Fino a qui abbiamo lavorato con numeri concreti: \(3\), \(-7\), \(\tfrac {2}{5}\), \(\sqrt {2}\). Da questo capitolo in poi entriamo nel
calcolo letterale: useremo lettere (\(x\), \(y\), \(a\), \(b\), \(\ldots \)) come “numeri generici”, cioè come segnaposto per
qualunque numero reale. È una svolta storica che la matematica ha compiuto nel xvi secolo con
François Viète: scrivere \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) una sola volta, e averlo dimostrato per ogni \(a,b\), equivale a verificare
l’uguaglianza per tutti gli infiniti casi numerici.
Il monomio è l’oggetto più semplice del calcolo letterale: una sola “parola” fatta di un numero
per delle lettere. Espressioni come \(3x^2\), \(-\tfrac {1}{2}ab^3\), \(5xyz\) sono tutte monomi. Sapere riconoscere un monomio,
calcolarne il grado, sommarlo a un altro simile, moltiplicarlo, dividerlo, elevarlo a potenza, sono le
abilità di base che useremo in tutto il resto del libro.
In questo capitolo introduciamo formalmente il monomio, le sue operazioni e i concetti correlati:
monomi simili, MCD e mcm di monomi (estendendo le idee del capitolo 10). Nel capitolo successivo
(17) passeremo ai polinomi, somme di monomi.
Si chiama monomio un’espressione algebrica formata dal prodotto di un numero (la parte
numerica o coefficiente) e di lettere elevate a esponenti naturali (la parte letterale).
Non compaiono operazioni di somma o sottrazione tra termini, né divisioni per lettere o
esponenti negativi.
Esempio 16.1
Sono monomi: \(3x^2y\), \(-\dfrac {1}{2}ab^3\), \(7xyz\), \(-5\), \(x\), \(\dfrac {2}{3}a^4\). Non sono monomi: \(x+y\) (c’è una somma), \(\dfrac {1}{x}\) (esponente negativo), \(\sqrt {x}\) (esponente frazionario),
\(\dfrac {3y}{x-1}\) (divisione per un’espressione letterale).
Definizione 16.2 — Forma normale
Un monomio è scritto in forma normale quando:
compare un solo coefficiente numerico, scritto per primo;
ogni lettera compare una sola volta, con un esponente naturale;
\(-\dfrac {1}{2}b^2 a \cdot 4 a = -\dfrac {1}{2}\cdot 4 \cdot a\cdot a\cdot b^2 = -2\,a^2 b^2\).
\(5 z y^2 x = 5\,xy^2 z\).
Nota — Monomio nullo e monomio unità
Il monomio nullo è il numero \(0\). Per convenzione si dice “monomio” anche se non ha
parte letterale: il suo grado è indefinito (alcuni testi lo pongono \(-\infty \)).
I monomi costanti non nulli sono i numeri \(a\in \mathbb{R} \setminus \{0\}\): hanno solo parte numerica.
Il coefficiente \(1\) e \(-1\) non si scrivono: \(1\cdot x^2 y\) si scrive \(x^2y\); \(-1\cdot a^3\) si scrive \(-a^3\).
Figura 16.1: Anatomia di un monomio: \(-3x^2 y^4\). Il coefficiente (\(-3\)) è la parte numerica; le lettere \(x^2 y^4\) sono
la parte letterale. Il grado complessivo è la somma degli esponenti delle lettere: \(2+4=6\).
Sia \(M\) un monomio non nullo scritto in forma normale.
Il grado di \(M\) rispetto a una lettera è l’esponente con cui quella lettera compare
in \(M\). Se la lettera non compare, il grado rispetto a quella lettera è \(0\).
Il grado complessivo (o semplicemente grado) di \(M\) è la somma degli esponenti di
tutte le lettere che compaiono in \(M\).
Esempio 16.3
Considera \(M = -5\,a^3 b\, c^2\).
Grado rispetto ad \(a\): \(3\).
Grado rispetto a \(b\): \(1\).
Grado rispetto a \(c\): \(2\).
Grado rispetto a \(d\): \(0\) (la lettera non compare).
Grado complessivo: \(3+1+2=6\).
Nota — Monomi costanti
Un monomio costante non nullo (es. \(7\)) ha grado \(0\): nessuna lettera, nessun esponente da
sommare. È coerente con la convenzione \(a^0=1\) vista nel capitolo 9.
Due monomi (non nulli) si dicono simili se hanno la stessa parte letterale, cioè le stesse
lettere ciascuna con lo stesso esponente. Possono differire solo per il coefficiente.
Esempio 16.4
\(3x^2y\) e \(-\dfrac {1}{2}x^2y\): simili (stessa parte \(x^2y\)).
\(5ab^2\) e \(-4ab^2\): simili.
\(3x^2y\) e \(3xy^2\): non simili (gli esponenti di \(x\) e \(y\) sono scambiati).
\(7a\) e \(7a^2\): non simili.
\(5\) e \(-2\): simili (entrambi costanti, “parte letterale” vuota).
Definizione 16.5 — Monomi opposti, monomi
uguali
Due monomi sono uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente.
Due monomi sono opposti se sono simili e hanno coefficienti opposti.
Esempio: \(3x^2y\) e \(3x^2y\) sono uguali; \(3x^2y\) e \(-3x^2y\) sono opposti.
La somma di due monomi simili è ancora un monomio simile a essi, il cui coefficiente è
la somma algebrica dei coefficienti.
Dimostrazione (idea). Per la proprietà distributiva (capitolo 8): \(ax^p y^q + bx^p y^q = (a+b)\,x^p y^q\).
Attenzione! — Solo monomi simili!
La somma è possibile in forma compatta solo tra monomi simili. La somma di due
monomi non simili — per esempio \(3x^2y + 2xy^2\) — non è un monomio: è già un polinomio (capitolo
17). Si lascia indicata così com’è.
Esempio 16.5
\(3a^2 b + 5a^2 b = 8a^2 b\) (simili: si somma).
\(7xy - 2xy = 5xy\).
\(\dfrac {1}{2}m^2 n + \dfrac {1}{3}m^2 n = \left (\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{3}\right )m^2 n = \dfrac {5}{6}m^2 n\).
\(3x^2 + 4x\): non simili, non si possono sommare in un monomio. Resta \(3x^2 + 4x\) (polinomio).
Il prodotto di due monomi è un monomio il cui coefficiente è il prodotto dei coefficienti
e la cui parte letterale si ottiene moltiplicando le parti letterali (sommando gli esponenti
delle lettere uguali).
Dimostrazione. Per le proprietà delle potenze (capitolo 9): \(x^p\cdot x^q = x^{p+q}\). Esempio:
\[ (3a^2 b)\cdot (-2a b^3 c) = (3)\cdot (-2)\cdot a^{2+1}\cdot b^{1+3}\cdot c = -6\,a^3 b^4 c. \]
Teorema 16.3 — Quoziente di monomi
Il quoziente di due monomi \(A\) e \(B\) (con \(B\neq 0\)) è ancora un monomio se e solo se ogni lettera che
compare in \(B\) compare anche in \(A\) con esponente almeno pari. In tal caso, il coefficiente è il
quoziente dei coefficienti e gli esponenti delle lettere si sottraggono.
Esempio 16.6
\((6 a^3 b^2) : (2 a b) = (6:2)\cdot a^{3-1}\cdot b^{2-1} = 3\,a^2 b\).
\((-12 x^4 y^3) : (-3 x^2 y) = 4\,x^2 y^2\).
\((5 a^2 b) : (2 a^3 b)\): non è un monomio, perché in \(a\) a denominatore l’esponente è \(3>2\). Resta una frazione
algebrica: \(\dfrac {5}{2a}\) (capitolo 20).
Teorema 16.4 — Potenza di un monomio
Una potenza \((M)^n\) di un monomio \(M=a\,x^{p_1}\ldots x_k^{p_k}\) è il monomio in cui:
il coefficiente è elevato a \(n\);
ogni esponente delle lettere è moltiplicato per \(n\).
Dimostrazione. Per la proprietà \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\) (capitolo 9) e \((a\,b)^n = a^n\,b^n\):
\(\left (\dfrac {1}{2} m n^2\right )^5 = \dfrac {1}{32}\,m^5 n^{10}\).
Figura 16.2: Riassunto delle operazioni sui monomi. La somma è il caso particolare che
richiede monomi simili; le altre tre operazioni sono sempre possibili sul prodotto/potenza,
e producono ancora un monomio. Il quoziente, invece, dà un monomio solo se il dividendo
“contiene” il divisore in ogni lettera.
L’idea di MCD e mcm (capitoli 10 e 11) si estende naturalmente ai monomi. È utilissima
per le scomposizioni a fattor comune (capitolo 19) e per le frazioni algebriche (capitolo
20).
Procedura — MCD di monomi
Dati due o più monomi:
1.
Coefficiente: si calcola l’MCD dei coefficienti (in valore assoluto).
2.
Parte letterale: si prendono le lettere comuni a tutti, ciascuna con l’esponente minimo.
Procedura — mcm di monomi
1.
Coefficiente: si calcola il mcm dei coefficienti (in valore assoluto).
2.
Parte letterale: si prendono tutte le lettere (anche quelle non comuni), ciascuna con
l’esponente massimo.
Esempio 16.8
Calcolare \(\operatorname{MCD} \) e \(\operatorname{mcm} \) di \(12a^3 b^2\) e \(18 a^2 b c\).
Parti letterali: lettere comuni \(a\) e \(b\), esponenti minimi \(a^2\) e \(b^1\). Lettere totali \(a, b, c\), esponenti
massimi \(a^3\), \(b^2\), \(c^1\).
Quindi:
\[ \operatorname{MCD} (12a^3 b^2,\ 18a^2 b c) = 6\,a^2 b,\qquad \operatorname{mcm} (12a^3 b^2,\ 18a^2 b c) = 36\,a^3 b^2 c. \]
Nota — Segno del coefficiente
Per convenzione il coefficiente di \(\operatorname{MCD} \) e di \(\operatorname{mcm} \) si prende positivo. Per esempio \(\operatorname{MCD} (-6x^2,\ 4x) = 2x\) (non \(-2x\), anche se
entrambi dividono).
Riduci a forma normale e indica coefficiente e grado complessivo: (a) \(3 a\cdot (-2)b^2\cdot 5a\); (b) \(-\dfrac {2}{3}x y^2\cdot 6 x^2 y\); (c)
\((-1)^3\, x^2 y\,(-x y^3)\); (d) \(7\cdot z\cdot 4\cdot 2 z^3\).
2.
Stabilisci quali coppie di monomi sono simili: (a) \(3 a^2 b\) e \(-5 a^2 b\); (b) \(4 x y^3\) e \(4 x^3 y\); (c) \(-7\) e \(\sqrt {2}\); (d) \(\dfrac {1}{2} m n^2\) e \(\dfrac {3}{4} m^2 n\).
3.
Calcola la somma algebrica: (a) \(5 a^2 - 3 a^2 + 7 a^2\); (b) \(\dfrac {1}{2} x y + \dfrac {2}{3} x y - x y\); (c) \(4 ab^2 - ab^2 + 6 ab^2 - 9 ab^2\).
Calcola il quoziente (quando è un monomio): (a) \((12 x^5 y^2) : (-3 x^2 y)\); (b) \((-18 a^3 b^4) : (2 a b^2)\); (c) \((10 m^2 n) : (4 m n^2)\) — è un monomio?
6.
Calcola la potenza: (a) \((2x^2 y)^4\); (b) \((-3 a b^2)^3\); (c) \(\left (\dfrac {1}{3} x y^2\right )^2\); (d) \(\left (-\dfrac {2}{5} a^3\right )^3\).
Calcola \(\operatorname{MCD} \) e \(\operatorname{mcm} \): (a) \(6 a^2 b\) e \(9 a b^3\); (b) \(8 x^3 y\) e \(12 x y^2\); (c) \(5 a^2 b c\), \(10 a b^2\), \(15 a^3 b c\); (d) \(4 x^2 y\), \(6 x y^3\), \(9 y^2\).
9.
(Discussione.) Un compagno scrive: “\(3 x^2 + 2 x^2 = 5 x^4\)” come la somma di esponenti nelle potenze.
Spiega dove sbaglia e indica la regola corretta.
Un monomio è un prodotto di un coefficiente (parte numerica) e di lettere elevate
a esponenti naturali (parte letterale). Niente somme/sottrazioni interne, niente
esponenti negativi o frazionari.
Forma normale: un solo coefficiente, ogni lettera una sola volta con esponente
naturale, lettere in ordine alfabetico.
Il grado rispetto a una lettera è l’esponente di quella lettera. Il grado complessivo è
la somma di tutti gli esponenti.
Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale (stesse lettere, stessi
esponenti). Solo i monomi simili si sommano in un monomio: si sommano i coefficienti.
Prodotto: si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali.
Sempre possibile.
Quoziente: si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti. È un monomio solo
se nel dividendo ogni lettera compare con esponente \(\ge \) a quello del divisore.
Potenza \((M)^n\): il coefficiente è elevato a \(n\), ogni esponente delle lettere è moltiplicato per \(n\).
MCD di monomi: MCD dei coefficienti \(\times \) lettere comuni con esponente minimo.
mcm di monomi: mcm dei coefficienti \(\times \) tutte le lettere con esponente massimo.
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