“
Vedendo nulla esservi di più fastidioso nella pratica matematica del moltiplicare, dividere, estrarre le radici
quadrate e cubiche di numeri grandi, e che ciò comporta inoltre lunghezza di calcolo e rischio non lieve di
errori, cominciai a riflettere se per caso esistesse qualche artifizio sicuro e spedito per evitare tali difficoltà.
Trovai dunque una regola tanto mirabile e proficua — la quale traduce moltiplicazioni in semplici addizioni di
altre quantità, che chiamo logaritmi.”
— John Napier (Nepero), Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Edinburgo 1614), prefazione — nascita dei logaritmi come strumento di calcolo
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Un’equazione logaritmica è un’equazione in cui l’incognita compare all’argomento di un logaritmo. Esempi:
Sono lo strumento per risolvere il problema inverso a quello esponenziale del capitolo precedente (91): in un fenomeno di crescita o decadimento esponenziale, “dato il valore raggiunto, trovare il tempo”.
La sfida tecnica delle equazioni logaritmiche, a differenza delle esponenziali, è la condizione di esistenza: \(\log _a x\) è definito solo per \(x > 0\). Ogni equazione logaritmica ha un dominio (insieme di valori ammissibili di \(x\)) che va determinato prima di applicare le proprietà dei logaritmi — e ogni soluzione formale va poi verificata contro tale dominio per escludere “soluzioni estranee” introdotte dalle manipolazioni algebriche.
In questo capitolo:
Cenno storico. I logaritmi furono inventati da John Napier (italianizzato in Nepero, 1550–1617) nel 1614 come strumento per ridurre moltiplicazioni a somme. La sua opera Mirifici logarithmorum canonis descriptio fu il punto di svolta del calcolo numerico: in pochi anni le tavole logaritmiche divennero indispensabili in astronomia, navigazione, ingegneria. Henry Briggs (1624) introdusse i logaritmi decimali (in base \(10\)), e per quasi \(400\) anni le tavole logaritmiche e i regoli calcolatori (basati sui logaritmi) furono gli strumenti di calcolo standard fino all’avvento delle calcolatrici elettroniche negli anni \(1970\).
Equazione logaritmica elementare. Per \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b \in \mathbb{R} \):
Idea: il logaritmo è la funzione inversa dell’esponenziale. Applicare \(a^{\cdot }\) a entrambi i membri “annulla” il logaritmo.
Esempio 92.1 — \(\log _2 x = 3\)
\(x = 2^3 = 8\). Verifica del dominio: \(x = 8 > 0\), OK. Soluzione: \(x = 8\).
Esempio 92.2 — \(\log _5 (x - 1) = 2\)
\(x - 1 = 5^2 = 25 \Rightarrow x = 26\). Verifica: \(x - 1 = 25 > 0\) \(\checkmark \). Soluzione: \(x = 26\).
Esempio 92.3 — Logaritmo a entrambi i membri
\(\log _3(x + 1) = \log _3(2 x - 5)\). Per l’iniettività del logaritmo, \(x + 1 = 2 x - 5 \Rightarrow x = 6\).
Verifica dominio: \(x + 1 = 7 > 0\) e \(2x - 5 = 7 > 0\). OK. Soluzione: \(x = 6\).
Esempio 92.4 — Logaritmo naturale
\(\ln x = 2 \Rightarrow x = e^2 \approx 7.389\).
Esempio 92.5 — Logaritmo decimale
\(\log x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0.1\).
Quando applichiamo le proprietà del logaritmo (somma, differenza, potenza), il dominio dell’equazione può cambiare: alcune trasformazioni introducono “falsi” valori che non appartengono al dominio originale.
Strategia rigorosa:
Esempio 92.6 — Equazione con somma di logaritmi
\(\log _2(x - 1) + \log _2(x + 1) = 3\).
Dominio: \(\begin {cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end {cases} \iff x > 1\).
Risoluzione: per la proprietà del prodotto, \(\log _2[(x-1)(x+1)] = 3 \Rightarrow (x-1)(x+1) = 8 \Rightarrow x^2 - 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\).
Verifica: \(x = 3 > 1\) \(\checkmark \); \(x = -3 < 1\) scartata. Soluzione: \(x = 3\).
Esempio 92.7 — Equazione con differenza di logaritmi
\(\log (x + 5) - \log (x - 1) = 1\).
Dominio: \(x + 5 > 0\) e \(x - 1 > 0 \iff x > 1\).
Risoluzione: \(\log \dfrac {x+5}{x-1} = 1 \Rightarrow \dfrac {x+5}{x-1} = 10 \Rightarrow x + 5 = 10 x - 10 \Rightarrow 9 x = 15 \Rightarrow x = 5/3\).
Verifica: \(x = 5/3 > 1\) \(\checkmark \). Soluzione: \(x = 5/3\).
Esempio 92.8 — Trappola delle soluzioni estranee
\(\log x^2 = \log (2 x - 1)\). Apparentemente \(x^2 = 2x - 1 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \iff x = 1\).
Verifica: \(x = 1\), \(x^2 = 1 > 0\) \(\checkmark \), \(2x - 1 = 1 > 0\) \(\checkmark \). Soluzione: \(x = 1\).
Ma attenzione: \(\log x^2\) è definito per \(x \ne 0\) (perché \(x^2 > 0\) sempre, tranne \(x = 0\)). Tuttavia, alcuni testi scrivono \(\log x^2 = 2 \log x\) solo per \(x > 0\). Se si applica \(\log x^2 = 2 \log x\) ingenuamente, si perde la soluzione \(x < 0\) qualora ce ne fossero. Lezione: meglio non semplificare \(\log x^n\) in \(n \log x\) se \(x\) può essere negativo. (Per il caso \(\log x^2\), la forma corretta è \(2 \log |x|\).)
Esempio 92.9 — Equazione con cambio di base
\(\log _2 x + \log _4 x = 3\). Per il cambio di base, \(\log _4 x = \log _2 x / \log _2 4 = (\log _2 x)/2\). Pongo \(y = \log _2 x\): \(y + y/2 = 3 \iff 3 y/2 = 3 \iff y = 2 \iff x = 2^2 = 4\).
Verifica: \(x = 4 > 0\) \(\checkmark \). \(\log _2 4 + \log _4 4 = 2 + 1 = 3\) \(\checkmark \).
Quando in un’equazione compaiono più potenze del logaritmo (es. \(\log x\) e \(\log ^2 x\)), si applica la sostituzione \(t = \log x\) riducendo a un’equazione algebrica nella nuova variabile \(t\).
Procedura — Sostituzione \(t = \log _a x\)
Nota: a differenza della sostituzione \(t = a^x\) (con vincolo \(t > 0\)), per la sostituzione \(t = \log x\) non c’è vincolo: \(t \in \mathbb{R} \).
Esempio 92.10 — Equazione quadratica nascosta
\(\log ^2 x - 3 \log x + 2 = 0\). (Convenzione: \(\log ^2 x = (\log x)^2\), non \(\log (\log x)\).)
Dominio: \(x > 0\). Pongo \(t = \log x\), \(t \in \mathbb{R} \). Equazione: \(t^2 - 3 t + 2 = 0 \iff (t-1)(t-2) = 0 \iff t = 1\) o \(t = 2\).
Entrambe positive, accettabili. Soluzioni: \(x = 10, 100\).
Esempio 92.11 — Riconoscere il pattern
\(\log _3^2 x = 4 + 3 \log _3 x\). Riscrivo: \(\log _3^2 x - 3 \log _3 x - 4 = 0\). Pongo \(t = \log _3 x\):
Entrambe \(> 0\), accettabili. Soluzioni: \(x = 81, 1/3\).
Esempio 92.12 — Sostituzione con cambio di base
\(2 \log _2 x = \log _8 x + 5\).
Cambio base: \(\log _8 x = \log _2 x / \log _2 8 = \log _2 x / 3\). Pongo \(t = \log _2 x\):
Soluzione unica: \(x = 8\).
Esempio 92.13 — Equazione con prodotto
\(\log _3 x + \log _3 (x - 8) = 2\).
Dominio: \(x > 0\) e \(x - 8 > 0 \Rightarrow x > 8\).
Risoluzione: \(\log _3[x(x-8)] = 2 \Rightarrow x(x-8) = 9 \Rightarrow x^2 - 8 x - 9 = 0\). Quadratica: \(x = (8 \pm \sqrt {64 + 36})/2 = (8 \pm 10)/2\), ovvero \(x = 9\) o \(x = -1\).
Verifica: \(x = 9 > 8\) \(\checkmark \); \(x = -1\) scartata. Soluzione: \(x = 9\).
Esempio 92.14 — Equazione con esponente
\(\log _2(x^3) - 3 \log _2 x = 0\). Apparentemente: \(\log _2 x^3 = 3 \log _2 x\), quindi l’equazione è \(3 \log _2 x - 3 \log _2 x = 0\), cioè \(0 = 0\). Identità: vera per ogni \(x > 0\) (cioè tutto il dominio).
Soluzione: ogni \(x > 0\).
Esempio 92.15 — Equazione apparentemente complessa
\(\log (x) + \log (x + 3) - \log (x + 1) = 1\).
Dominio: \(x > 0\), \(x + 3 > 0\), \(x + 1 > 0 \Rightarrow x > 0\).
Risoluzione: \(\log \dfrac {x(x+3)}{x+1} = 1 \Rightarrow \dfrac {x(x+3)}{x+1} = 10 \Rightarrow x^2 + 3 x = 10 x + 10 \Rightarrow x^2 - 7 x - 10 = 0\).
Quadratica: \(x = (7 \pm \sqrt {49 + 40})/2 = (7 \pm \sqrt {89})/2\). Numericamente: \(\sqrt {89} \approx 9.43\), \(x_1 \approx 8.22\), \(x_2 \approx -1.22\).
Verifica dominio: \(x_1 > 0\) \(\checkmark \); \(x_2 < 0\) scartata. Soluzione: \(x = (7 + \sqrt {89})/2 \approx 8.22\).
Esempio 92.16 — Decadimento del segnale: trovare il tempo
Un segnale radio si attenua secondo \(P(t) = P_0 e^{-t/100}\) con \(t\) in ms. Dopo quanto tempo l’intensità si riduce al \(1\%\)?
Imponendo \(P/P_0 = 0.01\): \(e^{-t/100} = 0.01 \Rightarrow -t/100 = \ln (0.01) = -\ln (100) \Rightarrow t = 100 \ln 100 = 200 \ln 10 \approx 460.5\) ms.
Esempio 92.17 — Equazione con argomenti misti
\(\log (x + 3) = 1 + \log (x - 1)\). Dominio: \(x > 1\).
Riscrivo \(1 = \log 10\): \(\log (x + 3) = \log 10 + \log (x - 1) = \log [10(x-1)]\). Iniettività: \(x + 3 = 10 x - 10 \Rightarrow 9 x = 13 \Rightarrow x = 13/9 \approx 1.44\).
Verifica: \(13/9 > 1\) \(\checkmark \). Soluzione: \(x = 13/9\).
Esempio 92.18 — Equazione con doppio logaritmo
\(\log _2(\log _3 x) = 1\). Dominio: per \(\log _2\) esterno servono argomento \(> 0\), cioè \(\log _3 x > 0 \Rightarrow x > 1\). Per \(\log _3\) interno serve \(x > 0\). Combinando: \(x > 1\).
Risoluzione: \(\log _3 x = 2^1 = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9\).
Verifica: \(x = 9 > 1\) \(\checkmark \). Soluzione: \(x = 9\).
Esercizio 92.1
(Risposta: il caso critico è quando \(a = e^{1/e}\). Per \(a > e^{1/e}\) nessuna soluzione, per \(a = e^{1/e}\) tangenza, per \(a < e^{1/e}\) due soluzioni.)
Riepilogo
Proprietà chiave: