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“Se non riesci a risolvere il problema proposto, cerca prima qualche problema collegato più semplice
che tu sappia risolvere.”
— George Pólya, How to Solve It
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Nel capitolo sui prodotti notevoli abbiamo imparato a moltiplicare due binomi e ottenere un trinomio:
Adesso ci chiediamo l’opposto: dato il trinomio \(x^{2} + 5x + 6\), possiamo riscriverlo come prodotto \((x+2)(x+3)\)? La domanda non è oziosa. Una scrittura del tipo \((x+2)(x+3)\) è molto più informativa di \(x^{2} + 5x + 6\): ci dice subito per quali valori di \(x\) il polinomio si annulla (per \(x = -2\) e \(x = -3\)), si combina facilmente con altre frazioni, si presta alla semplificazione di espressioni complesse.
Scomporre (o fattorizzare) un polinomio significa proprio questo: riscriverlo come prodotto di due o più polinomi di grado inferiore. È l’operazione inversa della moltiplicazione.
A che serve, concretamente? In quasi tutto ciò che faremo da qui in poi:
A differenza della moltiplicazione — che è un calcolo automatico (si applicano le regole, e basta) — la scomposizione richiede strategia: di fronte a un polinomio, dobbiamo riconoscere a quale «categoria» appartiene e scegliere lo strumento giusto. Le tecniche da imparare sono cinque, più una strategia complessiva. È quanto faremo in questo capitolo.
Se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore comune, lo si può «mettere in evidenza» applicando alla rovescia la proprietà distributiva:
Letta da sinistra a destra è la distributiva; letta da destra a sinistra è il raccoglimento totale.
Definizione 19.1 — Raccoglimento totale
Procedura — Raccoglimento totale
Esempio 19.1 — Raccoglimento numerico e letterale
Scomporre \(6x^{3}y - 9x^{2}y^{2} + 12xy^{3}\).
MCD dei coefficienti. \(\operatorname {MCD}(6, 9, 12) = 3\).
Lettere comuni. La lettera \(x\) compare con esponenti \(3, 2, 1\): minimo \(1\). La lettera \(y\) compare con esponenti \(1, 2, 3\): minimo \(1\).
Fattore da raccogliere. \(3xy\).
Divisione termine per termine.
Risultato.
Verifica. \(3xy \cdot 2x^{2} = 6x^{3}y\), \(3xy \cdot (-3xy) = -9x^{2}y^{2}\), \(3xy \cdot 4y^{2} = 12xy^{3}\). \(\checkmark\)
Esempio 19.2 — Raccoglimento di un fattore polinomiale
Scomporre \(5(x - 1) - x(x - 1) + 3(x - 1)^{2}\).
Il fattore comune ai tre termini non è un monomio, ma il binomio \((x - 1)\), presente con esponenti \(1, 1, 2\): minimo \(1\). Quindi raccolgo \((x-1)\):
Nell’ultimo passaggio ho ulteriormente semplificato il secondo fattore con un raccoglimento del \(2\): questo passo costituisce, di per sé, già un esempio di scomposizione a più stadi — un’idea che ricorrerà spesso.
Nota — Raccolto e quoziente, mai uno solo
Il risultato del raccoglimento è un prodotto: il fattore raccolto e il polinomio quoziente. Scrivere solo il fattore raccolto, dimenticando le parentesi col quoziente, è un errore: si starebbe affermando che il polinomio è uguale solo a una sua parte. Il prodotto svolto deve sempre restituire il polinomio originale.
Capita che un polinomio non abbia un fattore comune a tutti i suoi termini, ma che tale fattore esista a gruppi. In questi casi si tenta un raccoglimento parziale: si raggruppano i termini in modo che, in ciascun gruppo, il raccoglimento totale produca lo stesso fattore. A quel punto si raccoglie quel fattore, e si conclude.
L’idea-base è la seguente: se in un polinomio di quattro termini posso individuare due coppie tali che, raccogliendo dentro ciascuna, mi resti lo stesso binomio in entrambe, allora ho fatto.
Esempio 19.3 — Raccoglimento parziale «classico»
Scomporre \(ax + ay + bx + by\).
I quattro termini non hanno un fattore comune a tutti (le lettere \(a, b\) compaiono solo in alcuni, e così \(x, y\)). Provo a raggruppare:
Adesso \((x+y)\) è fattore comune ai due termini: lo raccolgo:
Verifica. \((x+y)(a+b) = ax + bx + ay + by\) — gli stessi quattro termini di partenza. \(\checkmark\)
Esempio 19.4 — Raccoglimento parziale con segno
Scomporre \(x^{3} - 2x^{2} - 3x + 6\).
Raggruppo: \((x^{3} - 2x^{2}) + (-3x + 6)\).
Nel primo gruppo raccolgo \(x^{2}\): \(x^{2}(x - 2)\).
Nel secondo gruppo, attenzione al segno: per ottenere \((x - 2)\) devo raccogliere \(-3\):
A questo punto:
Verifica. \((x-2)(x^{2}-3) = x^{3} - 3x - 2x^{2} + 6 = x^{3} - 2x^{2} - 3x + 6\). \(\checkmark\)
Attenzione! — Il raggruppamento giusto non è sempre il primo
Talvolta il raccoglimento parziale non funziona con il primo raggruppamento provato, ma riesce con uno diverso. Se i quattro termini sono \(A + B + C + D\), vale la pena provare tutte le combinazioni \((A+B) + (C+D)\), \((A+C) + (B+D)\), \((A+D) + (B+C)\) prima di rinunciare. E se nessuna funziona, la tecnica adatta è probabilmente un’altra: prodotti notevoli, oppure Ruffini.
I prodotti notevoli — visti nel capitolo 18 dal verso «svolgi il prodotto» — sono altrettanto utili dal verso «riconosci la scomposizione». Conoscerli a memoria, in entrambe le direzioni, è la singola abilità che più velocizza la scomposizione di polinomi nella pratica.
Una differenza di quadrati si scompone come prodotto di una somma per la differenza delle basi. La somma di quadrati \(a^{2} + b^{2}\), invece, in \(\mathbb{R} \) non si scompone (resta irriducibile).
L’identità ammette un’interpretazione geometrica suggestiva (figura 19.1): partendo da un quadrato di lato \(a\) a cui si toglie un quadrato di lato \(b\) in un angolo, la figura «a L» risultante può essere ritagliata e riassemblata in un rettangolo di lati \((a+b)\) e \((a-b)\).
Esempio 19.5 — Riconoscimento
Per riconoscere un quadrato di binomio in un trinomio \(A + B + C\):
Esempio 19.6
Esempio 19.7
\(x^{2} + y^{2} + 1 + 2xy + 2y + 2x = (x + y + 1)^{2}\), dove i tre quadrati sono \(x^{2}, y^{2}, 1^{2}\) e i tre doppi prodotti sono \(2xy, 2 \cdot y \cdot 1, 2 \cdot x \cdot 1\).
Si riconosce dai quattro termini, dei quali due sono cubi perfetti — \(a^{3}\) e \(b^{3}\) — e gli altri due hanno coefficiente \(3\) e sono il triplo prodotto del quadrato di una base per l’altra. I segni \(+\) e \(-\) si alternano, in entrambi i casi \((a+b)^{3}\) e \((a-b)^{3}\), secondo lo schema del binomio.
Esempio 19.8
\(8x^{3} + 12x^{2} + 6x + 1 = (2x)^{3} + 3(2x)^{2}(1) + 3(2x)(1)^{2} + 1^{3} = (2x + 1)^{3}\).
A differenza della differenza di quadrati, la somma di cubi si scompone (non resta irriducibile come \(a^{2}+b^{2}\)).
I trinomi che compaiono come secondo fattore — \(a^{2} \mp ab + b^{2}\) — si chiamano falsi quadrati: hanno l’aria di essere quadrati di binomio, ma il termine centrale ha coefficiente \(\pm 1\) invece di \(\pm 2\), e per questo sono in realtà irriducibili in \(\mathbb{R} \).
Esempio 19.9
Consideriamo un trinomio del tipo \(x^{2} + sx + p\) in cui il coefficiente di \(x^{2}\) è \(1\). Cerchiamo di scriverlo come prodotto di due binomi del tipo \((x + \alpha )(x + \beta )\). Sviluppando:
Confrontando con \(x^{2} + sx + p\), otteniamo le due condizioni
Dunque scomporre \(x^{2} + sx + p\) equivale a trovare due numeri la cui somma è \(s\) e il cui prodotto è \(p\). È la regola di somma e prodotto, o regola del trinomio caratteristico.
Legge 19.1 — Regola del trinomio caratteristico
Se esistono due numeri \(\alpha \) e \(\beta \) tali che \(\alpha + \beta = s\) e \(\alpha \beta = p\), allora
Se non esistono numeri (interi, o razionali, a seconda del contesto) con queste proprietà, la regola non si applica e bisogna ricorrere ad altre tecniche.
Esempio 19.10 — Trinomio caratteristico, somma e prodotto positivi
Scomporre \(x^{2} + 7x + 12\).
Cerco due numeri di somma \(7\) e prodotto \(12\): pensando ai divisori di \(12\) — \((1, 12)\), \((2, 6)\), \((3, 4)\) — la coppia \(3\) e \(4\) ha somma \(7\). Quindi
Verifica. \((x+3)(x+4) = x^{2} + 7x + 12\). \(\checkmark\)
Esempio 19.11 — Prodotto positivo, somma negativa
Scomporre \(x^{2} - 5x + 6\).
Cerco due numeri di somma \(-5\) e prodotto \(+6\). Poiché il prodotto è positivo, i due numeri hanno lo stesso segno; poiché la somma è negativa, sono entrambi negativi. Coppie: \((-1, -6)\), \((-2, -3)\). La seconda ha somma \(-5\). Quindi
Esempio 19.12 — Prodotto negativo
Scomporre \(x^{2} + x - 12\).
Cerco due numeri di somma \(+1\) e prodotto \(-12\). Il prodotto è negativo: i due numeri hanno segni opposti. Coppie: \((1, -12)\), \((-1, 12)\), \((2, -6)\), \((-2, 6)\), \((3, -4)\), \((-3, 4)\). La somma \(+1\) si ottiene con \(-3\) e \(+4\). Quindi
Nota — Regola dei segni
Studiando attentamente i tre casi precedenti emerge una regola pratica utile per orientarsi:
Quando il coefficiente di \(x^{2}\) è diverso da \(1\), la regola di somma e prodotto non si applica direttamente. Ci sono due strade.
Prima strada: trasformazione in caratteristico.
Si moltiplica e divide per \(a\) e si raggruppa in modo opportuno. Ad esempio, per scomporre \(2x^{2} + 7x + 3\) con \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = 3\),
si cercano due numeri con somma \(b = 7\) e prodotto \(a \cdot c = 6\): sono \(1\) e \(6\). Allora
Si è scomposto il termine in \(x\) in due parti che permettono il raccoglimento parziale.
Seconda strada: formula risolutiva e teorema fondamentale.
Se \(\alpha \) e \(\beta \) sono le radici di \(ax^{2} + bx + c = 0\) (date dalla formula risolutiva, capitolo 49), allora
Questa via, più sistematica, sarà la nostra preferita una volta studiate le equazioni di secondo grado. Per il momento ci limitiamo alla prima strada e a casi semplici.
Esempio 19.13 — Scomposizione a coefficiente direttivo \(\neq 1\)
Scomporre \(3x^{2} - 5x - 2\).
Cerco due numeri con somma \(-5\) e prodotto \(a \cdot c = 3 \cdot (-2) = -6\): sono \(-6\) e \(+1\). Spezzo il termine centrale:
Verifica. \((x-2)(3x+1) = 3x^{2} + x - 6x - 2 = 3x^{2} - 5x - 2\). \(\checkmark\)
Per i polinomi di grado \(\geq 3\) che non rientrano in nessuna delle categorie precedenti, lo strumento è il teorema di Ruffini, già visto nel capitolo 17.
Teorema 19.1 — Teorema di Ruffini, ripreso
In pratica, scomporre con Ruffini significa: cercare una radice \(\alpha \) del polinomio per tentativi, dividere per \((x - \alpha )\), e poi proseguire la scomposizione sul quoziente — che è di grado inferiore.
Per non procedere a tentoni, esiste un teorema che restringe la lista dei valori da provare.
Teorema 19.2 — Teorema delle radici razionali
Dimostrazione. Sostituendo \(\alpha = p/q\) nell’equazione \(P(p/q) = 0\) e moltiplicando per \(q^{n}\) si ottiene
Tutti i termini, eccetto \(a_{n} p^{n}\), contengono \(q\) come fattore: dunque \(q\) divide \(a_{n} p^{n}\), e poiché \(\operatorname {MCD}(p, q) = 1\), deve dividere \(a_{n}\). Analogamente, tutti i termini eccetto \(a_{0} q^{n}\) contengono \(p\) come fattore, dunque \(p\) divide \(a_{0}\).
Conseguenza pratica. Se il coefficiente direttivo è \(1\), le candidate radici razionali sono solo i divisori interi del termine noto. Sono pochi: si provano tutti, e di solito una funziona.
Esempio 19.14 — Scomposizione con Ruffini
Scomporre \(P(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\).
Ricerca della radice. Coefficiente direttivo \(1\), termine noto \(-6\). Candidate: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
\(P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\). \(\checkmark\) Quindi \(\alpha = 1\) è una radice.
Divisione di Ruffini per \((x - 1)\).
Quoziente \(Q(x) = x^{2} - 5x + 6\), resto \(0\) (come previsto).
Scomposizione del quoziente. \(x^{2} - 5x + 6\) è un trinomio caratteristico: cerco due numeri di somma \(-5\) e prodotto \(+6\). Sono \(-2\) e \(-3\):
Risultato finale.
Verifica. \((x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x^{2} - 5x + 6) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\). \(\checkmark\)
A questo punto disponiamo di cinque tecniche: raccoglimento totale, raccoglimento parziale, prodotti notevoli (in cinque varianti), trinomio caratteristico (e suo cugino, il trinomio di secondo grado), Ruffini. Di fronte a un nuovo polinomio, qual è la prima da provare?
Procedura — Strategia di scomposizione
La figura 19.2 riassume la logica decisionale.
Esempio 19.15 — Tutto in un esempio
Scomporre completamente \(2x^{4} - 8x^{3} + 4x^{2} + 8x - 6\).
Passo 1: raccoglimento totale. Tutti i coefficienti sono pari: \(\operatorname {MCD} = 2\). Raccolgo \(2\):
Passo 2: cinque termini, niente prodotto notevole evidente \(\to \) Ruffini. Cerco una radice razionale di \(x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2} + 4x - 3\). Termine noto \(-3\), coefficiente direttivo \(1\): candidate \(\pm 1, \pm 3\).
\(P(1) = 1 - 4 + 2 + 4 - 3 = 0\). \(\checkmark\)
Divisione di Ruffini per \((x - 1)\).
Quoziente \(x^{3} - 3x^{2} - x + 3\). Aggiornamento:
Passo 3: quattro termini \(\to \) raccoglimento parziale (sul cubico):
Passo 4: prodotto notevole. \(x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)\).
Risultato finale.
Si noti che \((x-1)\) compare due volte: la sua moltiplicità di radice è \(2\).
Verifica. Il prodotto svolto restituisce, dopo qualche passaggio, esattamente il polinomio iniziale. \(\checkmark\)
Esercizio 19.1
Risultati: (a) \(5x(x^{2} - 2x + 3)\); (b) \(2ab^{2}(2ab + 3b^{2} - a^{2})\); (c) \((x+1)(x - 2)\).
Risultati: (a) \((x + 3)(a + 2)\); (b) \((x + 1)(x^{2} - 4) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)\); (c) \((2x - 1)(x^{2} - 4) = (2x - 1)(x - 2)(x + 2)\).
Risultati: (a) \((3x - 7)(3x + 7)\); (b) \((x + 5)^{2}\); (c) \((2x - 3y)^{2}\); (d) \((x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)\); (e) \((2a + 3)(4a^{2} - 6a + 9)\); (f) \((x - 1)^{3}\).
Risultati: (a) \((x - 2)(x - 5)\); (b) \((x + 3)(x + 5)\); (c) \((x - 5)(x + 4)\); (d) \((x + 7)(x - 3)\).
Risultati: (a) \((2x + 3)(x + 1)\); (b) \((3x - 1)(x - 2)\); (c) \((3x - 1)(2x + 1)\).
Risultati: (a) \((x - 1)(x - 2)(x + 3)\); (b) \((x - 2)(x + 1)(x + 3)\); (c) \((x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\).
Risultati: (a) \(3x(x - 2)(x + 2)\); (b) \((x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4)\); (c) \(2x(x - 3)(x + 3)\); (d) \(x(x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)\); (e) \((x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)\).
Riepilogo
Scomporre un polinomio significa riscriverlo come prodotto di polinomi di grado inferiore. È l’operazione inversa della moltiplicazione e serve in modo ubiquo: per semplificare frazioni algebriche, risolvere equazioni, studiare il segno di un’espressione.
Cinque tecniche fondamentali.
Ruffini come ultima carta. Quando le tecniche dirette non funzionano, si cerca una radice razionale tra i divisori del termine noto (eventualmente divisi per quelli del coefficiente direttivo) e si divide il polinomio per \((x - \alpha )\). Il quoziente, di grado inferiore, si scompone con le tecniche già viste.
Strategia.
Errori da evitare.
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