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Capitolo 25
Equazioni e disequazioni con valore assoluto

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Il valore assoluto è la distanza, e la distanza non ha mai segno: è ciò che resta delle relazioni quando si dimentica la direzione.”

— adattamento da un manuale di calcolo classico

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25.1 Introduzione motivazionale

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Il valore assoluto \(|x|\) — che abbiamo incontrato nei capitoli 7 e 15 — è la distanza di un numero da zero sulla retta reale. È una grandezza sempre non negativa, e questa proprietà semplice ma fondamentale rende le equazioni e le disequazioni che lo contengono più delicate di quanto suggerisca l’apparenza: l’equazione \(|x|=5\) non ha una soluzione, ne ha due; la disequazione \(|x|<3\) non descrive una semiretta, ma una striscia.

In questo capitolo studiamo sistematicamente le equazioni e disequazioni della forma \(|f(x)|=k\), \(|f(x)|<k\), \(|f(x)|>k\), e poi quelle più generali con \(g(x)\) al secondo membro o con più moduli insieme. Per ognuna vedremo due strategie equivalenti:

Le competenze qui apprese saranno utilissime quando incontreremo errori sperimentali in fisica, intorni in analisi (capitolo 126), e la continuità di una funzione (capitolo 130).

25.2 Definizione di valore assoluto e proprietà

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Definizione 25.1 — Valore assoluto

Per ogni \(x\in \mathbb{R} \), il valore assoluto di \(x\) è

\[ |x| = \begin {cases} x & \text {se } x\ge 0,\\ -x & \text {se } x<0. \end {cases} \]

Geometricamente, \(|x|\) è la distanza del punto \(x\) dall’origine sulla retta reale.

Teorema 25.1 — Proprietà del valore assoluto

Per ogni \(x,y\in \mathbb{R} \):

Dimostrazione (idea). Tutte si verificano analizzando i due casi \(x\ge 0\) e \(x<0\) (o le quattro combinazioni di segno per le formule con due variabili). La disuguaglianza triangolare segue dalla definizione e da \(-|x|\le x\le |x|\).

Nota  — Lettura come distanza

Più in generale, \(|a-b|\) è la distanza tra i punti \(a\) e \(b\) sulla retta reale: \(|3-7|=|{-4}|=4\), distanza fra \(3\) e \(7\).

\[ |x-x_0| = \text {distanza tra } x \text { e } x_0. \]

25.3 Equazioni con un valore assoluto

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Forma \(|f(x)| = k\) con \(k\) costante

Teorema 25.2 — Equazione |f(x)|=k

Sia \(k\in \mathbb{R} \). L’equazione \(|f(x)|=k\):

Dimostrazione. Per definizione \(|f(x)|=k\) con \(k\ge 0\) significa che la distanza \(|f(x)|\) è \(k\), ossia \(f(x)\) è uno dei due numeri a distanza \(k\) dallo \(0\): \(+k\) oppure \(-k\).

Esempio 25.1

\(|x-2|=5\).

Soluzione. Il secondo membro è \(5>0\). Allora \(x-2=5\ \lor \ x-2=-5\), da cui \(x=7\ \lor \ x=-3\). Le soluzioni sono \(\{-3,\,7\}\).

Lettura geometrica: i due numeri a distanza \(5\) da \(2\) sono proprio \(7\) e \(-3\).

Esempio 25.2

\(|3x+1|=-2\).

Soluzione. Il secondo membro è negativo. Impossibile: nessuna soluzione.

Forma \(|f(x)| = |g(x)|\)

Teorema 25.3 — Equazione |f(x)|=|g(x)|

\(|f(x)|=|g(x)| \iff f(x)=g(x)\ \lor \ f(x)=-g(x)\).

Dimostrazione. I due valori assoluti sono uguali se e solo se le quantità sotto modulo sono uguali o opposte. Equivalentemente: \(f^2(x) = g^2(x)\), che si fattorizza come \((f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0\), da cui \(f(x)=g(x)\) oppure \(f(x)=-g(x)\).

Esempio 25.3

\(|x-1|=|2x+3|\).

Soluzione. Due possibilità:

Soluzioni: \(\{-4,\ -\tfrac {2}{3}\}\).

Forma \(|f(x)| = g(x)\) con \(g\) espressione variabile

Teorema 25.4 — Equazione |f(x)|=g(x)

\(|f(x)|=g(x)\) equivale al sistema

\[ g(x)\ge 0 \quad \land \quad \bigl (f(x)=g(x)\ \lor \ f(x)=-g(x)\bigr ). \]

In pratica: prima si impone \(g(x)\ge 0\) (perché \(|f(x)|\ge 0\)), poi si risolvono le due equazioni e si tengono solo le soluzioni accettate dalla condizione di compatibilità.

Esempio 25.4

\(|x-3|=2x\).

Soluzione.

Soluzione: \(\{1\}\).

25.4 Disequazioni con un valore assoluto

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Forma \(|f(x)| < k\) con \(k\) costante

Teorema 25.5 — Disequazione |f(x)|

Sia \(k\in \mathbb{R} \). La disequazione \(|f(x)|<k\):

Dimostrazione. \(|f(x)|<k\) significa che la distanza di \(f(x)\) da \(0\) è minore di \(k\), cioè \(f(x)\) giace nell’intervallo aperto \((-k, k)\).

Esempio 25.5

\(|x-2|<5\).

Soluzione. \(-5 < x-2 < 5 \iff -3 < x < 7\). Soluzione: \((-3, 7)\).

Lettura geometrica: \(x\) è a distanza minore di \(5\) da \(2\), cioè nell’intervallo centrato in \(2\) di raggio \(5\).

Forma \(|f(x)| > k\) con \(k\) costante

Teorema 25.6 — Disequazione |f(x)|>k

Sia \(k\in \mathbb{R} \). La disequazione \(|f(x)|>k\):

Dimostrazione. \(|f(x)|>k>0\) significa che \(f(x)\) è fuori dall’intervallo chiuso \([-k,k]\), cioè \(f(x)<-k\) oppure \(f(x)>k\).

Esempio 25.6

\(|x-2|\ge 5\).

Soluzione. \(x-2\le -5\ \lor \ x-2\ge 5\), cioè \(x\le -3\ \lor \ x\ge 7\). Soluzione: \((-\infty ,-3]\cup [7,+\infty )\).

Lettura geometrica: \(x\) è a distanza almeno \(5\) da \(2\), cioè è esterno (o sul bordo) all’intervallo \([-3,7]\).

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Figura 25.1: Lettura geometrica delle disequazioni con valore assoluto. Sopra: \(|x-2|<5\) dà la striscia aperta \((-3,7)\) di raggio \(5\) centrata in \(2\). Sotto: \(|x-2|>5\) dà le due semirette esterne, \((-\infty ,-3)\cup (7,+\infty )\). Pallino vuoto = estremo escluso.

Nota  — Sintesi visiva

Le due forme si riassumono visivamente come “striscia interna” (\(<\)) o “due semirette esterne” (\(>\)) rispetto al punto centrale e al raggio dato:

\[ |x-x_0|<r \iff x\in (x_0-r,\,x_0+r),\quad |x-x_0|>r \iff x\in (-\infty ,x_0-r)\cup (x_0+r,+\infty ). \]

Forme \(|f(x)| < g(x)\) e \(|f(x)| > g(x)\)

Teorema 25.7 — Disequazioni con secondo membro variabile

Per ogni \(f,g\):

\[ |f(x)| < g(x) \iff g(x)>0 \ \land \ -g(x) < f(x) < g(x), \]
\[ |f(x)| > g(x) \iff g(x)<0 \ \lor \ \bigl (g(x)\ge 0\ \land \ (f(x)<-g(x)\ \lor \ f(x)>g(x))\bigr ). \]

In pratica: per \(|f|<g\) si impone simultaneamente \(g>0\) e la doppia disequazione; per \(|f|>g\) si distinguono i due casi sul segno di \(g\).

25.5 Casi con più moduli

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Quando in un’equazione (o disequazione) compaiono più valori assoluti, l’approccio sistematico è il metodo per casi: si divide la retta reale in intervalli su cui ciascun valore assoluto ha un segno noto, e in ogni intervallo si scrive l’espressione senza valori assoluti.

Procedura  — Metodo per casi

1.
Per ogni valore assoluto \(|h_i(x)|\) presente, si trovano i punti di cambio segno: le soluzioni di \(h_i(x)=0\).
2.
Si suddivide \(\mathbb{R} \) negli intervalli delimitati da questi punti.
3.
In ciascun intervallo si scrive ogni \(h_i(x)\) con il proprio segno (sapendolo per costruzione): \(|h_i(x)|=h_i(x)\) se positivo, \(|h_i(x)|=-h_i(x)\) se negativo.
4.
Si risolve l’equazione (o disequazione) ottenuta in ogni intervallo, e si tengono solo le soluzioni appartenenti a quell’intervallo.
5.
Si uniscono le soluzioni dei vari casi.

Esempio 25.7 — Due moduli

Risolvere \(|x-1| + |x+2| = 5\).

Soluzione. I punti di cambio segno sono \(x=1\) (per \(|x-1|\)) e \(x=-2\) (per \(|x+2|\)). Tre intervalli: \((-\infty ,-2)\), \([-2,1)\), \([1,+\infty )\).

Caso 1: \(x<-2\). \(|x-1|=-(x-1)=1-x\); \(|x+2|=-(x+2)=-x-2\). L’equazione diventa

\[ (1-x) + (-x-2) = 5 \iff -2x -1 = 5 \iff x = -3. \]

\(-3 < -2\): accettabile.

Caso 2: \(-2 \le x < 1\). \(|x-1| = 1-x\); \(|x+2|=x+2\). L’equazione:

\[ (1-x) + (x+2) = 5 \iff 3 = 5, \]

falsa: nessuna soluzione in questo intervallo.

Caso 3: \(x\ge 1\). \(|x-1|=x-1\); \(|x+2|=x+2\). L’equazione:

\[ (x-1) + (x+2) = 5 \iff 2x + 1 = 5 \iff x = 2. \]

\(2\ge 1\): accettabile.

Soluzioni: \(\{-3,\, 2\}\). Lettura geometrica: i punti la cui somma delle distanze da \(1\) e da \(-2\) è \(5\).

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Figura 25.2: Metodo per casi con due valori assoluti. I punti \(x=-2\) (cambio segno di \(x+2\)) e \(x=1\) (cambio segno di \(x-1\)) suddividono la retta in tre intervalli; in ognuno i valori assoluti si scrivono in modo univoco e si risolve la corrispondente equazione/disequazione senza moduli.

25.6 Esempi svolti

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Esempio 25.8 — Equazione modulo costante

Risolvere \(|2x+1|=7\).

Soluzione. \(7>0\): due casi.

Soluzioni: \(\{-4,\, 3\}\).

Esempio 25.9 — Modulo = modulo

Risolvere \(|x^2 - 4| = |2x - 1|\).

Soluzione. Due casi: \(x^2-4 = 2x-1\) oppure \(x^2-4=-(2x-1)\).

Soluzioni: \(\{-1,\,3,\,-1+\sqrt {6},\,-1-\sqrt {6}\}\). (Le equazioni di secondo grado le studieremo a fondo nel capitolo 49.)

Esempio 25.10 — Modulo \(=\) espressione variabile

Risolvere \(|x-2| = x + 3\).

Soluzione.

Soluzione: \(\{-\tfrac {1}{2}\}\).

Esempio 25.11 — Disequazione modulo \(<\) costante

Risolvere \(|3x-1|<5\).

Soluzione. \(-5 < 3x-1 < 5 \iff -4 < 3x < 6 \iff -\tfrac {4}{3} < x < 2\). Soluzione: \(\left (-\tfrac {4}{3},\ 2\right )\).

Esempio 25.12 — Disequazione modulo \(\ge \) costante

Risolvere \(|2x+3|\ge 1\).

Soluzione. \(2x+3\le -1\ \lor \ 2x+3\ge 1\), cioè \(x\le -2\ \lor \ x\ge -1\). Soluzione: \((-\infty ,\,-2]\cup [-1,\,+\infty )\).

Esempio 25.13 — Due moduli: somma di distanze

Trovare tutti i punti \(x\) tali che la somma delle distanze da \(-3\) e da \(5\) sia minore di \(10\).

Soluzione. Si traduce in \(|x+3|+|x-5|<10\). Punti di cambio: \(x=-3\) e \(x=5\).

Caso \(x<-3\): \(-(x+3) -(x-5) < 10 \Rightarrow -2x+2 < 10 \Rightarrow x>-4\). Intersezione: \(-4 < x < -3\).

Caso \(-3\le x\le 5\): \((x+3) -(x-5) = 8 < 10\), sempre vera. Tutto l’intervallo.

Caso \(x>5\): \((x+3) + (x-5) < 10 \Rightarrow 2x-2 < 10 \Rightarrow x<6\). Intersezione: \(5<x<6\).

Unione: \((-4,\, 6)\). Lettura geometrica: i punti la cui somma delle distanze dai due “fuochi” \(-3\) e \(5\) è \(<10\) formano un intervallo simmetrico rispetto al loro punto medio \(1\).

25.7 Esercizi proposti

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Esercizio 25.1

1.
Risolvi le equazioni con modulo costante: (a) \(|x-3|=7\); (b) \(|2x+1|=5\); (c) \(|3x-4|=0\); (d) \(|x+2|=-1\).
2.
Risolvi: (a) \(|2x-1|=|x+3|\); (b) \(|x^2-1|=|x-1|\); (c) \(|3x|=|x+4|\).
3.
Risolvi (con condizione di compatibilità): (a) \(|x-1| = 2x\); (b) \(|2x+3| = x+1\); (c) \(|x^2-4| = x\).
4.
Risolvi le disequazioni \(|f|<k\): (a) \(|x|<4\); (b) \(|x-2|<3\); (c) \(|2x+1|\le 5\); (d) \(|3-x|<7\).
5.
Risolvi le disequazioni \(|f|>k\): (a) \(|x|>2\); (b) \(|x+1|\ge 4\); (c) \(|2x-3|>5\); (d) \(|x-5|\ge 0\).
6.
Risolvi con il metodo per casi: (a) \(|x-1|+|x+3|=6\); (b) \(|x|-|x-2|=1\); (c) \(|x+1|+|x-2|<5\); (d) \(|x|+|x-1|>3\).
7.
Risolvi (modulo \(<\) espressione variabile): (a) \(|x-2|<x\); (b) \(|2x+1|<x+4\).
8.
Esprimi geometricamente: (a) tutti i punti \(x\) a distanza minore di \(4\) da \(-3\); (b) tutti i punti a distanza maggiore o uguale di \(2\) da \(7\); (c) tutti i punti \(x\) tali che \(|x-1|+|x+2|=3\) (suggerimento: è l’intero segmento \([-2,1]\), riconoscibile geometricamente).
9.
(Discussione.) Un compagno scrive: “\(|x-3|<5 \Rightarrow x-3<5\)”. Spiega perché è solo metà della soluzione completa, e indica cosa manca.

25.8 Riepilogo del capitolo

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