79 Coniche: trattazione unitaria e classificazione

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Capitolo 79
Coniche: trattazione unitaria e classificazione

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Le tre sezioni del cono — parabolè, ellipsis e hyperbolè — sono in realtà aspetti diversi di una stessa entità.”

— Parafrasi di Apollonio di Perga, Coniche, libro I (c. 200 a.C.)

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79.1 Introduzione motivazionale

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Nei capitoli precedenti abbiamo studiato separatamente parabola (74), circonferenza (75), ellisse (76), iperbole (77-78). Ognuna è stata introdotta come un luogo geometrico diverso (equidistanza da fuoco-direttrice, equidistanza da un centro, somma o differenza di distanze da due fuochi), con la sua equazione canonica e con le sue applicazioni. Quattro curve, quattro definizioni, quattro famiglie di formule.

In questo capitolo facciamo un passo indietro e mostriamo che — sorprendentemente — le quattro curve sono in realtà aspetti diversi di una stessa famiglia matematica, chiamata appunto delle coniche. Lo scopriamo da due punti di vista diversi:

geometrico-classico: tutte e quattro si ottengono tagliando un cono retto con un piano (etimologia del nome) — è la prospettiva di Apollonio di Perga, iii-ii sec. a.C.
metrico-unitario: tutte e quattro si descrivono con una sola formula usando i concetti di fuoco, direttrice e un parametro $e$ (eccentricità) che varia in un intervallo continuo. Il tipo di conica (ellisse, parabola, iperbole) emerge solo dal valore di $e$.

In più studiamo come distinguere a colpo d’occhio il tipo di conica a partire dalla sua equazione generale di secondo grado:

\[ A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0. \]

La risposta è data dal discriminante della parte quadratica $\delta = B^2 - 4AC$, e classifica completamente l’equazione (parabola, ellisse o iperbole), oltre a riconoscere i casi degeneri (un punto, una retta doppia, due rette parallele, due rette incidenti).

Il capitolo si chiude con un breve quadro storico, dall’Apollonio classico ai pianeti di Keplero ai principi di Newton, in cui le coniche hanno scritto duemila anni di scienza.

79.2 Definizione unitaria delle coniche

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Le coniche come sezioni di un cono

Teorema 79.1 — Coniche come sezioni piane di un cono

Un piano che taglia un cono retto a due falde dà come intersezione una delle seguenti curve, a seconda dell’inclinazione del piano rispetto all’asse del cono:

Cerchio — se il piano è perpendicolare all’asse;
Ellisse — se il piano taglia obliquamente, attraversando solo una falda;
Parabola — se il piano è parallelo a una generatrice del cono;
Iperbole — se il piano taglia entrambe le falde (in genere parallelo all’asse).

Casi degeneri (piano passante per il vertice del cono): un punto, una retta, o due rette incidenti.

(È questa la costruzione che Apollonio formalizzò nel suo trattato Coniche: l’unicità del nome “conica” viene proprio da qui.)

[Picture] — Figura 79.1: Cono retto a doppia falda con tre sezioni piane: cerchio (sezione orizzontale, blu), ellisse (sezione obliqua di una sola falda, rossa), parabola (piano parallelo a una generatrice, verde). L’iperbole (non disegnata) si ottiene con un piano che taglia entrambe le falde.

Definizione unitaria con fuoco, direttrice ed eccentricità

Esiste anche una definizione metrica che racchiude tutti i casi sotto una sola formula. Già nota a Pappo di Alessandria (iv sec. d.C.), divenne il punto di riferimento moderno per la teoria delle coniche.

Teorema 79.2 — Definizione unitaria delle coniche

Dati un punto $F$ del piano (fuoco), una retta $d$ con $F \notin d$ (direttrice), e un numero $e \geq 0$ (eccentricità), il luogo geometrico dei punti $P$ tali che

\[ \boxed {\ \frac {\overline {PF}}{\mathrm {dist}(P, d)} = e\ } \]

è una conica, e precisamente:

se $0 \leq e < 1$: l’ellisse (in particolare, $e = 0$ degenera nella circonferenza, in un opportuno senso limite);
se $e = 1$: la parabola (74);
se $e > 1$: l’iperbole (77).

Nota — Coerenza con le definizioni precedenti

Per $e = 1$: la condizione $\overline {PF} = \mathrm {dist}(P, d)$ è esattamente la definizione della parabola data in 74.
Per $e \neq 1$: si dimostra (con un calcolo algebrico) che la condizione equivale a $\overline {PF_1} \pm \overline {PF_2} = 2a$ (somma per $e<1$, differenza per $e>1$), dove $F_1$ e $F_2$ sono i due fuochi, simmetrici rispetto al centro della conica. Si ritrovano così le definizioni dell’ellisse (76) e dell’iperbole (77).
Per la circonferenza ($e = 0$) la definizione fuoco-direttrice degenera (occorre $\mathrm {dist}(P, d) \to \infty $); la si recupera come limite di ellissi con eccentricità tendente a zero.

Nota — Relazione $e$ – forma

\[ \begin {array}{c|l} e & \text {Forma della conica} \\ \hline 0 & \text {circonferenza} \\ \in (0, 1) & \text {ellisse} \\ 1 & \text {parabola} \\ > 1 & \text {iperbole} \end {array} \]

Più $e$ è vicino a $0$, più la conica è “tonda”; più si avvicina a $1$, più si allunga (ellisse) o “apre” (iperbole).

79.3 Discriminante e classificazione

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L’equazione più generale di secondo grado in due variabili è

\[ A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0, \]

con $(A, B, C) \neq (0, 0, 0)$ (almeno uno dei termini quadratici non nullo). Vogliamo capire, a colpo d’occhio dai suoi coefficienti, di quale tipo di conica si tratta.

Teorema 79.3 — Classificazione delle coniche tramite il discriminante

Posto $\delta = B^2 - 4 A C$ (discriminante della parte quadratica), si ha:

\[ \begin {array}{c|l} \delta < 0 & \text {ellisse (o circonferenza, se $A = C$ e $B = 0$; o conica degenere)} \\ \delta = 0 & \text {parabola (o conica degenere)} \\ \delta > 0 & \text {iperbole (o conica degenere)} \end {array} \]

\[ \delta = B^2 - 4 A C \ \to \ \begin {cases} < 0 & \text {ellisse} \\ = 0 & \text {parabola} \\ > 0 & \text {iperbole} \end {cases} \]

Dimostrazione (idea). Una rotazione degli assi cartesiani (73) di un opportuno angolo elimina il termine misto $B'xy$ nella nuova equazione. Per la rotazione di $\theta $, gli “invarianti” della parte quadratica $A x^2 + B xy + C y^2$ sono ad esempio $A + C$ (somma dei coefficienti puri) e $B^2 - 4AC$ (discriminante). Il discriminante quindi non cambia. Una volta annullato $B'$, l’equazione è del tipo $A' x'^2 + C' y'^2 + \ldots = 0$ con $\delta ' = -4 A' C'$. Da qui:

$\delta < 0 \Rightarrow A', C'$ stesso segno $\Rightarrow $ ellisse;
$\delta = 0 \Rightarrow $ almeno uno tra $A', C'$ è zero $\Rightarrow $ parabola;
$\delta > 0 \Rightarrow A', C'$ segno opposto $\Rightarrow $ iperbole.

Nota — Casi tipici nelle equazioni scolastiche ($B = 0$)

Nelle equazioni più frequenti il termine $Bxy$ è assente. Con $B = 0$ si ha $\delta = -4AC$:

$A$ e $C$ stesso segno (e non nulli) $\Rightarrow \delta < 0 \Rightarrow $ ellisse. Se in più $A = C$: circonferenza.
$A$ e $C$ segno opposto $\Rightarrow \delta > 0 \Rightarrow $ iperbole.
Uno tra $A, C$ è zero (e l’altro non lo è) $\Rightarrow \delta = 0 \Rightarrow $ parabola.

È la regola informale che hanno già usato implicitamente in 75 per riconoscere la circonferenza.

Esempio 79.1 — Classificazione di tre coniche

$4 x^2 + 9 y^2 - 36 = 0$: $A = 4, C = 9, B = 0$, $\delta = -144 < 0$ e $A \neq C$: ellisse. (In forma canonica: $x^2/9 + y^2/4 = 1$.)
$4 x^2 - 9 y^2 - 36 = 0$: $A = 4, C = -9, B = 0$, $\delta = 144 > 0$: iperbole.
$4 x^2 - 12 y = 0$: $A = 4, C = 0, B = 0$, $\delta = 0$: parabola. (In forma esplicita: $y = x^2/3$.)
$3 x^2 + 3 y^2 - 6 x + 12 y - 1 = 0$: $A = C = 3, B = 0$, $\delta = -36 < 0$: circonferenza.
$x^2 + 4 xy + 4 y^2 + x - 1 = 0$: $A = 1, B = 4, C = 4$, $\delta = 16 - 16 = 0$: parabola (notare che la parte quadratica è $(x + 2y)^2$, un quadrato perfetto).

79.4 Coniche degeneri

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Il discriminante $\delta $ ci dice la famiglia (ellisse-parabola-iperbole), ma non distingue sempre il caso “regolare” da quello degenere. Una conica degenere si ottiene quando l’equazione di secondo grado si fattorizza in fattori lineari (o equivalentemente quando il piano taglia il cono passando per il suo vertice).

Teorema 79.4 — Coniche degeneri

\[ \begin {array}{l|l} \delta < 0\ \text {(ellittica)} & \text {degenere = un singolo punto, o vuoto reale} \\ \delta = 0\ \text {(parabolica)} & \text {degenere = due rette parallele, una retta doppia, o vuoto} \\ \delta > 0\ \text {(iperbolica)} & \text {degenere = due rette incidenti} \end {array} \]

Esempio 79.2 — Coniche degeneri tipiche

$x^2 + y^2 = 0$: $\delta = -4 < 0$, ma l’unica soluzione reale è $(0, 0)$. Ellisse degenere in un punto.
$x^2 + y^2 + 1 = 0$: $\delta = -4 < 0$, nessuna soluzione reale. Ellisse vuota.
$x^2 - y^2 = 0$: $\delta = 4 > 0$. Si fattorizza in $(x-y)(x+y) = 0$, cioè $y = x$ o $y = -x$. Iperbole degenere in due rette incidenti (le bisettrici dei quadranti).
$x^2 - 4 = 0$: $\delta = 0$. Si fattorizza in $(x-2)(x+2) = 0$, cioè $x = 2$ o $x = -2$. Parabola degenere in due rette parallele.
$x^2 = 0$: $\delta = 0$. Soluzione: $x = 0$ (con molteplicità due). Parabola degenere in una retta doppia (l’asse $y$).
$x^2 + y^2 - 2x + 1 = 0$: completando il quadrato, $(x-1)^2 + y^2 = 0$, soluzione solo $(1, 0)$. Ellisse degenere in un punto.

79.5 Cenni storici

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Lo studio sistematico delle coniche è uno dei capolavori della matematica greca, e ha attraversato venti secoli di scienza occidentale.

Menecmo (iv sec. a.C.): primo studio delle coniche, scoperte come strumento per risolvere il problema della duplicazione del cubo. Erano chiamate “sezione del cono acutangolo / rettangolo / ottusangolo”.
Apollonio di Perga (c. 262–190 a.C.): le sistematizza nella sua opera Coniche in $8$ libri (sopravvissuti $7$, di cui $4$ in greco e $3$ in arabo). È lui ad introdurre i nomi parabolè (“confronto”, “adattamento”), ellipsis (“mancanza”, “difetto”), hyperbolè (“eccesso”), terminologia che oggi è entrata anche nel linguaggio comune (per esempio: “parabola” come breve racconto a confronto).
Pappo di Alessandria (iv sec. d.C.): introduce la definizione unitaria tramite fuoco-direttrice-eccentricità, che è la base della nostra trattazione moderna.
Mondo arabo (ix-xii sec.): i Banū Mūsā, Thābit ibn Qurra, Omar Khayyām sviluppano notevolmente la teoria. Khayyām usa l’intersezione di coniche per risolvere equazioni cubiche.
Rinascimento: Federico Commandino traduce le Coniche in latino (1566); l’opera diventa il testo di riferimento per Galileo e Cartesio.
Galileo Galilei (1638): dimostra che la traiettoria di un proiettile è una parabola, dando alle coniche una dignità fisica (74).
Johannes Kepler (1609, 1619): le tre leggi sulle orbite ellittiche dei pianeti (76).
Isaac Newton (1687, Principia): mostra che la legge di gravitazione universale implica che tutte le orbite gravitazionali sono coniche — ellisse (orbita chiusa), parabola (caso limite), iperbole (orbita aperta). Tutte e quattro le coniche servono per descrivere il cosmo.
Geometria proiettiva (xvii-xix sec.): Desargues, Pascal, Poncelet sviluppano la teoria proiettiva delle coniche: tutte le coniche non degeneri sono proiettivamente equivalenti, e i diversi nomi che usiamo nel piano euclideo sono solo manifestazioni della loro intersezione con la retta all’infinito.

79.6 Esempi svolti

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Esempio 79.3 — Classificare e ridurre a forma canonica

Classificare la conica $4 x^2 + 9 y^2 - 8 x - 36 y + 4 = 0$.

Soluzione. $A = 4, B = 0, C = 9$: $\delta = -144 < 0 \Rightarrow $ ellisse (con $A \neq C$, non circonferenza).

Riduzione a forma canonica: completiamo i quadrati.

\[ 4(x^2 - 2x) + 9(y^2 - 4y) + 4 = 0 \]

\[ 4[(x-1)^2 - 1] + 9[(y-2)^2 - 4] + 4 = 0 \]

\[ 4(x-1)^2 + 9(y-2)^2 = 36 \]

\[ \frac {(x-1)^2}{9} + \frac {(y-2)^2}{4} = 1. \]

Ellisse traslata, centro $(1, 2)$, semiassi $a = 3, b = 2$ (asse focale orizzontale, fuochi $(1 \pm \sqrt {5}, 2)$).

Esempio 79.4 — Conica degenere

Classificare $x^2 - 4 y^2 + 4 x - 8 y + 4 = 0$.

Soluzione. $A = 1, C = -4, B = 0$: $\delta = 16 > 0 \Rightarrow $ iperbole.

Riduzione: completiamo i quadrati.

\[ (x^2 + 4x) - 4(y^2 + 2y) + 4 = 0 \]

\[ (x+2)^2 - 4 - 4[(y+1)^2 - 1] + 4 = 0 \]

\[ (x+2)^2 - 4(y+1)^2 = 0. \]

Fattorizza: $[(x+2) - 2(y+1)][(x+2) + 2(y+1)] = 0$, cioè $x - 2y = 0$ o $x + 2y + 4 = 0$.

Iperbole degenere in due rette incidenti. (Si intersecano in $x = -2, y = -1$, cioè $(-2, -1)$.)

Esempio 79.5 — Parabola dalla definizione unitaria

Trovare la conica di fuoco $F(2, 0)$, direttrice $x = -2$, eccentricità $e = 1$.

Soluzione. Per $e = 1$ è una parabola. Definizione: $\overline {PF} = \mathrm {dist}(P, d)$.

\[ \sqrt {(x-2)^2 + y^2} = |x + 2|. \]

Quadrando: $(x-2)^2 + y^2 = (x+2)^2 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 4x + 4 \Rightarrow y^2 = 8x$.

Parabola con asse orizzontale, vertice nell’origine.

Esempio 79.6 — Ellisse dalla definizione unitaria

Trovare la conica di fuoco $F(2, 0)$, direttrice $x = 8$, eccentricità $e = 1/2$.

Soluzione. Definizione: $\overline {PF} = e \cdot \mathrm {dist}(P, d)$.

\[ \sqrt {(x-2)^2 + y^2} = \tfrac {1}{2}|x - 8|. \]

Quadrando: $(x-2)^2 + y^2 = \tfrac {1}{4}(x-8)^2$.

Moltiplico per $4$: $4(x^2 - 4x + 4) + 4y^2 = x^2 - 16x + 64$.

Semplifico: $4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - x^2 + 16x - 64 = 0$, cioè $3x^2 + 4y^2 - 48 = 0$.

Dividendo per $48$: $\dfrac {x^2}{16} + \dfrac {y^2}{12} = 1$. Ellisse con $a^2 = 16$, $b^2 = 12$, $c^2 = 4$, $e = c/a = 2/4 = 1/2$ $\checkmark$.

79.7 Esercizi proposti

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Esercizio 79.1

1.

Per ciascuna delle seguenti equazioni di secondo grado, calcola $\delta = B^2 - 4AC$ e classifica la conica (regolare o degenere). Se possibile, riducila in forma canonica:

(a) $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 11 = 0$;
(b) $4 x^2 + y^2 - 16 = 0$;
(c) $x^2 - 4y^2 - 4 = 0$;
(d) $x^2 - 6x + y + 5 = 0$;
(e) $y^2 - 4x - 4y + 8 = 0$;
(f) $9 x^2 - 4 y^2 + 18 x - 8 y + 14 = 0$.

2.

Riconosci e classifica:

(a) $x^2 - 6x + 9 = 0$;
(b) $x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13 = 0$;
(c) $x^2 - 9y^2 = 0$;
(d) $4 x^2 - 4 xy + y^2 + 2x - y - 3 = 0$ (attenzione al termine $xy$).

3.

Trova l’equazione della conica di fuoco $F(0, 0)$, direttrice $y = 4$ ed eccentricità $e = 1/2$.

4.

Trova l’equazione della conica di fuoco $F(3, 0)$, direttrice $x = -3$ ed eccentricità $e = 1$. (Risposta: una parabola con asse orizzontale.)

5.

Trova l’equazione della conica di fuoco $F(3, 0)$, direttrice $x = 1$ ed eccentricità $e = 2$. Riconosci che si tratta di un’iperbole.

6.

Disegna sullo stesso piano cartesiano le tre coniche con fuoco $F(2, 0)$, direttrice $x = -2$, ed eccentricità rispettivamente $e = 0.5$, $e = 1$, $e = 2$. Confrontale.

7.

Mostra che, completando i quadrati, l’equazione $x^2 + 4y^2 - 2x + 8y + 1 = 0$ rappresenta un’ellisse. Trova centro, semiassi, eccentricità.

8.

Determina il valore del parametro $k$ in modo che $kx^2 + (k+1)y^2 - 4 = 0$ rappresenti: (a) una circonferenza; (b) un’ellisse con asse focale verticale; (c) un’iperbole.

9.

(Discussione.) Spiega perché la circonferenza è “un’ellisse degenere” (caso $e = 0$) nella definizione unitaria, e perché tale degenerazione richiede “passare al limite” (la direttrice tende all’infinito).

10.

(Sfida — proiettiva.) Mostra geometricamente che, sezionando un cono retto con un piano, l’eccentricità della conica risultante dipende dall’angolo $\alpha $ formato dal piano con l’asse del cono e dall’apertura $\beta $ del cono (semiangolo al vertice). Più precisamente: $e = \cos \alpha /\cos \beta $.

79.8 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Coniche come sezioni di un cono: tagliando un cono retto a due falde con un piano, si ottiene una circonferenza (piano perpendicolare all’asse), un’ellisse (piano obliquo, una sola falda), una parabola (piano parallelo a una generatrice), un’iperbole (piano che taglia entrambe le falde).
Definizione unitaria di Pappo: data una coppia (fuoco $F$, direttrice $d$) e un’eccentricità $e \geq 0$, la conica è il luogo dei punti $P$ tali che
\[ \frac {\overline {PF}}{\mathrm {dist}(P, d)} = e. \]

$e < 1 \Rightarrow $ ellisse; $e = 1 \Rightarrow $ parabola; $e > 1 \Rightarrow $ iperbole.
Eccentricità e forma: $e = 0$ circonferenza (limite); $e$ piccolo: “tonda”; $e \to 1$: schiacciata o aperta.
Equazione generale di secondo grado:
\[ A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0. \]

Discriminante della parte quadratica: $\delta = B^2 - 4 A C$.
Classificazione:
\[ \delta < 0\ \text {(ellisse)},\quad \delta = 0\ \text {(parabola)},\quad \delta > 0\ \text {(iperbole)}, \]

più i casi degeneri (punto, due rette parallele o coincidenti, due rette incidenti, vuoto).
Caso scolastico con $B = 0$: $A$ e $C$ stesso segno $\Rightarrow $ ellisse (se $A = C$, circonferenza); segno opposto $\Rightarrow $ iperbole; uno dei due nullo $\Rightarrow $ parabola.
Riduzione a forma canonica: si effettuano una rotazione (per eliminare $Bxy$) e una traslazione (per portare il centro nell’origine), ottenendo una delle equazioni canoniche già viste (74÷78).
Storia in pillole: Menecmo (iv sec. a.C.) $\rightarrow $ Apollonio (Coniche, 8 libri, iii sec. a.C.) $\rightarrow $ Pappo (iv sec. d.C., definizione unitaria) $\rightarrow $ riscoperta araba (ix-xii sec.) $\rightarrow $ Galileo (1638, parabola del proiettile) $\rightarrow $ Keplero (1609, orbite ellittiche) $\rightarrow $ Newton (1687, orbite coniche dalla gravitazione) $\rightarrow $ geometria proiettiva (xvii-xix sec.).
Visione finale: in geometria proiettiva, tutte le coniche non degeneri sono equivalenti. La distinzione ellisse/parabola/iperbole nel piano euclideo deriva da come la conica interseca la “retta all’infinito” (rispettivamente: in nessun punto, in un punto, in due punti).

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Capitolo 79 Coniche: trattazione unitaria e classificazione

79.1 Introduzione motivazionale

79.2 Definizione unitaria delle coniche

Le coniche come sezioni di un cono

Definizione unitaria con fuoco, direttrice ed eccentricità

79.3 Discriminante e classificazione

79.4 Coniche degeneri

79.5 Cenni storici

79.6 Esempi svolti

79.7 Esercizi proposti

79.8 Riepilogo del capitolo

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