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Capitolo 89
Funzioni definite a tratti

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Per descrivere un mondo a tratti — interruzioni, soglie, salti di stato — la matematica si dota di funzioni che cambiano natura passando da un intervallo all’altro.”

— adattamento didattico

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89.1 Introduzione motivazionale

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Non tutte le funzioni si scrivono con una formula unica valida su tutto il dominio. Spesso la regola cambia a seconda del valore di \(x\) in ingresso: pensiamo alla tariffa di una bolletta della luce, che ha un prezzo unitario fino a una certa soglia di consumo e uno diverso oltre; al costo delle spedizioni postali, “a peso”; all’IRPEF, in cui ogni scaglione ha un’aliquota propria; alla funzione che dice se un numero è positivo, negativo o nullo. In tutti questi casi, una funzione a tratti.

Le funzioni a tratti sono perfettamente legittime — è la regola di definizione a essere “a pezzi”, non il loro essere funzioni. In questo capitolo introduciamo la notazione con sistema, impariamo a tracciare il grafico (con l’uso cruciale dei pallini pieni/vuoti agli estremi), e incontriamo le funzioni a tratti più famose: valore assoluto (già nota), segno, parte intera, Heaviside. Vedremo anche un’applicazione pratica importante: il calcolo a scaglioni, come quello delle imposte sul reddito.

Tutte queste funzioni potranno avere “salti” in certi punti, anticipando il concetto di continuità che incontreremo in modo rigoroso nel capitolo 130.

89.2 Definizione e rappresentazione

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Definizione 89.1 — Funzione definita a tratti

Una funzione definita a tratti (o piecewise) è una funzione \(f:D\to \mathbb{R} \) in cui la regola di calcolo cambia a seconda della regione del dominio in cui si trova \(x\). Si scrive nella forma a sistema:

\[ f(x) = \begin {cases} f_1(x) & \text {se } x\in I_1,\\ f_2(x) & \text {se } x\in I_2,\\ \;\vdots & \;\;\vdots \\ f_n(x) & \text {se } x\in I_n, \end {cases} \]

dove \(I_1, I_2, \ldots , I_n\) sono intervalli (eventualmente puntuali) che formano una partizione del dominio: la loro unione è \(D\), e non si sovrappongono.

Esempio 89.1 — Il valore assoluto è una funzione a tratti

La funzione \(|x|\) (capitolo 25) è una funzione a tratti:

\[ |x| = \begin {cases} x & \text {se } x \ge 0,\\ -x & \text {se } x < 0. \end {cases} \]

Su \([0,+\infty )\) si comporta come la funzione identità \(x\); su \((-\infty ,0)\) si comporta come \(-x\). Le due regole si “saldano” in \(x=0\), dove entrambe danno il valore \(0\).

Procedura — Calcolare \(f(x_0)\) per una funzione a tratti

1.: Identificare in quale intervallo \(I_k\) cade \(x_0\).
2.: Applicare la formula \(f_k(x_0)\) corrispondente.

Esempio 89.2 — Valutazione

Sia \(f(x) = \begin {cases} x^2 & \text {se } x<1 \\ 2x-1 & \text {se } x\ge 1 \end {cases}\).

Calcolare \(f(-2)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(3)\).

Soluzione.

\(-2 < 1\): \(f(-2) = (-2)^2 = 4\).
\(0 < 1\): \(f(0) = 0^2 = 0\).
\(1 \ge 1\): \(f(1) = 2\cdot 1 - 1 = 1\).
\(3 \ge 1\): \(f(3) = 2\cdot 3 - 1 = 5\).

Grafico: pallini pieni e pallini vuoti

Nota — Convenzione grafica per i punti di confine

Quando una funzione a tratti ha discontinuità (salti) negli estremi degli intervalli, è essenziale indicare con chiarezza se il punto di confine è incluso o no in ciascun pezzo.

Pallino pieno (\(\bullet \)) all’estremo di un tratto: il punto appartiene a quel tratto (cioè, \(f\) vale lì il valore di quel tratto).
Pallino vuoto (\(\circ \)) all’estremo: il punto non appartiene a quel tratto.

Per ogni \(x\) del dominio deve esserci esattamente un pallino pieno (perché \(f(x)\) è univoca!).

Esempio 89.3 — Grafico di una funzione con salto

Sia \(f(x) = \begin {cases} 1 & \text {se } x<0 \\ 3 & \text {se } x\ge 0 \end {cases}\).

Il grafico è formato da due segmenti orizzontali: \(y=1\) a sinistra di \(0\) (pallino vuoto in \((0,1)\), perché \(x=0\) non fa parte di questo tratto), e \(y=3\) a destra di \(0\) (pallino pieno in \((0,3)\), perché \(x=0\) ricade in \(x\ge 0\)). La funzione “salta” di \(2\) in \(x=0\).

[Picture] — Figura 89.1: Grafico di una funzione a tratti con salto in \(x=0\): \(f(x)=1\) se \(x<0\) (con pallino vuoto a \((0,1)\), escluso), \(f(x)=3\) se \(x\ge 0\) (con pallino pieno a \((0,3)\), incluso). Si osservi che esattamente uno dei due punti a quota \(x=0\) è “pieno”: la funzione vale univocamente \(3\) in quel punto.

89.3 Funzione segno

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Definizione 89.2 — Funzione segno

La funzione segno (o signum) è la funzione \(\operatorname {sgn}:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da

\[ \operatorname {sgn}(x) = \begin {cases} +1 & \text {se } x > 0,\\ \phantom {+}0 & \text {se } x = 0,\\ -1 & \text {se } x < 0. \end {cases} \]

Teorema 89.1 — Caratteristiche

Dominio: \(\mathbb{R} \); Immagine: \(\{-1, 0, +1\}\) (insieme finito di tre valori).
Funzione dispari: \(\operatorname {sgn}(-x) = -\operatorname {sgn}(x)\).
Discontinua in \(x=0\) (salto di ampiezza \(2\), da \(-1\) a \(+1\)).
Relazione utile: \(x = \operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\) per ogni \(x\in \mathbb{R} \).

Esempio 89.4

\(\operatorname {sgn}(-3)=-1\); \(\operatorname {sgn}(0)=0\); \(\operatorname {sgn}(\sqrt {2})=+1\); \(\operatorname {sgn}(\pi - 4) = -1\) (perché \(\pi < 4\)).

89.4 Funzione parte intera

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Definizione 89.3 — Funzione parte intera

La funzione parte intera (o floor) di \(x\in \mathbb{R} \) è il più grande intero che non supera \(x\):

\[ \lfloor x \rfloor = \max \{\,n\in \mathbb{Z} \mid n\le x\,\}. \]

Esempio 89.5

\(\lfloor 3{,}7\rfloor = 3\); \(\lfloor 5\rfloor = 5\); \(\lfloor \pi \rfloor = 3\);
\(\lfloor -1{,}3\rfloor = -2\) (attenzione: il più grande intero \(\le -1{,}3\) è \(-2\), non \(-1\)).
\(\lfloor -3\rfloor = -3\); \(\lfloor 0{,}5\rfloor = 0\).

Teorema 89.2 — Caratteristiche

Dominio: \(\mathbb{R} \); Immagine: \(\mathbb{Z} \).
Grafico: “a gradini” (staircase): su ogni intervallo \([n, n+1)\) vale costantemente \(n\).
Discontinua in ogni intero (salto di \(1\)).
Funzione né pari né dispari, ma vale \(\lfloor x\rfloor + \lfloor -x\rfloor = \begin {cases} 0 & x\in \mathbb{Z} \\ -1 & x\notin \mathbb{Z} \end {cases}\).

Definizione 89.4 — Funzione mantissa

La mantissa (o parte frazionaria) di \(x\in \mathbb{R} \) è \(\{x\} = x - \lfloor x\rfloor \). Vale sempre \(0\le \{x\}<1\).

Esempio 89.6

\(\{3{,}7\} = 3{,}7 - 3 = 0{,}7\); \(\{-1{,}3\} = -1{,}3 - (-2) = 0{,}7\); \(\{5\} = 0\).

Nota — Heaviside

Una funzione a tratti molto usata in fisica e ingegneria è la funzione di Heaviside

\[ H(x) = \begin {cases} 0 & \text {se } x < 0,\\ 1 & \text {se } x \ge 0. \end {cases} \]

Modella un “interruttore” che si accende in \(x=0\): spento prima, acceso da quel punto in poi. È strettamente legata alla funzione segno: \(H(x) = \tfrac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}\) per \(x\neq 0\).

89.5 Funzioni a tratti applicate

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Molte tariffe della vita reale sono a scaglioni: il prezzo unitario cambia man mano che si supera una certa soglia. Sono naturalmente modellate da funzioni a tratti.

Esempio 89.7 — Bolletta dell’acqua a scaglioni

Una società idrica applica le seguenti tariffe per \(x\) metri cubi consumati in un anno:

fino a \(30\,{\mathrm{m}^{3} }\): \(0,40\) €/m³;
da \(31\,{\mathrm{m}^{3} }\) a \(100\,{\mathrm{m}^{3} }\): \(0,80\) €/m³ sulla parte eccedente \(30\);
oltre \(100\,{\mathrm{m}^{3} }\): \(1,50\) €/m³ sulla parte eccedente \(100\).

La spesa totale \(C(x)\) è una funzione a tratti:

\[ C(x) = \begin {cases} 0{,}40\,x & \text {se } 0\le x\le 30,\\ 12 + 0{,}80\,(x-30) & \text {se } 30 < x\le 100,\\ 12 + 56 + 1{,}50\,(x-100) = 68 + 1{,}50\,(x-100) & \text {se } x > 100. \end {cases} \]

La funzione è continua nei punti di passaggio (lo studente verifichi che \(C(30)\) vale \(12\) in entrambe le formule, e che \(C(100)\) vale \(68\) in entrambe), perché i prezzi sono “saldati”. Non c’è un salto, ma cambia la pendenza: il grafico è una spezzata.

Nota — IRPEF: imposta a scaglioni

L’imposta sul reddito (IRPEF) funziona allo stesso modo: ad esempio, fino a \(15000\) € aliquota \(23\%\); oltre, sulla parte eccedente, un’aliquota più alta; e così via per scaglioni successivi. Il calcolo totale è una funzione a tratti del reddito \(R\).

Nota — Continuità a tratti: anticipo

Le funzioni a tratti possono o no avere salti nei punti di confine: dipende dal raccordo tra le formule.

Se nei punti di confine i valori coincidono, la funzione è continua (anche se la regola cambia): pensa al valore assoluto, alle bollette, alle imposte.
Se non coincidono, la funzione è discontinua in quel punto: pensa al segno, alla parte intera, a Heaviside.

La continuità sarà studiata in modo rigoroso nel capitolo 130.

89.6 Esempi svolti

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Esempio 89.8 — Calcolo di valori

Sia \(f(x) = \begin {cases} 2x+1 & \text {se } x\le 2 \\ x^2-3 & \text {se } x>2 \end {cases}\).

Calcolare \(f(-1)\), \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3)\).

Soluzione.

\(-1\le 2\): \(f(-1) = 2(-1)+1 = -1\).
\(0\le 2\): \(f(0) = 1\).
\(2\le 2\): \(f(2) = 2(2)+1 = 5\). (Il punto \(x=2\) ricade nel primo tratto, per la condizione \(x\le 2\).)
\(3>2\): \(f(3) = 9-3 = 6\).

Si noti che nel passaggio \(x=2\), il primo tratto darebbe \(5\), mentre il secondo (se applicato) darebbe \(4-3=1\): c’è un salto di \(4\). La funzione è discontinua in \(x=2\).

Esempio 89.9 — Determinare il parametro per la continuità

Determinare \(k\) in modo che la funzione \(f(x) = \begin {cases} 3x-1 & \text {se } x\le 1 \\ kx+2 & \text {se } x>1 \end {cases}\) sia senza salti in \(x=1\).

Soluzione. Per la continuità, i due tratti devono assumere lo stesso valore in \(x=1\):

\[ 3(1) - 1 = 2 \quad \text {e}\quad k(1) + 2 = k + 2. \]

Imponiamo \(k + 2 = 2 \Rightarrow k = 0\). Per \(k=0\), \(f\) vale \(2\) a sinistra di \(1\) e \(2\) a destra di \(1\): niente salto.

Esempio 89.10 — Riscrivere il valore assoluto

Riscrivere \(f(x) = |x-2|\) come funzione a tratti senza moduli.

Soluzione.

\[ |x-2| = \begin {cases} x-2 & \text {se } x \ge 2,\\ -(x-2) = 2-x & \text {se } x < 2. \end {cases} \]

Grafico: V con vertice in \((2, 0)\), pendenze \(-1\) a sinistra e \(+1\) a destra.

Esempio 89.11 — Parte intera in concreto

Calcolare \(\lfloor 7{,}3\rfloor \), \(\lfloor -2{,}5\rfloor \), \(\lfloor 0\rfloor \), \(\{4{,}1\}\), \(\{-4{,}1\}\).

Soluzione.

\(\lfloor 7{,}3\rfloor = 7\);
\(\lfloor -2{,}5\rfloor = -3\) (il più grande intero \(\le -2{,}5\));
\(\lfloor 0\rfloor = 0\);
\(\{4{,}1\} = 4{,}1 - 4 = 0{,}1\);
\(\{-4{,}1\} = -4{,}1 - (-5) = 0{,}9\) (la mantissa è sempre in \([0,1)\)).

Esempio 89.12 — Tariffa postale

Una raccomandata costa \(4,00\) € fino a \(20\,{\mathrm{g} }\), \(5,30\) € tra \(20\,{\mathrm{g} }\) e \(100\,{\mathrm{g} }\) (esclusi), \(6,90\) € tra \(100\,{\mathrm{g} }\) e \(350\,{\mathrm{g} }\) (esclusi). Esprimere il costo \(C(g)\) del peso \(g\) in grammi come funzione a tratti, e calcolare \(C(15)\), \(C(50)\), \(C(100)\).

Soluzione.

\[ C(g) = \begin {cases} 4{,}00 & \text {se } 0 < g \le 20,\\ 5{,}30 & \text {se } 20 < g \le 100,\\ 6{,}90 & \text {se } 100 < g \le 350. \end {cases} \]

(Notiamo che le soglie sono chiuse a destra in modo che il peso esatto vada nello scaglione inferiore.)

\(C(15) = 4{,}00\) €;
\(C(50) = 5{,}30\) €;
\(C(100) = 5{,}30\) € (perché \(g\le 100\) ricade nel secondo tratto);
Per \(C(101)\) servirebbe il terzo tratto: \(6{,}90\) €.

La funzione è a gradini, con salti in \(20\), \(100\), \(350\).

89.7 Esercizi proposti

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Esercizio 89.1

1.: Per la funzione \(f(x) = \begin {cases} x+2 & \text {se } x<0 \\ x^2 & \text {se } x\ge 0 \end {cases}\), calcola: \(f(-3)\), \(f(-1)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\). La funzione è continua in \(x=0\)? Motiva.
2.: Per la funzione \(f(x) = \begin {cases} -1 & \text {se } x<-1 \\ x & \text {se } -1\le x\le 1 \\ 3 & \text {se } x>1 \end {cases}\), calcola \(f(-2)\), \(f(-1)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\). Traccia il grafico, indicando pallini pieni/vuoti.
3.: Calcola, riconducendo a una funzione a tratti se necessario: (a) \(\operatorname {sgn}(-4)\), \(\operatorname {sgn}(0)\), \(\operatorname {sgn}(\pi )\); (b) \(\lfloor 2{,}9 \rfloor \), \(\lfloor -3{,}1 \rfloor \), \(\lfloor 5 \rfloor \), \(\lfloor -7 \rfloor \); (c) \(\{3{,}25\}\), \(\{-0{,}75\}\), \(\{0\}\).
4.: Verifica che, per ogni \(x\in \mathbb{R} \): (a) \(x = \operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\); (b) \(|x| = x\cdot \operatorname {sgn}(x)\); (c) \(\lfloor x\rfloor + \{x\} = x\).
5.: Riscrivi come funzione a tratti, senza moduli: (a) \(f(x) = |x+3|\); (b) \(f(x) = |2x-1|\); (c) \(f(x) = |x| + |x-2|\) (suggerimento: tre tratti).
6.: Determina i valori dei parametri perché la funzione sia continua nei punti di confine: (a) \(f(x) = \begin {cases} 2x+a & \text {se } x\le 1 \\ x^2 & \text {se } x>1 \end {cases}\); (b) \(f(x) = \begin {cases} bx-3 & \text {se } x<2 \\ x^2+1 & \text {se } x\ge 2 \end {cases}\).
7.: Tariffa idrica: usando l’esempio del paragrafo applicativo, calcola la spesa per \(50\,{\mathrm{m}^{3} }\), \(120\,{\mathrm{m}^{3} }\), \(200\,{\mathrm{m}^{3} }\).
8.: IRPEF semplificata: per redditi annui \(R\), l’imposta è \(I(R) = 0{,}23\,R\) se \(R\le 15\,000\) e \(I(R) = 3\,450 + 0{,}27(R-15\,000)\) se \(R>15\,000\). Calcola l’imposta per \(R = 10\,000\), \(R = 15\,000\), \(R = 20\,000\).
9.: (Discussione.) Una funzione a tratti può essere iniettiva? Costruisci un esempio di funzione a tratti definita su \(\mathbb{R} \) che sia anche iniettiva.

89.8 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Una funzione a tratti è definita da formule diverse in diverse parti del dominio, ognuna su un intervallo. La notazione standard usa il sistema con parentesi graffa.
Per valutare \(f(x_0)\): si individua in quale tratto cade \(x_0\) e si applica la formula corrispondente.
Convenzione grafica: pallino pieno \(\bullet \) = punto incluso; pallino vuoto \(\circ \) = punto escluso. Per ogni \(x\) del dominio deve esserci esattamente un pallino pieno.
Funzioni a tratti notevoli:
- valore assoluto \(|x|\): continua, V con vertice in \(0\);
- segno \(\operatorname {sgn}(x)\): tre valori \(-1, 0, +1\), salto in \(x=0\);
- parte intera \(\lfloor x\rfloor \): funzione a gradini, salti su ogni intero;
- mantissa \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor \), sempre in \([0,1)\);
- Heaviside \(H(x)\): interruttore \(0/1\).
Applicazioni concrete: tariffe a scaglioni (bollette, IRPEF, postali). La spesa è una funzione a tratti del consumo/reddito/peso. Può essere continua (i tratti si saldano) o a gradini (salti).
La continuità di una funzione a tratti nei punti di confine richiede che i valori dei due tratti coincidano: tema che riprenderemo nel capitolo 130.

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Capitolo 89 Funzioni definite a tratti

89.1 Introduzione motivazionale

89.2 Definizione e rappresentazione

Grafico: pallini pieni e pallini vuoti

89.3 Funzione segno

89.4 Funzione parte intera

89.5 Funzioni a tratti applicate

89.6 Esempi svolti

89.7 Esercizi proposti

89.8 Riepilogo del capitolo

Capitolo 89
Funzioni definite a tratti