“
Dio ha creato i numeri naturali; tutto il resto è opera dell’uomo.”
— Leopold Kronecker, citato in F. Cajori (1919)
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Contare oggetti, misurare lunghezze, indicare un debito, ripartire una pizza in parti uguali: a ognuna di queste azioni corrisponde un tipo di numero diverso. La storia della matematica è in larga parte la storia dell’ampliamento progressivo del concetto di numero: dai naturali agli interi relativi, dai relativi ai razionali, dai razionali ai reali (e oltre, ai complessi).
Ogni ampliamento risponde a un’esigenza precisa: c’è un’operazione che vorremmo poter fare, ma che non rimane all’interno dell’insieme di partenza. Sottrarre \(7\) da \(5\), dividere \(1\) per \(3\), estrarre \(\sqrt {2}\): ciascuno di questi passi forza l’introduzione di un nuovo insieme numerico, contenente quello vecchio ma più ricco di possibilità.
In questo capitolo facciamo conoscenza con i tre insiemi numerici del biennio: i naturali \(\mathbb{N} \), gli interi relativi \(\mathbb{Z} \), i razionali \(\mathbb{Q} \). Studieremo le proprietà di ciascuno, le motivazioni dietro a ogni estensione, e impareremo a rappresentarli sulla retta numerica — la prima e più potente immagine geometrica dei numeri. L’estensione a \(\mathbb{R} \) (i reali), legata ai numeri irrazionali, sarà ripresa nel capitolo 15.
Definizione 7.1 — Insieme dei numeri naturali
L’insieme dei numeri naturali è
Si indica con \(\mathbb{N} ^*\) l’insieme dei naturali non nulli: \(\mathbb{N} ^*=\mathbb{N} \setminus \{0\}=\{1,2,3,\ldots \}\).
Nota — Lo zero in \(\mathbb{N} \)
La convenzione adottata in questo libro — e ormai prevalente nella matematica italiana — è di includere \(0\) tra i naturali. Esistono testi che lo escludono e definiscono \(\mathbb{N} =\{1,2,3,\ldots \}\): la distinzione è solo nominale, ma è importante sapere su quale convenzione ci si sta muovendo.
In \(\mathbb{N} \) sono definite due operazioni che danno sempre come risultato un naturale: la somma (\(+\)) e il prodotto (\(\cdot \)). Si dice perciò che \(\mathbb{N} \) è chiuso rispetto a queste operazioni.
Teorema 7.1 — Proprietà di somma e prodotto in \(\mathbb{N} \)
Per ogni \(a,b,c\in \mathbb{N} \) valgono:
Nota — Ordinamento e principio del buon ordinamento
\(\mathbb{N} \) è totalmente ordinato: dati due naturali \(a,b\), si ha sempre una e una sola tra \(a<b\), \(a=b\), \(a>b\). In più ha una proprietà fondamentale, il principio del buon ordinamento: ogni sottoinsieme non vuoto di \(\mathbb{N} \) ha un minimo. Questa proprietà sta alla base del principio di induzione (capitolo 163).
Attenzione! — Sottrazione non sempre possibile in \(\mathbb{N} \)
La sottrazione \(a-b\) ha senso in \(\mathbb{N} \) solo se \(a\ge b\): \(5-3=2\in \mathbb{N} \), ma \(3-5\) non è un naturale. Allo stesso modo, la divisione \(a:b\) ha senso in \(\mathbb{N} \) solo se \(b\mid a\) (cioè \(b\) divide \(a\) esattamente): \(6:3=2\in \mathbb{N} \), ma \(5:3\) non è un naturale. Queste limitazioni motivano i prossimi ampliamenti.
Per poter sottrarre senza restrizioni, dobbiamo introdurre i numeri negativi.
Definizione 7.2 — Insieme dei numeri interi
L’insieme dei numeri interi (o interi relativi) è
Si ottiene ampliando \(\mathbb{N} \) con gli opposti dei naturali non nulli. Per ogni \(n\in \mathbb{N} \) esiste un unico \(-n\in \mathbb{Z} \) tale che \(n+(-n)=0\).
In \(\mathbb{Z} \) sono ora chiuse tre operazioni: somma, prodotto e sottrazione, che si può sempre interpretare come somma con l’opposto: \(a-b = a+(-b)\).
Nota — Valore assoluto
A ogni intero \(a\in \mathbb{Z} \) associamo il suo valore assoluto \(|a|\):
\(|a|\) misura la “distanza” di \(a\) dallo zero, senza tener conto del segno. Esempio: \(|7|=7\), \(|-3|=3\), \(|0|=0\).
Esempio 7.1 — Aritmetica con i segni
Attenzione! — Regole dei segni
Per il prodotto in \(\mathbb{Z} \):
Lo zero ha un comportamento speciale: \(a\cdot 0=0\) per ogni \(a\), e \(a\cdot b=0\) implica \(a=0\) oppure \(b=0\) (legge di annullamento del prodotto). Riprenderemo queste regole nel capitolo 8.
Attenzione! — Divisione ancora non chiusa
\(\mathbb{Z} \) è chiuso per somma, prodotto, sottrazione, ma non per divisione: \(5:2\) non è un intero. È questo il motivo del prossimo ampliamento.
Per chiudere anche la divisione (per un divisore non nullo), introduciamo i numeri razionali.
Definizione 7.3 — Insieme dei numeri razionali
L’insieme dei numeri razionali è
Un numero razionale è dunque il rapporto fra un intero (numeratore) e un intero non nullo (denominatore).
Definizione 7.4 — Frazioni equivalenti
Due frazioni \(\tfrac {a}{b}\) e \(\tfrac {c}{d}\) rappresentano lo stesso numero razionale se e solo se \(a\cdot d = b\cdot c\). Si scrive \(\tfrac {a}{b}=\tfrac {c}{d}\) e le frazioni si dicono equivalenti.
Esempio 7.2
\(\tfrac {1}{2}=\tfrac {2}{4}=\tfrac {3}{6}=\tfrac {-5}{-10}\) rappresentano tutte lo stesso razionale. La forma ridotta ai minimi termini è quella in cui numeratore e denominatore non hanno fattori comuni e il denominatore è positivo: per il razionale qui sopra è \(\tfrac {1}{2}\). Riprenderemo le operazioni con le frazioni nel capitolo 12.
Nota — Razionali come decimali
Ogni razionale si può scrivere come numero decimale eseguendo la divisione \(a:b\). Il risultato è sempre uno di due tipi:
Viceversa, ogni decimale finito o periodico è un razionale. Approfondiremo la conversione nel capitolo 13.
In \(\mathbb{Q} \) sono chiuse quattro operazioni: somma, prodotto, sottrazione e divisione (per un razionale non nullo). Si dice che \((\mathbb{Q} ,+,\cdot )\) è un campo.
Teorema 7.2 — Densità di \(\mathbb{Q} \)
Tra due numeri razionali distinti esiste sempre un altro razionale. In simboli: per ogni \(p,q\in \mathbb{Q} \) con \(p<q\), esiste \(r\in \mathbb{Q} \) tale che \(p<r<q\).
Dimostrazione. Basta prendere la media aritmetica \(r=\tfrac {p+q}{2}\). Poiché \(p\) e \(q\) sono razionali, anche \(r\) lo è. Inoltre, da \(p<q\) si ha \(2p<p+q<2q\), dunque \(p<r<q\).
Nota — Conseguenza della densità
Iterando la costruzione, tra \(p\) e \(r\) c’è un altro razionale, e tra quello e \(r\) ce n’è un altro ancora…Tra due razionali distinti, per quanto vicini, ci sono infiniti razionali. È una proprietà geometricamente sorprendente: a differenza di \(\mathbb{N} \) e \(\mathbb{Z} \), \(\mathbb{Q} \) non ha “punti consecutivi”. Ma — e lo vedremo nel capitolo 15 — questo non significa che \(\mathbb{Q} \) riempia tutta la retta: ci sono “buchi” che corrispondono ai numeri irrazionali.
I tre insiemi si raggruppano in una catena di inclusioni:
Ogni inclusione è stretta: in \(\mathbb{Z} \) ci sono interi (i negativi) che non sono naturali; in \(\mathbb{Q} \) ci sono razionali (le frazioni non intere) che non sono interi.
Nota — Identificazione di un naturale con un intero, di un intero con un razionale
L’inclusione \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \) è da intendersi nel senso che ogni naturale \(n\) è identificato con l’intero \(+n\). Analogamente, ogni intero \(a\in \mathbb{Z} \) è identificato con il razionale \(\tfrac {a}{1}\in \mathbb{Q} \). Operazioni e ordinamento del sistema più piccolo coincidono con quelli del sistema più grande quando applicate ai suoi elementi.
I numeri possono essere rappresentati su una retta orientata, detta retta numerica.
Procedura — Costruzione della retta numerica
Nota — Ordine e retta
L’ordinamento di un qualsiasi insieme numerico (\(\mathbb{N} \), \(\mathbb{Z} \) o \(\mathbb{Q} \)) si rispecchia sulla retta: \(a<b\) se e solo se il punto associato ad \(a\) sta a sinistra del punto associato a \(b\).
Esempio 7.3 — Classificare un numero
Stabilire a quali tra \(\mathbb{N} \), \(\mathbb{Z} \), \(\mathbb{Q} \) appartiene ciascuno dei numeri seguenti.
Soluzione.
Ogni numero appartiene almeno a \(\mathbb{Q} \). Solo gli interi sono in \(\mathbb{Z} \), e solo quelli non negativi sono in \(\mathbb{N} \).
Esempio 7.4 — Tra due razionali ce n’è uno (e infiniti)
Trovare un razionale strettamente compreso tra \(\tfrac {2}{5}\) e \(\tfrac {3}{5}\).
Soluzione. Calcoliamo la media aritmetica:
Verifichiamo: \(\tfrac {2}{5}=0{,}4\), \(\tfrac {1}{2}=0{,}5\), \(\tfrac {3}{5}=0{,}6\). Effettivamente \(\tfrac {2}{5}<\tfrac {1}{2}<\tfrac {3}{5}\). Iterando, tra \(\tfrac {2}{5}\) e \(\tfrac {1}{2}\) ce n’è un altro, e così via all’infinito.
Esempio 7.5 — Frazioni equivalenti
Stabilire se \(\tfrac {6}{15}=\tfrac {10}{25}\).
Soluzione. Per la definizione di equivalenza, basta verificare \(6\cdot 25 = 15\cdot 10\). A sinistra: \(6\cdot 25 = 150\). A destra: \(15\cdot 10 = 150\). Le due frazioni sono equivalenti. La forma ridotta è \(\tfrac {2}{5}\) in entrambi i casi: si è infatti diviso numeratore e denominatore per \(3\) nella prima, per \(5\) nella seconda.
Esempio 7.6 — Operazione che esce dall’insieme
Indicare per ciascuna operazione se il risultato resta nell’insieme di partenza.
Soluzione.
Si vede in pratica la “catena di chiusure”: ogni ampliamento chiude un’operazione che era ancora aperta nel precedente.
Esercizio 7.1
Riepilogo
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Presentazioni— slide NotebookLM (clic per aprire il PDF)
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