22 Equazioni di primo grado fratte e letterali

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Perché questo capitolo

Nel capitolo precedente abbiamo imparato a risolvere equazioni di primo grado intere: l’incognita $x$ compariva solo in espressioni polinomiali e i due principi di equivalenza ci permettevano di isolarla. Ora facciamo due passi avanti, uno per ciascuna direzione.

L’abitudine a discutere tutti i casi possibili, anziché ragionare su un singolo esempio numerico, è uno dei tratti distintivi del pensiero matematico maturo: vale la pena costruirla con cura fin dall’inizio.

22.1 Equazioni fratte: condizioni di esistenza

22.1.1 Che cos’è un’equazione fratta

Definizione 22.1 — Equazione fratta

Un’equazione si dice fratta (o frazionaria) se l’incognita compare almeno una volta al denominatore di una frazione.

perché i denominatori sono numeri: si tratta di un’equazione intera con coefficienti razionali, già nel raggio del capitolo precedente.

22.1.2 Quando una frazione perde di significato

Una frazione $\dfrac {A}{B}$ ha senso solo se $B \neq 0$: la divisione per zero non è definita. Quindi, prima ancora di iniziare a risolvere un’equazione fratta, dobbiamo individuare quali valori dell’incognita renderebbero nullo qualche denominatore: tali valori vanno esclusi dal dominio dell’incognita.

Definizione 22.2 — Condizioni di esistenza

Si chiamano condizioni di esistenza (C.E.) di un’equazione fratta le disequazioni che impongono a ciascun denominatore contenente l’incognita di essere diverso da zero.

Esempio 22.1

Determinare le C.E. delle seguenti equazioni.

1.: $\dfrac {x+1}{x-2} = 3$ $\Longrightarrow $ C.E.: $x - 2 \neq 0$, cioè $x \neq 2$.
2.: $\dfrac {2}{x} - \dfrac {x}{x+1} = 1$ $\Longrightarrow $ C.E.: $x \neq 0$ e $x + 1 \neq 0$, cioè $x \neq 0$ e $x \neq -1$.
3.: $\dfrac {x-1}{x^{2}-4} = \dfrac {1}{x+2}$.
Scomponiamo $x^{2}-4 = (x-2)(x+2)$. I denominatori si annullano per $x = 2$, $x = -2$.
C.E.: $x \neq 2$ e $x \neq -2$.

Nota — Osservazione

Le condizioni di esistenza si determinano prima di iniziare a risolvere l’equazione, e si tengono presenti fino alla fine: ogni soluzione che troveremo dovrà essere confrontata con le C.E. e, se le viola, andrà scartata.

22.2 Risoluzione di equazioni fratte

22.2.1 Il procedimento standard

Idea-chiave. Sotto le condizioni di esistenza, moltiplicare per il mcm dei denominatori è un’operazione lecita (moltiplico per una quantità non nulla): trasforma l’equazione fratta in un’equazione intera equivalente.

22.2.2 Esempi svolti

Esempio 22.2 — soluzione accettabile

Risolvere $\dfrac {x+1}{x-2} = 3$.

C.E.: $x \neq 2$.

Risoluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per $(x-2) \neq 0$:

\[ x + 1 \;=\; 3\,(x-2) \;\Longleftrightarrow \; x + 1 \;=\; 3x - 6 \;\Longleftrightarrow \; 2x = 7 \;\Longleftrightarrow \; x = \tfrac {7}{2}. \]

Verifica delle C.E.: $\tfrac {7}{2} \neq 2$. La soluzione è accettabile: $\boxed {x = \tfrac {7}{2}}$.

Esempio 22.3 — soluzione non accettabile

Risolvere

\[ \frac {2}{x-1} \,-\, \frac {1}{x+1} \;=\; \frac {4}{x^{2}-1}. \]

Scomposizione e C.E. $x^{2}-1 = (x-1)(x+1)$. C.E.: $x \neq 1$ e $x \neq -1$.

mcm dei denominatori: $(x-1)(x+1)$. Riduciamo entrambi i membri:

\[ \frac {2(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} \;=\; \frac {4}{(x-1)(x+1)}. \]

Sotto le C.E. il denominatore è non nullo, quindi possiamo cancellarlo:

\[ 2(x+1) - (x-1) \;=\; 4 \;\Longleftrightarrow \; 2x + 2 - x + 1 \;=\; 4 \;\Longleftrightarrow \; x + 3 \;=\; 4 \;\Longleftrightarrow \; x = 1. \]

Verifica delle C.E.: $x = 1$ viola la condizione $x \neq 1$. La soluzione non è accettabile.

Conclusione: l’equazione è impossibile: $S = \varnothing $.

Nota — Osservazione

L’esempio precedente mostra una situazione tipica: la manipolazione algebrica produce un valore di $x$ che però annulla un denominatore dell’equazione di partenza. È esattamente il caso che le C.E. servono a intercettare. Senza la verifica finale, avremmo rischiato di accettare come soluzione un valore privo di senso.

Esempio 22.4 — con due frazioni e un termine intero

Risolvere

\[ \frac {x}{x+2} \,+\, \frac {1}{x} \;=\; 1. \]

C.E.: $x \neq 0$ e $x \neq -2$.

mcm: $x\,(x+2)$.

\[ \frac {x \cdot x \,+\, (x+2)}{x\,(x+2)} \;=\; \frac {x\,(x+2)}{x\,(x+2)} \]

da cui, cancellando il denominatore (lecito sotto le C.E.),

\[ x^{2} + x + 2 \;=\; x^{2} + 2x \;\Longleftrightarrow \; 2 \;=\; x. \]

Verifica: $x = 2$ rispetta entrambe le C.E. $\boxed {x = 2}$.

22.3 Equazioni letterali: discussione del parametro

22.3.1 Che cos’è un’equazione letterale

Definizione 22.3 — Equazione letterale

Un’equazione si dice letterale (o parametrica) se contiene, oltre all’incognita $x$, una o più altre lettere — dette parametri — il cui valore non è fissato.

Per convenzione, in questo capitolo l’incognita è sempre $x$, mentre useremo lettere come $k, a, m$ per indicare i parametri.

Esempio 22.5

Sono equazioni letterali, con parametro $k$:

\[ k\,x + 2 = x - k, \qquad (k-1)\,x = k^{2} - 1, \qquad \frac {x}{k} + 1 = \frac {x-2}{k+1}. \]

Risolvere un’equazione letterale non significa trovare un singolo valore numerico di $x$: significa stabilire, per ogni possibile valore del parametro, se l’equazione è determinata, indeterminata o impossibile, e nel primo caso esprimere la soluzione in funzione del parametro stesso.

22.3.2 La forma canonica A x = B

Ogni equazione letterale di primo grado in $x$ può essere ricondotta, con i soliti passaggi (sviluppo dei prodotti, trasporto di termini, riduzione), alla forma

A questo punto sembrerebbe naturale dividere per $A$ e scrivere $x = B/A$. Ma attenzione: non sappiamo se $A$ è diverso da zero. La risposta dipende dal parametro. Dobbiamo dunque distinguere i casi.

Discussione di $\,A\,x = B\,$.

\[ \begin {cases} A \neq 0 & \Longrightarrow \quad x = \dfrac {B}{A} \quad \text {(equazione \emph {determinata})}\\[1ex] A = 0 \;\text {e}\; B = 0 & \Longrightarrow \quad \text {ogni $x$ è soluzione (equazione \emph {indeterminata})}\\[1ex] A = 0 \;\text {e}\; B \neq 0 & \Longrightarrow \quad \text {nessuna soluzione (equazione \emph {impossibile})} \end {cases} \]

22.3.3 Un primo esempio guidato

Esempio 22.6

Discutere e risolvere, al variare del parametro $k$, l’equazione

\[ k\,x + 2 \;=\; x - k. \]

Riduzione alla forma canonica. Trasportiamo i termini in $x$ a sinistra e i termini noti a destra:

\[ k\,x - x \;=\; -\,k - 2 \;\Longleftrightarrow \; (k - 1)\,x \;=\; -(k+2). \]

Quindi $A = k-1$, $B = -(k+2)$.

Discussione.

Caso 1: $A \neq 0$, cioè $k \neq 1$. L’equazione è determinata e

\[ x \;=\; \frac {-(k+2)}{k-1} \;=\; \frac {k+2}{1-k}. \]

Caso 2: $A = 0$, cioè $k = 1$. Sostituendo, $B = -(1+2) = -3 \neq 0$. L’equazione diventa $0 \cdot x = -3$, che non ammette soluzione: impossibile.

Riepilogo.

\[ \begin {cases} k \neq 1 : & x = \dfrac {k+2}{1-k} \quad \text {(determinata)}\\[1.2ex] k = 1 : & \text {impossibile} \end {cases} \]

Esempio 22.7 — con caso indeterminato

Discutere

\[ (k-2)\,x \;=\; k^{2} - 4. \]

Discussione.

Caso 1: $k - 2 \neq 0$, cioè $k \neq 2$. Allora

\[ x \;=\; \frac {k^{2}-4}{k-2} \;=\; \frac {(k-2)(k+2)}{k-2} \;=\; k+2. \]

Caso 2: $k - 2 = 0$, cioè $k = 2$. Allora $B = k^{2} - 4 = 0$. L’equazione diventa $0 \cdot x = 0$, soddisfatta da qualunque $x \in \mathbb {R}$: indeterminata.

Riepilogo.

\[ \begin {cases} k \neq 2 : & x = k+2 \quad \text {(determinata)}\\[1ex] k = 2 : & \text {indeterminata} \end {cases} \]

Nota — Osservazione

Nei due esempi precedenti il valore $k_{0}$ che annulla il coefficiente $A$ è cruciale: si tratta del valore critico del parametro. La discussione consiste essenzialmente nel separare il caso generico ($k \neq k_{0}$) dal caso critico ($k = k_{0}$), e in quest’ultimo guardare il valore di $B$ per decidere fra impossibile e indeterminata.

22.4 Casi particolari nell’equazione parametrica

Le situazioni più ricche — e più interessanti — nascono quando il parametro entra in gioco in più punti dell’equazione: ai denominatori, in coefficienti che si annullano per più valori, oppure simultaneamente all’incognita e al parametro al denominatore. In questi casi le condizioni di esistenza riguardano sia $x$ sia il parametro, e la verifica finale può scartare ulteriori valori del parametro.

22.4.1 Parametro al denominatore

Quando il parametro compare al denominatore, oltre alle C.E. sull’incognita dobbiamo imporre che il denominatore non si annulli come funzione del parametro.

Esempio 22.8

Discutere

\[ \frac {x}{k} + 1 \;=\; \frac {x - 2}{k+1}. \]

C.E.: $k \neq 0$ e $k+1 \neq 0$, cioè $k \neq 0$ e $k \neq -1$. (Per questi valori l’equazione perde di senso.)

mcm dei denominatori: $k\,(k+1)$. Riducendo allo stesso denominatore:

\[ \frac {x\,(k+1) + k\,(k+1)}{k\,(k+1)} \;=\; \frac {k\,(x-2)}{k\,(k+1)}. \]

Sotto le C.E. il denominatore non è nullo, quindi

\[ x\,(k+1) + k\,(k+1) \;=\; k\,(x-2). \]

Sviluppando e raccogliendo $x$:

\[ k\,x + x + k^{2} + k \;=\; k\,x - 2k \;\Longleftrightarrow \; x \;=\; -k^{2} - 3k \;=\; -k\,(k+3). \]

Discussione. Per ogni $k \neq 0, -1$ l’equazione è determinata e $x = -k(k+3)$. Per $k = 0$ o $k = -1$ l’equazione non ha senso: vanno semplicemente esclusi dal discorso.

Nota — Osservazione

Quando il parametro è al denominatore, i valori «cattivi» del parametro — quelli che lo annullano — non si dichiarano «impossibili»: per essi l’equazione nemmeno esiste. È una distinzione sottile ma importante, da rendere esplicita nella discussione.

22.4.2 Equazioni letterali fratte parametro e incognita al denominatore

È il caso più completo: dobbiamo combinare quanto imparato per le fratte (C.E. sull’incognita) con la discussione del parametro. Il procedimento generale è:

Esempio 22.9

Discutere e risolvere

\[ \frac {x + a}{x - 1} \;=\; \frac {2}{a}. \]

C.E. sull’incognita: $x \neq 1$.
Valori esclusi del parametro: $a \neq 0$.

Cancellazione dei denominatori. Sotto le C.E., $a\,(x-1) \neq 0$, dunque possiamo moltiplicare «in croce»:

\[ a\,(x + a) \;=\; 2\,(x - 1) \;\Longleftrightarrow \; a\,x + a^{2} \;=\; 2x - 2 \;\Longleftrightarrow \; (a - 2)\,x \;=\; -\,(a^{2} + 2). \]

Quindi $A = a-2$, $B = -(a^{2}+2)$.

Discussione.

Caso 1: $a-2 \neq 0$, cioè $a \neq 2$ (e già $a \neq 0$). L’equazione è determinata:

\[ x \;=\; \frac {-(a^{2}+2)}{a-2} \;=\; \frac {a^{2}+2}{2-a}. \]

Caso 2: $a = 2$. Allora $B = -(4+2) = -6 \neq 0$: equazione impossibile.

Verifica delle C.E. sull’incognita. Imponiamo $x \neq 1$ alla soluzione del Caso 1:

\[ \frac {a^{2}+2}{2-a} \;\neq \; 1 \;\Longleftrightarrow \; a^{2}+2 \;\neq \; 2 - a \;\Longleftrightarrow \; a^{2} + a \;\neq \; 0 \;\Longleftrightarrow \; a\,(a+1) \;\neq \; 0, \]

cioè $a \neq 0$ e $a \neq -1$. Il valore $a = 0$ era già escluso; il nuovo valore $a = -1$ produce $x = 1$, che viola la C.E. sull’incognita: per $a = -1$ l’equazione è dunque impossibile.

Riepilogo finale.

\[ \begin {cases} a = 0 : & \text {equazione priva di senso}\\[0.4ex] a = 2 : & \text {impossibile}\\[0.4ex] a = -1 : & \text {impossibile (la soluzione formale viola la C.E.)}\\[0.4ex] a \neq 0,\ 2,\ -1 : & x = \dfrac {a^{2}+2}{2-a}\quad \text {(determinata)} \end {cases} \]

Nota — Osservazione

Il valore $a = -1$ è particolarmente istruttivo: dal solo bilancio $A,\,B$ avremmo concluso «equazione determinata», e solo la verifica delle C.E. sull’incognita rivela che la soluzione formale non è accettabile. È la stessa logica già incontrata nelle equazioni fratte numeriche: la discussione algebrica non basta, il dominio va sempre rispettato.

Esercizi proposti

Esercizio 22.1

1.: Determinare le condizioni di esistenza e risolvere:
\[ \text {(a)}\ \frac {x-3}{x+4} = 2; \qquad \text {(b)}\ \frac {2}{x-1} + \frac {3}{x+2} = 0; \qquad \text {(c)}\ \frac {x}{x-2} - \frac {4}{x^{2}-4} = \frac {1}{x+2}. \]
2.: Stabilire se le seguenti soluzioni sono accettabili e concludere:
\[ \text {(a)}\ \frac {x+1}{x-3} = \frac {4}{x-3}; \qquad \text {(b)}\ \frac {1}{x} + \frac {1}{x-1} = \frac {2x-1}{x(x-1)}. \]
3.: Discutere, al variare del parametro $k$, l’equazione $(k+3)\,x = k^{2}-9$.
4.: Discutere, al variare del parametro $m$, l’equazione $m^{2}\,x - 1 = m\,x + m$.
5.: Discutere, al variare del parametro $h$, l’equazione $h\,(x-1) = x + h^{2}$.
6.: Discutere, al variare del parametro $k$, l’equazione
\[ \frac {x-1}{k} = \frac {x+1}{k-2}. \]
7.: Discutere e risolvere, al variare del parametro $a$,
\[ \frac {x}{x - a} = \frac {a+1}{a}. \]
8.: Determinare per quali valori del parametro $k$ l’equazione $(k^{2}-1)\,x = k - 1$ è (a) determinata, (b) indeterminata, (c) impossibile.
9.: Per quali valori del parametro $a$ l’equazione $(a-1)\,x + 2 = a\,x - 3$ ammette come soluzione $x = 5$?
10.: (Sintesi) Discutere, al variare del parametro $k$,
\[ \frac {2}{x+k} \;=\; \frac {1}{x-1}. \]

Indicare esplicitamente i valori del parametro per cui l’equazione è priva di senso, impossibile, determinata, e in quest’ultimo caso scrivere la soluzione.

Riepilogo

Equazioni fratte. Un’equazione è fratta se l’incognita compare almeno una volta al denominatore. Prima di risolverla si determinano le condizioni di esistenza (C.E.), imponendo a ciascun denominatore di essere diverso da zero. Si riduce poi tutto allo stesso denominatore, lo si cancella (lecito sotto le C.E.) e si risolve l’equazione intera ottenuta. Ogni soluzione trovata va confrontata con le C.E.: se le viola, è non accettabile.

Equazioni letterali. Un’equazione è letterale se contiene, oltre all’incognita, uno o più parametri. Riducendola alla forma canonica

\[ A\,x = B, \]

con $A, B$ funzioni del parametro, la discussione dà tre casi:

\[ \begin {cases} A \neq 0 & \Longrightarrow \quad x = B/A \quad \text {(determinata)}\\ A = 0,\ B = 0 & \Longrightarrow \quad \text {indeterminata}\\ A = 0,\ B \neq 0 & \Longrightarrow \quad \text {impossibile} \end {cases} \]

Casi particolari.

Se il parametro compare al denominatore, i suoi valori che lo annullano vanno esclusi: per essi l’equazione non ha senso.
Nelle equazioni letterali fratte, alle C.E. sull’incognita si aggiungono i valori esclusi del parametro. La soluzione formale va sempre verificata contro le C.E. sull’incognita: i valori del parametro per cui la soluzione cadrebbe nel dominio escluso producono impossibilità.

Tre tipi di «niente soluzione» da non confondere: equazione priva di senso (parametro fuori dominio), equazione impossibile ($S = \varnothing $), soluzione non accettabile (esiste ma viola le C.E.).

Capitolo 22 Equazioni di primo grado fratte e letterali

Perché questo capitolo

22.1 Equazioni fratte: condizioni di esistenza

22.1.1 Che cos’è un’equazione fratta

22.1.2 Quando una frazione perde di significato

22.2 Risoluzione di equazioni fratte

22.2.1 Il procedimento standard

22.2.2 Esempi svolti

22.3 Equazioni letterali: discussione del parametro

22.3.1 Che cos’è un’equazione letterale

22.3.2 La forma canonica A x = B

22.3.3 Un primo esempio guidato

22.4 Casi particolari nell’equazione parametrica

22.4.1 Parametro al denominatore

22.4.2 Equazioni letterali fratte parametro e incognita al denominatore

Esercizi proposti

Capitolo 22
Equazioni di primo grado fratte e letterali