78 Iperbole equilatera riferita ai propri assi e agli asintoti

Capitolo 78
Iperbole equilatera riferita ai propri assi e agli asintoti

“Anche le costruzioni più semplici, ruotate del giusto angolo, rivelano una nuova natura.”
— adattamento di un’idea di Cartesio sul cambio di assi (parafrasi)

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78.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (77) abbiamo studiato l’iperbole nella sua forma generale. Una situazione particolarmente importante nelle applicazioni si verifica quando i due semiassi sono uguali: l’iperbole equilatera. Nasce così una curva con eccentricità \(e = \sqrt {2}\) e asintoti perpendicolari fra loro (orientati a \(\pm 45\,{^\circ }\) rispetto agli assi).

Sull’iperbole equilatera si concentrano due idee centrali:

Se la si scrive riferita ai propri assi di simmetria, ha l’equazione \(x^2 - y^2 = a^2\): una formula compatta e simmetrica, importante in trigonometria iperbolica (le funzioni \(\cosh \) e \(\sinh \) parametrizzano proprio questa curva).
Se invece la si riferisce ai propri asintoti (ruotando il sistema di assi di \(45\,{^\circ }\)), assume la forma celebre \(xy = k\). È la forma con cui appare ovunque in matematica e in fisica: la legge di Boyle dei gas ideali (\(pV = \) cost.), la relazione di proporzionalità inversa \(y = k/x\), la curva di domanda/offerta in economia, e la funzione omografica \(y = (ax+b)/(cx+d)\), che è proprio un’iperbole equilatera traslata.

Studieremo entrambe le forme, mostreremo come si passa dall’una all’altra tramite una rotazione, e ne dedurremo proprietà importanti della funzione omografica.

78.2 Iperbole equilatera riferita ai propri assi

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Definizione 78.1 — Iperbole equilatera (forma canonica)

Iperbole equilatera (forma canonica) Un’iperbole si dice equilatera quando i suoi due semiassi sono uguali: \(a = b\). Riferita ai propri assi di simmetria, con i fuochi sull’asse \(x\), ha equazione:

\[ x^2 - y^2 = a^2 \label {eq:ga-010-equilatera-assi} \]

dove \(a > 0\). La forma equivalente \(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{a^2} = 1\) mostra che si tratta del caso \(b = a\) dell’iperbole generale del capitolo precedente.

Proprietà:

Vertici: \(A_1(-a, 0)\), \(A_2(+a, 0)\).
Distanza focale: \(c = \sqrt {a^2 + a^2} = a\sqrt {2}\); fuochi \(F_{1,2}(\pm a\sqrt {2}, 0)\).
Eccentricità: \(e = c/a = \sqrt {2} \approx 1.414\). È un valore caratteristico, identico per tutte le iperboli equilatere.
Asintoti: \(y = \pm x\), cioè le bisettrici del primo e terzo quadrante (per \(y = x\)) e del secondo e quarto (per \(y = -x\)). Sono perpendicolari fra loro, e formano angoli di \(45\,{^\circ }\) con gli assi.

Se invece i fuochi sono sull’asse \(y\), l’equazione diventa \(y^2 - x^2 = a^2\): gli asintoti sono ancora \(y = \pm x\), ma i rami si sviluppano in alto e in basso anziché a destra e a sinistra.

[Picture] — Figura 78.1: Iperbole equilatera \(x^2 - y^2 = a^2\) riferita ai propri assi (per \(a = 1\)). Asintoti \(y = \pm x\) a \(45\,{^\circ }\) dagli assi, perpendicolari fra loro. Vertici \(A_1, A_2\) a distanza \(a\) dall’origine; fuochi \(F_1, F_2\) a distanza \(a\sqrt {2}\). Eccentricità \(e = \sqrt {2}\).

78.3 Iperbole equilatera riferita agli asintoti

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L’iperbole equilatera ha una proprietà speciale: i suoi asintoti sono perpendicolari fra loro. Allora possiamo scegliere come nuovi assi cartesiani gli asintoti stessi: il sistema di riferimento ruota di \(45\,{^\circ }\) rispetto al precedente.

Sia \((x', y')\) il nuovo sistema, allineato con gli asintoti (quello dell’iperbole \(x^2 - y^2 = a^2\)). La rotazione di \(-45\,{^\circ }\) porta gli assi \((x, y)\) in \((x', y')\) secondo le formule:

\[ x = \dfrac {x' + y'}{\sqrt {2}}, \qquad y = \dfrac {-x' + y'}{\sqrt {2}}. \]

(Le formule di rotazione sono studiate in maggior dettaglio nel capitolo sulle isometrie del piano.)

Sostituendo nell’equazione \(x^2 - y^2 = a^2\):

\[ \dfrac {(x' + y')^2}{2} - \dfrac {(-x' + y')^2}{2} = a^2, \]

\[ \dfrac {1}{2}\big [(x'^2 + 2 x' y' + y'^2) - (x'^2 - 2 x' y' + y'^2)\big ] = a^2, \]

\[ \dfrac {1}{2}\,(4 x' y') = a^2 \;\Longrightarrow \; x' \, y' = \dfrac {a^2}{2}. \]

Posto \(k = a^2/2\) (e tornando alla notazione \(x, y\) una volta ridenominati i nuovi assi), otteniamo l’equazione celebre:

Legge 78.1 — Iperbole equilatera riferita agli asintoti

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

\[ x \, y = k \label {eq:ga-010-xy-k} \]

con \(k \neq 0\). Gli asintoti coincidono ora con gli assi cartesiani (\(x = 0\) e \(y = 0\)). Equivalentemente: \(y = k/x\), funzione di proporzionalità inversa.

Caratteristiche di \(xy = k\):

Posizione dei rami:
- Se \(k > 0\), i rami stanno nel primo e nel terzo quadrante (dove il prodotto \(xy\) è positivo).
- Se \(k < 0\), i rami stanno nel secondo e nel quarto quadrante.
Asintoti: gli assi \(x\) e \(y\) (le due rette \(y = 0\) e \(x = 0\)).
Vertici: in corrispondenza dei punti più vicini all’origine, \(V_{1,2}\). Per \(k > 0\): \(V_2(\sqrt {k}, \sqrt {k})\) e \(V_1(-\sqrt {k}, -\sqrt {k})\). Per \(k < 0\): \(V_2(\sqrt {-k}, -\sqrt {-k})\) e \(V_1(-\sqrt {-k}, \sqrt {-k})\).
Simmetrie: la curva è simmetrica rispetto all’origine e rispetto alle bisettrici dei quadranti (\(y = x\) e \(y = -x\)).

Calcolo del parametro \(k\) noto un punto. Se sappiamo che l’iperbole \(xy = k\) passa per un certo punto \(P(x_0, y_0)\), basta sostituire: \(k = x_0 \, y_0\). Per esempio, l’iperbole passante per \(P(3, 2)\) ha \(k = 6\), equazione \(xy = 6\) o equivalentemente \(y = 6/x\).

78.4 Funzione omografica

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Definizione 78.2 — Funzione omografica

Funzione omografica Si chiama funzione omografica una funzione del tipo

\[ y = \dfrac {a\,x + b}{c\,x + d} \label {eq:ga-010-omografica} \]

con \(c \neq 0\) (altrimenti la funzione si ridurrebbe a una retta) e \(a\,d - b\,c \neq 0\) (altrimenti la frazione si semplificherebbe in una costante).

La condizione \(ad - bc \neq 0\) è la condizione di non degeneratezza: assicura che il grafico sia effettivamente un’iperbole equilatera.

Riduzione alla forma standard. La funzione omografica \(y = (ax+b)/(cx+d)\) può essere riscritta come:

\[ y - \dfrac {a}{c} = \dfrac {ax+b}{cx+d} - \dfrac {a}{c} = \dfrac {c(ax+b) - a(cx+d)}{c(cx+d)} = \dfrac {bc - ad}{c(cx+d)}, \]

che, ponendo \(x_0 = -d/c\) e \(y_0 = a/c\), diventa:

\[ y - y_0 = \dfrac {(bc - ad)/c^2}{x - x_0} \;\Longleftrightarrow \; (y - y_0)(x - x_0) = K \]

con \(K = (bc - ad)/c^2\). È un’iperbole equilatera traslata, con asintoti orizzontale e verticale nelle rette \(y = y_0\) e \(x = x_0\).

Legge 78.2 — Asintoti della funzione omografica

Asintoti della funzione omografica La funzione omografica \(y = (ax+b)/(cx+d)\) ha:

Asintoto verticale: \(x = -\dfrac {d}{c}\) (valore di \(x\) per cui si annulla il denominatore: il dominio è \(\mathbb{R} \setminus \{-d/c\}\));
Asintoto orizzontale: \(y = \dfrac {a}{c}\) (limite di \(y\) per \(\lvert x\rvert \to \infty \)).

Il centro di simmetria della curva è il punto \(C(-d/c, a/c)\), intersezione dei due asintoti.

Procedura per studiare una funzione omografica:

Procedura

Studio del grafico di \(y = (ax+b)/(cx+d)\)

1.: Verificare che la funzione non degeneri: \(c \neq 0\) e \(ad - bc \neq 0\).
2.: Determinare l’asintoto verticale: \(x = -d/c\). Questo è anche l’unico valore escluso dal dominio.
3.: Determinare l’asintoto orizzontale: \(y = a/c\). Questo è anche l’unico valore escluso dal codominio.
4.: Determinare il centro di simmetria: \(C(-d/c, a/c)\).
5.: Calcolare le intersezioni con gli assi: \(x = 0 \Rightarrow y = b/d\) (se \(d \neq 0\)); \(y = 0 \Rightarrow x = -b/a\) (se \(a \neq 0\)).
6.: Stabilire in quale coppia di quadranti (rispetto al centro) si trovano i due rami: dipende dal segno di \(bc - ad\).

78.5 Trasformazioni dell’iperbole

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Sappiamo già che l’iperbole canonica \(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1\) ha centro nell’origine. Una traslazione del centro nel punto \(C(x_0, y_0)\) porta all’equazione:

\[ \dfrac {(x - x_0)^2}{a^2} - \dfrac {(y - y_0)^2}{b^2} = 1 \label {eq:ga-010-traslata} \]

con asintoti \(y - y_0 = \pm (b/a)(x - x_0)\) (rette passanti per \(C\)).

Iperbole con assi non paralleli agli assi cartesiani. Se applichiamo una rotazione attorno all’origine di angolo \(\theta \), l’equazione dell’iperbole in generale contiene un termine misto \(xy\). La forma generale di una conica nel piano è:

\[ A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0, \]

e tale equazione rappresenta un’iperbole quando il discriminante \(B^2 - 4AC > 0\). (Per l’ellisse: \(B^2 - 4AC < 0\); per la parabola: \(B^2 - 4AC = 0\).) Lo studio sistematico della classificazione delle coniche tramite il discriminante esula dallo scopo di questo capitolo, ma il caso particolare \(xy = k\) ne è un esempio (con \(A = C = 0, B = 1, F = -k\), \(B^2 - 4AC = 1 > 0\): iperbole confermata).

78.6 Esempi svolti

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Esempio 78.1

Iperbole equilatera passante per un punto (forma \(xy=k\)) Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera del tipo \(xy = k\) che passa per il punto \(P(-2, 3)\), e tracciarne le caratteristiche.

Calcolo di \(k\). \(k = x_P \cdot y_P = (-2)(3) = -6\). Quindi l’equazione è \(xy = -6\), ovvero \(y = -6/x\).

Caratteristiche. Essendo \(k < 0\), i rami sono nel secondo (dove \(x<0, y>0\)) e nel quarto (dove \(x>0, y<0\)) quadrante. Asintoti: gli assi cartesiani (\(x = 0\) e \(y = 0\)). Vertici: ponendo \(y = -x\) nella curva si ha \(-x^2 = -6 \Rightarrow x = \pm \sqrt {6}\), quindi \(V_1(\sqrt {6}, -\sqrt {6})\) e \(V_2(-\sqrt {6}, +\sqrt {6})\).

Esempio 78.2

Studio di una funzione omografica Studiare la funzione \(y = \dfrac {2x + 1}{x - 3}\).

Verifica di non degeneratezza. \(c = 1, d = -3\), quindi \(-d/c = 3\) è un valore proibito. \(ad - bc = (2)(-3) - (1)(1) = -7 \neq 0\): la funzione è effettivamente omografica.

Asintoti e centro.

Asintoto verticale: \(x = -d/c = 3\).
Asintoto orizzontale: \(y = a/c = 2\).
Centro di simmetria: \(C(3, 2)\).

Intersezioni con gli assi.

Con asse \(x\): \(y = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1/2\). Punto \((-1/2, 0)\).
Con asse \(y\): \(x = 0 \Rightarrow y = 1/(-3) = -1/3\). Punto \((0, -1/3)\).

Posizione dei rami. \(bc - ad = (1)(1) - (2)(-3) = 1 + 6 = 7 > 0\). In coordinate centrate in \(C\), l’iperbole ha la forma \((y - 2)(x - 3) = 7\): rami nel primo e terzo quadrante del sistema centrato in \(C\) (cioè a destra e in alto, oppure a sinistra e in basso, rispetto al punto \(C\)).

Esempio 78.3

Iperbole equilatera traslata Trovare equazione e caratteristiche dell’iperbole equilatera con centro in \(C(2, -1)\), semiasse \(a = 3\), asse trasverso parallelo all’asse \(x\).

Equazione. \(\dfrac {(x - 2)^2}{9} - \dfrac {(y + 1)^2}{9} = 1\), ovvero \((x-2)^2 - (y+1)^2 = 9\).

Caratteristiche. \(a = b = 3\), \(c = 3\sqrt {2}\), \(e = \sqrt {2}\). Vertici: \((2 \pm 3, -1)\), cioè \((-1, -1)\) e \((5, -1)\). Fuochi: \((2 \pm 3\sqrt {2}, -1)\). Asintoti: \(y + 1 = \pm (x - 2)\), cioè \(y = x - 3\) e \(y = -x + 1\).

Esempio 78.4

Iperbole inversamente proporzionale Una grandezza fisica \(y\) è inversamente proporzionale a una grandezza \(x\), e si misura \(y = 12\) quando \(x = 5\). Scrivere la relazione fra le due e calcolare \(y\) quando \(x = 8\).

Impostazione. Inversamente proporzionali significa \(y = k/x\), cioè \(xy = k\) (iperbole equilatera!).

Determinazione di \(k\). Sostituendo i valori dati: \(k = x \cdot y = 5 \cdot 12 = 60\).

Calcolo per \(x = 8\). \(y = 60/8 = 7.5\).

Interpretazione. Nel piano \((x, y)\), la legge è il ramo della curva \(xy = 60\) con \(x, y > 0\). È la forma matematica della legge di Boyle per i gas (con \(x = V\) e \(y = p\) a temperatura costante).

Esempio 78.5

Da omografica a iperbole equilatera Mostrare che la funzione \(y = \dfrac {3x - 1}{x + 2}\) è un’iperbole equilatera traslata, e trovare il centro e gli asintoti.

Riduzione. Eseguiamo la divisione polinomiale: \(3x - 1 = 3(x + 2) - 7\), quindi

\[ y = \dfrac {3(x+2) - 7}{x + 2} = 3 - \dfrac {7}{x + 2}. \]

Definendo \(X = x + 2\) e \(Y = y - 3\) (traslazione del sistema di riferimento al punto \(C(-2, 3)\)): \(Y = -7/X\), ovvero \(X \cdot Y = -7\).

Caratteristiche. È l’equazione \(XY = k\) con \(k = -7\): iperbole equilatera nel sistema centrato in \(C\).

Centro di simmetria: \(C(-2, 3)\).
Asintoto verticale (nel sistema originario): \(x = -2\).
Asintoto orizzontale: \(y = 3\).
Rami nei quadranti \(II\) e \(IV\) del sistema centrato in \(C\) (cioè a sinistra-sotto e destra-sopra del centro: dove \(X < 0, Y > 0\) e \(X > 0, Y < 0\)).

78.7 Esercizi proposti

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Esercizio 78.1

1.: Determina l’equazione dell’iperbole equilatera (riferita ai propri assi) passante per il punto \(P(5, 3)\). Trova vertici, fuochi ed eccentricità. [\(x^2 - y^2 = 16\); \(a = 4\), \(c = 4\sqrt {2}\), \(e = \sqrt {2}\)]
2.: Determina l’equazione dell’iperbole \(xy = k\) passante per \(P(2.5, 1.6)\). Quali sono i suoi vertici? [\(k = 4\); vertici \(V_{1,2}(\pm 2, \pm 2)\)]
3.: Studia la funzione omografica \(y = \dfrac {x + 4}{x - 1}\): dominio, asintoti, centro di simmetria, intersezioni con gli assi. [\(\operatorname{dom} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); asintoti \(x = 1\), \(y = 1\); \(C(1,1)\); intersezioni \((0, -4)\) e \((-4, 0)\)]
4.: Studia la funzione omografica \(y = \dfrac {-2x + 5}{x + 3}\). [\(\operatorname{dom} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\); asintoti \(x = -3\), \(y = -2\); \(C(-3, -2)\); intersezioni \((0, 5/3)\) e \((5/2, 0)\)]
5.: Per quale valore di \(k\) la funzione \(y = \dfrac {kx + 1}{x - 2}\) è degenere (cioè si riduce a una costante)? [\(ad - bc = 0\): \(k\cdot (-2) - 1\cdot 1 = 0 \Rightarrow k = -1/2\)]
6.: Riconoscere se la curva \(xy + 2x - 3y - 8 = 0\) è una funzione omografica e, in caso affermativo, scriverla nella forma \(y = (ax+b)/(cx+d)\). [da \(xy - 3y = -2x + 8\): \(y(x-3) = -2x + 8\), \(y = (-2x + 8)/(x - 3)\); sì, omografica]
7.: Una proporzionalità inversa \(y = k/x\) ha \(y = 15\) per \(x = 4\). Calcola \(y\) per \(x = 6\) e \(x = 10\). [\(k = 60\); \(y(6) = 10\), \(y(10) = 6\)]
8.: Un’iperbole equilatera traslata ha centro in \(C(-3, 2)\) e passa per il punto \(P(0, 5)\). Riferendola agli asintoti (orizzontale \(y = 2\), verticale \(x = -3\)), scrivi l’equazione nella forma \((x - x_0)(y - y_0) = k\). [\(k = (0 - (-3))(5 - 2) = 9\); \((x+3)(y-2) = 9\)]
9.: Stabilire se la curva \(x^2 - y^2 + 4x - 6y + 1 = 0\) è un’iperbole. In caso affermativo, ridurla a forma canonica completando i quadrati e trovarne il centro. [\((x+2)^2 - (y+3)^2 = 4\): iperbole equilatera centrata in \((-2, -3)\), semiasse \(a = 2\)]
10.: Confronta sul piano (con un grafico qualitativo) le due iperboli \(xy = 2\) e \(xy = -2\). Quali differenze evidenti emergono? [\(xy = 2\): rami nel I e III quadrante; \(xy = -2\): rami nel II e IV quadrante; stesse dimensioni (vertici a \(\sqrt {2}\) dall’origine lungo le bisettrici), simmetria rispetto agli assi cambiata.]

78.8 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Iperbole equilatera — Caso particolare di iperbole con \(a = b\), eccentricità \(e = \sqrt {2}\), asintoti perpendicolari fra loro a \(\pm 45\,{^\circ }\) dagli assi.

Riferita ai propri assi — \(x^2 - y^2 = a^2\) (fuochi sull’asse \(x\)) o \(y^2 - x^2 = a^2\) (fuochi sull’asse \(y\)). Asintoti \(y = \pm x\). Vertici a distanza \(a\) dall’origine; fuochi a distanza \(a\sqrt {2}\).

Riferita agli asintoti (rotazione di \(45\,{^\circ }\)) — \(xy = k\), con \(k \neq 0\). Asintoti coincidenti con gli assi cartesiani. Rami nel primo/terzo quadrante se \(k > 0\), nel secondo/quarto se \(k < 0\). È la forma della proporzionalità inversa \(y = k/x\).

Funzione omografica — \(y = (ax + b)/(cx + d)\) con \(c \neq 0\) e \(ad - bc \neq 0\). È un’iperbole equilatera traslata. Tramite divisione polinomiale si riduce alla forma \((y - y_0)(x - x_0) = K\) con \(x_0 = -d/c\), \(y_0 = a/c\), \(K = (bc - ad)/c^2\).

Asintoti della funzione omografica — Verticale \(x = -d/c\); orizzontale \(y = a/c\); centro di simmetria \(C(-d/c, a/c)\).

Iperbole traslata generale — \(\dfrac {(x - x_0)^2}{a^2} - \dfrac {(y - y_0)^2}{b^2} = 1\), con centro \(C(x_0, y_0)\) e asintoti \(y - y_0 = \pm (b/a)(x - x_0)\).

Classificazione delle coniche tramite il discriminante — Per l’equazione generale \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\): \(B^2 - 4AC > 0\) iperbole, \(B^2 - 4AC = 0\) parabola, \(B^2 - 4AC < 0\) ellisse.

Applicazioni — Proporzionalità inversa (Boyle dei gas ideali \(pV = \) cost), curve di domanda/offerta, funzioni omografiche in fisica, chimica e statistica.

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Capitolo 78 Iperbole equilatera riferita ai propri assi e agli asintoti

78.1 Introduzione motivazionale

78.2 Iperbole equilatera riferita ai propri assi

78.3 Iperbole equilatera riferita agli asintoti

78.4 Funzione omografica

78.5 Trasformazioni dell’iperbole

78.6 Esempi svolti

78.7 Esercizi proposti

78.8 Riepilogo del capitolo

Capitolo 78
Iperbole equilatera riferita ai propri assi e agli asintoti