Quando moltiplichiamo due polinomi, sappiamo benissimo come procedere (capitolo 17): si
applica la distributiva. Però certi prodotti ricorrono tantissimo negli sviluppi e nelle scomposizioni
— al punto che vale la pena di impararne il risultato a memoria, una volta per tutte. Sono i
prodotti notevoli.
Sono formule che permettono di scrivere immediatamente, senza eseguire tutte le
moltiplicazioni, il risultato di espressioni come \((x+5)^2\), \((2a-3b)^3\), \((x+y)(x-y)\). E — cosa altrettanto importante — si leggono
“al contrario” per scomporre polinomi: vedere \(x^2 - 25\) e riconoscere \((x+5)(x-5)\) è un’abilità chiave per il capitolo
successivo 19, e di lì in poi.
In questo capitolo studiamo i prodotti notevoli più importanti del biennio: quadrato e cubo di
un binomio, differenza di quadrati, somma e differenza di cubi, quadrato di un trinomio. Daremo
poi un primo sguardo al triangolo di Tartaglia e alla formula del binomio di Newton, che
generalizzano tutto a esponenti qualsiasi.
Dimostrazione. Applichiamo la definizione di quadrato e la distributiva:
\[ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^2 + 2ab + b^2. \]
Per \((a-b)^2\), basta sostituire \(b\) con \(-b\): \((a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
\[ (a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2. \]
Nota — Lettura geometrica
La formula del quadrato del binomio ha una rappresentazione visiva molto semplice: un
quadrato di lato \(a+b\) si scompone in due quadrati (di lato \(a\) e \(b\)) e due rettangoli (di lati \(a\) e \(b\)).
La somma delle quattro aree dà \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Figura 18.1: Interpretazione geometrica del quadrato di un binomio: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Il quadrato di lato \(a+b\) è
scomposto in un quadrato di lato \(a\) (area \(a^2\)), un quadrato di lato \(b\) (area \(b^2\)) e due rettangoli di
lati \(a\) e \(b\) (area \(ab\) ciascuno).
Attenzione! — Il termine “doppio prodotto”
Il termine centrale \(2ab\) è il doppio prodotto dei due termini del binomio. È l’errore più
frequente dimenticarsene:
\[ (a+b)^2 \neq a^2 + b^2. \]
La uguaglianza \(a^2+b^2\) vale solo se \(ab=0\), cioè se \(a=0\) o \(b=0\). In tutti gli altri casi manca il \(2ab\).
Il quadrato di un trinomio è la somma dei quadrati di ciascun termine più il doppio
prodotto di ogni coppia di termini. Più in generale, il quadrato di una somma di \(n\) termini
contiene \(n\) quadrati e \(\binom {n}{2}\) doppi prodotti.
I coefficienti sono \(1, 3, 3, 1\): simmetrici rispetto al centro. Se cerchi un modo per ricordarli, è la
quarta riga del triangolo di Tartaglia (vedi più avanti). Inoltre gli esponenti di \(a\) scendono
(\(3, 2, 1, 0\)) e quelli di \(b\) salgono (\(0, 1, 2, 3\)): la somma di ogni coppia di esponenti vale sempre \(3\).
\((2a - b)^3 = (2a)^3 - 3(2a)^2 b + 3(2a)b^2 - b^3 = 8a^3 - 12 a^2 b + 6 a b^2 - b^3\).
Attenzione! — Anche qui il doppio prodotto non
basta
\((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\). La differenza è di due termini: \(3a^2 b\) e \(3ab^2\). Anche \(a^3+b^3\) ha però un suo prodotto notevole (vedi la
sezione su somma/differenza di cubi più sotto).
\[ (a+b)(a-b) = a\cdot a - a\cdot b + b\cdot a - b\cdot b = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2. \]
Il prodotto incrociato \(-ab + ab\) si elide.
\[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2. \]
Nota — Lettura inversa: differenza di
quadrati
La formula si legge anche al contrario:
\[ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b). \]
È una delle scomposizioni in fattori più usate: ogni differenza di quadrati si fattorizza in
somma per differenza. Capitolo 19.
Figura 18.2: Interpretazione geometrica della differenza di quadrati. A sinistra: un quadrato
di lato \(a\) a cui è stato tolto un quadratino di lato \(b\), area \(a^2-b^2\). Ritagliando un rettangolo di lato \(b\times (a-b)\)
dall’angolo e ricomponendolo, si ottiene il rettangolo a destra di dimensioni \((a+b)\times (a-b)\).
Esempio 18.4
\((x+7)(x-7) = x^2 - 49\).
\((3a+2b)(3a-2b) = 9a^2 - 4b^2\).
\((\sqrt {5}+1)(\sqrt {5}-1) = 5 - 1 = 4\) (utilissimo per razionalizzare un denominatore — capitolo 47).
Attenzione! — Niente prodotto notevole per
\(a^2+b^2\)
Esiste \(a^2-b^2\) come prodotto notevole, ma non esiste in \(\mathbb{R} \) un’analoga scomposizione di \(a^2+b^2\). La
somma di due quadrati non è scomponibile a coefficienti reali: si scompone solo nei numeri
complessi (capitolo 88), come \(a^2+b^2 = (a+ib)(a-ib)\).
I coefficienti dello sviluppo di \((a+b)^n\) per piccoli valori di \(n\) formano una tabella molto famosa, nota in
Italia come triangolo di Tartaglia (Niccolò Fontana, detto Tartaglia, xvi sec.) e altrove come
triangolo di Pascal (xvii sec.).
Procedura — Costruzione del triangolo
1.
In cima si scrive un \(1\). È la riga \(n=0\).
2.
Ogni riga successiva si ottiene scrivendo un \(1\) a ogni estremità, e per ogni posizione
interna sommando i due numeri “sopra a sinistra” e “sopra a destra”.
I numeri del triangolo di Tartaglia hanno un nome: sono i coefficienti binomiali.
Definizione 18.1 — Coefficiente binomiale
Per \(n\in \mathbb{N} \) e \(k\in \{0,1,\ldots ,n\}\), il coefficiente binomiale \(\binom {n}{k}\) è il numero in posizione \(k\) (contando da \(0\)) della \(n\)-esima
riga del triangolo di Tartaglia. Esplicitamente:
\[ \binom {n}{k} = \frac {n!}{k!\,(n-k)!}, \]
dove \(n!\) è il fattoriale (\(n!=1\cdot 2\cdots n\), con \(0!=1\)).
Teorema 18.6 — Formula del binomio di
Newton
Per ogni \(a,b\in \mathbb{R} \) e ogni \(n\in \mathbb{N} \):
La formula generalizza i casi \(n=2\) e \(n=3\) visti sopra. Riprenderemo i coefficienti binomiali nel capitolo 86
(Combinazioni), dove vedremo che \(\binom {n}{k}\) ha anche il significato combinatorio di “numero di modi di
scegliere \(k\) oggetti su \(n\)”.
Esempio 18.7 — Sviluppo di \((x+1)^4\)
Riga \(n=4\): \(1, 4, 6, 4, 1\). Esponenti di \(x\): \(4, 3, 2, 1, 0\). Esponenti di \(1\): \(0, 1, 2, 3, 4\) (irrilevanti, dato che \(1^k=1\)).
Sviluppa il quadrato del trinomio: (a) \((a+b+c)^2\) (scrivi tutti i termini con le lettere generiche);
(b) \((x + 2y - 1)^2\); (c) \((2a - b - 3)^2\).
(Discussione.) Un compagno scrive \((a+b)^2 = a^2 + b^2\). Convincilo che è falso fornendo un controesempio
numerico, e poi dimostralo in due modi: algebrico (distributiva) e geometrico (figura
18.1).
Cubo del binomio: \((a\pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3\) (coefficienti \(1, 3, 3, 1\)).
Somma per differenza: \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\). Lettura inversa: ogni differenza di quadrati si fattorizza in
somma per differenza.
Somma e differenza di cubi: \(a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\).
\(a^2 + b^2\) non è scomponibile in \(\mathbb{R} \) (lo è in \(\mathbb{C} \), vedi capitolo 88).
Triangolo di Tartaglia: i coefficienti di \((a+b)^n\) formano una tabella di numeri costruita per
somma; la riga \(n\)-esima ha \(n+1\) termini. Coefficiente in posizione \(k\): \(\binom {n}{k}\).
Formula del binomio di Newton: \((a+b)^n = \sum _{k=0}^n \binom {n}{k} a^{n-k} b^k\). Approfondimento nel capitolo 87.
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