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Capitolo 47
Operazioni con i radicali e razionalizzazione

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L’arte di calcolare con i radicali consiste nel ridurli a forme che si possano sommare: ogni radicale con i suoi simili, e mai un radicale dove al di sotto si possa togliere qualcosa.”

— adattamento da Rafael Bombelli, L’Algebra (1572)

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47.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente abbiamo definito i radicali e ne abbiamo studiato le condizioni di esistenza, le semplificazioni, i trasporti. Ora impariamo a operare con essi: moltiplicare, dividere, sommare radicali, calcolarne potenze, fare radici di radici, e infine — operazione di particolare importanza pratica — razionalizzare il denominatore di una frazione, cioè eliminare i radicali dal denominatore.

Le regole sono per lo più conseguenze dirette delle proprietà delle potenze e della proprietà invariantiva. Il punto delicato è uno solo: si possono moltiplicare e dividere radicali anche di indice diverso (basta portarli allo stesso indice), ma si possono sommare solo radicali simili, cioè con stesso indice e stesso radicando (dopo semplificazione). È la stessa logica dei monomi simili nel calcolo letterale (capitolo 16): la somma si “raggruppa” solo quando l’oggetto comune coincide.

47.2 Riduzione allo stesso indice

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Per operare su radicali con indici diversi, conviene prima portarli tutti allo stesso indice, sfruttando la proprietà invariantiva (capitolo 46).

Procedura  — Ridurre allo stesso indice

Per portare due (o più) radicali allo stesso indice:

1.
Si calcola l’mcm degli indici, \(m = \operatorname{mcm} (n_1, n_2, \ldots )\).
2.
Per ciascun radicale \(\sqrt [n_i]{a_i}\), si scrive \(\sqrt [n_i]{a_i} = \sqrt [m]{a_i^{m/n_i}}\).

Esempio 47.1

Ridurre allo stesso indice \(\sqrt {2}\), \(\sqrt [3]{3}\), \(\sqrt [4]{5}\).

Soluzione. \(\operatorname{mcm} (2,3,4) = 12\). Allora:

\[ \sqrt {2} = \sqrt [12]{2^6} = \sqrt [12]{64},\quad \sqrt [3]{3} = \sqrt [12]{3^4} = \sqrt [12]{81},\quad \sqrt [4]{5} = \sqrt [12]{5^3} = \sqrt [12]{125}. \]

Confrontando i radicandi: \(64<81<125\), dunque \(\sqrt {2}<\sqrt [3]{3}<\sqrt [4]{5}\).

47.3 Confronto di radicali

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Il confronto fra radicali, come anticipato nel capitolo 46, si effettua portandoli allo stesso indice e confrontando i radicandi.

Teorema 47.1 — Confronto di radicali

Per ogni \(a, b \ge 0\) e ogni \(n\ge 1\):

\[ \sqrt [n]{a} < \sqrt [n]{b} \quad \iff \quad a < b. \]

Per \(a, b\) con indici diversi: si applica prima la procedura di riduzione allo stesso indice.

Esempio 47.2 — Confrontare con un razionale

È vero che \(\sqrt {10} > 3\)?

Soluzione. \(\sqrt {10}\) vs \(3\): eleviamo entrambi al quadrato (operazione che conserva l’ordine fra positivi): \(10\) vs \(9\). Poiché \(10>9\), sì, \(\sqrt {10}>3\).

47.4 Moltiplicazione e divisione

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Teorema 47.2 — Prodotto e quoziente di radicali con lo stesso indice

Per ogni \(a, b \ge 0\) e ogni \(n\ge 2\):

\[ \sqrt [n]{a}\cdot \sqrt [n]{b} = \sqrt [n]{a\cdot b}, \qquad \dfrac {\sqrt [n]{a}}{\sqrt [n]{b}} = \sqrt [n]{\dfrac {a}{b}} \quad (b>0). \]

Dimostrazione. Per le proprietà delle potenze (capitolo 9): \((\sqrt [n]{a}\cdot \sqrt [n]{b})^n = (\sqrt [n]{a})^n\cdot (\sqrt [n]{b})^n = a\cdot b\). Estraendo la radice (entrambi i membri sono non negativi): \(\sqrt [n]{a}\cdot \sqrt [n]{b} = \sqrt [n]{ab}\).

Esempio 47.3

Nota  — Prodotto/quoziente con indici diversi

Se gli indici sono diversi, prima si riducono allo stesso indice, poi si applica la regola:

\[ \sqrt {2}\cdot \sqrt [3]{5} = \sqrt [6]{2^3}\cdot \sqrt [6]{5^2} = \sqrt [6]{8\cdot 25} = \sqrt [6]{200}. \]

47.5 Trasporto fuori e dentro radice

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Già visto in dettaglio nel capitolo 46: \(\sqrt [n]{a^n\cdot b} = a\sqrt [n]{b}\) (con \(a\ge 0\)).

Nota  — Promemoria

Si porta fuori dalla radice il quoziente intero dell’esponente diviso per l’indice, lasciando dentro la radice il resto:

\[ \sqrt [n]{a^k} = a^{\lfloor k/n\rfloor }\cdot \sqrt [n]{a^{k\bmod n}}. \]

Per il trasporto dentro, l’inverso: \(a\sqrt [n]{b} = \sqrt [n]{a^n b}\) se \(a\ge 0\).

47.6 Addizione e sottrazione radicali simili

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Definizione 47.1 — Radicali simili

Due radicali si dicono simili se, dopo aver portato fuori il più possibile (semplificazione completa), hanno lo stesso indice e lo stesso radicando.

Teorema 47.3 — Somma di radicali simili

La somma o la differenza di due radicali simili è ancora un radicale simile, il cui coefficiente è la somma (o differenza) dei coefficienti:

\[ m\sqrt [n]{a} \pm k\sqrt [n]{a} = (m\pm k)\sqrt [n]{a}. \]

Attenzione!  — Non si sommano radicandi

Non si può scrivere \(\sqrt {a}+\sqrt {b} = \sqrt {a+b}\): è uno degli errori più frequenti. Per esempio, \(\sqrt {9}+\sqrt {16} = 3+4 = 7\), mentre \(\sqrt {9+16} = \sqrt {25} = 5\): i due valori sono diversi.

La somma di radicali non simili si lascia indicata così com’è.

Procedura  — Sommare radicali

1.
Si semplifica ogni radicale al massimo (portar fuori dalla radice).
2.
Si raggruppano quelli simili (stesso indice e stesso radicando).
3.
Si sommano i coefficienti dei simili.

Esempio 47.4

Calcolare \(\sqrt {12}+\sqrt {75}-\sqrt {27}\).

Soluzione. Semplifichiamo:

\[ \sqrt {12} = 2\sqrt {3},\quad \sqrt {75} = 5\sqrt {3},\quad \sqrt {27} = 3\sqrt {3}. \]

Tutti simili (radicando \(3\), indice \(2\)). Sommando: \((2 + 5 - 3)\sqrt {3} = 4\sqrt {3}\).

Esempio 47.5 — Radicali non simili

\(\sqrt {2} + \sqrt {3}\) non si può ulteriormente semplificare: il risultato è \(\sqrt {2}+\sqrt {3}\) (numericamente \(\approx 3{,}146\)). Va lasciato indicato così, non si può unire.

47.7 Razionalizzazione del denominatore

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In matematica e in fisica, è convenzione che le frazioni vengano scritte con il denominatore razionale: privo di radicali. Quando si ottiene un risultato come \(\dfrac {1}{\sqrt {2}}\), si razionalizza, cioè si moltiplicano numeratore e denominatore per un termine opportuno che faccia sparire il radicale dal denominatore.

Nota  — Perché razionalizzare

Storicamente, prima dell’avvento delle calcolatrici, era molto più facile calcolare \(\tfrac {\sqrt {2}}{2}\approx \tfrac {1{,}414}{2}\approx 0{,}707\) che \(\tfrac {1}{\sqrt {2}} = \tfrac {1}{1{,}414}\). Oggi è anche una questione di pulizia formale: una forma razionalizzata è considerata “ridotta” e si confronta più facilmente con altre.

Caso 1: denominatore radicale singolo

Se il denominatore è \(\sqrt [n]{a^k}\) con \(k<n\), si moltiplica numeratore e denominatore per \(\sqrt [n]{a^{n-k}}\), in modo che al denominatore l’esponente di \(a\) sotto radice diventi \(n\), ed esca interamente:

\[ \dfrac {1}{\sqrt [n]{a^k}} = \dfrac {\sqrt [n]{a^{n-k}}}{a} \qquad (k<n,\ a>0). \]

Esempio 47.6

Caso 2: somma o differenza di radicali quadratici

Se il denominatore è del tipo \(\sqrt {a}+\sqrt {b}\) o \(\sqrt {a}-\sqrt {b}\), si moltiplica per il coniugato (cambiando il segno), sfruttando il prodotto notevole \((\alpha +\beta )(\alpha -\beta )=\alpha ^2-\beta ^2\) (capitolo 18):

\[ \dfrac {1}{\sqrt {a}+\sqrt {b}} = \dfrac {\sqrt {a}-\sqrt {b}}{a-b}, \qquad \dfrac {1}{\sqrt {a}-\sqrt {b}} = \dfrac {\sqrt {a}+\sqrt {b}}{a-b}. \]

Esempio 47.7

Nota  — Estensione a radicali cubici

Per denominatore \(\sqrt [3]{a}\pm \sqrt [3]{b}\) si usa l’identità della somma/differenza di cubi: \(\alpha ^3\pm \beta ^3 = (\alpha \pm \beta )(\alpha ^2\mp \alpha \beta +\beta ^2)\) (capitolo 18). Si moltiplica numeratore e denominatore per il “polinomio coniugato cubico”.

Esempio: \(\dfrac {1}{\sqrt [3]{a}+\sqrt [3]{b}} = \dfrac {\sqrt [3]{a^2}-\sqrt [3]{ab}+\sqrt [3]{b^2}}{a+b}\).

Il caso \(\sqrt [n]{a}\pm \sqrt [n]{b}\) in generale è più complesso; per \(n>3\) si usano formule di scomposizione meno standard.

Sintesi visiva

[Picture]

Figura 47.1: I tre casi standard di razionalizzazione del denominatore. In ogni caso si moltiplica numeratore e denominatore per un termine che, grazie a un prodotto notevole, elimina la radice dal denominatore. I primi due casi sono i più frequenti al liceo.

47.8 Potenza e radice di radicale

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Teorema 47.4 — Potenza di un radicale

Per ogni \(a\ge 0\), ogni \(n\ge 2\) e ogni \(m\in \mathbb{N} \):

\[ \left (\sqrt [n]{a}\right )^m = \sqrt [n]{a^m}. \]

Equivalentemente: l’esponente si può trasportare dentro la radice.

Dimostrazione. \((\sqrt [n]{a})^m\) è il prodotto di \(m\) fattori uguali a \(\sqrt [n]{a}\). Per la proprietà del prodotto: \(\sqrt [n]{a\cdot a\cdots a} = \sqrt [n]{a^m}\) (\(m\) fattori).

Esempio 47.8

\((\sqrt {3})^4 = \sqrt {3^4} = \sqrt {81} = 9\). Verifica numerica: \(\sqrt {3}\approx 1{,}732\), \((\sqrt {3})^4 \approx (1{,}732)^4 = (3{,}0)^2 = 9\). \(\checkmark\)

Teorema 47.5 — Radice di un radicale

Per ogni \(a\ge 0\) e ogni \(m, n\ge 2\):

\[ \sqrt [m]{\sqrt [n]{a}} = \sqrt [m\cdot n]{a}. \]

Dimostrazione. Sia \(b = \sqrt [m]{\sqrt [n]{a}}\), \(b\ge 0\). Allora \(b^m = \sqrt [n]{a}\), da cui \((b^m)^n = a\), ovvero \(b^{mn} = a\). Quindi \(b = \sqrt [mn]{a}\).

Esempio 47.9

\(\sqrt {\sqrt {16}} = \sqrt {4} = 2\). Verifica via formula: \(\sqrt [2\cdot 2]{16} = \sqrt [4]{16} = 2\). \(\checkmark\)

\(\sqrt [3]{\sqrt {x}} = \sqrt [6]{x}\).

47.9 Radicali doppi

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Un radicale doppio è un’espressione della forma \(\sqrt {a\pm \sqrt {b}}\) con un radicale “dentro” un altro. In certi casi si può semplificare riducendolo a una somma o differenza di due radicali semplici.

Teorema 47.6 — Formula del radicale doppio

Per ogni \(a, b\ge 0\) con \(a^2 - b\ge 0\):

\[ \sqrt {a + \sqrt {b}} = \sqrt {\dfrac {a + \sqrt {a^2-b}}{2}} + \sqrt {\dfrac {a - \sqrt {a^2-b}}{2}}, \]
\[ \sqrt {a - \sqrt {b}} = \sqrt {\dfrac {a + \sqrt {a^2-b}}{2}} - \sqrt {\dfrac {a - \sqrt {a^2-b}}{2}}. \]

La formula è utile (cioè produce una semplificazione) solo quando \(a^2-b\) è un quadrato perfetto: in tal caso \(\sqrt {a^2-b}\) è razionale, e l’espressione si semplifica davvero.

Esempio 47.10

Semplificare \(\sqrt {5 + 2\sqrt {6}}\).

Soluzione. Riconduciamo a \(\sqrt {a+\sqrt {b}}\): \(5+2\sqrt {6} = 5 + \sqrt {24}\). Quindi \(a=5\), \(b=24\), \(a^2-b = 25-24 = 1\), che è un quadrato perfetto.

\[ \sqrt {5+\sqrt {24}} = \sqrt {\dfrac {5+1}{2}} + \sqrt {\dfrac {5-1}{2}} = \sqrt {3} + \sqrt {2}. \]

Verifica: \((\sqrt {3}+\sqrt {2})^2 = 3 + 2\sqrt {6} + 2 = 5+2\sqrt {6}\). \(\checkmark\)

47.10 Esempi svolti

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Esempio 47.11 — Semplificazione di un’espressione

Semplificare \(\sqrt {18} + 2\sqrt {50} - \sqrt {72}\).

Soluzione.

\[ \sqrt {18} = 3\sqrt {2},\quad \sqrt {50} = 5\sqrt {2},\quad \sqrt {72} = 6\sqrt {2}. \]

Tutti simili. \(3\sqrt {2} + 2\cdot 5\sqrt {2} - 6\sqrt {2} = (3+10-6)\sqrt {2} = 7\sqrt {2}\).

Esempio 47.12 — Prodotto con indici diversi

Calcolare \(\sqrt [3]{4}\cdot \sqrt {2}\).

Soluzione. \(\operatorname{mcm} (3,2)=6\). \(\sqrt [3]{4} = \sqrt [6]{16}\), \(\sqrt {2} = \sqrt [6]{8}\). Prodotto: \(\sqrt [6]{16\cdot 8} = \sqrt [6]{128} = \sqrt [6]{2^7} = 2\sqrt [6]{2}\).

Esempio 47.13 — Razionalizzare un denominatore singolo

Razionalizzare \(\dfrac {6}{\sqrt [3]{9}}\).

Soluzione. \(\sqrt [3]{9} = \sqrt [3]{3^2}\). Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt [3]{3}\) (perché \(2+1=3\)):

\[ \dfrac {6\sqrt [3]{3}}{\sqrt [3]{27}} = \dfrac {6\sqrt [3]{3}}{3} = 2\sqrt [3]{3}. \]

Esempio 47.14 — Razionalizzare un binomio

Razionalizzare \(\dfrac {1}{\sqrt {7}-\sqrt {3}}\).

Soluzione. Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato \(\sqrt {7}+\sqrt {3}\):

\[ \dfrac {\sqrt {7}+\sqrt {3}}{(\sqrt {7}-\sqrt {3})(\sqrt {7}+\sqrt {3})} = \dfrac {\sqrt {7}+\sqrt {3}}{7-3} = \dfrac {\sqrt {7}+\sqrt {3}}{4}. \]

Esempio 47.15 — Espressione complessa

Semplificare \(\dfrac {\sqrt {12}+\sqrt {27}}{\sqrt {3}}\).

Soluzione. \(\sqrt {12} = 2\sqrt {3}\), \(\sqrt {27} = 3\sqrt {3}\). Allora il numeratore è \(2\sqrt {3} + 3\sqrt {3} = 5\sqrt {3}\). Dividendo:

\[ \dfrac {5\sqrt {3}}{\sqrt {3}} = 5. \]

Esempio 47.16 — Radicale doppio

Semplificare \(\sqrt {7 - 4\sqrt {3}}\).

Soluzione. Scriviamo \(4\sqrt {3} = \sqrt {48}\). Quindi \(a=7\), \(b=48\), \(a^2-b = 49-48 = 1\) (quadrato!):

\[ \sqrt {7-\sqrt {48}} = \sqrt {\dfrac {7+1}{2}} - \sqrt {\dfrac {7-1}{2}} = \sqrt {4} - \sqrt {3} = 2 - \sqrt {3}. \]

Verifica: \((2-\sqrt {3})^2 = 4 - 4\sqrt {3} + 3 = 7 - 4\sqrt {3}\). \(\checkmark\)

47.11 Esercizi proposti

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Esercizio 47.1

1.
Calcola e semplifica: (a) \(\sqrt {8} + \sqrt {32} - \sqrt {50}\); (b) \(2\sqrt {12} + 3\sqrt {27}\); (c) \(\sqrt {45} - 2\sqrt {20} + \sqrt {80}\); (d) \(\sqrt [3]{16} + \sqrt [3]{54} - \sqrt [3]{2}\).
2.
Confronta (ordinando in modo crescente): (a) \(\sqrt {2}\), \(\sqrt [3]{3}\), \(\sqrt [4]{5}\); (b) \(\sqrt {7}\), \(2{,}5\), \(\sqrt [3]{20}\); (c) \(\sqrt [3]{2}\), \(\sqrt {1{,}5}\), \(\sqrt [6]{3}\).
3.
Calcola il prodotto (mettendo allo stesso indice se serve): (a) \(\sqrt {6}\cdot \sqrt {10}\); (b) \(\sqrt [3]{4}\cdot \sqrt [3]{18}\); (c) \(\sqrt {2}\cdot \sqrt [3]{3}\); (d) \(\sqrt [4]{8}\cdot \sqrt [6]{4}\).
4.
Calcola il quoziente: (a) \(\dfrac {\sqrt {72}}{\sqrt {2}}\); (b) \(\dfrac {\sqrt [3]{54}}{\sqrt [3]{2}}\); (c) \(\dfrac {\sqrt {18 a^3}}{\sqrt {2 a}}\) (con \(a>0\)).
5.
Razionalizza: (a) \(\dfrac {4}{\sqrt {5}}\); (b) \(\dfrac {1}{2\sqrt {3}}\); (c) \(\dfrac {5}{\sqrt [3]{2}}\); (d) \(\dfrac {a}{\sqrt [3]{a^2}}\) (con \(a>0\)).
6.
Razionalizza usando il coniugato: (a) \(\dfrac {1}{\sqrt {5}+\sqrt {2}}\); (b) \(\dfrac {3}{\sqrt {7}-2}\); (c) \(\dfrac {\sqrt {2}}{\sqrt {6}-\sqrt {2}}\); (d) \(\dfrac {1+\sqrt {3}}{1-\sqrt {3}}\).
7.
Calcola: (a) \((\sqrt {5})^3\); (b) \((\sqrt [3]{2})^6\); (c) \(\left (\sqrt [4]{3}\right )^2\); (d) \(\sqrt {\sqrt {16}}\); (e) \(\sqrt [3]{\sqrt {x}}\) (con \(x\ge 0\)).
8.
Semplifica i radicali doppi: (a) \(\sqrt {9 + 4\sqrt {2}}\) (verifica che \(9^2-32=49=7^2\)); (b) \(\sqrt {4 - 2\sqrt {3}}\); (c) \(\sqrt {8 + 2\sqrt {15}}\).
9.
(Discussione.) Mostra con un controesempio numerico che, in generale, \(\sqrt {a+b}\neq \sqrt {a}+\sqrt {b}\). E come è la disuguaglianza? Cioè: \(\sqrt {a+b}\) è maggiore o minore di \(\sqrt {a}+\sqrt {b}\)? (Suggerimento: elevare al quadrato entrambi i lati per confrontarli.)

47.12 Riepilogo del capitolo

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