“Le sezioni del cono sono di tre specie: parabola, ellisse, iperbole.”
— Apollonio di Perga, Le Coniche, III sec. a.C.
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Nel corso dei capitoli precedenti abbiamo studiato la circonferenza, l’ellisse e la parabola: tre curve apparentemente diverse, ma legate da un’origine comune. Già nel III secolo a.C. Apollonio di Perga osservò che si possono ottenere tutte e tre come sezioni piane di un doppio cono circolare retto, variando soltanto l’inclinazione del piano: piano perpendicolare all’asse \(\to \) circonferenza; leggermente obliquo \(\to \) ellisse; parallelo a una generatrice \(\to \) parabola; più inclinato ancora \(\to \) iperbole, una curva che si sviluppa su due rami distinti.
L’iperbole è la coniche più ricca di applicazioni in fisica e in ingegneria:
In questo capitolo studieremo l’iperbole come luogo geometrico, ne ricaveremo l’equazione canonica nei due orientamenti (fuochi sull’asse \(x\) o sull’asse \(y\)), introdurremo i suoi asintoti, l’eccentricità e analizzeremo le posizioni reciproche fra retta e iperbole.
Definizione 77.1 — Iperbole
Si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti \(P\) del piano per i quali è costante (e positiva) il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi \(F_1\) e \(F_2\), detti fuochi:
Si pone convenzionalmente:
dunque la condizione \(2a < 2c\) equivale a \(a < c\). Il valore di \(c\) è la semidistanza focale: la distanza fra i due fuochi vale \(2c\).
Attenzione!
Differenza fra ellisse e iperbole Per l’ellisse (cap. 75) si imponeva che la somma delle distanze ai due fuochi fosse costante, con la condizione \(2a > 2c\). Nell’iperbole si impone invece che la differenza (in valore assoluto) sia costante, con \(2a < 2c\). È il segno della disuguaglianza a fare tutta la differenza fra le due coniche.
Dal valore assoluto della differenza nasce naturalmente l’esistenza di due rami: i punti con \(\lvert PF_1\rvert - \lvert PF_2\rvert = +2a\) formano un ramo, quelli con \(\lvert PF_1\rvert - \lvert PF_2\rvert = -2a\) formano l’altro.
Per ottenere l’equazione algebrica più semplice dell’iperbole, scegliamo un sistema di riferimento cartesiano comodo: gli assi coincidono con gli assi di simmetria della curva, e l’origine cade nel centro dell’iperbole (punto medio del segmento \(F_1F_2\)).
Poniamo i fuochi sull’asse \(x\):
Sia \(P = (x, y)\) un punto generico dell’iperbole. Imponiamo la condizione di definizione:
Eliminiamo il valore assoluto considerando le due possibili combinazioni di segni. Con manipolazioni algebriche analoghe a quelle seguite per l’ellisse (cap. 75) — isolamento di una radice, elevazione al quadrato, semplificazione e nuova elevazione al quadrato — si arriva alla forma:
Poiché \(c > a\), la quantità \(c^2 - a^2\) è positiva; definiamo allora:
con \(b > 0\). Dividendo entrambi i membri per \(a^2\,(c^2 - a^2) = a^2\,b^2\), otteniamo l’equazione canonica dell’iperbole con fuochi sull’asse \(x\):
Legge 77.1 — Equazione canonica dell’iperbole (fuochi sull’asse x)
Caratteristiche della curva.
Se i fuochi sono posti sull’asse \(y\) invece che sull’asse \(x\), lo schema è simmetrico ai precedenti scambiando i ruoli di \(x\) e \(y\):
La condizione \(\lvert \modulo {PF_1} - \modulo {PF_2}\rvert = 2a\) porta, dopo le stesse manipolazioni algebriche, all’equazione:
Legge 77.2 — Equazione canonica dell’iperbole (fuochi sull’asse y)
In questo caso:
Attenzione!
Riconoscere l’orientamento Davanti a un’equazione del tipo \(A x^2 - B y^2 = C\) (con \(A, B > 0\)):
Il segno \(\pm 1\) alla destra dell’equazione canonica codifica direttamente l’orientamento dei rami.
Una caratteristica distintiva dell’iperbole, che la differenzia da ellisse e parabola, è la presenza di asintoti: due rette oblique a cui la curva si avvicina indefinitamente quando si allontana dall’origine, senza mai toccarle.
Consideriamo l’iperbole canonica con fuochi sull’asse \(x\), \(x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1\). Esplicitando \(y^2\):
Per \(\lvert x\rvert \to \infty \), il termine \(-b^2\) diventa trascurabile rispetto a \((b^2/a^2)x^2\), e
Sono le equazioni delle due rette asintotiche.
Legge 77.3 — Asintoti dell’iperbole canonica
Per l’iperbole \(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1\) (fuochi sull’asse \(x\)), gli asintoti hanno equazioni:
Costruzione geometrica. Gli asintoti sono le diagonali del rettangolo asintotico, centrato nell’origine, con i lati di lunghezza \(2a\) e \(2b\), paralleli agli assi cartesiani. I vertici di questo rettangolo sono \((\pm a, \pm b)\). Tracciare prima il rettangolo, poi le due diagonali, è il modo più rapido e affidabile per disegnare un’iperbole a mano.
Per l’iperbole con fuochi sull’asse \(y\) (equazione \(\,y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1\) ), gli asintoti restano gli stessi \(y = \pm (b/a)\,x\): il rettangolo asintotico è lo stesso, cambia soltanto la direzione di apertura dei rami della curva (verso l’alto e verso il basso anziché a destra e a sinistra).
Come per l’ellisse, anche per l’iperbole si introduce un parametro adimensionale che ne misura la “forma”.
Definizione 77.2 — Eccentricità
L’eccentricità controlla quanto sono “aperti” i rami dell’iperbole, cioè quanto sono inclinati gli asintoti rispetto all’asse trasverso.
Confronto fra coniche. L’eccentricità classifica completamente le coniche non degeneri:
Iperbole equilatera. Un caso particolarmente rilevante è \(a = b\): l’iperbole equilatera. In questo caso \(c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), da cui \(c = a\sqrt {2}\) e \(e = \sqrt {2}\). Gli asintoti sono \(y = \pm x\), perpendicolari fra loro. Lo studieremo in dettaglio nel capitolo successivo (78).
Data un’iperbole canonica \(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1\) e una retta \(y = m\,x + q\), le posizioni reciproche si studiano risolvendo il sistema:
Sostituendo \(y\) nella prima equazione si ottiene \(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {(mx+q)^2}{b^2} = 1\), che svolgendo i calcoli diventa
Si distinguono i seguenti casi.
Caso A: \(m \neq \pm b/a\) (retta non parallela agli asintoti). Il coefficiente di \(x^2\) è non nullo: l’equazione è di secondo grado. Si calcola il discriminante \(\Delta \):
Caso B: \(m = \pm b/a\) (retta parallela a un asintoto). Il coefficiente di \(x^2\) si annulla (\(b^2 - a^2 m^2 = 0\)): l’equazione si riduce a una di primo grado in \(x\). Ha al più una soluzione: in questo caso la retta interseca l’iperbole in un solo punto, ma non è tangente. Eccezione: se la retta coincide con l’asintoto stesso, l’equazione non ha soluzioni (la retta è esterna in senso stretto, anche se le si avvicina indefinitamente).
Attenzione!
Tangente \(\neq \) una sola intersezione A differenza della circonferenza, per l’iperbole l’avere “una sola intersezione” non equivale a essere tangente: le rette parallele agli asintoti intersecano l’iperbole in un solo punto pur non essendo tangenti. La tangenza si caratterizza correttamente con \(\Delta = 0\) nel caso A.
Esempio 77.1
Caratteristiche di un’iperbole data Sia data l’iperbole \(\dfrac {x^2}{9} - \dfrac {y^2}{16} = 1\). Determiniamone vertici, fuochi, asintoti ed eccentricità.
Identificazione dei parametri. \(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\); \(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\). Il segno \(+1\) al membro destro indica fuochi sull’asse \(x\).
Semidistanza focale. \(c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5\).
Risultati.
Esempio 77.2
Equazione di un’iperbole noti i fuochi e un punto Determinare l’equazione canonica dell’iperbole avente fuochi \(F_1(-5, 0)\) e \(F_2(+5, 0)\) e passante per il punto \(P(4, 3)\).
Impostazione. I fuochi sono sull’asse \(x\), quindi cerchiamo \(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1\) con \(c = 5\) e \(b^2 = c^2 - a^2 = 25 - a^2\).
Sostituzione del punto \(P\).
Risoluzione. Moltiplicando per \(a^2(25-a^2)\):
Posto \(t = a^2\): \(t^2 - 50 t + 400 = 0\). Per la formula risolutiva: \(t = (50 \pm \sqrt {2500 - 1600})/2 = (50 \pm 30)/2\), da cui \(t = 40\) o \(t = 10\).
Verifica di compatibilità. Poiché serve \(a^2 < c^2 = 25\), si scarta \(a^2 = 40\). Resta \(a^2 = 10\), quindi \(b^2 = 25 - 10 = 15\).
Equazione. \(\dfrac {x^2}{10} - \dfrac {y^2}{15} = 1\).
Esempio 77.3
Asintoti e iperbole equilatera Determinare l’iperbole canonica avente asintoti \(y = \pm x\) e passante per il punto \(P(2.5, 1.5)\).
Impostazione. Gli asintoti hanno pendenza \(b/a = 1\), quindi \(b = a\): l’iperbole è equilatera. L’equazione canonica diventa \(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{a^2} = 1\), ovvero \(x^2 - y^2 = a^2\).
Sostituzione del punto. \(a^2 = x^2 - y^2 = (2.5)^2 - (1.5)^2 = 6.25 - 2.25 = 4\). Quindi \(a^2 = 4\) e l’equazione è \(\dfrac {x^2}{4} - \dfrac {y^2}{4} = 1\).
Esempio 77.4
Intersezione retta-iperbole Studiare le posizioni reciproche fra l’iperbole \(\dfrac {x^2}{16} - \dfrac {y^2}{9} = 1\) e la retta \(y = x - 1\).
Sistema. Sostituendo \(y = x - 1\):
Moltiplicando per \(144\):
Discriminante. \(\Delta = 32^2 - 4 \cdot 7 \cdot 160 = 1024 - 4480 = -3456 < 0\).
Conclusione. \(\Delta < 0\), la retta è esterna all’iperbole (nessuna intersezione).
Esempio 77.5
Eccentricità di un’iperbole “stretta” Un’iperbole ha eccentricità \(e = 1.05\) e fuochi a distanza \(2c = 20\,{}\) (unità arbitrarie). Determinare \(a\), \(b\) e l’equazione canonica.
Calcolo. \(c = 10\). Da \(e = c/a\): \(a = c/e = 10/1.05 \approx 9.524\). \(b^2 = c^2 - a^2 = 100 - 90.703 \approx 9.297\), \(b \approx 3.049\).
Equazione. \(\dfrac {x^2}{90.7} - \dfrac {y^2}{9.3} \approx 1\). Asintoti: \(y = \pm (b/a)\,x \approx \pm 0.32\,x\), quasi orizzontali: l’iperbole è “stretta e allungata” attorno all’asse \(x\), coerentemente con \(e\) poco maggiore di \(1\).
Esercizio 77.1
Quale ha vertici più vicini all’origine? Quale ha asintoti più ripidi? [la prima: \(a = 4, b = 2\), vertici lontani, asintoti dolci (\(y = \pm x/2\)); la seconda: \(a = 2, b = 4\), vertici vicini, asintoti ripidi (\(y = \pm 2x\))]
Riepilogo
Definizione come luogo geometrico — L’iperbole è il luogo dei punti \(P\) del piano tali che \(\lvert \,\modulo {PF_1} - \modulo {PF_2}\,\rvert = 2a\), con \(a < c\) (\(c\) semidistanza focale). Caratterizzata da due rami distinti.
Equazione canonica (centro nell’origine, assi \(\equiv \) assi di simmetria):
Il segno a destra dell’equazione canonica codifica l’orientamento dei rami.
Asintoti — Per entrambi gli orientamenti: \(y = \pm (b/a)\,x\). Sono le diagonali del rettangolo asintotico \([-a, a] \times [-b, b]\).
Eccentricità — \(e = c/a\), sempre \(e > 1\) per l’iperbole. Classifica le coniche: \(e<1\) ellisse, \(e=1\) parabola, \(e>1\) iperbole. Caso particolare \(e = \sqrt {2}\): iperbole equilatera (\(a = b\), asintoti \(y = \pm x\)).
Posizioni retta-iperbole — Sostituendo \(y = mx + q\) nell’equazione canonica si ottiene un’equazione di II grado in \(x\) (se \(m \neq \pm b/a\)); il discriminante \(\Delta \) classifica: \(\Delta > 0\) secante, \(\Delta = 0\) tangente, \(\Delta < 0\) esterna. Le rette parallele agli asintoti (\(m = \pm b/a\)) intersecano in un solo punto, ma non sono tangenti.
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