91 Equazioni esponenziali

“

Le quantità esponenziali — in cui la variabile compare all’esponente di una costante — governano i fenomeni di crescita e decadimento in proporzione costante alla quantità presente. Risolvere un’equazione esponenziale significa determinare quel particolare valore della variabile per cui la quantità esponenziale assume un valore prescritto.”

— Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748), libro I, capitolo VI — prima trattazione sistematica delle funzioni esponenziali e logaritmiche come funzioni di una variabile reale

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91.1 Introduzione motivazionale

Un’equazione esponenziale è un’equazione in cui l’incognita compare all’esponente di una potenza con base costante. Esempi:

Sono uno strumento fondamentale per risolvere problemi di crescita esponenziale: calcolare il tempo di raddoppio di un capitale, l’età di un reperto dalla quantità di carbonio-14, il momento in cui una popolazione raggiunge una certa soglia.

In questo capitolo classifichiamo le equazioni esponenziali in tre tipologie di difficoltà crescente:

Nel capitolo successivo (92) tratteremo l’analogo per le equazioni logaritmiche, e in 93 le disequazioni esponenziali e logaritmiche.

Prerequisiti. Funzioni esponenziali e logaritmiche (capitoli precedenti della sezione EL), proprietà delle potenze, definizione di logaritmo come funzione inversa dell’esponenziale.

91.2 Equazioni risolvibili con la stessa base

Principio fondamentale. Per ogni \(a > 0\) con \(a \ne 1\), la funzione esponenziale \(a^x\) è strettamente monotona (crescente se \(a > 1\), decrescente se \(0 < a < 1\)). In particolare è iniettiva, dunque

\[ a^{f(x)} = a^{g(x)} \quad \iff \quad f(x) = g(x). \]

Strategia

Procedura — Riduzione alla stessa base

1.: Scegliere una base comune a tutti i termini (tipicamente il numero primo più piccolo: \(2\) se ci sono \(4, 8, 16, \ldots \); \(3\) se ci sono \(9, 27, 81, \ldots \)).
2.: Trasformare ogni potenza in quella base, usando le proprietà \(a^{mn} = (a^m)^n\) e \(a^{m+n} = a^m a^n\).
3.: Uguagliare gli esponenti e risolvere l’equazione risultante (di solito polinomiale).

Esempio 91.1 — \(2^x = 8\)

\(8 = 2^3\). Quindi \(2^x = 2^3 \iff x = 3\).

Esempio 91.2 — \(3^{x+1} = 27^x\)

\(27 = 3^3\), quindi \(27^x = 3^{3x}\). Equazione: \(3^{x+1} = 3^{3x} \iff x + 1 = 3x \iff x = 1/2\).

Verifica: \(3^{3/2} = \sqrt {27} \approx 5.196\); \(27^{1/2} = \sqrt {27} \approx 5.196\). \(\checkmark \)

Esempio 91.3 — Riduzione a base \(2\)

\(4^{x-1} \cdot 8^{x+2} = 16^{2x-3}\). Tutto in base \(2\): \(4 = 2^2, 8 = 2^3, 16 = 2^4\).

\[ 2^{2(x-1)} \cdot 2^{3(x+2)} = 2^{4(2x-3)} \iff 2^{2x - 2 + 3x + 6} = 2^{8x - 12} \iff 5x + 4 = 8x - 12. \]

Risolvendo: \(3x = 16 \Rightarrow x = 16/3\).

Esempio 91.4 — Frazione con potenza

\(\left (\dfrac {1}{2}\right )^{x+1} = 8\). Riscrivo \(1/2 = 2^{-1}\) e \(8 = 2^3\): \(2^{-(x+1)} = 2^3 \iff -(x+1) = 3 \iff x = -4\).

Attenzione!

La riduzione alla stessa base funziona solo se entrambi i membri sono potenze di una stessa base “naturale”. Se ad esempio \(2^x = 5\), non posso scrivere \(5\) come potenza di \(2\) con esponente razionale (il risultato sarebbe \(\log _2 5 \approx 2.32\), un irrazionale). In tal caso si applica il logaritmo (sezione successiva).

91.3 Equazioni con uso del logaritmo

Quando la riduzione alla stessa base non è possibile, si applica il logaritmo a entrambi i membri dell’equazione. Per le proprietà fondamentali del logaritmo (definizione inversa dell’esponenziale e \(\log (a^x) = x \log a\)):

Risoluzione via logaritmo: per \(a > 0, a \ne 1, b > 0\):

\[ a^{f(x)} = b \quad \iff \quad f(x) = \log _a b = \frac {\log b}{\log a}. \]

(La base del logaritmo è arbitraria: in pratica si usano i logaritmi decimali \(\log _{10}\) o naturali \(\ln \).)

Esempio 91.5 — Equazione esponenziale con risultato irrazionale

\(2^x = 5\). Applicando il logaritmo (base \(10\) o \(e\)):

\[ x = \log _2 5 = \frac {\log 5}{\log 2} = \frac {\ln 5}{\ln 2} \approx \frac {1.609}{0.693} \approx 2.322. \]

Esempio 91.6 — Esponenziale a entrambi i membri con basi diverse

\(3^x = 7^{x-1}\). Applicando \(\ln \) a entrambi:

\[ x \ln 3 = (x - 1) \ln 7 \iff x (\ln 7 - \ln 3) = \ln 7 \iff x = \frac {\ln 7}{\ln (7/3)} = \frac {1.946}{0.847} \approx 2.298. \]

Esempio 91.7 — Tempo di raddoppio del capitale

Un capitale al tasso annuo \(5\%\) raddoppia in quanti anni? \(C(t) = C_0 (1.05)^t = 2 C_0 \Rightarrow t \ln (1.05) = \ln 2 \Rightarrow t = \ln 2 / \ln (1.05) \approx 0.693/0.0488 \approx 14.2\) anni.

Regola del 72 (mnemonica): \(72/i\% \approx t_{\text {raddoppio}}\). Per \(i = 5\%\): \(72/5 = 14.4\), conforme.

Crescita/decadimento esponenziale modellato con \(e\)

In fisica e ingegneria, le quantità in crescita/decadimento esponenziale si scrivono spesso in forma \(N(t) = N_0 e^{k t}\). La risoluzione di equazioni con \(e\) è particolarmente semplice grazie a \(\ln (e^x) = x\):

Esempio 91.8 — Decadimento radioattivo

Una sostanza ha tempo di dimezzamento \(T_{1/2} = 5730\) anni (\(^{14}\mathrm {C}\)). Un reperto contiene il \(30\%\) del carbonio-14 iniziale. Età del reperto?

\(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\) con \(\lambda = \ln 2 / T_{1/2}\). Imponendo \(N/N_0 = 0.30\):

\[ e^{-\lambda t} = 0.30 \iff -\lambda t = \ln (0.30) \iff t = -\frac {\ln (0.30)}{\lambda } = -\frac {-1.204}{\ln 2/5730} \approx \frac {1.204 \cdot 5730}{0.693} \approx 9953~\text {anni}. \]

91.4 Equazioni risolubili per sostituzione

Quando in un’equazione compaiono più potenze della stessa base, con esponenti legati da relazioni lineari (tipicamente \(a^x\) e \(a^{2x} = (a^x)^2\)), la sostituzione \(t = a^x\) riduce l’equazione a una equazione algebrica nella nuova variabile.

Procedura — Sostituzione \(t = a^x\)

1.: Identificare la potenza “base” \(a^x\) e le sue potenze (\(a^{2x}, a^{3x}, \ldots \)).
2.: Sostituire \(t = a^x\). Allora \(a^{2x} = t^2\), \(a^{3x} = t^3\), ecc.
3.: Risolvere l’equazione algebrica in \(t\).
4.: Per ogni soluzione \(t_i\) accettabile (\(t_i > 0\)!), risolvere \(a^x = t_i\) per trovare \(x\).

Attenzione!

Nella sostituzione \(t = a^x\), ricordare che \(t > 0\) sempre (\(a^x > 0\) per ogni \(x\) reale). Le soluzioni \(t_i \le 0\) vanno scartate prima di tornare alla variabile \(x\).

Esempio 91.9 — Equazione quadratica nascosta

\(5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0\). Pongo \(t = 5^x\), \(t > 0\). Equazione: \(t^2 - 6t + 5 = 0 \iff (t-1)(t-5) = 0 \iff t = 1\) o \(t = 5\).

\(t = 1 \Rightarrow 5^x = 1 \Rightarrow x = 0\).
\(t = 5 \Rightarrow 5^x = 5 \Rightarrow x = 1\).

Soluzioni: \(x = 0, 1\).

Esempio 91.10 — Soluzione da scartare

\(4^x + 2^x - 2 = 0\). Pongo \(t = 2^x\), \(t > 0\). Allora \(4^x = (2^x)^2 = t^2\), ed equazione: \(t^2 + t - 2 = 0 \iff (t + 2)(t - 1) = 0 \iff t = -2\) o \(t = 1\).

\(t = -2\) scartata (non può essere \(2^x < 0\)). \(t = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow x = 0\).

Unica soluzione: \(x = 0\).

Esempio 91.11 — Sostituzione con tre termini

\(2 \cdot 9^x - 5 \cdot 3^x + 3 = 0\). Riscrivo \(9^x = (3^2)^x = (3^x)^2\). Pongo \(t = 3^x\), \(t > 0\):

\[ 2 t^2 - 5 t + 3 = 0 \iff t = \frac {5 \pm \sqrt {25 - 24}}{4} = \frac {5 \pm 1}{4}. \]

\(t = 3/2\) o \(t = 1\). Entrambe positive.

\(t = 1 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow x = 0\).
\(t = 3/2 \Rightarrow 3^x = 3/2 \Rightarrow x = \log _3(3/2) = 1 - \log _3 2 \approx 0.369\).

Soluzioni: \(x = 0, x = \log _3(3/2)\).

Esempio 91.12 — Equazione bicubica esponenziale

\(8^x - 2^{x+3} + 16 = 0\). Riscrivo \(8^x = 2^{3x} = (2^x)^3\) e \(2^{x+3} = 8 \cdot 2^x\). Pongo \(t = 2^x\):

\[ t^3 - 8 t + 16 = 0. \]

Provando le radici razionali: \(t = 2\)? \(8 - 16 + 16 = 8 \ne 0\). \(t = -2\)? \(-8 + 16 + 16 = 24 \ne 0\). \(t = 4\)? \(64 - 32 + 16 = 48 \ne 0\). Nessuna radice razionale evidente. (L’equazione non si risolve elementarmente; serve un metodo numerico o sostituzioni alternative. Lezione: non tutte le equazioni esponenziali sono risolvibili in forma chiusa elementare.)

91.5 Esempi svolti

Esempio 91.13 — Stessa base con frazione

\(\left (\dfrac {2}{3}\right )^{2x-1} = \dfrac {9}{4}\). Riscrivo \(9/4 = (2/3)^{-2}\):

\[ (2/3)^{2x-1} = (2/3)^{-2} \iff 2x - 1 = -2 \iff x = -\frac {1}{2}. \]

Esempio 91.14 — Tempo per dimezzare la popolazione di un fertilizzante

Un agricoltore usa una sostanza che si decompone con tempo di dimezzamento \(14\) giorni. Dopo quanti giorni resta solo il \(10\%\) della quantità iniziale?

\(N(t)/N_0 = (1/2)^{t/14} = 0.10\). Applico \(\ln \): \((t/14) \ln (1/2) = \ln (0.10)\), \(t = 14 \cdot \ln (0.10)/\ln (0.5) = 14 \cdot (-2.303)/(-0.693) \approx 14 \cdot 3.322 \approx 46.5\) giorni.

Esempio 91.15 — Equazione con esponenti su entrambi i membri

\(4^{x^2-1} = 8^x\). Tutto in base \(2\): \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\). \(2^{2(x^2-1)} = 2^{3x} \iff 2x^2 - 2 = 3x \iff 2x^2 - 3x - 2 = 0\).

Quadratica: \(x = (3 \pm \sqrt {9 + 16})/4 = (3 \pm 5)/4\). Soluzioni: \(x = 2\) o \(x = -1/2\).

Verifica \(x = 2\): \(4^{4-1} = 4^3 = 64\); \(8^2 = 64\). \(\checkmark \) Verifica \(x = -1/2\): \(4^{1/4-1} = 4^{-3/4}\); \(8^{-1/2}\). \(4^{-3/4} = 2^{-3/2}\); \(8^{-1/2} = 2^{-3/2}\). \(\checkmark \)

Esempio 91.16 — Sistema di equazioni esponenziali

Risolvere il sistema:

\[ \begin {cases} 2^x \cdot 3^y = 12 \\ 2^x + 3^y = 7 \end {cases} \]

Pongo \(a = 2^x, b = 3^y\) (entrambi \(> 0\)). Sistema: \(ab = 12\) e \(a + b = 7\). \(a, b\) sono radici di \(z^2 - 7z + 12 = 0 \Rightarrow z = 3, 4\). Due casi:

\(a = 3, b = 4\): \(2^x = 3 \Rightarrow x = \log _2 3 \approx 1.585\); \(3^y = 4 \Rightarrow y = \log _3 4 \approx 1.262\).
\(a = 4, b = 3\): \(2^x = 4 \Rightarrow x = 2\); \(3^y = 3 \Rightarrow y = 1\).

Due soluzioni.

Esempio 91.17 — Equazione con esponenziali diverse: tecnica del fattore comune

\(3 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{x+1} = 28\). Raccolgo \(2^x\): \(3 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x = 28 \iff 7 \cdot 2^x = 28 \iff 2^x = 4 \iff x = 2\).

Trucco: a volte non serve sostituire; basta riconoscere fattori comuni.

Esempio 91.18 — Crescita batterica

Una colonia di batteri raddoppia ogni \(30\) minuti. Inizialmente vi sono \(100\) batteri. Dopo quanto tempo saranno \(1000000\)?

\(N(t) = 100 \cdot 2^{t/30}\) con \(t\) in minuti. Imponendo \(N = 10^6\): \(2^{t/30} = 10^4 \iff (t/30) \log 2 = 4 \iff t = 120/\log _2 10 = 120/3.322 \approx 36.1\).

Aspetta, ricalcolo: \(t/30 = \log _2(10^4) = 4 \log _2 10 \approx 4 \cdot 3.322 = 13.29\), dunque \(t \approx 398.6\) minuti \(\approx 6.6\) ore.

91.6 Esercizi proposti

Esercizio 91.1

1.

Risolvere riducendo alla stessa base:

(a): \(3^x = 81\);
(b): \(5^{x-1} = 125\);
(c): \(2^{2x+1} = 32\);
(d): \(\left (\dfrac {1}{3}\right )^x = 27\);
(e): \(9^x = 3^{x+1}\).

2.

Risolvere riducendo alla stessa base (più complesse):

(a): \(4^{x+1} \cdot 8^x = 32^{2x-1}\);
(b): \(\left (\dfrac {2}{5}\right )^x = \dfrac {25}{4}\);
(c): \(25^x = 5^{x^2 - 6}\);
(d): \(4^{x^2 - 1} = 16^{x+1}\).

3.

Risolvere con il logaritmo:

(a): \(2^x = 7\);
(b): \(3^x = 10\);
(c): \(5^{x+1} = 2\);
(d): \(7^x = 3^{x+2}\);
(e): \(e^x = 5\) (in base \(e\)).

4.

Risolvere con sostituzione:

(a): \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\);
(b): \(9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0\);
(c): \(25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0\);
(d): \(4^x + 2^{x+2} - 32 = 0\);
(e): \(3 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x - 2 = 0\) (suggerimento: equazione \(3t^2 - 5t - 2 = 0\)).

5.

Risolvere:

(a): \(2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 28\) (fattore comune);
(b): \(3^{x+1} - 3^{x-1} = 24\);
(c): \(5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0\).

6.

Un capitale al tasso \(4\%\) annuo. In quanti anni:

(a): raddoppia? (Suggerimento: \((1.04)^t = 2\).)
(b): triplica?
(c): quadruplica? (Confronto con il raddoppio.)

7.

Una sostanza radioattiva si dimezza ogni \(12\) anni. Dopo quanti anni:

(a): resta il \(25\%\)?
(b): resta il \(10\%\)?
(c): resta l’\(1\%\)?

8.

Risolvere il sistema: \(\begin {cases} 2^x + 3^y = 13 \\ 2^x \cdot 3^y = 36 \end {cases}\).

9.

Trovare per quali \(x \in \mathbb{R} \) vale \(2^x = x + 1\). (Suggerimento: si vede che \(x = 0\) è soluzione; mostrare graficamente o per analisi che è anche l’unica. Esempio di equazione trascendente senza soluzione algebrica chiusa.)

10.

Un investimento di \(1000\) euro al \(6\%\) annuo. Quanto vale dopo \(15\) anni? (Soluzione: \(1000 \cdot (1.06)^{15}\).) Confrontarlo con un investimento al tasso semplice di \(6\%\).

11.

Risolvere \(9^x - 2^{2x+1} = 5^x\) con metodo grafico (suggerimento: tracciare i grafici di \(9^x - 2 \cdot 4^x\) e \(5^x\)).

12.

Mostrare che, per \(a > 1\), l’equazione \(a^x = x^a\) ha la radice \(x = a\) ma anche un’altra radice \(x \in (1, a)\). Per \(a = 2\), le soluzioni sono \(x = 2\) e \(x = 4\).

13.

Un test antidroga rileva una sostanza fintanto che la sua concentrazione è almeno \(5\%\) del valore al consumo. Sapendo che la sostanza si dimezza ogni \(18\) ore, dopo quanti giorni il test risulterà negativo?

14.

Risolvere \(e^{2x} - 3 e^x + 2 = 0\) (sostituzione \(t = e^x\)).

15.

In una colonia di batteri, dopo \(1\) ora la popolazione è \(200\), dopo \(3\) ore è \(1800\). Determinare il tasso di crescita (\(\lambda \)) e la popolazione iniziale. (Suggerimento: \(N(t) = N_0 e^{\lambda t}\).)

16.

Sfida (equazioni esponenziali e funzioni speciali). L’equazione \(x e^x = a\) (per \(a > 0\)) ha una soluzione \(x\) che si chiama funzione \(W\) di Lambert, \(x = W(a)\). Non è esprimibile in termini di funzioni elementari. Verificare che per \(a = 1\), \(W(1) \approx 0.567\) (costante omega). Per \(a = e\), \(W(e) = 1\). La funzione di Lambert è un esempio importante di funzione speciale (compare in fisica statistica, biologia matematica, teoria della complessità).

91.7 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Equazione esponenziale: incognita all’esponente. Tre tipologie principali.
Stessa base: \(a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)\) (per \(a > 0, a \ne 1\)). Si riducono i due membri a potenze della stessa base.
Via logaritmo: \(a^{f(x)} = b \iff f(x) = \log _a b\). Si usa quando la riduzione alla stessa base non è possibile.
Sostituzione \(t = a^x\): trasforma equazioni del tipo \(a^{2x}, a^x\) in equazioni algebriche in \(t\). Attenzione: \(t > 0\), scartare soluzioni \(\le 0\).
Applicazioni: tempo di raddoppio (interesse composto), datazione al carbonio, decadimenti, crescita di popolazioni, modelli RC.
Casi non risolubili elementarmente: equazioni trascendenti come \(2^x = x + 1\) richiedono metodi numerici o funzioni speciali (es. \(W\) di Lambert per \(x e^x = a\)).
Nel prossimo capitolo (92) le equazioni logaritmiche, dove l’incognita è argomento di un logaritmo. La tecnica chiave sarà la condizione di esistenza (argomento positivo).

Capitolo 91 Equazioni esponenziali