“
Una funzione strettamente crescente conserva il verso delle disuguaglianze: se \(u < v\) allora \(f(u) < f(v)\). Una funzione
strettamente decrescente lo rovescia: se \(u < v\) allora \(f(u) > f(v)\). Questa duplice possibilità è il fondamento per risolvere le
disequazioni che coinvolgono funzioni monotone come l’esponenziale e il logaritmo.”
— Augustin-Louis Cauchy, Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1821), traduzione adattata
____________________________________________________________________________________
Una disequazione esponenziale o logaritmica è una disequazione in cui l’incognita compare all’esponente di una potenza o all’argomento di un logaritmo. Esempi:
La risoluzione segue le stesse strategie delle equazioni viste in 91 e 92 (riduzione alla stessa base, sostituzione, dominio per i logaritmi), con una sola differenza cruciale: nella disequazione, il verso si conserva o si rovescia a seconda del segno della base.
Regola d’oro. Per ogni \(a > 0\) con \(a \ne 1\):
In tutto il resto del capitolo, questa regola tornerà ad ogni passaggio: sapere il verso della monotonia è la mossa-chiave.
Disequazione esponenziale fondamentale. Per \(a > 0, a \ne 1\):
Idea: la disuguaglianza fra esponenti si conserva se la base è \(> 1\) (funzione crescente), si rovescia se la base è \(< 1\) (funzione decrescente).
Esempio 93.1 — Base maggiore di 1, verso conservato
\(2^x > 8\). Riscrivo \(8 = 2^3\): \(2^x > 2^3\). Base \(2 > 1\), verso conservato: \(x > 3\).
Soluzione: \(x > 3\).
Esempio 93.2 — Base minore di 1, verso rovesciato
\(\left (\dfrac {1}{2}\right )^x > 8\). Riscrivo \(8 = 2^3 = (1/2)^{-3}\): \(\left (\dfrac {1}{2}\right )^x > \left (\dfrac {1}{2}\right )^{-3}\). Base \(1/2 < 1\), verso rovesciato: \(x < -3\).
Soluzione: \(x < -3\).
Esempio 93.3 — Disequazione con uguaglianza
\(3^{2x-1} \ge 27\). Riscrivo \(27 = 3^3\): \(2x - 1 \ge 3\) (base \(> 1\)). Quindi \(x \ge 2\).
Esempio 93.4 — \(2^x > 5\) con logaritmo
\(2^x > 5\). Applicando \(\log _2\) (crescente): \(x > \log _2 5 \approx 2.322\).
Attenzione al verso del logaritmo: \(\log _a\) è crescente per \(a > 1\) (conserva il verso), decrescente per \(a < 1\) (lo rovescia). Per \(\log _2\) (\(\log \) naturale, \(\log _{10}\), ecc., tutti con base \(> 1\)) il verso si conserva.
Esempio 93.5 — Disequazione quadratica esponenziale
\(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 \le 0\). Pongo \(t = 2^x > 0\): \(t^2 - 5 t + 4 \le 0 \iff (t-1)(t-4) \le 0 \iff 1 \le t \le 4\).
Quindi \(1 \le 2^x \le 4 \iff 0 \le x \le 2\).
Soluzione: \(x \in [0, 2]\).
Disequazione logaritmica fondamentale. Per \(a > 0, a \ne 1\) e \(f, g > 0\):
Sempre con la condizione preliminare \(f(x) > 0\) e \(g(x) > 0\) (dominio).
Procedura — Disequazione logaritmica
Esempio 93.6 — Disequazione logaritmica con base \(> 1\)
Esempio 93.7 — Disequazione logaritmica con base \(< 1\)
\(\log _{1/2}(x - 1) > 3\).
Dominio: \(x > 1\).
Risoluzione: \(\log _{1/2}(x-1) > \log _{1/2}(1/8)\). Base \(< 1\), verso rovesciato: \(x - 1 < 1/8 \iff x < 9/8\).
Intersezione con dominio: \(1 < x < 9/8\).
Soluzione: \(x \in (1, 9/8)\).
Esempio 93.8 — Disequazione con somma di logaritmi
\(\log (x) + \log (x - 3) > 1\).
Dominio: \(x > 0\) e \(x - 3 > 0 \iff x > 3\).
Risoluzione: \(\log [x(x-3)] > \log 10 \iff x(x-3) > 10\) (base \(10 > 1\)) \(\iff x^2 - 3 x - 10 > 0\).
Quadratica: \(x^2 - 3x - 10 = 0 \iff x = (3 \pm \sqrt {49})/2 = (3 \pm 7)/2 \iff x = 5\) o \(x = -2\). La parabola è positiva all’esterno delle radici: \(x < -2\) o \(x > 5\).
Intersezione con dominio \(x > 3\): \(x > 5\).
Soluzione: \(x > 5\).
Esempio 93.9 — Disequazione con logaritmo \(\le 0\)
\(\log (x^2 + 1) \le 0\). Dominio: \(x^2 + 1 > 0\) sempre, dunque \(x \in \mathbb{R} \).
Risoluzione: \(\log (x^2 + 1) \le 0 \iff x^2 + 1 \le 1 \iff x^2 \le 0 \iff x = 0\).
Soluzione: \(x = 0\) (singolo punto, in cui vale l’uguaglianza).
Esempio 93.10 — Disequazione con \(\log \) di base \(> 1\) e logaritmo negativo a destra
\(\ln (x + 3) > -1\).
Dominio: \(x + 3 > 0 \iff x > -3\).
Risoluzione: \(\ln (x + 3) > -1 \iff x + 3 > e^{-1} = 1/e \iff x > 1/e - 3 \approx -2.632\).
Intersezione con dominio: \(1/e - 3 < x\). Poiché \(1/e - 3 \approx -2.632 > -3\), l’intersezione è \(x > 1/e - 3\).
Soluzione: \(x > 1/e - 3\).
Un sistema misto contiene più disequazioni esponenziali e/o logaritmiche. Si risolvono separatamente e si interseca.
Esempio 93.11 — Sistema con due disequazioni
\(\begin {cases} 2^x > 8 \\ \log _3 x \le 2 \end {cases}\).
Prima disequazione: \(2^x > 2^3 \iff x > 3\).
Seconda disequazione: dominio \(x > 0\). \(\log _3 x \le \log _3 9 \iff x \le 9\) (base \(> 1\)). Intersezione: \(0 < x \le 9\).
Intersezione del sistema: \(3 < x \le 9\).
Soluzione: \(x \in (3, 9]\).
Esempio 93.12 — Disequazione con valore assoluto e log
\(|\log _2 x - 1| < 2\). Dominio: \(x > 0\).
\(|\log _2 x - 1| < 2 \iff -2 < \log _2 x - 1 < 2 \iff -1 < \log _2 x < 3 \iff 2^{-1} < x < 2^3 \iff 1/2 < x < 8\).
Soluzione: \(x \in (1/2, 8)\).
Esempio 93.13 — Disequazione fratta esponenziale
\(\dfrac {3^x - 9}{2^x - 8} \ge 0\).
Segno del numeratore: \(3^x - 9 \ge 0 \iff 3^x \ge 9 \iff x \ge 2\).
Segno del denominatore: \(2^x - 8 > 0 \iff x > 3\) (strettamente, perché \(\ne 0\)).
Tabella dei segni:
Soluzione: \(x \le 2\) o \(x > 3\).
Esempio 93.14 — Disequazione con sostituzione: caso negativo
\(9^x - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0\). Pongo \(t = 3^x > 0\): \(t^2 - 4 t + 3 \le 0 \iff (t-1)(t-3) \le 0 \iff 1 \le t \le 3\).
\(1 \le 3^x \le 3 \iff 3^0 \le 3^x \le 3^1 \iff 0 \le x \le 1\).
Soluzione: \(x \in [0, 1]\).
Esempio 93.15 — Disequazione logaritmica fratta
\(\dfrac {\log (x - 1)}{\log (x + 1)} < 1\).
Dominio: \(x - 1 > 0\), \(x + 1 > 0\), e \(\log (x+1) \ne 0 \iff x + 1 \ne 1\), cioè \(x \ne 0\). Combinato: \(x > 1\).
Risoluzione: per \(x > 1\), \(\log (x + 1) > \log 2 > 0\). Quindi posso moltiplicare per \(\log (x+1)\) senza cambiare verso: \(\log (x-1) < \log (x+1) \iff x - 1 < x + 1\), vero per ogni \(x\). Soluzione di questa parte: \(x > 1\) (tutto il dominio).
Soluzione: \(x > 1\).
Esempio 93.16 — Confronto fra esponenziali
Determinare quando \(2^x > 3^{x-1}\).
Applico \(\ln \): \(x \ln 2 > (x - 1) \ln 3 \iff x \ln 2 - x \ln 3 > -\ln 3 \iff x(\ln 2 - \ln 3) > -\ln 3\).
\(\ln 2 - \ln 3 < 0\) (perché \(2 < 3\)), quindi dividendo per \((\ln 2 - \ln 3)\) cambio il verso:
Soluzione: \(x < \log _{3/2} 3 \approx 2.71\).
Esempio 93.17 — Quando dimezzare il decadimento è meglio del logaritmo decimale
Per un radioisotopo con \(T_{1/2} = 100\) anni, in quanti anni la massa si riduce sotto l’\(1\%\)?
\(N(t)/N_0 = (1/2)^{t/100} < 0.01 \iff t/100 \log _2(1/2) < \log _2(0.01) \iff -t/100 < \log _2(0.01) = -\log _2(100) \iff t > 100 \log _2 100 \approx 100 \cdot 6.64 = 664\) anni.
Lezione: per ridurre al \(1\%\) servono circa \(6.6\) tempi di dimezzamento (perché \(\log _2 100 \approx 6.64\)). Regola pratica: dopo \(7\) tempi di dimezzamento, la sostanza è praticamente sparita (\(1/128 \approx 0.78\%\)).
Esempio 93.18 — Quando il capitale a interesse composto supera una soglia
Capitale iniziale \(1000\) euro al tasso \(3\%\) annuo. Quando supera \(5000\) euro?
\(1000 (1.03)^t > 5000 \iff (1.03)^t > 5 \iff t \ln (1.03) > \ln 5 \iff t > \ln 5 / \ln (1.03) \approx 1.609/0.0296 \approx 54.4\) anni.
Esercizio 93.1
Riepilogo
Disequazione esponenziale fondamentale:
Disequazione logaritmica fondamentale:
Sempre con dominio \(f > 0\) e \(g > 0\) verificato prima.