12 Frazioni equivalenti e operazioni con le frazioni

“

Sapere fare le frazioni significa avere in mano gran parte dell’aritmetica: la stessa quantità si può scrivere in infiniti modi, e operare con esse è il primo passo verso l’algebra.”

— adattamento didattico

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12.1 Introduzione motivazionale

Una frazione è una scrittura della forma \(\tfrac {a}{b}\) con \(a, b\in \mathbb{Z} \) e \(b\neq 0\). Esprime la divisione di una parte \(a\) rispetto a un tutto suddiviso in \(b\) parti uguali. È, in un certo senso, la naturale estensione dei numeri interi: quando una grandezza non sta in modo “intero” in un’altra (per esempio dividere \(1\) in \(3\) parti, oppure \(7\) in \(4\)), nasce il bisogno di frazioni.

Le abbiamo già incontrate nel capitolo 7 come oggetti che generano l’insieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q} \). In questo capitolo studiamo a fondo le operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza. Vedremo che la regola di base — il minimo comune denominatore per somma e sottrazione, il prodotto incrociato per la divisione — è semplice ma richiede attenzione e fluidità. La fluidità con le frazioni numeriche è quella che, capitoli più avanti, permetterà di lavorare con disinvoltura con le frazioni algebriche (capitolo 20).

In questo capitolo richiamiamo la definizione di frazione, l’equivalenza, la riduzione ai minimi termini, le quattro operazioni con le frazioni, le potenze, e affrontiamo espressioni numeriche complesse.

12.2 Definizione di frazione e significato

Definizione 12.1 — Frazione

Una frazione è una scrittura della forma

\[ \dfrac {a}{b},\qquad a\in \mathbb{Z} ,\ b\in \mathbb{Z} ,\ b\neq 0, \]

dove \(a\) si chiama numeratore, \(b\) denominatore. La barra di frazione indica una divisione: \(\tfrac {a}{b} = a:b\).

Nota — Interpretazioni

La frazione \(\tfrac {a}{b}\) ha più letture, tutte utili:

Operativa: \(a\) diviso \(b\) (un quoziente).
Parte-tutto: si è diviso il tutto in \(b\) parti uguali, e se ne sono prese \(a\).
Rapporto: indica il rapporto fra due grandezze.

Esempio: \(\tfrac {3}{4}\) è \(3\) diviso \(4\) (= \(0{,}75\)), oppure “\(3\) pezzi su \(4\)” di una pizza divisa in quarti.

Nota — Frazioni proprie, improprie, apparenti

Propria: \(|a|<|b|\), valore in modulo \(<1\). Esempio: \(\tfrac {2}{5}\).
Impropria: \(|a|>|b|\), valore in modulo \(>1\). Esempio: \(\tfrac {7}{3}\).
Apparente: \(b\mid a\), valore intero. Esempio: \(\tfrac {12}{4}=3\).

12.3 Frazioni equivalenti e proprietà invariantiva

Definizione 12.2 — Frazioni equivalenti

Due frazioni \(\dfrac {a}{b}\) e \(\dfrac {c}{d}\) si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero razionale. Equivalentemente:

\[ \dfrac {a}{b} = \dfrac {c}{d} \iff a\cdot d = b\cdot c. \]

Esempio 12.1

\(\tfrac {2}{3}, \tfrac {4}{6}, \tfrac {6}{9}, \tfrac {10}{15}\) sono tutte equivalenti: rappresentano lo stesso razionale, \(\tfrac {2}{3}\approx 0{,}667\). Si verifica con i “prodotti incrociati”: \(2\cdot 6 = 4\cdot 3\), \(2\cdot 9 = 6\cdot 3\), eccetera.

Teorema 12.1 — Proprietà invariantiva

Moltiplicando (o dividendo) numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero non nullo, la frazione resta equivalente:

\[ \dfrac {a}{b} = \dfrac {a\cdot k}{b\cdot k}, \qquad k\neq 0. \]

Dimostrazione. \(\dfrac {a\cdot k}{b\cdot k} = \dfrac {a}{b}\cdot \dfrac {k}{k} = \dfrac {a}{b}\cdot 1 = \dfrac {a}{b}\).

\[ \dfrac {a}{b} = \dfrac {a k}{b k} = \dfrac {a/d}{b/d} \qquad (k\neq 0,\ d\mid a\land d\mid b). \]

12.4 Riduzione ai minimi termini

Definizione 12.3 — Frazione ridotta ai minimi termini

Una frazione \(\dfrac {a}{b}\) è ridotta ai minimi termini se \(\operatorname{MCD} (|a|, |b|) = 1\) (numeratore e denominatore sono coprimi) e il denominatore è positivo.

Procedura — Ridurre ai minimi termini

Per ridurre \(\dfrac {a}{b}\) ai minimi termini:

1.: Si calcola \(d = \operatorname{MCD} (|a|, |b|)\) (capitolo 10).
2.: Si divide numeratore e denominatore per \(d\): \(\tfrac {a}{b} \to \tfrac {a/d}{b/d}\).
3.: Se il denominatore risulta negativo, si moltiplicano entrambi per \(-1\).

Esempio 12.2

\(\dfrac {18}{24}\): \(\operatorname{MCD} (18, 24) = 6\). \(\dfrac {18}{24} = \dfrac {18:6}{24:6} = \dfrac {3}{4}\).

\(\dfrac {-15}{-25}\): \(\operatorname{MCD} = 5\), e si toglie il segno meno comune. \(\dfrac {-15}{-25} = \dfrac {15}{25} = \dfrac {3}{5}\).

\(\dfrac {84}{144}\): \(\operatorname{MCD} (84, 144) = 12\). \(\dfrac {84}{144} = \dfrac {7}{12}\).

12.5 Confronto tra frazioni

Procedura — Confrontare due frazioni positive

Per stabilire se \(\dfrac {a}{b}\) è maggiore, minore o uguale a \(\dfrac {c}{d}\) (con \(b, d > 0\)):

Stesso denominatore: se \(b = d\), confronta direttamente \(a\) con \(c\).
Diverso denominatore: porta entrambe al minimo comune denominatore (mcm di \(b\) e \(d\)), poi confronta i numeratori.
Prodotto incrociato: \(\dfrac {a}{b} < \dfrac {c}{d}\iff a\cdot d < b\cdot c\) (per \(b, d > 0\)).

Esempio 12.3

Confrontare \(\tfrac {3}{5}\) e \(\tfrac {7}{12}\).

Soluzione. Prodotto incrociato: \(3\cdot 12 = 36\), \(5\cdot 7 = 35\). Poiché \(36 > 35\), \(\tfrac {3}{5} > \tfrac {7}{12}\).

Equivalentemente, mcm\((5,12)=60\): \(\tfrac {3}{5}=\tfrac {36}{60}\), \(\tfrac {7}{12}=\tfrac {35}{60}\).

12.6 Addizione e sottrazione

Teorema 12.2 — Somma e differenza con stesso denominatore

Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, la loro somma (o differenza) ha lo stesso denominatore e numeratore pari alla somma (o differenza) dei numeratori:

\[ \dfrac {a}{c} \pm \dfrac {b}{c} = \dfrac {a\pm b}{c}. \]

Teorema 12.3 — Somma e differenza con denominatori diversi

Se le frazioni hanno denominatori diversi, si riducono prima allo stesso denominatore (il minimo comune denominatore, mcd se conviene), poi si applica la regola precedente.

\[ \dfrac {a}{b} \pm \dfrac {c}{d} = \dfrac {a d \pm b c}{b d}. \]

Procedura — Somma di frazioni passo per passo

1.: Si calcola \(m = \operatorname{mcm} (b, d)\) (minimo comune denominatore).
2.: Si trasforma ogni frazione in una con denominatore \(m\): \(\tfrac {a}{b}\to \tfrac {a\cdot (m/b)}{m}\), \(\tfrac {c}{d}\to \tfrac {c\cdot (m/d)}{m}\).
3.: Si sommano i numeratori (mantenendo il denominatore \(m\)).
4.: Si riduce il risultato ai minimi termini.

Esempio 12.4

Calcolare \(\dfrac {2}{3}+\dfrac {1}{6}\).

Soluzione. mcm\((3,6) = 6\). \(\dfrac {2}{3} = \dfrac {4}{6}\). Allora \(\dfrac {4}{6}+\dfrac {1}{6} = \dfrac {5}{6}\).

Esempio 12.5

Calcolare \(\dfrac {3}{4}-\dfrac {5}{6}\).

Soluzione. mcm\((4,6)=12\). \(\dfrac {3}{4}=\dfrac {9}{12}\), \(\dfrac {5}{6}=\dfrac {10}{12}\). Allora \(\dfrac {9}{12}-\dfrac {10}{12}=-\dfrac {1}{12}\).

12.7 Moltiplicazione

Teorema 12.4 — Prodotto di frazioni

Il prodotto di due frazioni si ottiene moltiplicando numeratori e denominatori:

\[ \dfrac {a}{b}\cdot \dfrac {c}{d} = \dfrac {a\cdot c}{b\cdot d}. \]

Nota — Semplificazione prima del prodotto

Spesso conviene semplificare in croce prima di moltiplicare: se in numeratore e denominatore di frazioni diverse compaiono fattori comuni, si semplificano.

Esempio 12.6

\(\dfrac {3}{8}\cdot \dfrac {4}{9}\): numeratore \(3\) e denominatore \(9\) hanno fattore \(3\) in comune (\(3=3, 9=3^2\)); numeratore \(4\) e denominatore \(8\) hanno fattore \(4\). Semplificando: \(\dfrac {\cancel {3}}{\cancel {8}_2}\cdot \dfrac {\cancel {4}^1}{\cancel {9}_3} = \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{3} = \dfrac {1}{6}\).

\[ \dfrac {a}{b}\cdot \dfrac {c}{d} = \dfrac {a c}{b d}. \]

12.8 Divisione e frazione reciproca

Definizione 12.4 — Frazione reciproca

La frazione reciproca (o inverso moltiplicativo) di \(\dfrac {a}{b}\) è \(\dfrac {b}{a}\) (per \(a\neq 0\)): il loro prodotto è \(1\).

Teorema 12.5 — Quoziente di frazioni

La divisione tra due frazioni si trasforma in un prodotto per la reciproca della seconda:

\[ \dfrac {a}{b} : \dfrac {c}{d} = \dfrac {a}{b}\cdot \dfrac {d}{c} = \dfrac {a\cdot d}{b\cdot c} \qquad (c\neq 0). \]

\[ \dfrac {a}{b} : \dfrac {c}{d} = \dfrac {a d}{b c}. \]

Esempio 12.7

\(\dfrac {3}{5}:\dfrac {2}{7} = \dfrac {3}{5}\cdot \dfrac {7}{2} = \dfrac {21}{10}\).

12.9 Potenze di frazioni

Teorema 12.6 — Potenza di una frazione

Per ogni \(n\in \mathbb{N} \):

\[ \left (\dfrac {a}{b}\right )^n = \dfrac {a^n}{b^n}. \]

Per \(n\) negativo (e \(a\neq 0\)): \(\left (\dfrac {a}{b}\right )^{-n} = \left (\dfrac {b}{a}\right )^n\).

Esempio 12.8

\(\left (\dfrac {2}{3}\right )^3 = \dfrac {8}{27}\); \(\left (\dfrac {5}{4}\right )^{-2} = \left (\dfrac {4}{5}\right )^2 = \dfrac {16}{25}\).

12.10 Espressioni con frazioni

Quando in un’espressione numerica compaiono frazioni e operazioni di vario tipo, si applicano le precedenze viste nel capitolo 8: parentesi → potenze → moltiplicazioni e divisioni → addizioni e sottrazioni. All’interno di ogni livello, si lavora da sinistra a destra.

Esempio 12.9

Calcolare \(\dfrac {2}{3} + \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3}{4}\).

Soluzione. Prima il prodotto: \(\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3}{4} = \dfrac {3}{8}\). Poi somma: \(\dfrac {2}{3}+\dfrac {3}{8}\). mcm\((3,8)=24\): \(\dfrac {16}{24}+\dfrac {9}{24}=\dfrac {25}{24}\).

12.11 Esempi svolti

Esempio 12.10 — Espressione complessa con tutte le operazioni

Calcolare \(\left (\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{3}\right ):\dfrac {1}{6}\cdot \left (\dfrac {3}{4}\right )^2\).

Soluzione. Prima le parentesi tonde:

\[ \dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{3} = \dfrac {3-2}{6} = \dfrac {1}{6}. \]

Poi la potenza: \(\left (\dfrac {3}{4}\right )^2 = \dfrac {9}{16}\). Adesso da sinistra a destra:

\[ \dfrac {1}{6}:\dfrac {1}{6}\cdot \dfrac {9}{16} = 1\cdot \dfrac {9}{16} = \dfrac {9}{16}. \]

Esempio 12.11 — Riduzione e confronto

Confrontare \(\dfrac {14}{35}\) e \(\dfrac {24}{60}\).

Soluzione. Riduciamo: \(\dfrac {14}{35} = \dfrac {2}{5}\); \(\dfrac {24}{60} = \dfrac {2}{5}\). Sono uguali.

Esempio 12.12 — Trovare il termine mancante

Trovare \(x\) tale che \(\dfrac {3}{x} = \dfrac {12}{20}\).

Soluzione. Riducendo \(\tfrac {12}{20}=\tfrac {3}{5}\). Quindi \(\dfrac {3}{x}=\dfrac {3}{5}\Rightarrow x=5\).

Alternativamente, prodotto incrociato: \(3\cdot 20 = 12\cdot x \Rightarrow x = \dfrac {60}{12} = 5\).

Esempio 12.13 — Operazione fra tre frazioni

Calcolare \(\dfrac {2}{5}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {7}{15}\).

Soluzione. mcm\((5,3,15)=15\). \(\dfrac {2}{5}=\dfrac {6}{15}\), \(\dfrac {1}{3}=\dfrac {5}{15}\), \(\dfrac {7}{15}\) resta. \(\dfrac {6+5-7}{15}=\dfrac {4}{15}\).

Esempio 12.14 — Frazione di una frazione

Quanto vale \(\dfrac {2}{3}\) di \(\dfrac {9}{10}\)?

Soluzione. “Di” significa moltiplicazione: \(\dfrac {2}{3}\cdot \dfrac {9}{10} = \dfrac {18}{30} = \dfrac {3}{5}\).

12.12 Esercizi proposti

Esercizio 12.1

1.: Riduci ai minimi termini: (a) \(\tfrac {12}{18}\); (b) \(\tfrac {45}{60}\); (c) \(\tfrac {-24}{36}\); (d) \(\tfrac {84}{144}\); (e) \(\tfrac {0}{7}\).
2.: Stabilisci se le coppie sono di frazioni equivalenti: (a) \(\tfrac {3}{4}\) e \(\tfrac {15}{20}\); (b) \(\tfrac {2}{5}\) e \(\tfrac {6}{14}\); (c) \(\tfrac {-7}{8}\) e \(\tfrac {7}{-8}\).
3.: Confronta (indicando \(<\), \(>\) o \(=\)): (a) \(\tfrac {2}{3}\) e \(\tfrac {5}{7}\); (b) \(\tfrac {4}{9}\) e \(\tfrac {7}{15}\); (c) \(\tfrac {5}{6}\) e \(\tfrac {10}{12}\).
4.: Calcola: (a) \(\tfrac {2}{3}+\tfrac {1}{4}\); (b) \(\tfrac {5}{6}-\tfrac {1}{2}\); (c) \(\tfrac {3}{4}+\tfrac {1}{6}-\tfrac {1}{12}\); (d) \(1-\tfrac {2}{5}+\tfrac {3}{10}\).
5.: Calcola i prodotti, semplificando in croce: (a) \(\tfrac {4}{9}\cdot \tfrac {3}{8}\); (b) \(\tfrac {15}{16}\cdot \tfrac {8}{25}\); (c) \(\tfrac {7}{12}\cdot \tfrac {8}{14}\cdot \tfrac {9}{4}\).
6.: Calcola i quozienti: (a) \(\tfrac {3}{5}:\tfrac {2}{7}\); (b) \(\tfrac {4}{9}:\tfrac {2}{3}\); (c) \(\tfrac {7}{8}:\tfrac {14}{16}\); (d) \(\tfrac {1}{2}:5\).
7.: Calcola le potenze: (a) \(\left (\tfrac {2}{3}\right )^4\); (b) \(\left (\tfrac {1}{5}\right )^{-2}\); (c) \(\left (\tfrac {3}{4}\right )^0\).
8.: Calcola le espressioni: (a) \(\left (\tfrac {1}{2}+\tfrac {1}{3}\right )\cdot \tfrac {6}{5}\); (b) \(\tfrac {2}{3}+\tfrac {1}{4}\cdot \tfrac {2}{3}-\tfrac {1}{6}\); (c) \(\left [\left (\tfrac {1}{2}\right )^2-\tfrac {1}{4}\right ]:\tfrac {3}{8}\).
9.: (Discussione.) Un sacco di farina pesa \(15\,{\mathrm{kg} }\). Se vendo \(\tfrac {2}{5}\) del sacco e poi \(\tfrac {1}{3}\) del resto, quanta farina mi resta? (Suggerimento: il “resto” del primo passaggio è \(\tfrac {3}{5}\) del sacco, e tolgo \(\tfrac {1}{3}\) di quello.)

12.13 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Una frazione \(\tfrac {a}{b}\) (con \(b\neq 0\)) si legge come quoziente, parte-tutto o rapporto. Distinta in propria, impropria, apparente.
Equivalenza: \(\tfrac {a}{b} = \tfrac {c}{d} \iff ad = bc\). Proprietà invariantiva: \(\tfrac {a}{b} = \tfrac {ak}{bk}\) per \(k\neq 0\).
Ridotta ai minimi termini: \(\operatorname{MCD} (|a|, |b|)=1\) e denominatore positivo. Si ottiene dividendo per \(\operatorname{MCD} (|a|,|b|)\).
Confronto: prodotto incrociato \(ad\) vs \(bc\) (con \(b, d > 0\)), oppure stesso denominatore comune.
Addizione/Sottrazione: stesso denominatore, somma/differenza dei numeratori. Diverso denominatore: ridurre al mcm.
\[ \dfrac {a}{b}\pm \dfrac {c}{d} = \dfrac {ad \pm bc}{bd}. \]
Moltiplicazione: numeratore \(\cdot \) numeratore, denominatore \(\cdot \) denominatore. Conviene semplificare in croce prima.
Divisione: prodotto per la reciproca. \(\tfrac {a}{b}:\tfrac {c}{d} = \tfrac {a}{b}\cdot \tfrac {d}{c}\).
Potenze: \(\left (\tfrac {a}{b}\right )^n = \tfrac {a^n}{b^n}\). Per esponente negativo si inverte la frazione.
Espressioni: rispettare le precedenze. Parentesi \(\to \) potenze \(\to \) moltiplic./divisioni \(\to \) addiz./sottraz.

Capitolo 12 Frazioni equivalenti e operazioni con le frazioni