“Tutta la difficoltà sta nel ridurre i problemi alle proporzioni e alle equazioni: è in ciò che consiste
l’arte dei matematici.”
— René Descartes, Regole per la direzione dell’ingegno
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Fin dalla scuola media abbiamo imparato a risolvere problemi del tipo «un numero, aggiunto al suo doppio, dà \(18\): quanto vale?». La soluzione, con un po’ di intuito, salta agli occhi: \(6\). Ma il salto del pensiero algebrico è un altro: trasformare l’enunciato a parole in una scrittura simbolica. Chiamiamo \(x\) il numero cercato e scriviamo
Questa scrittura — che non è ancora una soluzione, ma il problema riformulato — è una equazione. Risolverla significa applicare regole precise che, partendo da essa, ne producano una equivalente più semplice (la stessa verità in una forma più chiara), fino ad arrivare a \(x = 6\).
Il guadagno è enorme: non ci serve più l’intuizione caso per caso. Una volta tradotto il problema in equazione, le regole di manipolazione algebrica ci portano alla soluzione automaticamente, e funzionano allo stesso modo per problemi che con la sola intuizione non sapremmo affrontare. È quanto Cartesio annunciava nel passo in apertura: la vera difficoltà sta nel tradurre — risolvere è poi un esercizio di tecnica.
In questo capitolo ci occupiamo del caso più semplice e più importante: le equazioni in cui l’incognita compare al primo grado, e solo nei numeratori. Sono le equazioni che fanno da fondamento a tutto il resto.
Quando in matematica scriviamo «\(A = B\)» possiamo intendere tre cose distinte. Vale la pena chiarirle subito, perché confonderle è una causa frequente di errori.
(1) Uguaglianza numerica. Entrambi i membri sono numeri: l’uguaglianza è semplicemente vera o falsa. Per esempio,
Non c’è niente da risolvere: c’è solo da verificare.
(2) Identità. I due membri contengono lettere, ma l’uguaglianza è vera qualunque valore si attribuisca alle lettere. Per esempio,
è vera per ogni \(x \in \mathbb{R} \): basta sviluppare il quadrato del binomio. Le identità non hanno una «soluzione», hanno tutte le soluzioni: l’insieme dei valori per cui sono vere coincide con tutto \(\mathbb{R} \).
(3) Equazione. I due membri contengono almeno una lettera (l’incognita) e l’uguaglianza è vera solo per certi valori dell’incognita, che si tratta di determinare. Per esempio,
è vera solo per \(x = 2\): per ogni altro valore l’uguaglianza è falsa.
Nota — Identità o equazione?
Date due espressioni \(A(x)\) e \(B(x)\), l’uguaglianza \(A(x) = B(x)\) è
La distinzione non dipende dall’aspetto della scrittura, ma dal suo contenuto di verità. Per stabilirlo, in genere, serve un calcolo.
Definizione 21.1 — Equazione, soluzione, insieme delle soluzioni
Si dice equazione nell’incognita \(x\) una scrittura della forma
dove \(A(x)\) e \(B(x)\) sono espressioni algebriche. L’espressione \(A(x)\) si chiama primo membro, \(B(x)\) secondo membro.
Una soluzione (o radice) dell’equazione è un valore \(x_0 \in \mathbb{R} \) tale che \(A(x_0) = B(x_0)\) sia un’uguaglianza numerica vera.
L’insieme delle soluzioni è il sottoinsieme
Risolvere l’equazione significa determinare \(S\).
Definizione 21.2 — Grado di un’equazione
Il grado di un’equazione è il grado del polinomio \(A(x) - B(x)\) dopo aver portato tutto al primo membro e ridotto. Un’equazione si dice di primo grado se tale grado è uguale a \(1\).
Definizione 21.3 — Forma normale di un’equazione di primo grado
Ogni equazione di primo grado nell’incognita \(x\) può essere portata, mediante manipolazioni algebriche, alla forma normale
I numeri \(a\) e \(b\) si chiamano coefficienti; in particolare \(a\) è il coefficiente dell’incognita e \(b\) è il termine noto.
Esempio 21.1
L’equazione \(3(x-1) + 2 = 7x - 5\) è di primo grado: portando tutto al primo membro e riducendo si ottiene
cioè la forma normale con \(a = -4\) e \(b = 4\).
Definizione 21.4 — Equazioni equivalenti
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni \(S\).
L’idea della risoluzione è: partire dall’equazione data e trasformarla in una equivalente più semplice, fino ad ottenerne una di forma elementare \(x = c\) il cui \(S\) è immediatamente leggibile.
Le trasformazioni che preservano \(S\) — cioè che producono equazioni equivalenti — sono codificate da due principi.
Legge 21.1 — Primo principio di equivalenza
Aggiungendo (o sottraendo) ai due membri di un’equazione una stessa espressione (definita per ogni valore di \(x\)), si ottiene un’equazione equivalente. In simboli:
Dimostrazione. Sia \(S\) l’insieme delle soluzioni della prima equazione e \(S'\) quello della seconda. Se \(x_0 \in S\), allora \(A(x_0) = B(x_0)\); sommando \(C(x_0)\) ad entrambi i membri di un’uguaglianza numerica vera si ottiene un’uguaglianza ancora vera, dunque \(x_0 \in S'\). Viceversa, se \(x_0 \in S'\), allora \(A(x_0) + C(x_0) = B(x_0) + C(x_0)\); sottraendo \(C(x_0)\) da entrambi i membri si ricava \(A(x_0) = B(x_0)\), cioè \(x_0 \in S\). Quindi \(S = S'\).
L’idea geometrica del primo principio è quella di una bilancia in equilibrio: se i due piatti sono in equilibrio e si aggiunge (o si toglie) lo stesso peso da entrambi, l’equilibrio si conserva. La figura 21.1 la rende esplicita.
Dal primo principio discende immediatamente la regola del trasporto, che è il modo pratico in cui lo si usa quasi sempre.
Legge 21.2 — Regola del trasporto
Un termine può essere spostato da un membro all’altro di un’equazione cambiandolo di segno, senza alterare l’insieme delle soluzioni:
Dimostrazione. Basta sottrarre \(C\) ad entrambi i membri della prima, applicando il primo principio: \(A(x) + C - C = B(x) - C\), cioè \(A(x) = B(x) - C\).
Legge 21.3 — Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri di un’equazione per una stessa quantità non nulla (e definita su tutto il dominio dell’equazione), si ottiene un’equazione equivalente. In simboli, per ogni \(k \in \mathbb{R} \) con \(k \neq 0\):
Dimostrazione. Sia \(S\) l’insieme delle soluzioni della prima equazione e \(S'\) quello della seconda. Se \(x_0 \in S\), allora \(A(x_0) = B(x_0)\); moltiplicando per \(k\) entrambi i membri si ottiene \(k\,A(x_0) = k\,B(x_0)\), cioè \(x_0 \in S'\). Viceversa, se \(x_0 \in S'\), allora \(k\,A(x_0) = k\,B(x_0)\); poiché \(k \neq 0\) possiamo dividere per \(k\), ottenendo \(A(x_0) = B(x_0)\), cioè \(x_0 \in S\). Quindi \(S = S'\).
Attenzione! — Perché \(k \neq 0\) è essenziale
Se moltiplicassimo per \(k = 0\) entrambi i membri di un’equazione, otterremmo \(0 = 0\): un’identità banalmente vera per ogni \(x\). Avremmo perso ogni informazione: l’insieme delle soluzioni è cambiato, \(S' = \mathbb{R} \) in generale diverso da \(S\).
L’equazione di partenza e l’equazione moltiplicata per zero non sono equivalenti.
Anche il secondo principio ha una conseguenza pratica fondamentale: se in un’equazione tutti i termini hanno un fattore comune, lo si può semplificare; e se l’equazione contiene frazioni numeriche, si possono eliminare i denominatori moltiplicando tutto per il loro minimo comune multiplo.
Nota — Riassunto operativo
Applicando i due principi a un’equazione di primo grado riusciamo sempre a portarla nella forma
A questo punto, l’esito dipende dai valori di \(a\) e \(b\). Si presentano tre soli casi, riassunti nella figura 21.2.
Caso 1: \(a \neq 0\). Possiamo applicare il secondo principio dividendo per \(a\):
L’equazione ha una sola soluzione e si dice determinata: \(S = \left \{\dfrac {b}{a}\right \}\).
Caso 2: \(a = 0\) e \(b = 0\). L’equazione diventa \(0 = 0\): un’uguaglianza vera qualunque sia il valore di \(x\). Ogni numero reale è soluzione, e l’equazione si dice indeterminata: \(S = \mathbb{R} \).
Caso 3: \(a = 0\) e \(b \neq 0\). L’equazione diventa \(0 = b\) con \(b \neq 0\): un’uguaglianza falsa qualunque sia il valore di \(x\). Nessun numero reale è soluzione, e l’equazione si dice impossibile: \(S = \varnothing \).
Esempio 21.2 — Tre equazioni, tre esiti
Nota — Quando «\(x\) scompare»
Negli esempi 2 e 3 abbiamo visto che, durante la risoluzione, l’incognita \(x\) può «sparire» dall’equazione. Non è un errore di calcolo: significa che l’equazione, una volta semplificata, è degenere — cioè \(a = 0\). A quel punto basta guardare il termine noto residuo per concludere: \(0 = 0\) è indeterminata, \(0 = b\) con \(b \neq 0\) è impossibile.
Per risolvere un’equazione di primo grado intera (cioè senza incognita ai denominatori) si segue una sequenza ormai standardizzata di passi. Ogni passaggio applica uno dei due principi di equivalenza, oppure produce semplicemente una scrittura più compatta della stessa equazione.
Procedura — Risoluzione di un’equazione di primo grado intera
Nota — Perché verificare nell’equazione originale
La verifica si fa sempre nell’equazione di partenza, non in una delle equazioni equivalenti intermedie. Se durante la risoluzione abbiamo commesso un errore di calcolo, la verifica in un passaggio intermedio potrebbe «funzionare» anche se la soluzione è sbagliata: solo l’equazione originale è il banco di prova affidabile.
Esempio 21.3 — Caso base
Risolvere \(3x + 5 = 14\).
Trasporto \(5\) al secondo membro:
Divido per \(3\):
Verifica. Sostituendo nell’equazione originale: \(3 \cdot 3 + 5 = 9 + 5 = 14\). \(\checkmark\)
\(S = \{3\}\).
Esempio 21.4 — Con parentesi e trasporti su entrambi i membri
Risolvere \(5(x - 2) - 3 = 2(x + 4) - 5\).
Sciolgo le parentesi:
e riduco i termini simili a ciascun membro:
Trasporto \(2x\) a sinistra e \(-13\) a destra:
Divido per \(3\):
Verifica. Primo membro: \(5\bigl (\tfrac {16}{3} - 2\bigr ) - 3 = 5 \cdot \tfrac {10}{3} - 3 = \tfrac {50}{3} - \tfrac {9}{3} = \tfrac {41}{3}\). Secondo membro: \(2\bigl (\tfrac {16}{3} + 4\bigr ) - 5 = 2 \cdot \tfrac {28}{3} - 5 = \tfrac {56}{3} - \tfrac {15}{3} = \tfrac {41}{3}\). \(\checkmark\)
\(S = \left \{\tfrac {16}{3}\right \}\).
Esempio 21.5 — Con denominatori numerici
Risolvere
Il minimo comune multiplo dei denominatori (\(2, 4, 3\)) è \(12\). Moltiplico entrambi i membri per \(12\):
cioè
Sciolgo:
Trasporto:
Verifica. Primo membro: \(\tfrac {9/5 - 1}{2} + \tfrac {9/5 + 3}{4} = \tfrac {4/5}{2} + \tfrac {24/5}{4} = \tfrac {2}{5} + \tfrac {6}{5} = \tfrac {8}{5}\). Secondo membro: \(\tfrac {9/5}{3} + 1 = \tfrac {3}{5} + 1 = \tfrac {8}{5}\). \(\checkmark\)
\(S = \left \{\tfrac {9}{5}\right \}\).
Esempio 21.6 — Caso degenere: indeterminata
Risolvere \(2(x+1) - 3 = 2x - 1\).
Sciolgo: \(2x + 2 - 3 = 2x - 1 \;\Rightarrow \; 2x - 1 = 2x - 1\). Trasporto: \(2x - 2x = -1 + 1 \;\Rightarrow \; 0 = 0\). L’incognita è scomparsa e il termine noto residuo è zero: l’equazione è indeterminata.
\(S = \mathbb{R} \).
Esempio 21.7 — Caso degenere: impossibile
Risolvere \(4(x - 1) + 2 = 4x - 1\).
Sciolgo: \(4x - 4 + 2 = 4x - 1 \;\Rightarrow \; 4x - 2 = 4x - 1\). Trasporto: \(4x - 4x = -1 + 2 \;\Rightarrow \; 0 = 1\). L’incognita è scomparsa e il termine noto residuo è diverso da zero: l’equazione è impossibile.
\(S = \varnothing \).
Risolvere un problema con un’equazione richiede un percorso più lungo del semplice calcolo: bisogna prima tradurre il problema dal linguaggio comune a quello algebrico. È in questa traduzione che si gioca la parte difficile e formativa del lavoro.
Procedura — Risoluzione di un problema mediante equazione
Attenzione! — Soluzione dell’equazione vs. soluzione del problema
Una soluzione algebrica corretta non è necessariamente una soluzione sensata del problema. Se \(x\) rappresenta un numero di persone, una soluzione \(x = -3\) o \(x = 4.7\) va scartata. Se rappresenta una lunghezza, va scartata \(x \leq 0\). La verifica nel contesto è parte integrante della risoluzione.
Esempio 21.8 — Problema numerico
La somma di tre numeri naturali consecutivi è \(42\). Quali sono i tre numeri?
Scelta dell’incognita. Sia \(x\) il primo dei tre numeri. Allora i tre numeri sono \(x\), \(x+1\), \(x+2\).
Equazione. La condizione del problema si traduce in
Risoluzione.
Interpretazione. \(x = 13\) è un numero naturale: la soluzione è accettabile. I tre numeri richiesti sono \(13\), \(14\), \(15\).
Verifica nel contesto. \(13 + 14 + 15 = 42\). \(\checkmark\)
Esempio 21.9 — Problema geometrico
In un rettangolo, la base supera l’altezza di \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Sapendo che il perimetro misura \(36\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), determinare le dimensioni del rettangolo.
Scelta dell’incognita. Sia \(x\) la misura dell’altezza, in centimetri. Allora la base è \(x + 4\).
Equazione. Il perimetro del rettangolo è \(2 \cdot (\text {base}) + 2 \cdot (\text {altezza})\), dunque
Risoluzione.
Interpretazione. \(x = 7\) è positivo: accettabile come misura di una lunghezza. L’altezza è \(7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), la base è \(11\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Verifica nel contesto. Perimetro \(= 2 \cdot 11 + 2 \cdot 7 = 22 + 14 = 36\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). \(\checkmark\)
Esempio 21.10 — Problema sulle età
Marco ha oggi \(30\) anni e suo figlio Luca ne ha \(6\). Tra quanti anni l’età di Marco sarà il triplo di quella di Luca?
Scelta dell’incognita. Sia \(x\) il numero di anni che dovranno trascorrere. Allora, tra \(x\) anni, Marco avrà \(30 + x\) anni e Luca ne avrà \(6 + x\).
Equazione. La condizione richiede
Risoluzione.
Interpretazione. \(x = 6\) è un numero di anni positivo: accettabile. Tra \(6\) anni Marco avrà \(36\) anni e Luca ne avrà \(12\).
Verifica nel contesto. \(36 = 3 \cdot 12\). \(\checkmark\)
Esempio 21.11 — Problema di moto: incontro di due treni
Due treni partono nello stesso istante da due stazioni distanti \(300\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\), viaggiando uno verso l’altro. Il primo procede a \(80\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\), il secondo a \(120\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\). Dopo quanto tempo si incontrano? A che distanza dalla stazione di partenza del primo treno?
Scelta dell’incognita. Sia \(t\) il tempo, misurato in ore, che trascorre dalla partenza all’incontro.
Modello. Nello stesso intervallo \(t\) il primo treno percorre \(80\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} } \cdot t\), il secondo \(120\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} } \cdot t\). La somma delle due distanze percorse, all’istante dell’incontro, deve essere uguale alla distanza iniziale tra le stazioni.
Equazione.
Risoluzione.
Interpretazione. \(t = 1.5\,{\mathrm{h} }\), ovvero un’ora e mezza. La distanza percorsa dal primo treno è \(80 \cdot 1.5 = 120\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\).
Verifica nel contesto. Distanza del secondo treno: \(120 \cdot 1.5 = 180\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). Somma: \(120 + 180 = 300\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). \(\checkmark\)
Nota — Una buona abitudine: definire \(x\) in modo esplicito
La frase «sia \(x\) il numero di anni che trascorrono» o «sia \(x\) l’altezza, in centimetri» non è una formalità: è il momento in cui si fissa il significato del simbolo. Saltare questo passaggio è la causa principale degli errori di traduzione (e di interpretazione finale) nei problemi parametrici.
Esercizio 21.1
Risultato: \(0 = 0\), indeterminata, \(S = \mathbb{R} \).
Risultato: \(0 = 1\), impossibile, \(S = \varnothing \).
Riepilogo
Equazione, identità, uguaglianza numerica. Tre tipi di scritture «\(A = B\)»: l’uguaglianza numerica è vera o falsa, l’identità è vera per ogni valore dell’incognita, l’equazione è vera solo per certi valori. Risolvere un’equazione significa determinarne l’insieme delle soluzioni \(S\).
Forma normale. Ogni equazione di primo grado nell’incognita \(x\) può essere portata alla forma \(ax + b = 0\) (o, equivalentemente, \(ax = b\)).
Principi di equivalenza. Producono equazioni con lo stesso \(S\).
Classificazione. Ricondotta l’equazione alla forma \(ax = b\), si presentano tre soli casi:
Quando «\(x\) scompare» durante la risoluzione, ci si trova in uno dei due casi degeneri: basta esaminare il termine noto residuo per concludere.
Procedura standard. Eliminare denominatori, sciogliere parentesi, trasportare, ridurre, dividere per il coefficiente di \(x\), verificare nell’equazione originale.
Problemi. La parte difficile non è risolvere l’equazione, ma scrivere quella giusta: leggere, scegliere l’incognita, tradurre i vincoli in un’uguaglianza, controllare a posteriori che la soluzione algebrica abbia senso anche nel contesto del problema (positività, interezza, plausibilità).
Presentazioni— slide NotebookLM (clic per aprire il PDF)
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