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Capitolo 95
Funzioni goniometriche fondamentali

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In questo capitolo definiremo per la prima volta seno e coseno come numeri associati a un angolo, senza più alcun riferimento a un triangolo particolare. La circonferenza di raggio unitario diventa il dispositivo che traduce angoli in coordinate, e coordinate in angoli: un dizionario perfetto fra geometria e algebra.”

— Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748) — la prima trattazione moderna delle funzioni goniometriche come funzioni di una variabile reale, libere dal contesto del triangolo rettangolo

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95.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (94) abbiamo imparato a misurare gli angoli (in gradi e in radianti); in questo capitolo introduciamo le funzioni che associano a ogni angolo dei numeri reali: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante.

Storicamente, queste funzioni sono nate nel contesto del triangolo rettangolo: dato un angolo acuto \(\alpha \), si definivano come rapporti fra i lati. Ma questa definizione ha due limiti:

La svolta moderna — formalizzata da Eulero nel Settecento — consiste nel definire seno e coseno usando la circonferenza goniometrica: un cerchio di raggio \(1\) centrato nell’origine. In questo modo:

Nota storica. Le prime “tavole trigonometriche” sono di Ipparco di Nicea (II sec. a.C.) e Tolomeo (Almagesto, II sec. d.C.), che tabulavano le corde di un cerchio — precursore del nostro seno. Il termine “seno” nasce da una catena di traduzioni: l’indiano Aryabhata (V sec.) chiama jiva (“corda d’arco”) la nostra quantità \(r \operatorname{sen} \alpha \); gli arabi lo traslitterano in jaib (“insenatura, golfo”); Gerardo da Cremona (XII sec.) lo traduce in latino con sinus, dando origine al nome moderno.

95.2 Circonferenza goniometrica

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Definizione 95.1 — Circonferenza goniometrica

Nel piano cartesiano \(Oxy\), la circonferenza goniometrica è la circonferenza di centro l’origine \(O\) e raggio \(1\). La sua equazione è

\[ x^2 + y^2 = 1. \]

Senso di percorrenza. Fissiamo come positivo il senso antiorario, contrario al moto delle lancette dell’orologio. Ogni angolo \(\alpha \) identifica un punto \(P_\alpha \) sulla circonferenza, ottenuto ruotando il punto \((1, 0)\) di un angolo \(\alpha \) in senso positivo (antiorario) se \(\alpha > 0\), in senso negativo (orario) se \(\alpha < 0\).

Periodicità. Poiché un giro completo corrisponde a \(2\pi \) rad, sommare \(2\pi \) all’angolo riporta nello stesso punto: \(P_{\alpha + 2\pi } = P_\alpha \). Più in generale \(P_{\alpha + 2k\pi } = P_\alpha \) per ogni \(k \in \mathbb{Z} \).

[Picture]

Figura 95.1: Circonferenza goniometrica. Il punto \(P_\alpha \) ottenuto ruotando \((1,0)\) di un angolo \(\alpha \) ha coordinate \((\cos \alpha , \operatorname{sen} \alpha )\). I quattro quadranti sono numerati in senso antiorario.

Quadranti. La circonferenza è divisa dagli assi cartesiani in quattro quadranti, numerati I, II, III, IV in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle \(x\) (vedi fig. 95.1). Un angolo \(\alpha \in [0, 2\pi )\) cade nel:

95.3 Definizione di seno e coseno

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Definizione 95.2 — Seno e coseno

Sia \(\alpha \in \mathbb{R} \) un angolo (in radianti). Si chiamano coseno e seno di \(\alpha \), rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata del punto \(P_\alpha \) della circonferenza goniometrica:

\[ P_\alpha = (\cos \alpha , \, \operatorname{sen} \alpha ). \]

Equivalentemente, \(\cos \alpha \) e \(\operatorname{sen} \alpha \) sono gli unici numeri reali che soddisfano contemporaneamente:

\[ P_\alpha = (\cos \alpha , \operatorname{sen} \alpha ) \in \text {circonferenza goniometrica}, \qquad \widehat {(1,0) \, O \, P_\alpha } = \alpha . \]

Dominio e codominio. Dalla definizione segue immediatamente che \(\operatorname{sen} , \cos : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) sono definiti per ogni \(\alpha \in \mathbb{R} \) e i loro valori cadono nell’intervallo \([-1, 1]\) (perché coordinate di un punto su un cerchio di raggio \(1\)).

Proprietà fondamentali di seno e coseno:

Dimostrazione (identità fondamentale). Il punto \(P_\alpha = (\cos \alpha , \operatorname{sen} \alpha )\) appartiene alla circonferenza di equazione \(x^2 + y^2 = 1\). Sostituendo \(x = \cos \alpha \), \(y = \operatorname{sen} \alpha \): \(\cos ^2\alpha + \operatorname{sen} ^2\alpha = 1\).

Dimostrazione (parità del coseno e disparità del seno). L’angolo \(-\alpha \) corrisponde alla rotazione opposta: il punto \(P_{-\alpha }\) è il simmetrico di \(P_\alpha \) rispetto all’asse \(x\). Dunque ha la stessa ascissa (\(\cos (-\alpha ) = \cos \alpha \)) e ordinata opposta (\(\operatorname{sen} (-\alpha ) = -\operatorname{sen} \alpha \)).

Segno di seno e coseno nei quadranti

Quadrante \(\operatorname{sen} \alpha \) \(\cos \alpha \)
I (\(0 < \alpha < \pi /2\)) \(> 0\) \(> 0\)
II (\(\pi /2 < \alpha < \pi \)) \(> 0\) \(< 0\)
III (\(\pi < \alpha < 3\pi /2\)) \(< 0\) \(< 0\)
IV (\(3\pi /2 < \alpha < 2\pi \)) \(< 0\) \(> 0\)

Mnemonico (TSTC, “Tutte Sono, Tangente, Coseno”): nel I quadrante tutte le funzioni sono positive; nel II è positivo il seno; nel III la tangente; nel IV il coseno.

95.4 Definizione di tangente

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Definizione 95.3 — Tangente

Sia \(\alpha \in \mathbb{R} \) tale che \(\cos \alpha \ne 0\). Si chiama tangente di \(\alpha \) il numero reale

\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac {\operatorname{sen} \alpha }{\cos \alpha }. \]

Dominio della tangente. La tangente non è definita quando \(\cos \alpha = 0\), ovvero per \(\alpha = \pi /2 + k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z} \). Il suo dominio è dunque

\[ D_{\operatorname{tg} } = \{ \alpha \in \mathbb{R} : \alpha \ne \pi /2 + k\pi , \, k \in \mathbb{Z} \}. \]

Codominio. Il rapporto \(\operatorname{sen} \alpha / \cos \alpha \) può assumere qualunque valore reale: il codominio della tangente è \(\mathbb{R} \) (al contrario di seno e coseno, limitati a \([-1, 1]\)).

Interpretazione geometrica della tangente

La tangente ha una bella interpretazione sulla circonferenza goniometrica. Tracciamo la retta verticale \(x = 1\), tangente al cerchio nel punto \((1, 0)\). Prolunghiamo il raggio \(OP_\alpha \) fino a intersecare questa retta nel punto \(T_\alpha \) (vedi fig. 95.2). Allora:

Interpretazione geometrica della tangente:

\[ T_\alpha = (1, \, \operatorname{tg} \alpha ), \qquad \text {ovvero la tangente di } \alpha \text { è l'ordinata di } T_\alpha . \]

Dimostrazione. I triangoli \(OHP_\alpha \) (con \(H\) piede della perpendicolare da \(P_\alpha \) all’asse \(x\)) e \(OAT_\alpha \) (con \(A = (1, 0)\)) sono simili (entrambi rettangoli, con angolo \(\alpha \) in \(O\)). Dunque

\[ \frac {AT_\alpha }{HP_\alpha } = \frac {OA}{OH} \iff \frac {\operatorname{tg} \alpha }{\operatorname{sen} \alpha } = \frac {1}{\cos \alpha } \iff \operatorname{tg} \alpha = \frac {\operatorname{sen} \alpha }{\cos \alpha }, \]

in accordo con la definizione algebrica.

[Picture]

Figura 95.2: Interpretazione geometrica della tangente. Il prolungamento del raggio \(OP_\alpha \) incontra la retta \(x=1\) nel punto \(T_\alpha \) di ordinata \(\operatorname{tg} \alpha \). Per \(\alpha = \pi /2\) il raggio è verticale e non incontra mai la retta \(x=1\): la tangente non è definita.

Proprietà della tangente

Proprietà fondamentali della tangente:

Periodicità \(\pi \). È una proprietà diversa da quella di seno e coseno. Aumentando \(\alpha \) di \(\pi \), sia \(\operatorname{sen} \alpha \) che \(\cos \alpha \) cambiano segno; il loro rapporto resta invariato.

95.5 Cotangente, secante, cosecante

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Oltre a seno, coseno e tangente, si introducono tre funzioni reciproche.

Definizione 95.4 — Cotangente, secante, cosecante

Per gli angoli \(\alpha \) per cui i denominatori non si annullano:

\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac {\cos \alpha }{\operatorname{sen} \alpha } = \frac {1}{\operatorname{tg} \alpha }, \qquad \operatorname {sec}\alpha = \frac {1}{\cos \alpha }, \qquad \operatorname {cosec}\alpha = \frac {1}{\operatorname{sen} \alpha }. \]

Dominio delle funzioni reciproche:

Uso pratico. In ambito didattico italiano si usano molto seno, coseno e tangente; la cotangente compare in qualche identità (\(\operatorname{cotg} \alpha = 1/\operatorname{tg} \alpha \)), mentre secante e cosecante si incontrano soprattutto in analisi (sostituzioni trigonometriche, integrali). Sono comunque utili per scrivere certe identità in forma più simmetrica.

Identità reciproche immediate

\[ \operatorname {sec}^2\alpha = 1 + \operatorname{tg} ^2\alpha , \qquad \operatorname {cosec}^2\alpha = 1 + \operatorname{cotg} ^2\alpha . \]

Dimostrazione (della prima). Partendo dall’identità fondamentale \(\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1\) e dividendo entrambi i membri per \(\cos ^2\alpha \) (lecito quando \(\cos \alpha \ne 0\)):

\[ \frac {\operatorname{sen} ^2\alpha }{\cos ^2\alpha } + 1 = \frac {1}{\cos ^2\alpha } \iff \operatorname{tg} ^2\alpha + 1 = \operatorname {sec}^2\alpha . \]

La seconda identità si ottiene analogamente dividendo per \(\operatorname{sen} ^2\alpha \).

95.6 Valori per angoli notevoli

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I valori delle funzioni goniometriche su alcuni angoli particolari — \(0, \pi /6, \pi /4, \pi /3, \pi /2\) e i loro multipli — sono ricorrenti e vanno memorizzati. Si ricavano con argomenti geometrici elementari.

Valori in \(0, \pi /2, \pi , 3\pi /2\)

Per questi angoli “cardinali” il punto \(P_\alpha \) è sull’asse \(x\) o sull’asse \(y\), dunque una delle coordinate è \(0\) e l’altra è \(\pm 1\):

\(\alpha \) \(P_\alpha \) \(\operatorname{sen} \alpha \) \(\cos \alpha \) \(\operatorname{tg} \alpha \)
\(0\) \((1, 0)\) \(0\) \(1\) \(0\)
\(\pi /2\) \((0, 1)\) \(1\) \(0\) non definita
\(\pi \) \((-1, 0)\) \(0\) \(-1\) \(0\)
\(3\pi /2\) \((0, -1)\) \(-1\) \(0\) non definita

Valore in \(\pi /4\) (mezzo retto)

Per \(\alpha = \pi /4 = 45°\), il punto \(P_\alpha \) giace sulla bisettrice del I quadrante, quindi ha ascissa e ordinata uguali: \(\cos (\pi /4) = \operatorname{sen} (\pi /4)\). Dall’identità fondamentale \(\operatorname{sen} ^2 + \cos ^2 = 1\) si ricava \(2 \cos ^2(\pi /4) = 1\), da cui \(\cos (\pi /4) = \sqrt {2}/2\) (positivo essendo nel I quadrante).

\[ \operatorname{sen} \frac {\pi }{4} = \cos \frac {\pi }{4} = \frac {\sqrt {2}}{2}, \qquad \operatorname{tg} \frac {\pi }{4} = 1. \]

Valori in \(\pi /6\) e \(\pi /3\) (terzo di retto e suo complemento)

Costruiamo un triangolo equilatero di lato \(1\). I suoi angoli sono tutti di \(\pi /3\). Tracciando l’altezza da un vertice otteniamo due triangoli rettangoli con angoli \(\pi /2, \pi /3, \pi /6\) e cateti \(1/2\) (metà del lato) e \(\sqrt {3}/2\) (altezza, calcolabile dal teorema di Pitagora). Le definizioni nel triangolo rettangolo danno:

\[ \operatorname{sen} \frac {\pi }{6} = \frac {1}{2}, \qquad \cos \frac {\pi }{6} = \frac {\sqrt {3}}{2}, \qquad \operatorname{tg} \frac {\pi }{6} = \frac {\sqrt {3}}{3}. \]
\[ \operatorname{sen} \frac {\pi }{3} = \frac {\sqrt {3}}{2}, \qquad \cos \frac {\pi }{3} = \frac {1}{2}, \qquad \operatorname{tg} \frac {\pi }{3} = \sqrt {3}. \]

Osservazione (angoli complementari). \(\pi /6 + \pi /3 = \pi /2\): i due angoli sono complementari, e infatti il seno di uno è il coseno dell’altro. Questa proprietà si generalizza: \(\operatorname{sen} (\pi /2 - \alpha ) = \cos \alpha \) (vedi cap. 97 sugli archi associati).

Tabella riassuntiva degli angoli notevoli

gradi \(0°\) \(30°\) \(45°\) \(60°\) \(90°\)
radianti \(0\) \(\pi /6\) \(\pi /4\) \(\pi /3\) \(\pi /2\)
\(\operatorname{sen} \alpha \) \(0\) \(1/2\) \(\sqrt {2}/2\) \(\sqrt {3}/2\) \(1\)
\(\cos \alpha \) \(1\) \(\sqrt {3}/2\) \(\sqrt {2}/2\) \(1/2\) \(0\)
\(\operatorname{tg} \alpha \) \(0\) \(\sqrt {3}/3\) \(1\) \(\sqrt {3}\) —

Trucco mnemonico. I valori di \(\operatorname{sen} \alpha \) sui cinque angoli notevoli \(0, \pi /6, \pi /4, \pi /3, \pi /2\) si possono scrivere come

\[ \frac {\sqrt {0}}{2}, \quad \frac {\sqrt {1}}{2}, \quad \frac {\sqrt {2}}{2}, \quad \frac {\sqrt {3}}{2}, \quad \frac {\sqrt {4}}{2}. \]

I valori del coseno seguono la stessa sequenza letta al contrario.

95.7 Esempi svolti

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Esempio 95.1 — Calcolo a partire dalla definizione

Determinare \(\operatorname{sen} \alpha \) e \(\cos \alpha \) per \(\alpha = 7\pi /6\).

Algebra. L’angolo \(7\pi /6 = \pi + \pi /6\) cade nel III quadrante (dove sia seno che coseno sono negativi). La rotazione di \(\pi /6\) oltre \(\pi \) porta in un punto simmetrico rispetto all’origine del punto \(P_{\pi /6}\).

Conclusione: \(\operatorname{sen} (7\pi /6) = -\operatorname{sen} (\pi /6) = -1/2\), \(\cos (7\pi /6) = -\cos (\pi /6) = -\sqrt {3}/2\).

Verifica con l’identità fondamentale: \((-1/2)^2 + (-\sqrt {3}/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1\). \(\checkmark\)

Esempio 95.2 — Da seno a coseno e tangente

Sapendo che \(\operatorname{sen} \alpha = 3/5\) e che \(\alpha \) è nel II quadrante, determinare \(\cos \alpha \) e \(\operatorname{tg} \alpha \).

Algebra. Dall’identità fondamentale: \(\cos ^2\alpha = 1 - \operatorname{sen} ^2\alpha = 1 - 9/25 = 16/25\), dunque \(\cos \alpha = \pm 4/5\). Poiché \(\alpha \) è nel II quadrante, il coseno è negativo: \(\cos \alpha = -4/5\).

Tangente: \(\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{sen} \alpha / \cos \alpha = (3/5) / (-4/5) = -3/4\).

Verifica: \(\operatorname{sen} ^2 + \cos ^2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1\). \(\checkmark\)

Esempio 95.3 — Da tangente a seno e coseno

Sapendo che \(\operatorname{tg} \alpha = 2\) e che \(\alpha \in (0, \pi /2)\), determinare \(\operatorname{sen} \alpha \) e \(\cos \alpha \).

Algebra. Da \(\operatorname{tg} \alpha = 2\) segue \(\operatorname{sen} \alpha = 2 \cos \alpha \). Sostituendo nell’identità fondamentale:

\[ (2\cos \alpha )^2 + \cos ^2\alpha = 1 \iff 5 \cos ^2\alpha = 1 \iff \cos \alpha = \pm \frac {1}{\sqrt {5}}. \]

Poiché \(\alpha \in (0, \pi /2)\) (I quadrante), \(\cos \alpha > 0\): \(\cos \alpha = 1/\sqrt {5} = \sqrt {5}/5\).

Allora \(\operatorname{sen} \alpha = 2 \cos \alpha = 2\sqrt {5}/5\).

Esempio 95.4 — Uso della periodicità

Calcolare \(\cos (17\pi /4)\).

Algebra. Riconduciamo l’argomento all’intervallo \([0, 2\pi )\) sottraendo multipli di \(2\pi \):

\[ \frac {17\pi }{4} = \frac {16\pi + \pi }{4} = 4\pi + \frac {\pi }{4} = 2 \cdot 2\pi + \frac {\pi }{4}. \]

Conclusione: \(\cos (17\pi /4) = \cos (\pi /4) = \sqrt {2}/2\).

Esempio 95.5 — Disparità del seno e parità del coseno

Verificare numericamente che \(\operatorname{sen} (-5\pi /6) = -\operatorname{sen} (5\pi /6)\) e \(\cos (-5\pi /6) = \cos (5\pi /6)\).

Calcolo. L’angolo \(5\pi /6 = \pi - \pi /6\) è nel II quadrante: \(\operatorname{sen} (5\pi /6) = +1/2\), \(\cos (5\pi /6) = -\sqrt {3}/2\).

L’angolo \(-5\pi /6\) è ottenuto ruotando in senso orario di \(5\pi /6\); cade nel III quadrante (simmetrico del precedente rispetto all’asse \(x\)): \(\operatorname{sen} (-5\pi /6) = -1/2\), \(\cos (-5\pi /6) = -\sqrt {3}/2\).

Conferma: \(-\operatorname{sen} (5\pi /6) = -1/2 = \operatorname{sen} (-5\pi /6)\) e \(\cos (5\pi /6) = -\sqrt {3}/2 = \cos (-5\pi /6)\). \(\checkmark\)

Esempio 95.6 — Equazione goniometrica elementare

Risolvere \(\cos \alpha = 1/2\) nell’intervallo \([0, 2\pi )\).

Algebra. Cerchiamo i punti della circonferenza goniometrica con ascissa \(1/2\). Sono due, simmetrici rispetto all’asse \(x\): uno nel I quadrante, l’altro nel IV. Il valore notevole è \(\pi /3\).

Soluzioni: \(\alpha _1 = \pi /3\) (I quadrante), \(\alpha _2 = 2\pi - \pi /3 = 5\pi /3\) (IV quadrante).

Esempio 95.7 — Espressione in forma compatta

Semplificare \(\dfrac {\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }{\operatorname{tg} \alpha }\).

Algebra. Sostituendo \(\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{sen} \alpha /\cos \alpha \):

\[ \frac {\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }{\operatorname{sen} \alpha /\cos \alpha } = \operatorname{sen} \alpha \cos \alpha \cdot \frac {\cos \alpha }{\operatorname{sen} \alpha } = \cos ^2\alpha . \]

Conclusione: l’espressione è uguale a \(\cos ^2\alpha \) (per \(\operatorname{sen} \alpha \ne 0\) e \(\cos \alpha \ne 0\)).

95.8 Esercizi proposti

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Esercizio 95.1

1.
Calcolare a memoria, senza calcolatrice, \(\operatorname{sen} \alpha \), \(\cos \alpha \) e \(\operatorname{tg} \alpha \) per:
(a)
\(\alpha = 2\pi /3\);
(b)
\(\alpha = 5\pi /4\);
(c)
\(\alpha = 11\pi /6\);
(d)
\(\alpha = -\pi /4\);
(e)
\(\alpha = 7\pi /3\).
2.
Per ciascun angolo, indicare il quadrante e i segni di \(\operatorname{sen} \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\operatorname{tg} \alpha \):
(a)
\(\alpha = 100°\);
(b)
\(\alpha = 200°\);
(c)
\(\alpha = -50°\);
(d)
\(\alpha = 3\pi /7\);
(e)
\(\alpha = 17\pi /8\).
3.
Sapendo che \(\operatorname{sen} \alpha = -0.6\) e che \(\alpha \) è nel III quadrante, determinare \(\cos \alpha \) e \(\operatorname{tg} \alpha \).
4.
Sapendo che \(\cos \alpha = 0.8\) e che \(\alpha \in (3\pi /2, 2\pi )\), determinare \(\operatorname{sen} \alpha \) e \(\operatorname{tg} \alpha \).
5.
Sapendo che \(\operatorname{tg} \alpha = -3\) e che \(\alpha \in (\pi /2, \pi )\), determinare \(\operatorname{sen} \alpha \) e \(\cos \alpha \).
6.
Verificare che il punto \(P = (\sqrt {2}/2, -\sqrt {2}/2)\) appartiene alla circonferenza goniometrica e determinare l’angolo \(\alpha \in [0, 2\pi )\) a cui corrisponde.
7.
Determinare \(\operatorname{sen} \alpha \) e \(\cos \alpha \) sapendo che \(P_\alpha = (0.6, k)\) con \(k > 0\).
8.
Calcolare, usando la periodicità:
(a)
\(\operatorname{sen} (13\pi /6)\);
(b)
\(\cos (19\pi /4)\);
(c)
\(\operatorname{tg} (25\pi /3)\);
(d)
\(\operatorname{sen} (-17\pi /6)\).
9.
Verificare le seguenti identità (cioè dimostrarle, non risolvere):
(a)
\((\operatorname{sen} \alpha + \cos \alpha )^2 = 1 + 2 \operatorname{sen} \alpha \cos \alpha \);
(b)
\(\operatorname{sen} ^2\alpha - \cos ^2\alpha = 1 - 2\cos ^2\alpha \);
(c)
\(\dfrac {1 - \cos ^2\alpha }{\operatorname{sen} \alpha } = \operatorname{sen} \alpha \) (con \(\operatorname{sen} \alpha \ne 0\));
(d)
\(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{cotg} \alpha = \dfrac {1}{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }\).
10.
Risolvere nell’intervallo \([0, 2\pi )\) le equazioni elementari:
(a)
\(\operatorname{sen} \alpha = \sqrt {3}/2\);
(b)
\(\cos \alpha = -1/2\);
(c)
\(\operatorname{tg} \alpha = -1\);
(d)
\(\operatorname{sen} \alpha = 0\);
(e)
\(\cos \alpha = 1.5\) (attenzione!).
11.
Determinare per quali valori di \(\alpha \in [0, 2\pi )\) è verificata simultaneamente la condizione \(\operatorname{sen} \alpha > 0\) e \(\cos \alpha < 0\).
12.
Semplificare le espressioni:
(a)
\(\operatorname{sen} ^2\alpha (1 + \operatorname{cotg} ^2\alpha )\);
(b)
\(\dfrac {1 - \operatorname{sen} ^2\alpha }{\cos \alpha }\) (con \(\cos \alpha \ne 0\));
(c)
\((\operatorname {sec}\alpha - \cos \alpha ) \cdot \operatorname{cotg} \alpha \);
(d)
\(\operatorname{tg} \alpha \cos \alpha + \operatorname{cotg} \alpha \operatorname{sen} \alpha \).
13.
Calcolare \(\operatorname {sec}\alpha \) e \(\operatorname {cosec}\alpha \) sapendo che \(\operatorname{sen} \alpha = 5/13\) e che \(\alpha \in (\pi /2, \pi )\).
14.
Un punto \(P\) percorre la circonferenza goniometrica in senso antiorario partendo da \((1, 0)\). Dopo aver percorso un arco di lunghezza \(s = 5\), in quale quadrante si trova \(P\)?
15.
Determinare le coordinate cartesiane del punto della circonferenza di raggio \(r = 3\) centrata nell’origine, che corrisponde all’angolo \(\alpha = 2\pi /3\). (Suggerimento: il punto è \(r (\cos \alpha , \operatorname{sen} \alpha )\).)
16.
Sfida. Mostrare, senza usare la calcolatrice, che \(\operatorname{sen} 15° = \dfrac {\sqrt {6} - \sqrt {2}}{4}\). (Suggerimento: scrivere \(15° = 45° - 30°\) e usare la formula di sottrazione, che vedremo formalmente nel capitolo 99, ma che è già nota dalla geometria: \(\operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta - \cos \alpha \operatorname{sen} \beta \).)

95.9 Riepilogo del capitolo

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