Confrontare due grandezze fra loro — il prezzo per chilogrammo, la velocità di un’auto, la
concentrazione di una soluzione — significa calcolare un rapporto. E dire che “\(a\) sta a \(b\) come \(c\) sta a \(d\)”
significa affermare una proporzione: due rapporti che sono uguali.
Le proporzioni sono il vocabolario quotidiano con cui scaliamo ricette, calcoliamo sconti,
leggiamo statistiche, dosiamo farmaci, capiamo plastici e mappe. Non a caso erano già al
centro della matematica greca: Pitagora le associava all’armonia musicale, Vitruvio alle
proporzioni dell’architettura classica, Euclide vi dedicò un intero libro degli Elementi (il libro
V).
In questo capitolo introduciamo formalmente il rapporto fra grandezze, la proporzione con le sue
proprietà (prodotto dei medi uguale a prodotto degli estremi, comporre e scomporre), la nozione di
grandezze direttamente o inversamente proporzionali, e infine la percentuale con le sue applicazioni
più frequenti: aumenti, sconti, problemi commerciali.
Il rapporto fra due numeri \(a\) e \(b\) (con \(b\neq 0\)) è il quoziente \(\tfrac {a}{b}\). Si scrive anche \(a:b\), leggendo “\(a\) a \(b\)”
(oppure “\(a\) sta a \(b\)”). I numeri \(a\) e \(b\) si chiamano termini del rapporto: \(a\) è l’antecedente, \(b\) è il
conseguente.
Il rapporto \(a:b\) è un numero (un razionale, se \(a,b\in \mathbb{Z} \)): le notazioni \(\tfrac {a}{b}\) e \(a:b\) sono equivalenti.
Esempio 14.1
Il rapporto tra le altezze di due ragazzi alti \(1{,}60\,{\mathrm{m} }\) e \(2{,}00\,{\mathrm{m} }\) è
Il primo è \(\tfrac {4}{5}\) — cioè l’\(80\%\) — dell’altro.
Nota — Riduzione ai minimi termini
Un rapporto è un caso particolare di frazione: si può ridurre ai minimi termini con la
stessa regola del capitolo 12. Esempio: \(24:36 = \tfrac {24}{36} = \tfrac {2}{3}\). La forma ridotta esprime il rapporto in modo
più leggibile.
Nota — Rapporti omogenei e non omogenei
Omogenei: i due termini misurano grandezze dello stesso tipo (es. due lunghezze,
due tempi). Il rapporto è un numero puro, senza unità di misura.
Non omogenei: i termini misurano grandezze diverse. Esempi: \(\tfrac {\text {spazio}}{\text {tempo}}=\text {velocità}\), \(\tfrac {\text {massa}}{\text {volume}}=\text {densità}\), \(\tfrac {\text {prezzo}}{\text {quantità}}\). In questo caso il
rapporto ha un’unità di misura composta (\({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), \({\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} }\), \(\text {€}/{\mathrm{kg} }\)).
Una proporzione è un’uguaglianza fra due rapporti:
\[ a : b = c : d, \qquad \text {ovvero}\qquad \frac {a}{b} = \frac {c}{d}. \]
Si legge “\(a\) sta a \(b\) come \(c\) sta a \(d\)”. I quattro numeri \(a, b, c, d\) si chiamano termini della proporzione.
In particolare: \(a\) e \(d\) sono gli estremi, \(b\) e \(c\) sono i medi.
Teorema 14.1 — Proprietà fondamentale delle
proporzioni
In ogni proporzione \(a:b=c:d\), il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi:
\[ a\cdot d = b\cdot c. \]
Viceversa, se quattro numeri \(a,b,c,d\) (con \(b,d\neq 0\)) soddisfano \(ad=bc\), allora formano una proporzione \(a:b=c:d\).
Dimostrazione. (\(\Rightarrow \)) Da \(\tfrac {a}{b}=\tfrac {c}{d}\), moltiplicando entrambi i membri per \(bd\) (non nullo): \(ad=bc\).
(\(\Leftarrow \)) Se \(ad=bc\), dividendo entrambi i membri per \(bd\) (non nullo): \(\tfrac {a}{b}=\tfrac {c}{d}\), ossia \(a:b=c:d\).
\[ a:b = c:d \quad \Longleftrightarrow \quad a\cdot d = b\cdot c. \]
Dimostrazione (idea). Tutte si ricavano dalla proprietà fondamentale \(ad=bc\). Esempio della prima
(permutare i medi): da \(ad=bc\), dividendo per \(cd\) (\(c,d\neq 0\)) si ha \(\tfrac {a}{c}=\tfrac {b}{d}\), cioè \(a:c=b:d\). Per le altre, basta manipolare \(ad=bc\) in modo
simile.
Nota — A che servono
La proprietà del comporre/scomporre è particolarmente utile per risolvere problemi del
tipo: “due grandezze stanno fra loro come \(3\) a \(5\), e la loro somma è \(80\). Quanto valgono?”.
Vedremo l’applicazione negli esempi.
Figura 14.1: Lettura visiva di una proporzione: \(2:3 = 4:6\). I due rettangoli “piccoli” stanno fra loro
come i due “grandi”. Cambiando la scala, il rapporto si conserva. La proprietà fondamentale
\(a\cdot d = b\cdot c\) dice che le due aree “incrociate” (qui \(2\cdot 6 = 3\cdot 4 = 12\)) coincidono.
Risolvere una proporzione significa determinare il termine incognito (di solito indicato con \(x\))
sapendo gli altri tre.
Procedura — Termine incognito in una
proporzione
Per trovare il termine incognito \(x\) in \(a:b=c:d\) (dove uno dei quattro termini è \(x\)), si applica la
proprietà fondamentale \(a\cdot d = b\cdot c\) e si risolve l’equazione di primo grado risultante.
Esempio 14.3 — Estremo incognito
Risolvere \(x:6=10:15\).
Soluzione. Per la proprietà fondamentale: \(x\cdot 15 = 6\cdot 10\), cioè \(15x=60\), da cui \(x=4\).
Esempio 14.4 — Medio incognito
Risolvere \(4:x=8:14\).
Soluzione. \(4\cdot 14 = x\cdot 8\), cioè \(8x=56\), da cui \(x=7\).
Due grandezze \(x\) e \(y\) si dicono inversamente proporzionali se il loro prodotto \(x\cdot y\) è una
costante non nulla \(k\):
\[ y = \frac {k}{x}. \]
Quando \(x\) raddoppia, \(y\) si dimezza; se \(x\) triplica, \(y\) diventa un terzo.
Esempio 14.5
Spazio e tempo a velocità costante: \(s=v\cdot t\), \(s\) e \(t\) sono direttamente proporzionali (la costante
è \(v\)).
Tempo di viaggio e velocità con spazio fissato: \(t=\tfrac {s}{v}\). \(t\) e \(v\) sono inversamente proporzionali.
Numero di operai e tempo necessario a un lavoro (assumendo un lavoro fisso):
inversamente proporzionali.
Figura 14.2: Grafici di due grandezze direttamente proporzionali (\(y=kx\), retta passante per
l’origine) e inversamente proporzionali (\(y=k/x\), ramo di iperbole). Approfondiremo le rette nel
capitolo 70 e le iperboli equilatere nel capitolo 78.
non un \(40\%\). È l’effetto della moltiplicazione dei coefficienti, non della loro somma.
Nota — Cenno all’interesse semplice
Nelle applicazioni finanziarie, un capitale \(C\) deposit a tasso annuo \(r\%\) produce, dopo \(t\) anni,
un interesse semplice
\[ I = C\cdot \frac {r}{100}\cdot t. \]
Il montante (capitale + interessi) è \(M = C + I = C\left (1+\tfrac {r\cdot t}{100}\right )\). Riprenderemo l’interesse composto (che usa la
formula con moltiplicazioni successive) negli esercizi del capitolo 81 sulla funzione
esponenziale.
Da cui \(b = \tfrac {80\cdot 5}{8} = 50\), e \(a = 80-50 = 30\). Verifica: \(30:50 = 3:5\). \(\checkmark\)
Esempio 14.14 — Aumento percentuale
Lo stipendio di un dipendente è di \(1800\) euro al mese. A gennaio viene aumentato del \(4\%\), e a
luglio di un ulteriore \(3\%\) sulla nuova base. Quanto guadagna a fine anno? Qual è l’aumento
percentuale complessivo?
Non è \(4\%+3\%=7\%\), ma \(1{,}04\cdot 1{,}03 = 1{,}0712\), cioè \(+7{,}12\%\).
Esempio 14.15 — Sconto e ricarico
Un commerciante compra un articolo a \(50\) euro, lo rivende con un ricarico del \(40\%\) e poi, in
saldo, applica uno sconto del \(25\%\) sul prezzo di vendita. A quanto vende l’articolo? Quale è
il margine percentuale rispetto al prezzo d’acquisto?
Soluzione. Prezzo di listino: \(50\cdot 1{,}40 = 70\) €. Prezzo scontato: \(70\cdot 0{,}75 = 52{,}50\) €. Margine sul costo:
Riduci ai minimi termini ed esprimi anche in forma decimale: (a) \(36:48\); (b) \(125:200\); (c) \(1500:1200\);
(d) \(0.6:0.4\).
2.
Verifica se le seguenti scritture sono proporzioni; in caso negativo, correggi il quarto
termine per renderle vere: (a) \(3:5 = 9:15\); (b) \(4:7 = 12:21\); (c) \(6:8 = 15:18\); (d) \(2:9 = 18:81\).
3.
Risolvi le proporzioni rispetto a \(x\): (a) \(x:6 = 4:8\); (b) \(5:x = 15:21\); (c) \(3:4 = x:20\); (d) \(12:9 = 8:x\).
4.
Stabilisci se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali: (a) area
e raggio di un cerchio; (b) tempo di un viaggio e velocità (a distanza fissata);
(c) costo della spesa e quantità di mele acquistate (a prezzo unitario fissato); (d)
numero di operai e tempo per fare un lavoro.
5.
Una mappa è in scala \(1:25000\): due paesi distano sulla mappa \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Quanto distano in realtà?
6.
Calcola: (a) il \(15\%\) di \(280\); (b) il \(7\%\) di \(1500\); (c) il \(120\%\) di \(50\); (d) il \(0{,}5\%\) di \(800\).
7.
Determina la percentuale richiesta: (a) \(42\) è quale percentuale di \(168\)? (b) Su una classe
di \(25\) alunni, ne sono presenti \(22\): percentuale di presenza? (c) In una soluzione di \(500\) g, ci
sono \(20\) g di sale: percentuale in massa?
8.
Un articolo costa \(120\) euro. Calcola il prezzo dopo: (a) un aumento del \(10\%\); (b) uno sconto
del \(20\%\); (c) un aumento del \(10\%\) seguito da uno sconto del \(10\%\) (è uguale al prezzo iniziale?);
(d) tre sconti consecutivi del \(10\%\) (qual è lo sconto percentuale complessivo?).
9.
Un capitale di \(1500\) euro è investito al tasso annuo del \(4\%\). Calcola, in regime di interesse
semplice, l’interesse maturato e il montante dopo \(3\) anni.
10.
(Discussione.) Un negozio annuncia “\(+50\%\) di prodotto al prezzo di prima”. Un altro
annuncia “\(33\%\) di sconto a parità di prodotto”. Quale conviene? Confrontale calcolando
il prezzo per unità di prodotto.
Un rapporto fra \(a\) e \(b\) (con \(b\neq 0\)) è il quoziente \(\tfrac {a}{b}\), equivalente a \(a:b\). Si riduce ai minimi termini
come una frazione.
Una proporzione \(a:b=c:d\) è l’uguaglianza fra due rapporti. \(a,d\) sono gli estremi, \(b,c\) i medi.
Proprietà fondamentale: \(a:b=c:d \Leftrightarrow a\cdot d = b\cdot c\). Da essa derivano permutare, invertire, comporre,
scomporre.
Grandezze direttamente proporzionali: \(y=kx\), rapporto costante. Grafico: retta per l’origine.
Grandezze inversamente proporzionali: \(y=k/x\), prodotto costante. Grafico: iperbole.
Una percentuale \(r\%\) è la frazione \(\tfrac {r}{100}\). La formula chiave è \(\text {parte}=\tfrac {r}{100}\cdot \text {tutto}\), da cui si ricavano i tre problemi
tipici.
Aumento del \(r\%\): \(V'=V(1+\tfrac {r}{100})\). Sconto del \(r\%\): \(V'=V(1-\tfrac {r}{100})\).
Sconti/aumenti successivi non si sommano: si moltiplicano i coefficienti. Esempio: \(-20\%\)
poi \(-20\%\) dà \(-36\%\), non \(-40\%\).
Interesse semplice: \(I=C\cdot \tfrac {r}{100}\cdot t\), montante \(M=C+I\). L’interesse composto si tratterà nel capitolo 81.
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