94 Misura degli angoli: gradi e radianti

“

La misura di un angolo è il rapporto fra la lunghezza dell’arco di circonferenza che esso sottende e il raggio del cerchio. Questa misura, indipendente dal raggio scelto, ha la sorprendente proprietà di tradurre i calcoli trigonometrici in formule analitiche immediate: la derivata del seno è il coseno solo se la variabile è in radianti.”

— Roger Cotes, Logometria (postumo 1722) e Harmonia mensurarum (postumo 1722) — una delle prime trattazioni della misura naturale degli angoli; il termine “radian” fu introdotto solo nel 1873 da James Thomson (fratello di Lord Kelvin)

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94.1 Introduzione motivazionale

Le funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, e le loro inverse) sono fra gli oggetti più importanti della matematica. Compaiono in geometria (triangoli, cerchi), in fisica (oscillazioni, onde, moto circolare), in ingegneria (segnali, elettronica), e in analisi (sviluppi di Fourier, equazioni differenziali). Prima di studiarle, però, dobbiamo precisare come si misura un angolo.

In questo capitolo introduciamo entrambe le unità, la conversione fra le due, e due formule applicate fondamentali: lunghezza di un arco di circonferenza e area del settore circolare.

Nota storica. La divisione del cerchio in \(360\) parti risale ai Babilonesi (II millennio a.C.), che adottavano la base \(60\) per il loro sistema numerico (eredità ancora visibile in ora \(= 60\) minuti, minuto \(= 60\) secondi). Il radiante come misura naturale fu intuito da Roger Cotes (1714, opera postuma 1722) e Leonhard Euler (Introductio 1748), che lo usò sistematicamente. Il nome “radian” (da radius) fu coniato solo nel 1873 dal fisico irlandese James Thomson (fratello di Lord Kelvin).

94.2 Misura sessagesimale (in gradi)

Definizione 94.1 — Grado sessagesimale

Il grado sessagesimale (\(°\)) è l’unità di misura dell’angolo definita dividendo l’angolo giro in \(360\) parti uguali. Si scrive \(\theta °\) per indicare la misura in gradi.

Sottomultipli del grado:

Primo (\('\)): \(1° = 60'\). Quindi \(1' = (1/60)° \approx 0.01667°\).
Secondo (\(''\)): \(1' = 60''\). Quindi \(1'' = (1/3600)° \approx 2.78\times 10^{-4}°\).

Angoli notevoli in gradi


Angolo notevole	Misura

Angolo giro	\(360°\)
Angolo piatto	\(180°\)
Angolo retto	\(90°\)
Mezzo retto	\(45°\)
Terzo di retto	\(30°\)

Esempio 94.1 — Notazione mista

\(37° 24' 18'' = 37 + 24/60 + 18/3600 \approx 37.405°\) in forma decimale.

Perché \(360\)? La scelta non è naturale ma storica: \(360\) è altamente divisibile (è divisibile per \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, \ldots \)), e \(360 \approx 365\) giorni dell’anno (forse non casualmente). Il sistema babilonese in base \(60\) ha lasciato una eredità intrecciata con la cultura matematica e astronomica.

94.3 Misura in radianti

Definizione 94.2 — Radiante

Consideriamo un cerchio di raggio \(r\). Un angolo al centro \(\theta \) che sottende un arco di circonferenza di lunghezza \(s\) ha misura, in radianti, pari a

\[ \theta = \frac {s}{r}. \]

In particolare, un radiante è l’angolo al centro che sottende un arco di lunghezza pari al raggio: \(\theta = 1\) rad \(\iff s = r\).

Indipendenza dal raggio: il rapporto \(s/r\) non dipende dal raggio scelto (cerchi concentrici hanno stesso \(s/r\) a parità di angolo), quindi la misura è ben definita.

Angolo giro in radianti

L’arco corrispondente all’angolo giro è l’intera circonferenza, di lunghezza \(2\pi r\). Dunque:

Equivalenze fondamentali:

\[ 360° = 2 \pi \text { rad}, \qquad 180° = \pi \text { rad}, \qquad 90° = \frac {\pi }{2} \text { rad}, \qquad 1 \text { rad} = \frac {180°}{\pi } \approx 57.296°. \]

Curiosità: \(1\) radiante è circa \(57°\), un angolo strano dal punto di vista geometrico. La misura “naturale” è il radiante, anche se il grado è più intuitivo.

Angoli notevoli in radianti


Gradi	Radianti

\(0°\)	\(0\)
\(30°\)	\(\pi /6\)
\(45°\)	\(\pi /4\)
\(60°\)	\(\pi /3\)
\(90°\)	\(\pi /2\)
\(120°\)	\(2\pi /3\)
\(135°\)	\(3\pi /4\)
\(150°\)	\(5\pi /6\)
\(180°\)	\(\pi \)
\(270°\)	\(3\pi /2\)
\(360°\)	\(2\pi \)

Memorizzare: \(\pi /6, \pi /4, \pi /3, \pi /2\) sono ricorrenti. La memoria fluida di questi valori è essenziale in goniometria.

94.4 Conversione tra gradi e radianti

Dall’equivalenza \(\pi \) rad \(= 180°\) si deduce la formula di conversione per proporzione:

Conversione gradi \(\leftrightarrow \) radianti:

\[ \theta _{\text {rad}} = \theta _{\text {deg}} \cdot \frac {\pi }{180}, \qquad \theta _{\text {deg}} = \theta _{\text {rad}} \cdot \frac {180}{\pi }. \]

Esempio 94.2 — Da gradi a radianti

\(72°\) in radianti: \(72 \cdot \pi /180 = 2\pi /5 \approx 1.257\) rad.

Esempio 94.3 — Da radianti a gradi

\(\dfrac {5\pi }{12}\) rad in gradi: \((5\pi /12) \cdot 180/\pi = 5 \cdot 15 = 75°\).

Esempio 94.4 — Trucco mnemonico

Per i “classici” \(30, 45, 60, 90, \ldots \) si memorizzano direttamente \(\pi /6, \pi /4, \pi /3, \pi /2, \ldots \) senza riapplicare la formula ogni volta.

Attenzione!

Sulla calcolatrice scientifica c’è un selettore DEG/RAD (talvolta anche GRAD, \(400\) gradi centesimali). Per le funzioni goniometriche \(\operatorname{sen} , \cos , \operatorname{tg} \) è cruciale che la modalità sia corretta, altrimenti i risultati sono sbagliati. In matematica avanzata si lavora sempre in radianti; in geometria elementare e fisica applicata, talvolta in gradi.

94.5 Lunghezza dell’arco e area del settore circolare

Lunghezza dell’arco: in un cerchio di raggio \(r\), un angolo al centro \(\theta \) (in radianti) sottende un arco di lunghezza

\[ s = r \theta . \]

Attenzione: \(\theta \) deve essere in radianti; in gradi la formula sarebbe \(s = r \theta _{\text {deg}} \cdot \pi /180\).

Esempio 94.5 — Lunghezza di un arco

Un cerchio ha raggio \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Un angolo di \(\pi /4\) rad (\(= 45°\)) sottende un arco di lunghezza \(s = 10 \cdot \pi /4 \approx 7.85\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Esempio 94.6 — Equatore terrestre

La Terra ha raggio \(R \approx 6371\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). Un grado di latitudine corrisponde a un arco di lunghezza \(s = R \cdot (1° \cdot \pi /180) = R \cdot \pi /180 \approx 111\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). Questo è il motivo per cui le latitudini sono “leggibili” immediatamente come distanza sul globo (un primo \(1'\) di latitudine \(\approx 1.85\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\), da cui il miglio nautico di \(1852\,{\mathrm{m} }\) = \(1'\) di latitudine).

Area del settore circolare

Un settore circolare è la regione delimitata da due raggi e dall’arco compreso. La sua area è proporzionale all’angolo al centro.

Area del settore circolare di raggio \(r\) e angolo al centro \(\theta \) (in radianti):

\[ A = \frac {1}{2} r^2 \theta . \]

Dimostrazione. L’area del settore sta all’area dell’intero cerchio come l’angolo \(\theta \) sta all’angolo giro \(2\pi \): \(A/(\pi r^2) = \theta /(2\pi ) \iff A = r^2 \theta /2\).

Esempio 94.7 — Area di un settore

Un cerchio di raggio \(5\,{\mathrm{m} }\) con un angolo al centro di \(60° = \pi /3\) rad ha settore di area:

\[ A = \frac {1}{2} \cdot 25 \cdot \frac {\pi }{3} = \frac {25 \pi }{6} \approx 13.09\,{\mathrm{m} ^{2} }. \]

Formula equivalente con la corda

In alcuni problemi è utile esprimere l’area del settore con la lunghezza dell’arco \(s = r\theta \):

È formalmente l’analogo dell’area di un “triangolo curvilineo” (base \(s\), altezza \(r\)).

94.6 Esempi svolti

Esempio 94.8 — Conversioni miste

Convertire:

\(210°\) in radianti: \(210 \cdot \pi /180 = 7\pi /6 \approx 3.665\) rad.
\(-\pi /9\) rad in gradi: \(-180/9 = -20°\).
\(1\) rad in gradi: \(180/\pi \approx 57.296°\).
\(1°\) in radianti: \(\pi /180 \approx 0.01745\) rad.

Esempio 94.9 — Settore di pizza

Una pizza di diametro \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) è divisa in \(8\) fette uguali. Calcolare:

Angolo al centro di una fetta: \(360°/8 = 45° = \pi /4\) rad.
Lunghezza della crosta di una fetta: \(s = r \theta = 15 \cdot \pi /4 \approx 11.78\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Area di una fetta: \(A = (1/2) \cdot 15^2 \cdot \pi /4 \approx 88.4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).

Esempio 94.10 — Orologio analogico

La lancetta dei minuti di un orologio è lunga \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Quanto cammino fa la punta in \(15\) minuti?

\(15\) minuti corrispondono a \(1/4\) di giro, ovvero \(\pi /2\) rad. La punta percorre \(s = r \theta = 12 \cdot \pi /2 = 6\pi \approx 18.85\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

In un’ora: \(2\pi \cdot 12 = 24\pi \approx 75.4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Esempio 94.11 — Ruota e cammino

Una ruota di raggio \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) rotola senza strisciare per una rotazione completa. Quanto avanza?

Una rotazione completa corrisponde a \(2\pi \) rad. Il punto di contatto avanza esattamente come la lunghezza dell’arco di circonferenza che si svolge: \(s = r \theta = 30 \cdot 2\pi = 60\pi \approx 188.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Lezione: il moto di rotolamento converte l’angolo (in radianti, \(\theta \)) in spostamento lineare (\(r \theta \)). Da qui la naturalezza dei radianti in cinematica.

Esempio 94.12 — Latitudine e distanza

Roma è a circa \(42° N\), Parigi a \(49° N\). Qual è la distanza “meridiana” (lungo il meridiano) fra le due città?

Differenza di latitudine: \(7°\). Distanza: \(R \cdot 7° \cdot \pi /180 \approx 6371 \cdot 0.1222 \approx 779\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\).

(La distanza “geodetica” reale, in linea retta sulla superficie, è simile ma considera anche la differenza di longitudine; per latitudini diverse a stessa longitudine, la formula sopra è esatta.)

Esempio 94.13 — Area di una corona settoriale

Calcolare l’area della regione fra due cerchi concentrici di raggi \(r_1 = 4\) e \(r_2 = 6\), racchiusa da un angolo al centro \(\theta = \pi /3\) (cioè \(60°\)).

Area: differenza fra i settori dei due cerchi:

\[ A = \frac {1}{2} r_2^2 \theta - \frac {1}{2} r_1^2 \theta = \frac {\theta }{2} (r_2^2 - r_1^2) = \frac {\pi /3}{2}(36 - 16) = \frac {20\pi }{6} = \frac {10\pi }{3} \approx 10.47. \]

94.7 Esercizi proposti

Esercizio 94.1

1.

Convertire in radianti:

(a): \(30°\);
(b): \(120°\);
(c): \(225°\);
(d): \(300°\);
(e): \(36°\).

2.

Convertire in gradi:

(a): \(\pi /12\) rad;
(b): \(7\pi /6\) rad;
(c): \(5\pi /4\) rad;
(d): \(11\pi /9\) rad;
(e): \(2\) rad (valore approssimato).

3.

Convertire \(35° 24' 36''\) in gradi decimali, e poi in radianti.

4.

Convertire \(1.5\) rad in gradi, primi e secondi (forma sessagesimale).

5.

Per ciascun angolo, identificare il quadrante (I, II, III, IV) e l’angolo notevole equivalente nell’intervallo \([0, 2\pi )\):

(a): \(750°\);
(b): \(-45°\);
(c): \(13\pi /6\) rad;
(d): \(-4\pi /3\) rad.

6.

Calcolare la lunghezza dell’arco di cerchio:

(a): raggio \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), angolo \(\pi /3\) rad;
(b): raggio \(15\,{\mathrm{m} }\), angolo \(120°\);
(c): raggio \(0.5\,{\mathrm{m} }\), angolo \(40°\).

7.

Calcolare l’area del settore circolare:

(a): raggio \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), angolo \(\pi /6\) rad;
(b): raggio \(4\,{\mathrm{m} }\), angolo \(135°\).

8.

Una ruota di bicicletta ha raggio \(33\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Quanti giri compie per percorrere \(1\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\)? (Suggerimento: una rotazione = circonferenza = \(2\pi r\).)

9.

La Terra ruota su se stessa in \(24\) ore. Calcolare:

(a): velocità angolare in rad/s (\(\omega = 2\pi /T\));
(b): velocità lineare di un punto all’equatore (raggio terrestre \(6371\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\));
(c): velocità lineare di un punto alla latitudine \(45°\) (raggio del parallelo \(= R \cos 45°\)).

10.

Un orologio ha la lancetta delle ore lunga \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). In quanti secondi la punta si sposta di \(1\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\)?

11.

Mostrare che, se \(\theta \) è espresso in gradi, la formula per la lunghezza dell’arco è \(s = r \theta \cdot \pi /180\).

12.

Una ruota panoramica ha diametro \(40\,{\mathrm{m} }\) e fa un giro in \(10\,{\mathrm{min} }\). Quale velocità lineare ha un passeggero?

13.

L’area di un settore è \(15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\). Se il raggio è \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), qual è l’angolo al centro in radianti?

14.

Un cerchio ha raggio \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare l’angolo al centro che sottende un arco di \(18\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) in radianti e in gradi.

15.

Mostrare che, per \(\theta \) piccolo (radianti), la corda di un arco \(s = r\theta \) è approssimabile con \(s\) stesso (cioè \(\text {corda} \approx \text {arco}\) per piccoli angoli). Stima dell’errore.

16.

Determinare l’area della porzione di cerchio compresa fra due raggi e una corda (segmento circolare), per raggio \(r\) e angolo \(\theta \). (Suggerimento: area settore meno area triangolo isoscele di lati \(r\), \(r\) e angolo \(\theta \).)

17.

Sfida (definizione storica del metro). Originariamente (1791) il metro fu definito come \(1/10000000\) del quadrante meridiano terrestre. Stimare il raggio della Terra a partire da questa definizione (suggerimento: il quadrante meridiano vale \(\pi R/2\), dunque \(1\) m = \(\pi R / (2 \cdot 10^7)\), da cui \(R = 2 \cdot 10^7/\pi \approx 6.37\times 10^{6}\,{\mathrm{m} }\)). Confronto col valore moderno: \(6371\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\), errore \(< 0.1\%\).

94.8 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Grado sessagesimale \(°\): \(360°\) = angolo giro. Sottomultipli: \(1° = 60' = 3600''\).
Radiante (rad): definito come \(\theta = s/r\) (lunghezza arco diviso raggio). \(2\pi \) rad = angolo giro.
Equivalenze chiave: \(180° = \pi \) rad; \(1\) rad \(\approx 57.296°\); \(1° \approx 0.01745\) rad.
Angoli notevoli: \(30°/45°/60°/90° = \pi /6, \pi /4, \pi /3, \pi /2\) (memorizzare!).
Conversione: \(\theta _{\text {rad}} = \theta _{\text {deg}} \cdot \pi /180\), \(\theta _{\text {deg}} = \theta _{\text {rad}} \cdot 180/\pi \).
Lunghezza arco: \(s = r \theta \) (con \(\theta \) in radianti).
Area settore: \(A = r^2 \theta /2 = r s/2\).
Perché preferire i radianti? In analisi \(\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \operatorname{sen} x = \cos x\) e \(\lim _{x \to 0} \operatorname{sen} x/x = 1\) valgono solo in radianti. Senza radianti, comparirebbero costanti come \(\pi /180\) in ogni formula.
Applicazioni: cinematica del moto rotatorio (\(s = r\theta \), \(v = r\omega \)), navigazione (miglio nautico = \(1'\) di latitudine), astronomia, ingegneria.
Nel prossimo capitolo (95) introduciamo le funzioni goniometriche fondamentali: seno, coseno, tangente, definite sul cerchio goniometrico.

Capitolo 94 Misura degli angoli: gradi e radianti