I numeri sono libere creazioni dello spirito umano: servono come strumento per cogliere più facilmente e
nettamente la diversità delle cose.” — Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? (1888)
I numeri razionali sono moltissimi: ne abbiamo già visto la densità (capitolo 7). Tra due
razionali distinti ne esistono infiniti altri. Sembra che \(\mathbb{Q} \) “riempia” la retta numerica. Eppure — e
questa è una delle scoperte più sorprendenti della matematica greca — non è così: la retta
numerica contiene molti più punti di quanti siano i razionali.
La scoperta risale al v secolo a.C.: i pitagorici si accorsero che la diagonale di un quadrato di
lato \(1\) ha lunghezza \(\sqrt {2}\), e dimostrarono che \(\sqrt {2}\) non può essere un rapporto fra interi. La cosa era così
sconvolgente per la loro filosofia del “tutto è numero” (intendendo: rapporto fra interi) che una
leggenda vuole Ippaso di Metaponto, primo divulgatore della prova, gettato in mare per aver violato
il segreto. Veridica o no, la storia testimonia la portata della scoperta: c’erano altri numeri, oltre ai
razionali. Numeri irrazionali.
In questo capitolo formalizziamo l’estensione \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \): motiviamo perché ci servono i nuovi numeri (\(\sqrt {2}\), \(\pi \), \(e\),
\(\varphi \)), introduciamo \(\mathbb{R} \) come l’insieme dei decimali infiniti qualsiasi, e ricaviamo le sue proprietà
essenziali: densità di \(\mathbb{Q} \) in \(\mathbb{R} \), completezza della retta reale, ordinamento totale. Chiudiamo con la
classificazione degli intervalli e il valore assoluto in \(\mathbb{R} \).
Consideriamo un quadrato di lato \(1\) (in qualunque unità di misura). Per il teorema
di Pitagora — che riprenderemo in dettaglio nel capitolo 59 — la diagonale \(d\) soddisfa
Quanto vale \(\sqrt {2}\)? Possiamo stimarlo: \(1^2=1\) e \(2^2=4\), dunque \(1 < \sqrt {2} < 2\). Più precisamente: \(1{,}4^2 = 1{,}96\) e \(1{,}5^2 = 2{,}25\), quindi \(1{,}4<\sqrt {2}<1{,}5\). Continuando: \(1{,}41<\sqrt {2}<1{,}42\), e
così via. Esiste un numero che corrisponde alla diagonale: la domanda è se sia razionale o
no.
Teorema 15.1 — Irrazionalità di \(\sqrt {2}\), Ippaso
Non esiste nessun razionale \(r=\tfrac {a}{b}\) tale che \(r^2=2\).
Dimostrazione (per assurdo). Supponiamo per assurdo che esista \(r=\tfrac {a}{b}\in \mathbb{Q} \) con \(r^2=2\), in forma ridotta ai
minimi termini (cioè \(\operatorname{MCD} (a,b)=1\)). Da \(\tfrac {a^2}{b^2}=2\) segue \(a^2 = 2b^2\), dunque \(a^2\) è pari. Per quanto dimostrato nel capitolo 6, anche \(a\) è
pari: \(a=2k\). Sostituendo: \((2k)^2=2b^2\), cioè \(4k^2=2b^2\), cioè \(b^2=2k^2\). Allora \(b^2\) è pari e quindi anche \(b\). Ma allora \(a\) e \(b\) hanno il fattore \(2\) in
comune: contraddice l’ipotesi \(\operatorname{MCD} (a,b)=1\).
La supposizione iniziale è insostenibile. Quindi \(\sqrt {2}\notin \mathbb{Q} \).
Nota — Conseguenza geometrica
La diagonale del quadrato di lato \(1\) è dunque un punto della retta numerica che non
corrisponde a nessun razionale. Si vede a occhio sulla retta — basta riportare con il
compasso la diagonale del quadrato — ma non lo si raggiunge mai con frazioni \(\tfrac {a}{b}\), per
quanto fini.
Figura 15.1: Costruzione geometrica di \(\sqrt {2}\): è la diagonale del quadrato di lato \(1\). Sulla retta
numerica, \(\sqrt {2}\) cade fra \(1\) e \(2\) (più precisamente fra \(1{,}41\) e \(1{,}42\)), ma non coincide con nessun razionale: è il
primo numero “irrazionale” che si incontra.
Un numero irrazionale è un numero che non si può scrivere nella forma \(\tfrac {a}{b}\) con \(a,b\in \mathbb{Z} \),
\(b\neq 0\). Equivalentemente (capitolo 13): la sua rappresentazione decimale è infinita e non
periodica.
L’insieme degli irrazionali si indica con \(\mathbb {I}\) (oppure \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)).
Esempio 15.1 — Esempi notevoli di irrazionali
\(\sqrt {2} = 1{,}41421356\ldots \) (l’esempio di Ippaso).
\(\sqrt {3} = 1{,}73205080\ldots \) (irrazionalità provata in modo analogo, capitolo 6).
\(\sqrt {p}\) per ogni primo \(p\): irrazionale (la dimostrazione si generalizza). Più in generale: \(\sqrt {n}\) è
irrazionale per ogni \(n\in \mathbb{N} \) che non sia un quadrato perfetto.
\(\pi = 3{,}14159265\ldots \) (il rapporto tra circonferenza e diametro; irrazionalità provata da Lambert nel 1761).
\(e = 2{,}71828182\ldots \) (la base dei logaritmi naturali; irrazionalità provata da Eulero nel 1737).
Approfondiremo \(e\) nel capitolo 81.
Irrazionali algebrici: soluzioni di equazioni polinomiali a coefficienti interi. \(\sqrt {2}\) è
soluzione di \(x^2-2=0\); \(\sqrt [3]{5}\) di \(x^3-5=0\); \(\varphi \) di \(x^2-x-1=0\).
Irrazionali trascendenti: non sono soluzioni di alcuna equazione polinomiale a
coefficienti interi. \(\pi \) ed \(e\) sono trascendenti (provato rispettivamente da Lindemann nel
1882 e Hermite nel 1873).
Si può dimostrare che “quasi tutti” i reali sono trascendenti, anche se è molto difficile esibirli
concretamente: una situazione paradossale che la matematica ha imparato a maneggiare nel
xx secolo.
cioè l’unione dei razionali e degli irrazionali. Si può anche descrivere come l’insieme di
tutti i decimali, finiti o infiniti, periodici o non periodici.
In termini di rappresentazione decimale:
rappresentazione decimale
insieme di appartenenza
finita
\(\mathbb{Q} \) (razionali)
infinita periodica
\(\mathbb{Q} \) (razionali)
infinita non periodica
\(\mathbb {I}\) (irrazionali)
La definizione formale di \(\mathbb{R} \) richiede strumenti più avanzati (sezioni di Dedekind o successioni di
Cauchy, sviluppate nel xix secolo da Dedekind, Cantor e Weierstrass). Per il liceo basta l’idea
intuitiva: \(\mathbb{R} \) è l’insieme dei punti della retta numerica, ognuno dei quali corrisponde a una sequenza di
cifre decimali, eventualmente infinita.
Figura 15.2: Catena completa \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \), con esempi rappresentativi: naturali (verde), interi negativi
(blu), razionali (viola, sia frazioni che periodici), irrazionali (rosso: \(\sqrt {2}, \pi , e\)). L’anello esterno \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) contiene
tutti gli irrazionali, suddivisi a loro volta in algebrici e trascendenti.
Teorema 15.3 — Densità di \(\mathbb{Q} \) in \(\mathbb{R} \)
Per ogni coppia \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \) con \(\alpha <\beta \), esiste un razionale \(r\in \mathbb{Q} \) tale che \(\alpha <r<\beta \).
Dimostrazione (idea). Sia \(\beta -\alpha >0\). Per la proprietà archimedea (la presenteremo in detaglio nel capitolo
126), esiste un naturale \(n\) tale che \(\tfrac {1}{n}<\beta -\alpha \). Scegliamo poi un intero \(m\) con \(\tfrac {m}{n}>\alpha \) e \(m\) minimo possibile: allora \(\tfrac {m-1}{n}\le \alpha <\tfrac {m}{n}\), e \(\tfrac {m}{n}=\tfrac {m-1}{n}+\tfrac {1}{n}\le \alpha +\tfrac {1}{n}<\beta \).
Quindi \(r=\tfrac {m}{n}\in \mathbb{Q} \) cade tra \(\alpha \) e \(\beta \).
Teorema 15.4 — Densità degli irrazionali in
\(\mathbb{R} \)
Per ogni coppia \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \) con \(\alpha <\beta \), esiste un irrazionale \(\iota \in \mathbb {I}\) tale che \(\alpha <\iota <\beta \).
Dimostrazione (idea). Per la densità di \(\mathbb{Q} \) esiste un razionale \(r\in (\alpha -\sqrt {2},\beta -\sqrt {2})\) (intervallo non vuoto). Allora \(\iota = r + \sqrt {2}\) è
irrazionale (somma di razionale e irrazionale non nullo è irrazionale) e \(\alpha < \iota < \beta \).
Nota — Conclusione intuitiva
Tra due reali distinti ci sono infiniti razionali e infiniti irrazionali: i due insiemi si
compenetrano in modo intricato sulla retta. Eppure — e questa è una scoperta di Cantor
— ci sono “molti più irrazionali” che razionali: gli irrazionali sono più numerosi (in senso
preciso di cardinalità). \(\mathbb{Q} \) è numerabile, \(\mathbb{R} \) no.
La proprietà che distingue \(\mathbb{R} \) da \(\mathbb{Q} \), oltre alla presenza degli irrazionali, è la completezza: \(\mathbb{R} \) “riempie”
la retta numerica senza buchi. È un’idea intuitiva ma sfumata; la sua formalizzazione richiede
strumenti che vedremo in analisi.
Nota — Idea di completezza
In \(\mathbb{Q} \) la successione \(1; 1{,}4; 1{,}41; 1{,}414; 1{,}4142; 1{,}41421;\ldots \) è una sequenza di razionali “sempre più vicini” tra loro, ma il
valore a cui tendono — \(\sqrt {2}\) — non sta in \(\mathbb{Q} \): \(\mathbb{Q} \) ha un buco proprio lì.
In \(\mathbb{R} \) ogni sequenza analoga ha un limite dentro \(\mathbb{R} \). Detto altrimenti: ogni successione
“che si stringe” converge a un numero reale. Questa è la completezza.
Riprenderemo la nozione di limite di una successione nel capitolo 160, e quella di limite di
funzione nel capitolo 127. La completezza è il fondamento dell’intero calcolo infinitesimale.
Nota — Approcci storici
Due costruzioni rigorose di \(\mathbb{R} \) a partire da \(\mathbb{Q} \):
Sezioni di Dedekind (1872): ogni numero reale è una “coppia di insiemi” che taglia \(\mathbb{Q} \)
in due. \(\sqrt {2}\) è il taglio fra “razionali \(r\) con \(r^2<2\)” e “razionali \(r\) con \(r^2\ge 2\)”.
Successioni di Cauchy (Cantor, 1872): ogni numero reale è una classe di successioni
di razionali “che si stringono”.
Le due costruzioni danno lo stesso insieme, \(\mathbb{R} \).
Per ogni coppia \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \), vale una e una sola delle relazioni \(\alpha <\beta \), \(\alpha =\beta \), \(\alpha >\beta \). L’ordinamento è compatibile con le
operazioni:
se \(\alpha <\beta \), allora \(\alpha +\gamma <\beta +\gamma \) per ogni \(\gamma \in \mathbb{R} \);
se \(\alpha <\beta \) e \(\gamma >0\), allora \(\alpha \gamma <\beta \gamma \);
se \(\alpha <\beta \) e \(\gamma <0\), allora \(\alpha \gamma >\beta \gamma \) (cambio di verso).
Il cambio di verso quando si moltiplica per un negativo è una delle regole più importanti per le
disequazioni, e la rivedremo in dettaglio nel capitolo 23.
Definizione 15.3 — Intervalli di \(\mathbb{R} \)
Dati \(a,b\in \mathbb{R} \) con \(a\le b\), si definiscono i seguenti intervalli:
Si definiscono inoltre gli intervalli illimitati: \([a,+\infty )\), \((a,+\infty )\), \((-\infty ,b]\), \((-\infty ,b)\), e tutto \(\mathbb{R} =(-\infty ,+\infty )\).
I simboli \(-\infty \) e \(+\infty \) non sono numeri reali: indicano una direzione di crescita illimitata. Per questo
motivo non si chiude mai una parentesi su di essi (si scrive sempre “\((\,\)” o “\(\,)\)”, mai “\([\,\)” o
“\(\,]\)”).
Figura 15.3: I quattro tipi di intervallo limitato. Il pallino pieno indica che l’estremo è incluso;
il pallino vuoto indica che è escluso. Lo stesso simbolismo si usa nella rappresentazione delle
soluzioni di disequazioni (capitolo 23).
Definizione 15.4 — Valore assoluto in \(\mathbb{R} \)
Per ogni \(x\in \mathbb{R} \), il valore assoluto di \(x\) è
Trovare un razionale strettamente compreso tra \(\sqrt {2}\) e \(\sqrt {3}\).
Soluzione. \(\sqrt {2}\approx 1{,}414\) e \(\sqrt {3}\approx 1{,}732\). Un razionale ovvio è \(\tfrac {3}{2}=1{,}5\): \(1{,}414<1{,}5<1{,}732\). Verifica algebrica: \(\sqrt {2}<\tfrac {3}{2}\Leftrightarrow 2<\tfrac {9}{4}=2{,}25\) \(\checkmark\); \(\tfrac {3}{2}<\sqrt {3}\Leftrightarrow \tfrac {9}{4}<3\) \(\checkmark\).
Esempio 15.4 — Un irrazionale tra due
razionali
Trovare un irrazionale strettamente compreso tra \(1\) e \(2\).
Soluzione. \(\sqrt {2}\approx 1{,}414\) è già tra \(1\) e \(2\). Lo è anche \(\tfrac {\sqrt {2}}{2}+1 \approx 1{,}707\). Più in generale: \(1+\tfrac {1}{n}\sqrt {2}\) per ogni \(n\ge 1\) produce un irrazionale
tra \(1\) e \(1+\tfrac {\sqrt {2}}{1}\approx 2{,}414\).
Esempio 15.5 — Riconoscere intervalli e
rappresentarli
Rappresentare sulla retta reale gli insiemi: (a) \([-1,3]\); (b) \((2,5)\); (c) \((-\infty ,0]\); (d) \((1,+\infty )\).
Soluzione.
(a): segmento da \(-1\) a \(3\), estremi inclusi (pallini pieni).
(b): segmento da \(2\) a \(5\), estremi esclusi (pallini vuoti).
(c): semiretta da \(-\infty \) a \(0\) incluso (pallino pieno su \(0\), freccia verso sinistra).
(d): semiretta da \(1\) escluso a \(+\infty \) (pallino vuoto su \(1\), freccia verso destra).
Esempio 15.6 — Valore assoluto e distanza
Risolvere \(|x-3|<2\).
Soluzione. \(|x-3|\) è la distanza di \(x\) da \(3\). La condizione \(|x-3|<2\) significa che \(x\) è a distanza minore di \(2\)
dal punto \(3\), ovvero
Adatta la dimostrazione del testo per provare che \(\sqrt {5}\) è irrazionale. (Suggerimento: usa
il fatto che, se \(5\mid a^2\), allora \(5\mid a\); ricordalo dal capitolo 6.)
3.
Per ciascuna coppia di reali, trova un razionale strettamente compreso e verifica: (a)
\(\sqrt {2}\) e \(\sqrt {3}\); (b) \(\tfrac {1}{3}\) e \(\sqrt {2}-1\); (c) \(\pi \) e \(\sqrt {10}\).
4.
Per ciascuna coppia di razionali, trova un irrazionale strettamente compreso: (a) \(1\) e
\(2\); (b) \(0\) e \(\tfrac {1}{10}\); (c) \(-1\) e \(0\).
I razionali \(\mathbb{Q} \) non riempiono la retta numerica: la diagonale del quadrato di lato \(1\), \(\sqrt {2}\), è il
primo esempio di numero non razionale (Ippaso, v sec. a.C.).
Un numero irrazionale non si scrive nella forma \(\tfrac {a}{b}\) con \(a,b\in \mathbb{Z} \). Equivalentemente, ha
rappresentazione decimale infinita non periodica.
Esempi notevoli: \(\sqrt {p}\) per \(p\) primo, \(\sqrt {n}\) per \(n\) non quadrato perfetto, \(\pi \), \(e\), il rapporto aureo \(\varphi \).
Si distinguono irrazionali algebrici (es. \(\sqrt {2}\), \(\varphi \)) e trascendenti (es. \(\pi \), \(e\)).
L’insieme dei numeri reali è \(\mathbb{R} =\mathbb{Q} \cup \mathbb {I}\), equivalentemente l’insieme di tutti i decimali (finiti,
periodici, non periodici). Catena: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \).
Densità di \(\mathbb{Q} \) in \(\mathbb{R} \) e densità di \(\mathbb {I}\) in \(\mathbb{R} \): tra due reali distinti ci sono infiniti razionali e infiniti
irrazionali. Però gli irrazionali sono “molti di più” (Cantor, capitolo 126).
Completezza di \(\mathbb{R} \): la retta reale non ha “buchi”. Ogni successione di reali che “si stringe”
converge a un reale. Sarà la base dell’analisi (capitoli 126 e seguenti).
L’ordinamento di \(\mathbb{R} \) è totale e compatibile con \(+\) e \(\cdot \), con il cambio di verso quando si
moltiplica per un negativo (rilevante per le disequazioni, capitolo 23).
Quattro tipi di intervalli limitati (\([a,b]\), \((a,b)\), \([a,b)\), \((a,b]\)) e i corrispondenti illimitati. I simboli \(-\infty \) e \(+\infty \) non
sono numeri reali.
Valore assoluto: \(|x|\) è la distanza di \(x\) dall’origine. Soddisfa la disuguaglianza triangolare
\(|x+y|\le |x|+|y|\). Approfondimento nel capitolo 25.
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli77x.svg)
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli78x.svg)
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli79x.svg)