76 Ellisse: equazione canonica, fuochi, eccentricità

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Capitolo 76
Ellisse: equazione canonica, fuochi, eccentricità

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Tutto sugli ellissi

L’orbita di ciascun pianeta è un’ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.”
— Johannes Kepler, Astronomia Nova (1609) — prima legge

____________________________________________________________________________________

76.1 Introduzione motivazionale

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L’ellisse è la seconda grande conica, dopo la parabola (74). Apollonio l’aveva studiata come sezione obliqua di un cono (iii sec. a.C.) e ne aveva trovato le proprietà geometriche, ma per quasi due millenni rimase una curiosità della matematica pura. Il salto avvenne nel 1609, quando Johannes Kepler, analizzando i dati astronomici di Tycho Brahe sull’orbita di Marte, scoprì che le orbite dei pianeti attorno al Sole sono ellissi, con il Sole in uno dei due fuochi (prima legge di Kepler). Da quel momento l’ellisse è diventata una delle curve più importanti della scienza.

Le applicazioni sono moltissime:

astronomia: orbite di pianeti, comete (Halley ha $e \approx 0.97$, molto allungata), satelliti artificiali;
ottica e acustica: in un riflettore ellissoidale, un raggio (o un’onda sonora) emesso da un fuoco si raccoglie nell’altro fuoco (proprietà focale dell’ellisse — base delle “sale dei sussurri”);
ingegneria: forme aerodinamiche, sezioni di tubi obliqui, lenti elicoidali.

In matematica, l’ellisse è la generalizzazione naturale della circonferenza: quest’ultima si ottiene dall’ellisse facendo coincidere i due fuochi (75). La circonferenza è dunque un caso particolare “perfettamente simmetrico” di ellisse.

In questo capitolo:

definiamo l’ellisse come luogo geometrico (somma di distanze da due fuochi costante);
ricaviamo l’equazione canonica $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$;
identifichiamo vertici, fuochi, semiassi;
introduciamo l’eccentricità $e$ come misura della “schiacciatura”;
discutiamo le posizioni reciproche con una retta e la formula di sdoppiamento della tangente;
estendiamo al caso di ellisse traslata con centro generico.

76.2 Definizione come luogo geometrico

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Definizione 76.1 — Ellisse

Siano $F_1$ e $F_2$ due punti distinti del piano (fuochi) e $2a$ un numero reale maggiore della loro distanza ($2a > \overline {F_1 F_2}$). Si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti $P$ del piano la cui somma delle distanze dai due fuochi è costante uguale a $2a$:

\[ \mathcal {E} = \{P : \overline {PF_1} + \overline {PF_2} = 2a\}. \]

Nota — La costruzione del giardiniere

Una conseguenza pratica della definizione: per disegnare un’ellisse basta piantare due chiodi (i fuochi) nel terreno, legare ai due chiodi una corda lunga $2a$ (con $2a > $ distanza tra i chiodi), e tracciare la curva mantenendo la corda tesa con la punta di una matita. È il metodo del giardiniere, ancora usato per disegnare aiuole ellittiche.

[Picture] — Figura 76.1: Ellisse definita come luogo dei punti $P$ tali che $\overline {PF_1} + \overline {PF_2} = 2a$. I due segmenti verdi misurano insieme sempre lo stesso valore $2a$ al variare di $P$ sulla curva.

Nota — Casi limite

Se $2a = \overline {F_1 F_2}$ (limite): il luogo degenera nel segmento $\overline {F_1 F_2}$.
Se $2a < \overline {F_1 F_2}$: il luogo è vuoto (la disuguaglianza triangolare non può essere violata).
Se $F_1 = F_2$ (coincidenza): la condizione $2\overline {PF_1} = 2a$ diventa $\overline {PF_1} = a$, cioè una circonferenza di centro $F_1$ e raggio $a$ (75).

76.3 Equazione canonica

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Scegliamo un sistema di riferimento “canonico”: asse $x$ coincidente con la retta dei fuochi, origine nel punto medio di $\overline {F_1 F_2}$. Dette $c$ la semidistanza focale (quindi $\overline {F_1 F_2} = 2c$), i fuochi sono $F_1(-c, 0)$ e $F_2(c, 0)$ con $a > c > 0$.

Teorema 76.1 — Equazione canonica dell’ellisse

Nel sistema di riferimento sopra descritto, l’ellisse di fuochi $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$ e somma di distanze $2a$ ha equazione

\[ \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1, \]

con

\[ b^2 = a^2 - c^2,\qquad b > 0. \]

\[ \boxed {\ \dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2} = 1\ }\qquad (a > b > 0,\ \ c = \sqrt {a^2 - b^2}). \]

Dimostrazione (cenni). La condizione $\overline {PF_1} + \overline {PF_2} = 2a$ in coordinate:

\[ \sqrt {(x+c)^2 + y^2} + \sqrt {(x-c)^2 + y^2} = 2a. \]

Isolando la prima radice e quadrando:

\[ (x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt {(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2. \]

Sviluppando i quadrati e semplificando $(x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx$:

\[ 4cx = 4a^2 - 4a\sqrt {(x-c)^2 + y^2} \implies a\sqrt {(x-c)^2 + y^2} = a^2 - cx. \]

Quadrando di nuovo:

\[ a^2\bigl ((x-c)^2 + y^2\bigr ) = (a^2 - cx)^2 = a^4 - 2a^2 cx + c^2 x^2. \]

Sviluppando il primo membro e semplificando:

\[ a^2 x^2 - 2 a^2 cx + a^2 c^2 + a^2 y^2 = a^4 - 2a^2 cx + c^2 x^2, \]

\[ (a^2 - c^2) x^2 + a^2 y^2 = a^2(a^2 - c^2). \]

Ponendo $b^2 = a^2 - c^2 > 0$ (sicuramente positivo perché $a > c$):

\[ b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2,\qquad \text {cioè}\qquad \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1. \]

76.4 Fuochi vertici semiassi

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L’ellisse canonica $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ ha una struttura geometrica molto ricca, ma in realtà tutto si organizza attorno a pochi elementi:

Teorema 76.2 — Elementi dell’ellisse $\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1$ (con $a > b > 0$)

Centro: l’origine $O(0, 0)$. È centro di simmetria.
Vertici (intersezioni con gli assi): $A(a, 0)$, $A'(-a, 0)$ sull’asse $x$; $B(0, b)$, $B'(0, -b)$ sull’asse $y$.
Semiasse maggiore: $a$ (sull’asse $x$).
Semiasse minore: $b$ (sull’asse $y$).
Assi di simmetria: gli assi cartesiani.
Fuochi: $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$ con $c = \sqrt {a^2 - b^2}$.
Asse focale: l’asse $x$ (retta che congiunge i fuochi).

Nota — Caso $b > a$: fuochi sull’asse $y$

Se nella forma canonica $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ il coefficiente sotto $y^2$ è maggiore di quello sotto $x^2$ (cioè $b > a$), allora l’asse focale è verticale:

semiasse maggiore: $b$;
semiasse minore: $a$;
fuochi: $F_1(0, -c)$, $F_2(0, c)$ con $c = \sqrt {b^2 - a^2}$;
relazione: $a^2 = b^2 - c^2$.

Regola: l’asse focale è sempre quello con il semiasse maggiore.

Esempio 76.1 — Elementi di un’ellisse

$\dfrac {x^2}{25} + \dfrac {y^2}{9} = 1$. Allora $a^2 = 25, b^2 = 9$, dunque $a = 5 > 3 = b$ (fuochi sull’asse $x$).

\[ c = \sqrt {25 - 9} = 4. \]

Vertici: $(\pm 5, 0), (0, \pm 3)$. Fuochi: $(\pm 4, 0)$. Asse maggiore $= 10$, asse minore $= 6$, distanza focale $= 8$.

Esempio 76.2 — Ellisse con asse focale verticale

$\dfrac {x^2}{4} + \dfrac {y^2}{16} = 1$. Allora $a^2 = 4, b^2 = 16$, dunque $b = 4 > 2 = a$ (fuochi sull’asse $y$).

\[ c = \sqrt {16 - 4} = 2\sqrt {3}. \]

Vertici: $(\pm 2, 0), (0, \pm 4)$. Fuochi: $(0, \pm 2\sqrt {3})$.

76.5 Eccentricità

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Definizione 76.2 — Eccentricità

Si chiama eccentricità dell’ellisse il numero

\[ e = \frac {c}{a}, \]

dove $a$ è il semiasse maggiore e $c$ la semidistanza focale.

\[ e = \frac {c}{a} = \frac {\sqrt {a^2 - b^2}}{a}\quad \text {(se $a > b$).} \]

Nota — Range dell’eccentricità

Poiché $0 < c < a$ (caso non degenere), si ha sempre

\[ 0 \leq e < 1. \]

Casi estremi:

$e = 0$: $c = 0$, i due fuochi coincidono nell’origine. L’ellisse degenera in una circonferenza di raggio $a = b$ (75).
$e \to 1^-$: $c \to a$, $b \to 0$. L’ellisse diventa estremamente schiacciata, e nel limite si appiattisce nel segmento $\overline {F_1 F_2}$.

Nota — Eccentricità delle orbite reali

\[ \begin {array}{l|c} \text {Orbita} & e \\ \hline \text {Venere} & 0.007 \\ \text {Terra} & 0.017 \\ \text {Marte} & 0.093 \\ \text {Mercurio} & 0.206 \\ \text {Plutone} & 0.249 \\ \text {Cometa di Halley} & 0.967 \\ \end {array} \]

La Terra ha un’orbita “quasi circolare” ($e$ molto piccola); la cometa di Halley è invece estremamente eccentrica — quasi parabolica.

Esempio 76.3 — Calcolo dell’eccentricità

Per $\dfrac {x^2}{25} + \dfrac {y^2}{9} = 1$ (esempio precedente): $a = 5$, $c = 4$, dunque $e = 4/5 = 0.8$.

Per la circonferenza $x^2 + y^2 = 9$: $a = b = 3$, $c = 0$, $e = 0$.

76.6 Posizioni di una retta rispetto a un’ellisse

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A differenza della circonferenza (dove abbiamo il criterio rapido $d(C, r) \lessgtr r$), per l’ellisse non esiste una formula geometrica altrettanto semplice. Si procede col metodo algebrico: si sostituisce la retta nell’equazione dell’ellisse, si ottiene un’equazione di 2° grado e si studia il discriminante.

Teorema 76.3 — Posizioni reciproche retta-ellisse

Dato il sistema retta-ellisse, si elimina (per esempio) $y$ e si ottiene un’equazione di $2°$ grado in $x$ con discriminante $\Delta '$:

\[ \begin {array}{c|l} \Delta ' > 0 & \text {secante (2 intersezioni)} \\ \Delta ' = 0 & \text {tangente (1 punto)} \\ \Delta ' < 0 & \text {esterna (0 intersezioni)} \\ \end {array} \]

Formula di sdoppiamento per la tangente in un punto

Teorema 76.4 — Tangente in un punto dell’ellisse

La tangente all’ellisse $\dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2} = 1$ nel punto $T(x_0, y_0)$ (che vi appartiene) ha equazione

\[ \frac {x_0\,x}{a^2} + \frac {y_0\,y}{b^2} = 1. \]

(Si ottiene dalla forma canonica per “sdoppiamento”: $x^2 \to x_0\,x$ e $y^2 \to y_0\,y$.)

Esempio 76.4 — Tangente in un punto

Tangente a $\dfrac {x^2}{25} + \dfrac {y^2}{9} = 1$ in $T(3, 12/5)$ (verifica: $9/25 + (144/25)/9 = 9/25 + 16/25 = 1$ $\checkmark$).

Soluzione. $\dfrac {3 x}{25} + \dfrac {(12/5)\,y}{9} = 1 \Rightarrow \dfrac {3x}{25} + \dfrac {12 y}{45} = 1 \Rightarrow \dfrac {3x}{25} + \dfrac {4y}{15} = 1$.

Moltiplicando per $75$: $9x + 20y = 75$, ovvero $9x + 20y - 75 = 0$.

76.7 Ellisse traslata

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Se il centro dell’ellisse non è l’origine ma un punto $C(x_C, y_C)$, applicando una traslazione (73) si ottiene l’equazione dell’ellisse traslata:

\[ \frac {(x - x_C)^2}{a^2} + \frac {(y - y_C)^2}{b^2} = 1. \]

Gli assi della traslata sono paralleli agli assi cartesiani, passanti per $C$. Gli elementi (fuochi, vertici, ecc.) sono quelli dell’ellisse canonica traslati di $\vec {v} = (x_C, y_C)$.

Esempio 76.5 — Ellisse traslata

Ellisse con centro $C(2, -1)$, semiasse maggiore $a = 4$ sull’orizzontale, semiasse minore $b = 3$ sul verticale.

Equazione: $\dfrac {(x-2)^2}{16} + \dfrac {(y+1)^2}{9} = 1$.

Vertici: $(2 \pm 4, -1)$ sull’orizzontale, $(2, -1 \pm 3)$ sul verticale.

$c = \sqrt {16 - 9} = \sqrt {7}$. Fuochi: $(2 \pm \sqrt {7}, -1)$.

Eccentricità: $e = \sqrt {7}/4 \approx 0.661$.

76.8 Esempi svolti

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Esempio 76.6 — Ellisse da fuochi e asse maggiore

Trovare l’equazione dell’ellisse con fuochi $F_1(-3, 0), F_2(3, 0)$ e somma delle distanze $2a = 10$.

Soluzione. $a = 5$, $c = 3$, quindi $b^2 = 25 - 9 = 16$, $b = 4$.

Equazione: $\dfrac {x^2}{25} + \dfrac {y^2}{16} = 1$.

Eccentricità: $e = 3/5 = 0.6$.

Esempio 76.7 — Ellisse passante per due punti

Trovare l’ellisse canonica con asse focale orizzontale passante per $P(2, \sqrt {3})$ e $Q(\sqrt {3}, 2)$.

Soluzione. Forma: $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Imponiamo entrambi i passaggi:

\[ \begin {cases} \dfrac {4}{a^2} + \dfrac {3}{b^2} = 1 \\ \dfrac {3}{a^2} + \dfrac {4}{b^2} = 1 \end {cases} \]

Ponendo $u = 1/a^2$, $v = 1/b^2$: $4u + 3v = 1$ e $3u + 4v = 1$. Sottraendo: $u - v = 0 \Rightarrow u = v$. Sostituendo: $7u = 1 \Rightarrow u = v = 1/7$.

Quindi $a^2 = b^2 = 7$, cioè è in realtà una circonferenza $x^2 + y^2 = 7$. (I due punti sono effettivamente equidistanti dall’origine: $\overline {OP}^2 = 4 + 3 = 7$ e $\overline {OQ}^2 = 3 + 4 = 7$ $\checkmark$.)

Esempio 76.8 — Posizione di una retta

Stabilire la posizione della retta $y = x + 2$ rispetto all’ellisse $x^2/4 + y^2 = 1$.

Soluzione. Sostituiamo: $x^2/4 + (x+2)^2 = 1 \Rightarrow x^2/4 + x^2 + 4x + 4 - 1 = 0$.

Moltiplicando per $4$: $x^2 + 4x^2 + 16x + 12 = 0 \Rightarrow 5x^2 + 16x + 12 = 0$.

$\Delta ' = 16^2 - 4\cdot 5\cdot 12 = 256 - 240 = 16 > 0$: secante. Le intersezioni: $x = (-16 \pm 4)/10$, cioè $x = -6/5$ o $x = -2$.

Punti: per $x = -2$: $y = 0$, punto $(-2, 0)$ (è un vertice); per $x = -6/5$: $y = 4/5$, punto $(-6/5, 4/5)$.

Esempio 76.9 — Tangenti parallele a una retta data

Trovare le tangenti all’ellisse $x^2/9 + y^2/4 = 1$ parallele alla retta $y = x$.

Soluzione. “Parallele a $y = x$” $\Rightarrow m = 1$, tangente $y = x + q$. Sostituendo:

\[ \dfrac {x^2}{9} + \dfrac {(x+q)^2}{4} = 1. \]

Moltiplicando per $36$: $4x^2 + 9(x+q)^2 = 36 \Rightarrow 13x^2 + 18qx + 9q^2 - 36 = 0$.

Tangenza: $\Delta ' = (18q)^2 - 4\cdot 13(9q^2 - 36) = 324 q^2 - 468 q^2 + 1872 = -144 q^2 + 1872 = 0$.

$q^2 = 13 \Rightarrow q = \pm \sqrt {13}$.

Le due tangenti parallele a $y = x$: $y = x + \sqrt {13}$ e $y = x - \sqrt {13}$.

Esempio 76.10 — Ellisse traslata: identificare gli elementi

Studiare l’ellisse $\dfrac {(x-1)^2}{9} + \dfrac {(y+2)^2}{4} = 1$.

Soluzione.

Centro: $C(1, -2)$.
$a^2 = 9, b^2 = 4$: $a = 3 > 2 = b$, asse focale orizzontale (parallelo all’asse $x$).
$c = \sqrt {9 - 4} = \sqrt {5}$.
Fuochi: $(1 \pm \sqrt {5}, -2)$.
Vertici: $(1 \pm 3, -2) = (4, -2)$ e $(-2, -2)$; $(1, -2 \pm 2) = (1, 0)$ e $(1, -4)$.
Eccentricità: $e = \sqrt {5}/3 \approx 0.745$.

76.9 Esercizi proposti

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Esercizio 76.1

1.

Per ciascuna delle seguenti ellissi, determina semiassi, vertici, fuochi, eccentricità e indica quale è l’asse focale:

(a) $\dfrac {x^2}{16} + \dfrac {y^2}{9} = 1$;
(b) $\dfrac {x^2}{4} + \dfrac {y^2}{25} = 1$;
(c) $\dfrac {x^2}{36} + \dfrac {y^2}{36} = 1$;
(d) $9 x^2 + 4 y^2 = 36$ (riportala prima alla forma canonica).

2.

Scrivi l’equazione canonica dell’ellisse con:

(a) $a = 5, b = 3$, fuochi sull’asse $x$;
(b) $a = 2, b = 6$, fuochi sull’asse $y$ (attenzione!);
(c) semiasse maggiore $7$, eccentricità $3/7$.

3.

Trova l’equazione dell’ellisse di fuochi $F_1(-4, 0)$ e $F_2(4, 0)$ e somma delle distanze $2a = 10$.

4.

Trova l’equazione dell’ellisse passante per $P(2, 2)$ e $Q(4, 1)$, con assi sugli assi cartesiani.

5.

Trova l’eccentricità dell’ellisse passante per $P(\sqrt {3}, 1)$ con un fuoco in $F(2, 0)$.

6.

Studia la posizione delle seguenti rette rispetto all’ellisse $x^2/9 + y^2/4 = 1$:

(a) $y = x$;
(b) $y = 2$;
(c) $y = x + 3$;
(d) $x + y = 5$.

7.

Trova la tangente all’ellisse $x^2/16 + y^2/9 = 1$ nel punto $T(\sqrt {8}, 3/\sqrt {2})$. (Suggerimento: verifica prima che $T$ appartenga all’ellisse.)

8.

Trova le tangenti all’ellisse $x^2/4 + y^2 = 1$ parallele alla retta $r: 2x - y = 0$.

9.

Trova le tangenti all’ellisse $x^2/9 + y^2/4 = 1$ dal punto esterno $P(0, 4)$.

10.

Per l’ellisse traslata $\dfrac {(x+2)^2}{25} + \dfrac {(y-3)^2}{16} = 1$ determina centro, vertici, fuochi, eccentricità.

11.

Trova l’equazione dell’ellisse con centro $C(2, 1)$, semiasse maggiore $a = 4$ orizzontale e semiasse minore $b = 3$.

12.

Per l’ellisse $x^2/25 + y^2/9 = 1$, calcola la lunghezza della corda focale perpendicolare all’asse $x$ passante per il fuoco $F_2(4, 0)$ (il latus rectum, di lunghezza $2 b^2/a$).

13.

(Discussione.) Verifica che, per ogni punto $P$ dell’ellisse canonica $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, vale la relazione di Apollonio: $\overline {PF_1} = a + e\cdot x_P$ e $\overline {PF_2} = a - e\cdot x_P$. Somma: $2a$, in accordo con la definizione di luogo.

14.

(Sfida — Keplero.) L’orbita della Terra attorno al Sole ha semiasse maggiore $a \approx 1.496\times 10^{8}\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }$ (unità astronomica) ed eccentricità $e \approx 0.017$. Calcola la distanza minima (perielio) e massima (afelio) della Terra dal Sole. (Suggerimento: si trovano nei due vertici sull’asse focale.)

76.10 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Definizione: ellisse = luogo dei punti $P$ tali che $\overline {PF_1} + \overline {PF_2} = 2a$ costante, con $2a > \overline {F_1 F_2}$.
Costruzione del giardiniere: due chiodi (i fuochi) + corda di lunghezza $2a$ + matita tesa.
Caso degenere: se $F_1 = F_2$ (fuochi coincidenti), l’ellisse degenera in una circonferenza di raggio $a$.
Equazione canonica (fuochi su asse $x$, centro origine):
\[ \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1,\qquad a > b > 0,\ b^2 = a^2 - c^2. \]
Elementi ($a > b$):
- semiasse maggiore $a$, semiasse minore $b$, semidistanza focale $c$;
- vertici $(\pm a, 0), (0, \pm b)$;
- fuochi $(\pm c, 0)$;
- centro $O$; assi di simmetria $x, y$.
Caso $b > a$: fuochi sull’asse $y$, semiasse maggiore $b$, $c = \sqrt {b^2 - a^2}$. Regola: i fuochi stanno sull’asse del semiasse maggiore.
Eccentricità: $e = c/a \in [0, 1)$. Casi:
- $e = 0$: circonferenza ($c = 0$);
- $e \to 1^-$: ellisse molto schiacciata.
Posizioni retta-ellisse: metodo algebrico, $\Delta '$ del sistema di 2° grado. Tre casi (secante, tangente, esterna).
Tangente nel punto $T(x_0, y_0)\in \mathcal {E}$ (formula di sdoppiamento):
\[ \frac {x_0\,x}{a^2} + \frac {y_0\,y}{b^2} = 1. \]
Ellisse traslata con centro $C(x_C, y_C)$:
\[ \frac {(x-x_C)^2}{a^2} + \frac {(y-y_C)^2}{b^2} = 1. \]

Assi paralleli a quelli cartesiani.
Applicazioni: orbite (prima legge di Kepler, 1609), riflettori focali, sale dei sussurri, sezioni oblique di un cilindro.
Prossimi passi: iperbole (77) — definita con differenza (e non somma) di distanze dai fuochi; trattazione unitaria delle coniche (79).

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Capitolo 76 Ellisse: equazione canonica, fuochi, eccentricità

76.1 Introduzione motivazionale

76.2 Definizione come luogo geometrico

76.3 Equazione canonica

76.4 Fuochi vertici semiassi

76.5 Eccentricità

76.6 Posizioni di una retta rispetto a un’ellisse

Formula di sdoppiamento per la tangente in un punto

76.7 Ellisse traslata

76.8 Esempi svolti

76.9 Esercizi proposti

76.10 Riepilogo del capitolo

Capitolo 76
Ellisse: equazione canonica, fuochi, eccentricità