“La civiltà avanza estendendo il numero delle operazioni importanti che possiamo eseguire senza
pensarci.”
— Alfred North Whitehead, An Introduction to Mathematics
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Quando, in seconda media, abbiamo imparato a sommare \(\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{3}\), abbiamo fatto un piccolo balzo: dalla coppia di numeri «\(1/2\)» e «\(1/3\)» — che pur sapevamo collocare sulla retta — siamo passati a un’operazione che richiedeva un nuovo strumento, il minimo comune multiplo dei denominatori. La somma non era più un’operazione che si potesse «vedere» a occhio: bisognava prima trasformare le due frazioni in due frazioni equivalenti con lo stesso denominatore.
Le frazioni algebriche sono la stessa idea, portata un livello più in alto: numeratore e denominatore non sono più numeri, ma polinomi. Le operazioni — semplificazione, somma, prodotto, divisione — funzionano in modo del tutto analogo, e poggiano sugli stessi due principi (la proprietà invariantiva, l’mcm dei denominatori). Ma c’è una novità importante: poiché i denominatori contengono ora un’incognita \(x\), la frazione perde di significato per quei valori di \(x\) che annullano il denominatore. Bisogna dichiararli a parte, e tenerli sotto controllo a ogni passaggio.
Questo è il primo capitolo in cui incontriamo, in modo esplicito, l’idea di condizione di esistenza. È un’idea su cui torneremo più volte — nelle equazioni fratte, nei radicali, nei logaritmi, nello studio di funzione — e che merita di essere costruita con cura fin da ora.
I prerequisiti tecnici sono due: le operazioni con i polinomi (capitolo 17) e le tecniche di scomposizione (capitolo 19). Senza scomporre, semplificare una frazione algebrica è impossibile: tutto quello che vedremo in questo capitolo passa, prima o poi, per una scomposizione fatta bene.
Definizione 20.1 — Frazione algebrica
Si dice frazione algebrica il quoziente formale di due polinomi
dove \(P(x)\) e \(Q(x)\) sono polinomi nell’incognita \(x\) e \(Q(x)\) non è il polinomio nullo. Il polinomio \(P(x)\) si chiama numeratore, \(Q(x)\) denominatore.
Sono frazioni algebriche, ad esempio,
Notiamo che anche \(\dfrac {x^{3}-1}{2}\) è una frazione algebrica: il denominatore è il polinomio costante \(Q(x) = 2\), che non è il polinomio nullo. In questo caso, però, la frazione si riduce a un polinomio diviso per un numero — situazione del tutto innocua.
Più interessanti sono le frazioni in cui il denominatore contiene effettivamente l’incognita: lì sorge la questione delle condizioni di esistenza.
In aritmetica, la divisione per zero non è definita: «\(5 : 0\)» non è un numero. Lo stesso vale per le frazioni algebriche: se per un certo valore \(x_{0}\) il denominatore \(Q(x_{0})\) si annulla, la frazione \(P(x_{0})/Q(x_{0})\) non ha alcun significato — non è un numero. Quel valore \(x_{0}\) va escluso a priori.
Definizione 20.2 — Condizioni di esistenza
Le condizioni di esistenza (in breve, C.E.) di una frazione algebrica \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) sono le condizioni
cioè le richieste sui valori di \(x\) che il denominatore deve soddisfare affinché la frazione abbia senso.
Esempio 20.1 — Determinare le C.E.
Determinare le C.E. delle seguenti frazioni algebriche.
(a) \(\dfrac {x+1}{x-3}\). Il denominatore si annulla per \(x = 3\). C.E.: \(x \neq 3\).
(b) \(\dfrac {2x}{x^{2}-4}\). Scomponendo \(x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)\), il denominatore si annulla per \(x = 2\) o \(x = -2\). C.E.: \(x \neq 2\) e \(x \neq -2\), ovvero \(x \neq \pm 2\).
(c) \(\dfrac {x-1}{x^{2}+1}\). Il denominatore \(x^{2} + 1\) non si annulla mai in \(\mathbb{R} \) (è sempre \(\geq 1\)). C.E.: nessuna restrizione, \(x \in \mathbb{R} \).
(d) \(\dfrac {1}{x^{3} - x}\). Scomponendo \(x^{3} - x = x(x-1)(x+1)\), il denominatore si annulla per \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -1\). C.E.: \(x \neq 0\), \(x \neq \pm 1\).
Nota — La scomposizione viene prima
Per determinare le C.E. è quasi sempre necessario scomporre il denominatore in fattori: è solo dopo la scomposizione che si vedono chiaramente tutti i valori che lo annullano. Non è un caso che il capitolo precedente fosse dedicato alla scomposizione: senza quella, qui non si va da nessuna parte.
L’insieme dei valori di \(x\) ammessi da una frazione algebrica si chiama dominio.
Definizione 20.3 — Dominio
Il dominio (o insieme di definizione) della frazione algebrica \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) è
In altre parole, il dominio è \(\mathbb{R} \) privato degli zeri del denominatore. Per la frazione \(\dfrac {2x}{x^{2}-4}\) dell’esempio precedente, il dominio è
e si rappresenta sulla retta reale come nella figura 20.1: tutti i punti, ad eccezione di due «buchi» nei valori esclusi.
Attenzione! — La frazione non è solo una scrittura: è una funzione
Una frazione algebrica non è un numero singolo, né una pura manipolazione simbolica: è una funzione \(f \colon D \to \mathbb{R} \) definita su un opportuno dominio \(D \subseteq \mathbb{R} \). Questo cambio di prospettiva — dalla frazione come «scrittura» alla frazione come «funzione» — sarà uno dei fili rossi del nostro studio dell’analisi.
Per ora basti questa conseguenza pratica: ogni volta che scriviamo una frazione algebrica, dobbiamo accompagnarla con la dichiarazione delle sue C.E. La forma corretta della scrittura non è soltanto \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\), ma
Per le frazioni numeriche, sappiamo che moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero non nullo si ottiene una frazione equivalente: \(\dfrac {2}{3} = \dfrac {4}{6} = \dfrac {6}{9}\). La stessa proprietà vale per le frazioni algebriche, con una sola attenzione in più: il fattore per cui moltiplichiamo o dividiamo non deve mai annullarsi.
Legge 20.1 — Proprietà invariantiva delle frazioni algebriche
Sia \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) una frazione algebrica con \(Q(x) \neq 0\), e sia \(F(x)\) un polinomio non identicamente nullo. Allora, su tutti i valori di \(x\) per cui sia \(Q(x)\) sia \(F(x)\) sono diversi da zero, vale
Letta da destra verso sinistra, la proprietà invariantiva è il fondamento della semplificazione: se numeratore e denominatore hanno un fattore comune \(F(x)\), lo si può «cancellare» dalla scrittura, ottenendo una frazione equivalente più semplice.
Procedura — Semplificare una frazione algebrica
L’ultimo punto è importante e va sottolineato: le C.E. vanno lette prima della semplificazione, non dopo. Lo vedremo in un esempio fra poco. La figura 20.2 sintetizza il flusso.
Esempio 20.2 — Semplificazione con prodotto notevole
Semplificare la frazione \(\dfrac {x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9}\).
Scomposizione. Numeratore: differenza di quadrati, \(x^{2} - 9 = (x-3)(x+3)\). Denominatore: quadrato di binomio, \(x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}\).
C.E. Il denominatore si annulla per \(x = -3\). Quindi C.E.: \(x \neq -3\).
Cancellazione.
Risultato.
Esempio 20.3 — Semplificazione con trinomio
Semplificare \(\dfrac {x^{2} - x - 6}{x^{2} - 4}\).
Scomposizione. Numeratore: trinomio caratteristico con \(S = -1\) e \(P = -6\), ovvero \(-3\) e \(+2\): \(x^{2} - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\). Denominatore: differenza di quadrati, \(x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)\).
C.E. \(x^{2} - 4 = 0\) per \(x = \pm 2\), quindi \(x \neq \pm 2\).
Cancellazione.
Risultato.
Nota — C.E. ereditate dalla frazione di partenza
La frazione semplificata \(\dfrac {x-3}{x-2}\) ha senso anche per \(x = -2\), ma noi dobbiamo mantenere la C.E. \(x \neq -2\) perché veniva dalla frazione di partenza. Se non lo facessimo, la frazione semplificata calcolata in \(x = -2\) darebbe \(\dfrac {-5}{-4} = \dfrac {5}{4}\), mentre la frazione originale in \(x = -2\) non esiste. Le due frazioni sono equivalenti solo dove entrambe hanno senso, cioè per \(x \neq \pm 2\).
Esempio 20.4 — Semplificazione con raccoglimento
Semplificare \(\dfrac {2x^{2} - 2x}{x^{2} - 1}\).
Scomposizione. Numeratore: raccoglimento totale, \(2x^{2} - 2x = 2x(x - 1)\). Denominatore: differenza di quadrati, \(x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)\).
C.E. \(x \neq \pm 1\).
Cancellazione.
Risultato.
Attenzione! — Si semplificano solo i fattori, mai gli addendi!
La proprietà invariantiva permette di cancellare fattori comuni a numeratore e denominatore, mai addendi.
Errore tipico:
La \(x\) del numeratore e quella del denominatore sono addendi, non fattori: non si possono cancellare.
Una verifica numerica rapida lo conferma: in \(x = 1\), la frazione di partenza vale \(\dfrac {1+3}{1+5} = \dfrac {4}{6} = \dfrac {2}{3}\), mentre \(\dfrac {3}{5}\) è un altro numero. La semplificazione proposta non rispetta l’uguaglianza: è sbagliata.
Solo i fattori si semplificano. Il modo per essere sicuri è: prima scomporre numeratore e denominatore in prodotti di fattori, e poi cancellare. Se il numeratore o il denominatore è una somma irriducibile, non c’è nulla da cancellare.
Attenzione! — Cambio di segno: un caso da riconoscere
Una situazione frequente è quella in cui numeratore e denominatore differiscono per il segno: \(a - b\) e \(b - a\). In questo caso si ha
(con la C.E. \(a \neq b\)). In generale, \(a - b = -(b - a)\): raccogliendo un \(-1\) si può «girare» il segno e poi semplificare.
Quando due frazioni algebriche hanno lo stesso denominatore \(Q(x)\), si sommano (o si sottraggono) sommando (o sottraendo) i numeratori, e mantenendo il denominatore comune:
Esempio 20.5
\(\displaystyle \frac {2x}{x-1} - \frac {x+3}{x-1} = \frac {2x - (x+3)}{x-1} = \frac {2x - x - 3}{x-1} = \frac {x - 3}{x-1}\), con C.E. \(x \neq 1\).
Attenzione! — Le parentesi nel sottrarre
Quando si sottraggono numeratori, è essenziale racchiudere il secondo numeratore tra parentesi prima di cambiarne il segno: altrimenti si rischia di cambiare il segno solo del primo addendo. Confrontare:
Quando i denominatori sono diversi, prima di sommare bisogna ridurre le frazioni allo stesso denominatore. Si procede esattamente come con le frazioni numeriche, sostituendo «mcm dei numeri» con «mcm dei polinomi».
Definizione 20.4 — mcm di polinomi
Il minimo comune multiplo (mcm) di due polinomi è il polinomio di grado minimo che è multiplo di entrambi. Lo si calcola scomponendo i polinomi in fattori e prendendo tutti i fattori distinti che compaiono in essi, ciascuno con l’esponente massimo con cui compare.
Esempio 20.6 — Calcolo dell’mcm
Calcolare l’mcm tra \(A(x) = x^{2} - 1\) e \(B(x) = x^{2} + 2x + 1\).
Scomposizione. \(A = (x-1)(x+1)\), \(B = (x+1)^{2}\).
Fattori distinti. \((x-1)\) e \((x+1)\). L’esponente massimo di \((x-1)\) è \(1\), quello di \((x+1)\) è \(2\).
mcm. \(\operatorname {mcm}(A, B) = (x-1)(x+1)^{2}\).
Procedura — Somma o sottrazione di frazioni con denominatori diversi
Esempio 20.7 — Somma con un denominatore numerico
Calcolare \(\dfrac {x}{2} + \dfrac {1}{x}\).
Scomposizione e C.E. I denominatori \(2\) e \(x\) sono già scomposti. C.E.: \(x \neq 0\).
mcm dei denominatori. \(2x\).
Riscrittura.
Somma.
Esempio 20.8 — Somma con scomposizione
Calcolare \(\dfrac {1}{x - 1} + \dfrac {2}{x^{2} - 1}\).
Scomposizione. \(x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)\).
C.E. \(x - 1 \neq 0\) e \((x-1)(x+1) \neq 0\), ovvero \(x \neq \pm 1\).
mcm. \((x-1)(x+1)\).
Riscrittura.
Somma.
Il numeratore \(x+3\) non è scomponibile e non condivide fattori col denominatore: non si semplifica oltre.
Risultato. \(\displaystyle \frac {x + 3}{(x-1)(x+1)}\), C.E.: \(x \neq \pm 1\).
Esempio 20.9 — Sottrazione con scomposizione e semplificazione finale
Calcolare \(\dfrac {x}{x^{2} - 4} - \dfrac {1}{x - 2}\).
Scomposizione. \(x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)\).
C.E. \(x \neq \pm 2\).
mcm. \((x-2)(x+2)\).
Riscrittura.
Sottrazione.
Il numeratore \(-2\) non condivide fattori col denominatore.
Risultato. \(\displaystyle -\frac {2}{(x-2)(x+2)}\), C.E.: \(x \neq \pm 2\).
Per il prodotto di due frazioni algebriche vale la stessa regola delle frazioni numeriche: si moltiplicano numeratore con numeratore, denominatore con denominatore. La novità è che, prima di moltiplicare, conviene scomporre entrambi i numeratori e i denominatori, perché spesso compaiono fattori comuni che si possono cancellare prima del calcolo, semplificando di molto la scrittura.
Procedura — Prodotto di frazioni algebriche
Esempio 20.10 — Prodotto con cancellazione incrociata
Calcolare \(\dfrac {x + 2}{x - 1} \cdot \dfrac {x^{2} - 1}{x^{2} - 4}\).
Scomposizione. \(x^{2} - 1 = (x-1)(x+1)\), \(x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)\).
C.E. \(x - 1 \neq 0\) e \(x^{2} - 4 \neq 0\): \(x \neq 1\) e \(x \neq \pm 2\).
Cancellazione e calcolo.
Risultato. \(\displaystyle \frac {x+1}{x-2}\), C.E.: \(x \neq 1\), \(x \neq \pm 2\).
Come per le frazioni numeriche, dividere una frazione algebrica per un’altra equivale a moltiplicarla per la reciproca della seconda. C’è una sottigliezza in più: la reciproca di \(\dfrac {C(x)}{D(x)}\) esiste solo se \(C(x) \neq 0\) — altrimenti starebbe a denominatore della seconda frazione, e la divisione non avrebbe senso.
Nota — Le C.E. di una divisione
Quando si divide \(\dfrac {A}{B} : \dfrac {C}{D}\), le condizioni di esistenza richiedono che siano diversi da zero tre polinomi: i due denominatori originari \(B\) e \(D\), più il numeratore della seconda frazione \(C\) (che dopo l’inversione finisce a denominatore). È un punto su cui non vale la pena risparmiare attenzione.
Esempio 20.11 — Divisione
Calcolare \(\dfrac {x^{2} - 4}{x + 1} : \dfrac {x - 2}{x^{2} - 1}\).
Scomposizione. \(x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)\), \(x^{2} - 1 = (x-1)(x+1)\).
C.E. \(x + 1 \neq 0\), \(x^{2} - 1 \neq 0\), \(x - 2 \neq 0\): \(x \neq -1\), \(x \neq \pm 1\), \(x \neq 2\), ovvero complessivamente \(x \neq \pm 1\) e \(x \neq 2\).
Inversione e moltiplicazione.
Risultato. \((x+2)(x-1) = x^{2} + x - 2\), C.E.: \(x \neq \pm 1\), \(x \neq 2\).
La potenza \(n\)-esima di una frazione algebrica si calcola elevando a \(n\) separatamente numeratore e denominatore:
Per \(n\) intero negativo si applica la stessa regola, sfruttando la convenzione \(a^{-n} = 1/a^{n}\) (con \(a \neq 0\)); in particolare,
Esempio 20.12
\(\displaystyle \left (\frac {x-1}{x+2}\right )^{3} = \frac {(x-1)^{3}}{(x+2)^{3}}\), con C.E. \(x \neq -2\).
Quando in un’espressione compaiono più operazioni — somma, prodotto, divisione, potenza — si seguono le stesse regole gerarchiche delle espressioni numeriche: prima le potenze, poi i prodotti e le divisioni, infine le somme e le sottrazioni; le parentesi si risolvono dall’interno verso l’esterno. Le C.E. si determinano prima di iniziare i calcoli, raccogliendo gli zeri di tutti i denominatori e di tutti i divisori che compariranno.
Esempio 20.13 — Espressione completa
Semplificare l’espressione
C.E. Compaiono i denominatori \(x-2\), \(x+2\), \(x^{2}-4 = (x-2)(x+2)\) (a denominatore della seconda frazione) e \(x^{2}+4\) (che diventerà denominatore dopo l’inversione, e che è sempre \(\geq 4 > 0\), dunque non dà restrizioni). Complessivamente: \(x \neq \pm 2\).
Parentesi tonda. Mcm dei denominatori \((x-2)\) e \((x+2)\): \((x-2)(x+2)\).
Divisione.
Risultato. \(1\), con C.E. \(x \neq \pm 2\).
Nota — Espressioni che valgono una costante
Il risultato di un’espressione apparentemente complessa può essere una semplice costante, come \(1\) qui. È una situazione frequente quando l’espressione è costruita ad arte: tutti i fattori si cancellano. Il valore costante che ne risulta è valido solo sui valori di \(x\) che soddisfano le C.E. originali — non si può estendere ai valori esclusi. Anche la funzione costante uguale a \(1\), qui, ha dominio \(\mathbb{R} \setminus \{-2, +2\}\).
Esempio 20.14 — Frazione di frazione
Semplificare \(\displaystyle \frac {\;\dfrac {x+1}{x-1}\;}{\dfrac {x^{2}-1}{x^{2}}}\).
Scomposizione. \(x^{2} - 1 = (x-1)(x+1)\).
C.E. I denominatori coinvolti sono \(x-1\), \(x^{2}\), \(x^{2}-1\). Inoltre la frazione complessiva è una divisione: il «secondo membro» \(\dfrac {x^{2}-1}{x^{2}}\) non deve essere zero, cioè \(x^{2} - 1 \neq 0\) va aggiunto. Quindi \(x \neq 0\), \(x \neq \pm 1\).
Inversione.
Risultato. \(\displaystyle \frac {x^{2}}{(x-1)^{2}}\), C.E. \(x \neq 0\), \(x \neq \pm 1\).
Esercizio 20.1
Risultati: (a) \(x \neq 3\) e \(x \neq 4\); (b) \(x \neq 0\) (poiché \(x^{2} + 4 > 0\) sempre); (c) nessuna restrizione, \(x \in \mathbb{R} \).
Risultati: (a) sbagliata: \(x\) è addendo, non fattore. (b) corretta. (c) corretta: si raccoglie \(x\) a numeratore. (d) sbagliata: \(x^{2}\) è addendo a numeratore, non fattore.
Riepilogo
Frazione algebrica. Quoziente formale \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) di due polinomi, con \(Q(x)\) non identicamente nullo. È una funzione, non una semplice scrittura: il suo dominio è \(\mathbb{R} \) privato degli zeri del denominatore.
Condizioni di esistenza. Le restrizioni \(Q(x) \neq 0\) vanno determinate prima di qualunque manipolazione, scomponendo il denominatore. Vanno mantenute anche dopo la semplificazione: una frazione semplificata ha lo stesso dominio della frazione di partenza, non un dominio più ampio.
Proprietà invariantiva. \(\dfrac {P}{Q} = \dfrac {P \cdot F}{Q \cdot F}\) dove \(F(x) \neq 0\) sui valori del dominio. Letta da destra a sinistra: si possono semplificare i fattori comuni a numeratore e denominatore. Mai gli addendi.
Operazioni.
Per addizione e sottrazione con denominatori diversi: scomporre, calcolare l’mcm, ridurre allo stesso denominatore, sommare i numeratori. Nella divisione, anche il numeratore della seconda frazione deve essere non nullo.
Espressioni complesse. Si seguono le precedenze standard (potenze, prodotti/divisioni, somme/sottrazioni); le parentesi si risolvono dall’interno verso l’esterno; le C.E. si raccolgono prima di iniziare i calcoli, considerando tutti i denominatori e tutti i divisori che compariranno.
Errore numero uno. Cancellare addendi anziché fattori. Antidoto: prima scomporre, poi semplificare. Se non c’è una scomposizione in fattori, non c’è nulla da cancellare.
Presentazioni— slide NotebookLM (clic per aprire il PDF)
Audio overview— podcast NotebookLM (clic per ascoltare)
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