 0$ e $b \neq 0$: $z = ib$ è detto immaginario puro.
Se $a = b = 0$: $z = 0$.
Attenzione: la parte immaginaria è il numero reale $b$, non $ib$.

Definizione 88.3 — Uguaglianza tra complessi

Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria:

\[ a + ib = c + id \iff a = c\ \text {e}\ b = d. \]

Esempio 88.2 — Identificare parti

$z = 3 + 4i$: $\mathrm {Re}(z) = 3$, $\mathrm {Im}(z) = 4$.
$z = -2 - 5i$: $\mathrm {Re}(z) = -2$, $\mathrm {Im}(z) = -5$.
$z = 7$: $\mathrm {Re}(z) = 7$, $\mathrm {Im}(z) = 0$. (Reale puro.)
$z = -3i$: $\mathrm {Re}(z) = 0$, $\mathrm {Im}(z) = -3$. (Immaginario puro.)

88.5 Operazioni con numeri complessi

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Le quattro operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione si estendono ai complessi trattando $i$ come una variabile, ma usando sistematicamente la regola $i^2 = -1$. Le formule risultanti sono semplici:

Teorema 88.2 — Operazioni in forma algebrica

Siano $z_1 = a + ib$, $z_2 = c + id$. Allora:

Somma: $z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d)$.
Differenza: $z_1 - z_2 = (a - c) + i(b - d)$.
Prodotto: $z_1\cdot z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)$.
Reciproco (per $z_1 \neq 0$): $\dfrac {1}{z_1} = \dfrac {a - ib}{a^2 + b^2}$.
Quoziente (per $z_2 \neq 0$): $\dfrac {z_1}{z_2} = \dfrac {(a + ib)(c - id)}{c^2 + d^2} = \dfrac {(ac + bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2}$.

\begin{align*} (a + ib) + (c + id) &= (a+c) + i(b+d) \\ (a + ib)\cdot (c + id) &= (ac - bd) + i(ad + bc) \end{align*}

Dimostrazione. Somma e differenza: ovvie, raccogliendo $i$. Prodotto:

\[ (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i^2 bd = ac + i(ad + bc) - bd = (ac - bd) + i(ad + bc). \]

Reciproco: moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato $a - ib$ (vedi prossima sezione):

\[ \frac {1}{a + ib} = \frac {1}{a + ib}\cdot \frac {a - ib}{a - ib} = \frac {a - ib}{a^2 - (ib)^2} = \frac {a - ib}{a^2 + b^2}. \]

Nota — Strategia di calcolo

Nella pratica, non occorre memorizzare le formule del prodotto e del quoziente. Basta:

per moltiplicare due complessi, applicare la proprietà distributiva e ricordare $i^2 = -1$;
per dividere, moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, e poi semplificare.

Esempio 88.3 — Somma e prodotto

$z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = 1 - 4i$.

Somma: $z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(3 - 4) = 3 - i$.
Differenza: $z_1 - z_2 = (2 - 1) + i(3 + 4) = 1 + 7i$.
Prodotto: $z_1\cdot z_2 = (2)(1) - (3)(-4) + i\bigl ((2)(-4) + (3)(1)\bigr ) = 2 + 12 + i(-8 + 3) = 14 - 5i$.

Esempio 88.4 — Quoziente

Calcolare $\dfrac {3 + 2i}{1 - i}$.

Soluzione. Moltiplico numeratore e denominatore per $1 + i$ (coniugato di $1 - i$):

\[ \frac {(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac {3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 - i^2} = \frac {3 + 5i - 2}{1 + 1} = \frac {1 + 5i}{2} = \tfrac {1}{2} + \tfrac {5}{2}i. \]

Esempio 88.5 — Soluzione di un’equazione di secondo grado a $\Delta < 0$

Risolvere $x^2 - 2x + 5 = 0$.

Soluzione. Con la formula classica: $x = (2 \pm \sqrt {4 - 20})/2 = (2 \pm \sqrt {-16})/2$.

In $\mathbb{R} $ non ci sono soluzioni. In $\mathbb{C} $: $\sqrt {-16} = \sqrt {16}\cdot \sqrt {-1} = 4i$. Quindi

\[ x = \frac {2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i. \]

Due soluzioni complesse coniugate: $x_1 = 1 + 2i$, $x_2 = 1 - 2i$.

(Verifica: $x_1\cdot x_2 = 1^2 + 2^2 = 5$ = termine noto/coefficiente di $x^2$ = $5/1$. $x_1 + x_2 = 2$ = $-b/a$. $\checkmark$Vale anche per i complessi la relazione di Viète, 50.)

88.6 Coniugato e modulo

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Definizione 88.4 — Coniugato

Dato $z = a + ib$, il coniugato di $z$ è

\[ \bar z = a - ib. \]

(Si scambia il segno della parte immaginaria.)

Definizione 88.5 — Modulo

Dato $z = a + ib$, il modulo di $z$ è

\[ |z| = \sqrt {a^2 + b^2}. \]

\[ \bar z = a - ib,\qquad |z| = \sqrt {a^2 + b^2},\qquad z\cdot \bar z = |z|^2. \]

Teorema 88.3 — Proprietà del coniugato

Per ogni $z, w \in \mathbb{C} $:

$\overline {\bar z} = z$.
$\overline {z + w} = \bar z + \bar w$.
$\overline {z\cdot w} = \bar z\cdot \bar w$.
$\overline {z/w} = \bar z/\bar w$ (per $w \neq 0$).
$z = \bar z \iff z \in \mathbb{R} $ (un complesso è uguale al suo coniugato $\iff $ è reale).
$z + \bar z = 2\,\mathrm {Re}(z)$, $z - \bar z = 2i\,\mathrm {Im}(z)$.
$z\cdot \bar z = a^2 + b^2 = |z|^2$ — prodotto fondamentale: il prodotto di un complesso per il suo coniugato è sempre un numero reale non negativo.

Teorema 88.4 — Proprietà del modulo

Per ogni $z, w \in \mathbb{C} $:

$|z| \geq 0$, e $|z| = 0 \iff z = 0$.
$|z| = |\bar z|$.
$|z\cdot w| = |z|\cdot |w|$.
$|z/w| = |z|/|w|$ (per $w \neq 0$).
$|z + w| \leq |z| + |w|$ — disuguaglianza triangolare.
Per $z$ reale: $|z|$ coincide con il valore assoluto reale.

Esempio 88.6 — Coniugato e modulo

$z = 3 - 4i$. Allora:

\[ \bar z = 3 + 4i,\qquad |z| = \sqrt {9 + 16} = \sqrt {25} = 5,\qquad z\cdot \bar z = 9 + 16 = 25 = |z|^2. \]

Esempio 88.7 — Uso del coniugato per la divisione

$\dfrac {5}{2 + i} = \dfrac {5(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \dfrac {10 - 5i}{4 + 1} = \dfrac {10 - 5i}{5} = 2 - i$.

88.7 Piano di Gauss

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Carl Friedrich Gauss (1831) ebbe l’intuizione fondamentale: identificare ogni numero complesso $z = a + ib$ con il punto $(a, b)$ del piano cartesiano. Questa identificazione — il piano di Gauss o piano complesso — restituisce ai complessi una piena “visibilità” geometrica.

Teorema 88.5 — Corrispondenza biunivoca

La mappa $z = a + ib \mapsto (a, b)$ è una biiezione tra $\mathbb{C} $ e $\mathbb{R} ^2$.

Nella rappresentazione geometrica:

l’asse $x$ è chiamato asse reale (contiene i complessi della forma $z = a$);
l’asse $y$ è chiamato asse immaginario (contiene gli immaginari puri $z = ib$);
l’origine è il numero $0$.

[Picture] — Figura 88.1: Piano di Gauss. Il numero complesso $z = a + ib$ è il punto $(a, b)$. Il modulo $|z|$ è la distanza dall’origine. Il coniugato $\bar z$ è il riflesso di $z$ rispetto all’asse reale. L’opposto $-z$ è il simmetrico rispetto all’origine.

Nota — Interpretazione geometrica delle operazioni

La somma $z_1 + z_2$ corrisponde alla regola del parallelogramma (come la somma di vettori).
Il modulo $|z|$ è la distanza di $z$ dall’origine.
Il coniugato $\bar z$ è il riflesso di $z$ rispetto all’asse reale.
L’opposto $-z$ è il simmetrico rispetto all’origine.
Il prodotto ha un’interpretazione meno immediata in forma algebrica: corrisponde a una rotazione + dilatazione che si vedrà chiaramente in forma trigonometrica (120).

Nota — Modulo come distanza

Il modulo $|z|$ non è solo la distanza di $z$ dall’origine: più in generale, $|z_1 - z_2|$ è la distanza tra i due punti $z_1$ e $z_2$ nel piano di Gauss. Ritroviamo così le strutture metriche del piano cartesiano (69).

88.8 Esempi svolti

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Esempio 88.8 — Operazioni miste

Calcolare $(2 + i)(3 - 2i) + (1 - i)^2$.

Soluzione.

\[ (2 + i)(3 - 2i) = 6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i + 2 = 8 - i. \]

\[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i. \]

Totale: $(8 - i) + (-2i) = 8 - 3i$.

Esempio 88.9 — Potenza di un complesso

Calcolare $(1 + i)^4$.

Soluzione. Calcolo per gradi: $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$. Quindi $(1+i)^4 = (2i)^2 = 4 i^2 = -4$.

Esempio 88.10 — Risolvere $z^2 = -9$

Trovare tutti i $z \in \mathbb{C} $ tali che $z^2 = -9$.

Soluzione. $z^2 = -9 = 9\cdot (-1) = 9\cdot i^2 = (3i)^2$. Quindi $z = \pm 3i$.

Verifica: $(3i)^2 = 9 i^2 = -9$ $\checkmark$; $(-3i)^2 = 9 i^2 = -9$ $\checkmark$.

Esempio 88.11 — Risolvere $z^2 + 2z + 5 = 0$

Soluzione. Discriminante: $\Delta = 4 - 20 = -16$. $\sqrt {-16} = 4i$.

\[ z = \frac {-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i. \]

Esempio 88.12 — Inverso di un complesso

Calcolare $\dfrac {1}{3 + 2i}$.

Soluzione.

\[ \frac {1}{3+2i} = \frac {3-2i}{(3+2i)(3-2i)} = \frac {3-2i}{9+4} = \frac {3-2i}{13} = \frac {3}{13} - \frac {2}{13}i. \]

Esempio 88.13 — Verifica di un’identità

Verificare che $|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|$ per $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 2 - i$.

Soluzione. $z_1\cdot z_2 = 2 - i + 2i - i^2 = 2 + i + 1 = 3 + i$.

$|z_1\cdot z_2| = \sqrt {9 + 1} = \sqrt {10}$. $|z_1|\cdot |z_2| = \sqrt 2\cdot \sqrt 5 = \sqrt {10}$. $\checkmark$

Esempio 88.14 — Trovare $z$ da una condizione

Trovare il complesso $z$ tale che $z + 2\bar z = 6 - i$.

Soluzione. Sia $z = a + ib$. Allora $\bar z = a - ib$, e

\[ z + 2\bar z = (a + ib) + 2(a - ib) = 3a - ib. \]

Imponendo l’uguaglianza con $6 - i$: $3a = 6$ e $-b = -1$, quindi $a = 2, b = 1$. Risposta: $z = 2 + i$.

88.9 Esercizi proposti

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Esercizio 88.1

1.

Calcola le potenze di $i$:

(a) $i^9$;
(b) $i^{20}$;
(c) $i^{-3}$;
(d) $i^{100}$;
(e) $i^{2025}$.

2.

Identifica parte reale e parte immaginaria di:

(a) $z = 5 - 7i$;
(b) $z = -3 + 2i$;
(c) $z = 8$;
(d) $z = -6i$.

3.

Calcola:

(a) $(3 + 2i) + (1 - 5i)$;
(b) $(4 - i) - (2 + 3i)$;
(c) $(1 + i)(2 - 3i)$;
(d) $(2 + 5i)(2 - 5i)$ (notare il risultato!);
(e) $(1 + i)^3$;
(f) $(2 - i)^2$.

4.

Calcola coniugato e modulo:

(a) $z = 4 + 3i$;
(b) $z = -5 + 12i$;
(c) $z = -6i$;
(d) $z = 7$.

5.

Calcola (razionalizzando):

(a) $\dfrac {1}{1 + i}$;
(b) $\dfrac {2 - i}{3 + i}$;
(c) $\dfrac {5 + 2i}{1 - 2i}$;
(d) $\dfrac {i}{1 + i}$.

6.

Risolvi in $\mathbb{C} $:

(a) $z^2 + 25 = 0$;
(b) $z^2 + 4z + 13 = 0$;
(c) $z^2 - 6z + 10 = 0$;
(d) $z^2 - 4z + 8 = 0$.

7.

Verifica per $z = 2 - 3i$ che $z\cdot \bar z = |z|^2$.

8.

Verifica per $z_1 = 1 + i$ e $z_2 = 2 - 3i$ che $\overline {z_1\cdot z_2} = \bar z_1\cdot \bar z_2$.

9.

Trova $z$ tale che $z + \bar z = 4$ e $z - \bar z = 6i$.

10.

Rappresenta nel piano di Gauss: $z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = -1 + 4i$, $z_3 = -3 - 2i$, $z_4 = 5 - i$. Indica i loro coniugati e moduli.

11.

Calcola $(1 + i)^{10}$. (Suggerimento: usa $(1+i)^2 = 2i$ e calcola $(2i)^5$.)

12.

(Discussione.) È possibile definire un ordinamento “$<$” sui complessi compatibile con le operazioni (come per i reali)? Argomenta. (Suggerimento: pensa al segno di $i$: se $i > 0$, allora $i^2 > 0$ — assurdo. Se $i < 0$, lo stesso problema.)

13.

(Sfida — equazione di Bombelli.) Verifica che $\sqrt [3]{2 + 11i} = 2 + i$ (cioè $(2 + i)^3 = 2 + 11i$). Questa identità di Bombelli (1572) è la chiave per cui $x = \sqrt [3]{2 + 11i} + \sqrt [3]{2 - 11i} = (2 + i) + (2 - i) = 4$ — soluzione reale dell’equazione $x^3 = 15x + 4$.

88.10 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Insufficienza dei reali: $x^2 = -1$ non ha soluzioni in $\mathbb{R} $ (un quadrato reale è sempre $\geq 0$).
Unità immaginaria: $i$ definita da $i^2 = -1$. Potenze cicliche di periodo $4$:
\[ i^0 = 1,\ i^1 = i,\ i^2 = -1,\ i^3 = -i,\ \ldots \]
Forma algebrica: $z = a + ib$ con $a, b \in \mathbb{R} $. $a = \mathrm {Re}(z)$, $b = \mathrm {Im}(z)$.
Insieme: $\mathbb{C} = \{a + ib : a, b \in \mathbb{R} \}$. Vale $\mathbb{R} \subset \mathbb{C} $ (i reali sono i complessi con $b = 0$).
Operazioni:
- $(a+ib) \pm (c+id) = (a\pm c) + i(b\pm d)$;
- $(a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)$;
- per dividere: moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore.
Coniugato: $\bar z = a - ib$. Proprietà:
- $z\cdot \bar z = a^2 + b^2 = |z|^2$ (sempre reale $\geq 0$);
- $\overline {\bar z} = z$; $\overline {z+w} = \bar z + \bar w$; $\overline {zw} = \bar z\cdot \bar w$;
- $z = \bar z \iff z \in \mathbb{R} $.
Modulo: $|z| = \sqrt {a^2 + b^2}$. Proprietà:
- $|z| \geq 0$, $|z|=0 \iff z=0$;
- $|zw| = |z||w|$;
- $|z + w| \leq |z| + |w|$ (disuguaglianza triangolare).
Piano di Gauss: $z = a + ib \mapsto (a, b)$. L’asse $x$ è l’asse reale, l’asse $y$ l’asse immaginario. Il modulo $|z|$ è la distanza dall’origine; $\bar z$ è il riflesso di $z$ rispetto all’asse reale; $-z$ è il simmetrico rispetto all’origine.
Equazioni di secondo grado: in $\mathbb{C} $ ogni equazione $az^2 + bz + c = 0$ ha sempre $2$ soluzioni (anche se $\Delta < 0$): $z = (-b \pm \sqrt {\Delta })/(2a)$, con $\sqrt {\Delta } = i\sqrt {|\Delta |}$ se $\Delta < 0$.
Teorema fondamentale dell’algebra (Gauss 1799): ogni polinomio di grado $n$ in $\mathbb{C} $ ha esattamente $n$ radici (con molteplicità).
Prossimi passi: forma trigonometrica ed esponenziale (120); formula di de Moivre e radici $n$-esime (121).

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Capitolo 88 Numeri complessi: forma algebrica \(z = a + ib\)

88.1 Introduzione motivazionale

88.2 Insufficienza dei reali

88.3 Unità immaginaria i

88.4 Forma algebrica z=a+ib

88.5 Operazioni con numeri complessi

88.6 Coniugato e modulo

88.7 Piano di Gauss

88.8 Esempi svolti

88.9 Esercizi proposti

88.10 Riepilogo del capitolo

Capitolo 88
Numeri complessi: forma algebrica \(z = a + ib\)