80 Potenze a esponente reale

“

Le potenze elevate a esponenti irrazionali si devono intendere per via di successive approssimazioni razionali.”

— Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (1748)

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80.1 Introduzione motivazionale

Nei capitoli precedenti abbiamo definito le potenze passo dopo passo, allargando progressivamente l’insieme degli esponenti ammessi:

A ogni passaggio le proprietà delle potenze (somma di esponenti \(\to \) prodotto di potenze, eccetera) sono rimaste valide.

Ma cosa significa \(2^{\sqrt 2}\)? Oppure \(3^\pi \)? L’esponente è un numero irrazionale, e nessuna delle definizioni precedenti si applica: non possiamo moltiplicare “\(\sqrt 2\) volte” la base \(2\), e non possiamo neanche scrivere \(\sqrt 2\) come \(m/n\) con \(m, n\) interi.

Eppure questi numeri esistono e si calcolano benissimo con la calcolatrice: \(2^{\sqrt 2} \approx 2.6651\), \(3^\pi \approx 31.5443\). Cosa li definisce?

La risposta — che è uno dei punti più delicati della matematica del primo Novecento — è data dalla strategia, intuita già da Eulero nel 1748, di approssimazione razionale: \(2^{\sqrt 2}\) si definisce come il limite delle potenze \(2^{1.4}, 2^{1.41}, 2^{1.414}, \ldots \) con esponenti razionali sempre più vicini a \(\sqrt 2\). Per la monotonia delle potenze razionali, questa successione ha un limite ben definito, e quel limite è — per definizione — il valore di \(2^{\sqrt 2}\).

80.2 Estensione delle potenze: esponente irrazionale

Premessa: monotonia delle potenze razionali

Prima di estendere a esponente irrazionale, ricordiamo un fatto fondamentale (dimostrato per esponente intero in 9 e razionale in 48):

Teorema 80.1 — Monotonia delle potenze rispetto all’esponente

Sia \(a > 0\), \(a \neq 1\).

Se \(a > 1\): la funzione \(r \mapsto a^r\) è strettamente crescente su \(\mathbb{Q} \). Cioè se \(r_1 < r_2\) allora \(a^{r_1} < a^{r_2}\).
Se \(0 < a < 1\): la funzione \(r \mapsto a^r\) è strettamente decrescente su \(\mathbb{Q} \). Cioè se \(r_1 < r_2\) allora \(a^{r_1} > a^{r_2}\).

Definizione per esponente irrazionale

Sia \(a > 0\) e \(\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) (irrazionale). Vogliamo definire \(a^\alpha \).

L’idea: \(\alpha \) è approssimabile a piacere da numeri razionali (densità di \(\mathbb{Q} \) in \(\mathbb{R} \), 15). Possiamo costruire due successioni razionali \(\{r_n\}, \{s_n\}\) con \(r_n < \alpha < s_n\) tali che \(r_n \nearrow \alpha \) (cresce verso \(\alpha \)) e \(s_n \searrow \alpha \) (decresce verso \(\alpha \)).

Teorema 80.2 — Esistenza di \(a^\alpha \) per \(\alpha \) irrazionale

Sia \(a > 1\). Le due successioni di potenze razionali \(\{a^{r_n}\}\) (crescente) e \(\{a^{s_n}\}\) (decrescente) sono convergenti allo stesso limite, indipendentemente dalla scelta delle approssimazioni. Tale limite comune si definisce essere \(a^\alpha \):

\[ a^\alpha := \lim _{n\to \infty } a^{r_n} = \lim _{n\to \infty } a^{s_n}. \]

Per \(0 < a < 1\) vale un risultato analogo, con le successioni di monotonia opposta.

Dimostrazione (idea). Per \(a > 1\) e monotonia, \(\{a^{r_n}\}\) è crescente e limitata superiormente (per \(a^{s_1}\)), quindi ha limite finito \(L_r\) (assioma di completezza di \(\mathbb{R} \), 15). Analogamente \(\{a^{s_n}\}\) è decrescente e limitata inferiormente, con limite \(L_s\). Inoltre \(|a^{s_n} - a^{r_n}| = a^{r_n}(a^{s_n - r_n} - 1) \to 0\) per \(n\to \infty \) (perché \(s_n - r_n \to 0\) e \(a^{s_n - r_n} \to 1\)). Quindi \(L_r = L_s\).

\[ a^\alpha = \lim _{r \in \mathbb{Q} ,\ r \to \alpha } a^r\qquad (a > 0,\ \alpha \in \mathbb{R} ). \]

Nota — Base negativa o nulla

Per \(a \leq 0\) l’estensione a esponente irrazionale non funziona in \(\mathbb{R} \):

\(a = 0\): \(0^x = 0\) ha senso per \(x > 0\), ma \(0^0\) è una forma indeterminata (128) e \(0^{-x}\) con \(x > 0\) non è definita.
\(a < 0\): \((-2)^{1/2} = \sqrt {-2}\) non è reale; più in generale, \(a^\alpha \) con \(a < 0\) e \(\alpha \) irrazionale non ha valore reale univocamente definito.

Di qui in poi, quando parliamo di \(a^x\) con \(x\) reale, assumiamo \(a > 0\).

Esempio 80.1 — Approssimazione numerica

Calcoliamo \(2^{\sqrt 2}\) usando approssimazioni razionali. Una calcolatrice dà \(\sqrt 2 \approx 1.41421356\):

\[ \begin {array}{c|c} r & 2^r \\ \hline 1 & 2 \\ 1.4 & 2.6390 \\ 1.41 & 2.6574 \\ 1.414 & 2.6647 \\ 1.4142 & 2.6651 \\ 1.41421 & 2.66514 \\ \end {array} \]

I valori si stabilizzano verso \(2^{\sqrt 2} \approx 2.66514\).

80.3 Proprietà delle potenze a esponente reale

Le proprietà fondamentali delle potenze, già viste per esponenti razionali, restano valide anche per esponenti reali qualsiasi. Sono il punto di partenza di tutto il calcolo con esponenziali e logaritmi.

Teorema 80.3 — Proprietà delle potenze a esponente reale

Per ogni \(a, b > 0\) e ogni \(x, y \in \mathbb{R} \) valgono:

Prodotto di potenze con stessa base: \(a^x \cdot a^y = a^{x + y}\).
Quoziente di potenze con stessa base: \(\dfrac {a^x}{a^y} = a^{x - y}\).
Potenza di potenza: \((a^x)^y = a^{x\cdot y}\).
Potenza di un prodotto: \((a\cdot b)^x = a^x \cdot b^x\).
Potenza di un quoziente: \(\left (\dfrac {a}{b}\right )^x = \dfrac {a^x}{b^x}\).
Casi notevoli: \(a^0 = 1\), \(a^1 = a\), \(a^{-x} = \dfrac {1}{a^x}\), \(1^x = 1\) per ogni \(x\).

\begin{align*} a^x \cdot a^y &= a^{x+y}, \qquad &\dfrac {a^x}{a^y} &= a^{x-y}, \\ (a^x)^y &= a^{xy}, \qquad &(ab)^x &= a^x\,b^x. \end{align*}

Dimostrazione (idea). Per esponenti razionali le proprietà sono state stabilite in 48. Per esponenti reali si applica il principio di estensione per continuità: ogni numero reale \(x\) si scrive come limite di razionali \(r_n \to x\); la proprietà razionale \(a^{r_n}\cdot b^{r_n} = (ab)^{r_n}\) passa al limite (per continuità di prodotto e potenza), dando \(a^x \cdot b^x = (ab)^x\). Analogamente per le altre.

Esempio 80.2 — Applicazione delle proprietà

\(5^{\sqrt 2}\cdot 5^{\sqrt 2} = 5^{2\sqrt 2}\).
\(\dfrac {7^\pi }{7^{\pi - 1}} = 7^{\pi - (\pi - 1)} = 7^1 = 7\).
\(\left (2^{\sqrt 3}\right )^{\sqrt 3} = 2^{3} = 8\).
\(6^{\pi } = (2\cdot 3)^\pi = 2^\pi \cdot 3^\pi \).

Esempio 80.3 — Confronto di potenze irrazionali

Confrontare \(2^{\sqrt 2}\) e \(2^{1.5}\).

Soluzione. Poiché \(\sqrt 2 \approx 1.414 < 1.5\) e la funzione \(x \mapsto 2^x\) è strettamente crescente (base \(> 1\)), si ha \(2^{\sqrt 2} < 2^{1.5}\).

(Verifica numerica: \(2^{\sqrt 2} \approx 2.665\), \(2^{1.5} = 2\sqrt 2 \approx 2.828\). \(\checkmark\))

80.4 Continuità della funzione esponenziale

L’estensione di \(a^x\) a tutti gli \(x \in \mathbb{R} \) produce una funzione ben definita:

Le sue proprietà di base — che studieremo a fondo nel prossimo capitolo (81) — sono:

Teorema 80.4 — Proprietà della funzione \(x \mapsto a^x\), \(a > 0\)

Dominio: \(\mathbb{R} \). Codominio: \(\mathbb{R} ^{+} = (0, +\infty )\).
\(a^x > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \) (le potenze sono sempre positive).
Continuità: la funzione è continua su tutto \(\mathbb{R} \) (definizione formale in 130).
Monotonia:
- se \(a > 1\): strettamente crescente;
- se \(a = 1\): costante \(f(x) = 1\);
- se \(0 < a < 1\): strettamente decrescente.
Iniettività: se \(a \neq 1\), la funzione è iniettiva. Quindi è biettiva da \(\mathbb{R} \) a \(\mathbb{R} ^+\), e ammette inversa: il logaritmo (82).

Nota — Cosa significa “continuità”

Formalmente la continuità in \(x_0\) richiede \(\lim _{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\) — concetto che svilupperemo in 130. Intuitivamente: il grafico di \(a^x\) è una linea senza salti né interruzioni. Questo è esattamente garantito dal modo in cui abbiamo costruito \(a^x\) con il limite delle approssimazioni razionali: la costruzione è esattamente quella che “riempie i buchi” tra i valori razionali.

Nota — Il valore \(a^0\) e \(a^{-x}\)

\(a^0 = 1\) per ogni \(a > 0\): tutte le funzioni \(a^x\) passano per il punto \((0, 1)\).
\(a^{-x} = 1/a^x\): il grafico di \((1/a)^x\) è quello di \(a^x\) simmetrizzato rispetto all’asse \(y\). (Per esempio, \((1/2)^x\) e \(2^x\) sono uno il riflesso dell’altro.)

80.5 Esempi svolti

Esempio 80.4 — Semplificazioni con esponente reale

Semplificare \(\dfrac {2^{\sqrt 5}\cdot 2^{3 - \sqrt 5}}{2^2}\).

Soluzione. Numeratore: \(2^{\sqrt 5 + 3 - \sqrt 5} = 2^3 = 8\). Quoziente: \(8 / 4 = 2\).

Esempio 80.5 — Riduzione a base comune

Semplificare \(4^{\sqrt 3}\cdot 8^{-\sqrt 3}\).

Soluzione. Riscrivendo come potenze di \(2\): \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\). Quindi

\[ (2^2)^{\sqrt 3}\cdot (2^3)^{-\sqrt 3} = 2^{2\sqrt 3}\cdot 2^{-3\sqrt 3} = 2^{2\sqrt 3 - 3\sqrt 3} = 2^{-\sqrt 3} = \frac {1}{2^{\sqrt 3}}. \]

Esempio 80.6 — Confronto di potenze

Disporre in ordine crescente: \(A = 3^{\pi }\), \(B = 3^{3}\), \(C = 3^{\sqrt {10}}\).

Soluzione. Confrontiamo gli esponenti: \(\pi \approx 3.1416\), \(3 = 3\), \(\sqrt {10} \approx 3.1623\). Quindi \(3 < \pi < \sqrt {10}\).

La funzione \(3^x\) è crescente (base \(> 1\)), quindi \(3^3 < 3^\pi < 3^{\sqrt {10}}\), cioè \(B < A < C\).

Esempio 80.7 — Confronto con base \(< 1\)

Disporre in ordine crescente: \(A = (1/2)^{\sqrt 2}\), \(B = (1/2)^{1}\), \(C = (1/2)^{\sqrt 3}\).

Soluzione. Esponenti: \(1, \sqrt 2 \approx 1.414, \sqrt 3 \approx 1.732\), in ordine crescente.

Base \(< 1\), funzione decrescente, quindi all’aumentare dell’esponente la potenza diminuisce. Ordine crescente delle potenze: \(C < A < B\).

Esempio 80.8 — Calcolo con base e esponente irrazionali

Calcolare \((\sqrt 2)^{\sqrt 2}\) (un classico).

Soluzione. Numericamente: \(\sqrt 2 \approx 1.4142\), e \((\sqrt 2)^{\sqrt 2} \approx 1.6325\).

(Curioso teorema di Gelfond-Schneider, 1934: \((\sqrt 2)^{\sqrt 2}\) è trascendente. Famoso anche perché è stato a lungo congetturato che fosse irrazionale; oggi sappiamo che è perfino trascendente.)

Esempio 80.9 — Equazione con esponenti reali

Risolvere \(5^x = 5^{\sqrt 3}\cdot 5^{2x - 1}\).

Soluzione. Il secondo membro vale \(5^{\sqrt 3 + 2x - 1}\). Per iniettività della funzione \(5^x\) (base \(\neq 1\)):

\[ x = \sqrt 3 + 2x - 1 \implies x = 1 - \sqrt 3. \]

80.6 Esercizi proposti

Esercizio 80.1

1.

Usando la calcolatrice, completa la tabella di approssimazioni razionali per stimare \(2^\pi \):

\[ 2^3,\ 2^{3.1},\ 2^{3.14},\ 2^{3.141},\ 2^{3.1415},\ 2^{3.14159}. \]

2.

Semplifica usando le proprietà delle potenze:

(a) \(3^{\sqrt 5}\cdot 3^{2 - \sqrt 5}\);
(b) \((5^{\pi })^{1/\pi }\);
(c) \(\dfrac {a^{2\sqrt 3}}{a^{\sqrt 3}}\) (\(a > 0\));
(d) \(\left (2^{\sqrt 2}\right )^{\sqrt 2}\);
(e) \(4^x \cdot 2^{-x}\).

3.

Riduci ad una sola potenza con base \(2\):

(a) \(4^{\sqrt 3}\);
(b) \(8^x \cdot (1/2)^x\);
(c) \(\dfrac {32^x}{4^{2x}}\);
(d) \(16^{x/4}\cdot 2^x\).

4.

Confronta (senza calcolatrice):

(a) \(2^{\sqrt 5}\) e \(2^{\sqrt 6}\);
(b) \((1/3)^{\sqrt 2}\) e \((1/3)^{\sqrt 3}\);
(c) \(5^{\pi }\) e \(5^{3.14}\);
(d) \(0.7^{\sqrt 2}\) e \(0.7^{1.5}\).

5.

Disponi in ordine crescente: \(2^{\sqrt 2},\ 2^{1.5},\ 2^{1.4},\ 2^{\sqrt 3}\).

6.

Risolvi le equazioni esponenziali (sfruttando l’iniettività di \(a^x\)):

(a) \(2^x = 2^{\sqrt 5}\);
(b) \(3^{x + 1} = 3^{2 - x}\);
(c) \(5^{x^2} = 5^4\);
(d) \(7^{2x - 3} = 7^{x + 1}\).

7.

Per \(a > 0\) verifica che la funzione \(f(x) = a^x\) soddisfa \(f(x + y) = f(x)\cdot f(y)\) per ogni \(x, y \in \mathbb{R} \). (È la proprietà fondamentale della funzione esponenziale, da cui si possono dedurre tutte le altre.)

8.

(Discussione.) Perché non possiamo definire \((-2)^{\sqrt 2}\)? Mostra il problema con due successioni razionali \(r_n \to \sqrt 2\) di parità opposta (cioè \(r_n = p_n/q_n\) con \(q_n\) pari/dispari) e vedi cosa succede.

9.

(Discussione.) La funzione \(f(x) = 0^x\) ha senso? Per quali \(x\)? E per \(x = 0\)? (Suggerimento: pensare ai limiti.)

10.

(Sfida.) Mostra (per via numerica o teorica) che, per \(a, b > 1\):

\[ a < b \iff a^x < b^x\ \forall x > 0\ \text {e}\ a^x > b^x\ \forall x < 0. \]

(Cioè: a parità di esponente, una base maggiore dà potenza maggiore per esponenti positivi e minore per esponenti negativi.)

80.7 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Estensione delle potenze: passi successivi da esponente naturale (9) → intero → razionale (48) → reale.
Esponente irrazionale (definizione): per \(a > 0\) e \(\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \),
\[ a^\alpha = \lim _{r \in \mathbb{Q} ,\ r \to \alpha } a^r. \]

Il limite esiste e non dipende dalla scelta della successione di approssimazioni razionali.
Base ammessa: \(a > 0\). Per \(a \leq 0\) l’estensione a esponente reale non funziona in \(\mathbb{R} \).
Proprietà delle potenze (valide per ogni \(a, b > 0\) e \(x, y \in \mathbb{R} \)):
\[ a^x \cdot a^y = a^{x+y},\quad \frac {a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad (a^x)^y = a^{xy},\quad (ab)^x = a^x b^x. \]

\(a^0 = 1\), \(a^{-x} = 1/a^x\).
Funzione \(f(x) = a^x\), \(a > 0\): continua su \(\mathbb{R} \), sempre positiva, valore \(1\) in \(x = 0\).
Monotonia:
- \(a > 1\): strettamente crescente;
- \(a = 1\): costante;
- \(0 < a < 1\): strettamente decrescente.
Iniettività (se \(a \neq 1\)): \(a^x = a^y \iff x = y\). È la base della risoluzione delle equazioni esponenziali elementari.
Prossimi passi: funzione esponenziale \(y = a^x\) con grafico, asintoti, numero \(e\) (81); logaritmo come inversa (82); equazioni e disequazioni esponenziali (91, 93).

Capitolo 80 Potenze a esponente reale