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Capitolo 99
Formule di addizione e sottrazione

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Le formule per il seno e il coseno della somma di due angoli erano già note a Tolomeo in forma di “corde” nella sua Almagesta, ma è stato Eulero a darne la forma analitica concisa che oggi conosciamo. Da queste cinque righe discende quasi tutta la trigonometria: duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi, Werner.”

— Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748)

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99.1 Introduzione motivazionale

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Finora abbiamo calcolato seno, coseno e tangente di un singolo angolo, con eventuali simmetrie (archi associati, cap. 97). In questo capitolo affrontiamo la domanda fondamentale: come si calcolano \(\operatorname{sen} (\alpha + \beta )\) e \(\cos (\alpha + \beta )\) noti \(\operatorname{sen} \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\operatorname{sen} \beta \), \(\cos \beta \)?

Attenzione: non è \(\operatorname{sen} (\alpha +\beta ) = \operatorname{sen} \alpha + \operatorname{sen} \beta \)! Le funzioni goniometriche non sono lineari, quindi la somma degli argomenti non corrisponde alla somma delle immagini. La risposta corretta è data dalle formule di addizione, che dimostreremo in questo capitolo.

Attenzione!

L’errore più comune di chi inizia la trigonometria è scrivere \(\operatorname{sen} (\alpha + \beta ) = \operatorname{sen} \alpha + \operatorname{sen} \beta \). È falso: per esempio \(\operatorname{sen} (\pi /2 + \pi /2) = \operatorname{sen} \pi = 0\), mentre \(\operatorname{sen} (\pi /2) + \operatorname{sen} (\pi /2) = 1 + 1 = 2\). Le formule corrette si ricavano tutte dalla formula di sottrazione del coseno, che dimostriamo per prima.

Da queste formule discendono tutte le identità trigonometriche più avanzate: duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi, Werner. Saperle dimostrare e applicare è il salto qualitativo dalla goniometria elementare a quella applicata.

99.2 Formula di sottrazione del coseno (dimostrazione)

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Definizione 99.1 — Formula di sottrazione del coseno

Per ogni \(\alpha , \beta \in \mathbb{R} \) vale

\[ \cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta . \]

Dimostrazione (vettoriale, con i versori sulla circonferenza). Consideriamo i due punti \(P_\alpha = (\cos \alpha , \operatorname{sen} \alpha )\) e \(P_\beta = (\cos \beta , \operatorname{sen} \beta )\) sulla circonferenza goniometrica. La distanza euclidea fra essi è, da un lato,

\[ d(P_\alpha , P_\beta )^2 = (\cos \alpha - \cos \beta )^2 + (\operatorname{sen} \alpha - \operatorname{sen} \beta )^2. \]

Sviluppando i quadrati:

\[ = \cos ^2\alpha - 2\cos \alpha \cos \beta + \cos ^2\beta + \operatorname{sen} ^2\alpha - 2\operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta + \operatorname{sen} ^2\beta . \]

Raggruppando per identità fondamentale (\(\operatorname{sen} ^2 + \cos ^2 = 1\)):

\[ = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta ). \tag {$\star $} \]

Dall’altro lato, lo stesso segmento ha lunghezza al quadrato pari a \(2 - 2\cos (\alpha - \beta )\). Infatti, ruotando rigidamente il sistema di coordinate di un angolo \(\beta \), il punto \(P_\beta \) va in \((1, 0)\) e \(P_\alpha \) va in \(P_{\alpha - \beta }\). Poiché le rotazioni preservano le distanze, \(d(P_\alpha , P_\beta ) = d(P_{\alpha -\beta }, P_0)\), e il quadrato di quest’ultima distanza è

\[ (\cos (\alpha -\beta ) - 1)^2 + (\operatorname{sen} (\alpha -\beta ) - 0)^2 = 2 - 2\cos (\alpha -\beta ). \tag {$\star \star $} \]

Uguagliando (\(\star \)) e (\(\star \star \)):

\[ 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta ) = 2 - 2\cos (\alpha -\beta ) \iff \cos (\alpha -\beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta . \]

La formula è dimostrata.

[Picture]

Figura 99.1: Dimostrazione della formula di sottrazione del coseno: il segmento \(P_\alpha P_\beta \) (tratteggiato arancio) ha lunghezza pari alla corda dell’arco \(\alpha - \beta \). Uguagliando il calcolo della distanza in due modi diversi si ottiene la formula.

99.3 Formule di addizione e sottrazione del coseno

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Dalla formula di sottrazione del coseno si ricavano subito le altre, applicando gli archi associati (cap. 97).

Formula di addizione del coseno

Sostituendo \(\beta \to -\beta \) in \(\cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta \), e usando \(\cos (-\beta ) = \cos \beta \), \(\operatorname{sen} (-\beta ) = -\operatorname{sen} \beta \):

\[ \cos (\alpha - (-\beta )) = \cos \alpha \cos (-\beta ) + \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} (-\beta ), \]
\[ \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta . \]

Formule per il coseno della somma e della differenza:

\[ \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta , \]
\[ \cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta . \]

Mnemonico. “Coseno mantiene le coppie”: cos·cos \(\pm \) sen·sen, con segno opposto a quello del primo membro.

99.4 Formule di addizione e sottrazione del seno

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Usando l’identità degli archi complementari \(\operatorname{sen} \theta = \cos (\pi /2 - \theta )\):

\[ \operatorname{sen} (\alpha + \beta ) = \cos \!\left (\frac {\pi }{2} - (\alpha + \beta )\right ) = \cos \!\left (\left (\frac {\pi }{2} - \alpha \right ) - \beta \right ). \]

Applicando la formula di sottrazione del coseno con \(\alpha ' = \pi /2 - \alpha \) e \(\beta ' = \beta \):

\[ = \cos \!\left (\frac {\pi }{2} - \alpha \right ) \cos \beta + \operatorname{sen} \!\left (\frac {\pi }{2} - \alpha \right ) \operatorname{sen} \beta = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta . \]

Analogamente per la sottrazione (cambiando \(\beta \to -\beta \)).

Formule per il seno della somma e della differenza:

\[ \operatorname{sen} (\alpha + \beta ) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta , \]
\[ \operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta - \cos \alpha \operatorname{sen} \beta . \]

Mnemonico. “Seno mescola le coppie”: sen·cos \(\pm \) cos·sen, con segno coerente con quello del primo membro.

99.5 Formule di addizione e sottrazione della tangente

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Dividendo le formule per il seno della somma per quelle del coseno della somma, e dividendo numeratore e denominatore per \(\cos \alpha \cos \beta \):

\[ \operatorname{tg} (\alpha + \beta ) = \frac {\operatorname{sen} (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )} = \frac {\operatorname{sen} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta }{\cos \alpha \cos \beta - \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta } = \frac {\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta }{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta }. \]

Formule per la tangente della somma e della differenza:

\[ \operatorname{tg} (\alpha + \beta ) = \frac {\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta }{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta }, \]
\[ \operatorname{tg} (\alpha - \beta ) = \frac {\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta }{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta }. \]

Condizione di esistenza. Le formule valgono dove tutte le tangenti coinvolte sono definite, e dove il denominatore non si annulla:

Le formule perdono significato esattamente quando \(\alpha \pm \beta = \pi /2 + k\pi \), cioè quando \(\operatorname{tg} (\alpha \pm \beta )\) non è definita.

99.6 Applicazioni

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Valori di angoli non immediatamente notevoli

Scomponendo un angolo come somma o differenza di due notevoli, si ricavano valori esatti.

Esempio 99.1 — Valore di \(\operatorname{sen} 15°\)

\(15° = 45° - 30° = \pi /4 - \pi /6\). Applicando la formula di sottrazione del seno:

\[ \operatorname{sen} 15° = \operatorname{sen} (\pi /4 - \pi /6) = \operatorname{sen} \frac {\pi }{4}\cos \frac {\pi }{6} - \cos \frac {\pi }{4}\operatorname{sen} \frac {\pi }{6}. \]

Sostituendo i valori notevoli:

\[ = \frac {\sqrt {2}}{2} \cdot \frac {\sqrt {3}}{2} - \frac {\sqrt {2}}{2} \cdot \frac {1}{2} = \frac {\sqrt {6} - \sqrt {2}}{4}. \]

Esempio 99.2 — Valore di \(\cos 75°\)

\(75° = 45° + 30°\). Applicando la formula di addizione del coseno:

\[ \cos 75° = \cos \frac {\pi }{4}\cos \frac {\pi }{6} - \operatorname{sen} \frac {\pi }{4}\operatorname{sen} \frac {\pi }{6} = \frac {\sqrt {2}}{2}\frac {\sqrt {3}}{2} - \frac {\sqrt {2}}{2}\frac {1}{2} = \frac {\sqrt {6} - \sqrt {2}}{4}. \]

Conferma: \(\cos 75° = \operatorname{sen} 15°\) in accordo con la formula degli angoli complementari.

Combinazione lineare \(a\operatorname{sen} x + b\cos x\)

Una scrittura ricorrente in fisica e nelle equazioni differenziali è \(a\operatorname{sen} x + b\cos x\). Usando le formule di addizione si dimostra che questa combinazione è ancora una sinusoide.

Formula di riduzione: per ogni \(a, b \in \mathbb{R} \) non entrambi nulli,

\[ a\operatorname{sen} x + b\cos x = R\operatorname{sen} (x + \varphi ), \]

con \(R = \sqrt {a^2 + b^2}\) e \(\varphi \) univocamente determinato da

\[ \cos \varphi = \frac {a}{R}, \qquad \operatorname{sen} \varphi = \frac {b}{R}. \]

Dimostrazione. Espandendo \(R\operatorname{sen} (x + \varphi ) = R(\operatorname{sen} x\cos \varphi + \cos x\operatorname{sen} \varphi ) = R\cos \varphi \cdot \operatorname{sen} x + R\operatorname{sen} \varphi \cdot \cos x\). Identificando i coefficienti con quelli di \(a\operatorname{sen} x + b\cos x\): \(a = R\cos \varphi \), \(b = R\operatorname{sen} \varphi \). Quadrando e sommando: \(a^2 + b^2 = R^2(\cos ^2\varphi + \operatorname{sen} ^2\varphi ) = R^2\), da cui \(R = \sqrt {a^2+b^2}\).

Esempio 99.3 — Sinusoide nascosta

Riscrivere \(\operatorname{sen} x + \sqrt {3}\cos x\) nella forma \(R\operatorname{sen} (x + \varphi )\).

Algebra. \(a = 1\), \(b = \sqrt {3}\), dunque \(R = \sqrt {1 + 3} = 2\).

Fase: \(\cos \varphi = 1/2\) e \(\operatorname{sen} \varphi = \sqrt {3}/2\), dunque \(\varphi = \pi /3\).

Conclusione: \(\operatorname{sen} x + \sqrt {3}\cos x = 2\operatorname{sen} (x + \pi /3)\).

Verifica con \(x = 0\): \(\operatorname{sen} 0 + \sqrt {3}\cos 0 = 0 + \sqrt {3} = \sqrt {3}\); \(2\operatorname{sen} (\pi /3) = 2 \cdot \sqrt {3}/2 = \sqrt {3}\). \(\checkmark\)

Composizione di due rotazioni

In geometria del piano, una rotazione di angolo \(\beta \) seguita da una rotazione di angolo \(\alpha \) (entrambe attorno all’origine) è equivalente a una sola rotazione di angolo \(\alpha + \beta \). Le formule di addizione esprimono algebricamente questa proprietà: combinando le due trasformazioni matriciali si trovano \(\cos (\alpha +\beta )\) e \(\operatorname{sen} (\alpha +\beta )\).

99.7 Esempi svolti

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Esempio 99.4 — Calcolo di \(\operatorname{tg} 75°\)

\(75° = 45° + 30°\). Usando la formula di addizione della tangente:

\[ \operatorname{tg} 75° = \frac {\operatorname{tg} 45° + \operatorname{tg} 30°}{1 - \operatorname{tg} 45° \operatorname{tg} 30°} = \frac {1 + \sqrt {3}/3}{1 - 1 \cdot \sqrt {3}/3} = \frac {3 + \sqrt {3}}{3 - \sqrt {3}}. \]

Razionalizzando, moltiplicando per \((3 + \sqrt {3})\) sopra e sotto:

\[ = \frac {(3 + \sqrt {3})^2}{(3 - \sqrt {3})(3 + \sqrt {3})} = \frac {9 + 6\sqrt {3} + 3}{9 - 3} = \frac {12 + 6\sqrt {3}}{6} = 2 + \sqrt {3}. \]

Esempio 99.5 — Identità con \(\operatorname{sen} \) e \(\cos \) congiunte

Dimostrare che \(\operatorname{sen} (\alpha + \beta ) \operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = \operatorname{sen} ^2\alpha - \operatorname{sen} ^2\beta \).

Sviluppo. Espandendo entrambi i fattori:

\[ \operatorname{sen} (\alpha + \beta ) \operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = (\operatorname{sen} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta )(\operatorname{sen} \alpha \cos \beta - \cos \alpha \operatorname{sen} \beta ). \]

È un prodotto del tipo \((A + B)(A - B) = A^2 - B^2\) con \(A = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta \), \(B = \cos \alpha \operatorname{sen} \beta \):

\[ = \operatorname{sen} ^2\alpha \cos ^2\beta - \cos ^2\alpha \operatorname{sen} ^2\beta . \]

Sostituiamo \(\cos ^2\beta = 1 - \operatorname{sen} ^2\beta \) e \(\cos ^2\alpha = 1 - \operatorname{sen} ^2\alpha \):

\[ = \operatorname{sen} ^2\alpha (1 - \operatorname{sen} ^2\beta ) - (1 - \operatorname{sen} ^2\alpha )\operatorname{sen} ^2\beta = \operatorname{sen} ^2\alpha - \operatorname{sen} ^2\alpha \operatorname{sen} ^2\beta - \operatorname{sen} ^2\beta + \operatorname{sen} ^2\alpha \operatorname{sen} ^2\beta . \]

I termini in \(\operatorname{sen} ^2\alpha \operatorname{sen} ^2\beta \) si cancellano:

\[ = \operatorname{sen} ^2\alpha - \operatorname{sen} ^2\beta . \]

\(\checkmark\)

Esempio 99.6 — Identità con la tangente

Dimostrare che \(\operatorname{tg} (45° + \alpha ) \cdot \operatorname{tg} (45° - \alpha ) = 1\) (per \(\alpha \ne \pm 45° + k\cdot 180°\)).

Sviluppo. Da \(\operatorname{tg} 45° = 1\):

\[ \operatorname{tg} (45° + \alpha ) = \frac {1 + \operatorname{tg} \alpha }{1 - \operatorname{tg} \alpha }, \qquad \operatorname{tg} (45° - \alpha ) = \frac {1 - \operatorname{tg} \alpha }{1 + \operatorname{tg} \alpha }. \]

Prodotto:

\[ \frac {1+\operatorname{tg} \alpha }{1-\operatorname{tg} \alpha } \cdot \frac {1-\operatorname{tg} \alpha }{1+\operatorname{tg} \alpha } = 1. \]

\(\checkmark\)

Esempio 99.7 — Dato \(\operatorname{sen} , \cos \) di due angoli, calcolare la somma

Sapendo che \(\operatorname{sen} \alpha = 3/5\) con \(\alpha \) nel I quadrante e \(\operatorname{sen} \beta = -5/13\) con \(\beta \) nel IV quadrante, calcolare \(\operatorname{sen} (\alpha + \beta )\) e \(\cos (\alpha + \beta )\).

Calcolo dei coseni. Dall’identità fondamentale:

\[ \cos \alpha = +\sqrt {1 - 9/25} = +4/5 \quad (\text {I quadrante}), \quad \cos \beta = +\sqrt {1 - 25/169} = +12/13 \quad (\text {IV quadrante}). \]

Seno della somma:

\[ \operatorname{sen} (\alpha + \beta ) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta = \frac {3}{5} \cdot \frac {12}{13} + \frac {4}{5} \cdot \left (-\frac {5}{13}\right ) = \frac {36 - 20}{65} = \frac {16}{65}. \]

Coseno della somma:

\[ \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta = \frac {4}{5} \cdot \frac {12}{13} - \frac {3}{5} \cdot \left (-\frac {5}{13}\right ) = \frac {48 + 15}{65} = \frac {63}{65}. \]

Verifica con identità fondamentale: \((16/65)^2 + (63/65)^2 = (256 + 3969)/4225 = 4225/4225 = 1\). \(\checkmark\)

Esempio 99.8 — Formula del seno con angolo notevole

Calcolare \(\operatorname{sen} (\alpha + \pi /2)\) usando la formula di addizione.

Sviluppo:

\[ \operatorname{sen} (\alpha + \pi /2) = \operatorname{sen} \alpha \cos (\pi /2) + \cos \alpha \operatorname{sen} (\pi /2) = \operatorname{sen} \alpha \cdot 0 + \cos \alpha \cdot 1 = \cos \alpha . \]

Ritrovato un risultato degli archi associati (cap. 97): \(\operatorname{sen} (\alpha + \pi /2) = \cos \alpha \).

Esempio 99.9 — Riduzione di una combinazione lineare

Riscrivere \(\cos x - \operatorname{sen} x\) nella forma \(R\cos (x + \varphi )\).

Algebra. Da \(R\cos (x + \varphi ) = R\cos x \cos \varphi - R\operatorname{sen} x\operatorname{sen} \varphi \), identificando coi coefficienti \(1\) e \(-1\) di \(\cos x - \operatorname{sen} x\):

\[ R\cos \varphi = 1, \qquad R\operatorname{sen} \varphi = 1, \]

ovvero \(R = \sqrt {2}\), \(\cos \varphi = \operatorname{sen} \varphi = \sqrt {2}/2\), dunque \(\varphi = \pi /4\).

Conclusione: \(\cos x - \operatorname{sen} x = \sqrt {2} \cos (x + \pi /4)\).

99.8 Esercizi proposti

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Esercizio 99.1

1.
Calcolare i valori esatti, senza usare la calcolatrice, scomponendo in somme o differenze di angoli notevoli:
(a)
\(\operatorname{sen} 75°\);
(b)
\(\cos 15°\);
(c)
\(\operatorname{tg} 105°\) (suggerimento: \(105° = 60° + 45°\));
(d)
\(\operatorname{sen} 105°\);
(e)
\(\cos 165°\) (suggerimento: \(165° = 180° - 15°\), oppure \(165° = 120° + 45°\));
(f)
\(\operatorname{tg} (\pi /12)\) (suggerimento: \(\pi /12 = \pi /4 - \pi /6\));
(g)
\(\operatorname{sen} (7\pi /12)\).
2.
Sapendo che \(\operatorname{sen} \alpha = 4/5\) con \(\alpha \) nel II quadrante e \(\cos \beta = -3/5\) con \(\beta \) nel III quadrante, calcolare:
(a)
\(\operatorname{sen} (\alpha + \beta )\);
(b)
\(\cos (\alpha + \beta )\);
(c)
\(\operatorname{sen} (\alpha - \beta )\);
(d)
\(\operatorname{tg} (\alpha + \beta )\);
(e)
determinare il quadrante in cui cade \(\alpha + \beta \).
3.
Dimostrare le seguenti identità:
(a)
\(\operatorname{sen} (\alpha + \beta ) - \operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = 2 \cos \alpha \operatorname{sen} \beta \);
(b)
\(\cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta ) = 2 \cos \alpha \cos \beta \);
(c)
\(\cos (\alpha - \beta ) - \cos (\alpha + \beta ) = 2 \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta \);
(d)
\(\operatorname{sen} (\alpha + \beta ) + \operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = 2 \operatorname{sen} \alpha \cos \beta \).

Osservazione: queste sono le formule di prostaferesi che incontreremo in cap. 101.

4.
Verificare le identità:
(a)
\(\dfrac {\operatorname{sen} (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta } = \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta \) (con \(\cos \alpha , \cos \beta \ne 0\));
(b)
\(\dfrac {\cos (\alpha -\beta )}{\operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta } = \operatorname{cotg} \alpha \operatorname{cotg} \beta + 1\) (con \(\operatorname{sen} \alpha , \operatorname{sen} \beta \ne 0\));
(c)
\(\operatorname{sen} (\alpha + \beta )\cos \beta - \cos (\alpha + \beta )\operatorname{sen} \beta = \operatorname{sen} \alpha \);
(d)
\(\cos (\alpha + \beta )\cos \beta + \operatorname{sen} (\alpha + \beta )\operatorname{sen} \beta = \cos \alpha \).
5.
Riscrivere ciascuna espressione nella forma \(R\operatorname{sen} (x + \varphi )\):
(a)
\(\operatorname{sen} x + \cos x\);
(b)
\(3\operatorname{sen} x + 4\cos x\);
(c)
\(-\operatorname{sen} x + \sqrt {3}\cos x\);
(d)
\(\sqrt {3}\operatorname{sen} x - \cos x\).
6.
Determinare massimo e minimo di \(f(x) = 5\operatorname{sen} x + 12\cos x\) su \(\mathbb{R} \). (Suggerimento: usare la riduzione \(R\operatorname{sen} (x+\varphi )\).)
7.
Verificare l’identità \(\operatorname{sen} (\alpha + \beta + \gamma ) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \operatorname{sen} \gamma - \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta \operatorname{sen} \gamma \). (Suggerimento: applicare la formula di addizione due volte, \((\alpha + \beta ) + \gamma \).)
8.
Mostrare che \(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma \) se e solo se \(\alpha + \beta + \gamma = k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z} \). (Curiosità: vale in ogni triangolo, dove \(\alpha + \beta + \gamma = \pi \).)
9.
Risolvere \(\operatorname{sen} (x + \pi /3) = \cos (x - \pi /6)\). (Suggerimento: sviluppare entrambi i membri.)
10.
Per quali valori di \(\alpha \) vale \(\operatorname{sen} (\alpha + \pi /4) = \cos \alpha \)? (Soluzione: \(\alpha = \pi /4 + k\pi \).)
11.
Sfida (composizione di sinusoidi). Mostrare che la somma di due sinusoidi della stessa frequenza è ancora una sinusoide della stessa frequenza. Cioè se \(f(x) = A_1 \operatorname{sen} (\omega x + \varphi _1)\) e \(g(x) = A_2\operatorname{sen} (\omega x + \varphi _2)\), allora \(f(x) + g(x) = R\operatorname{sen} (\omega x + \varphi )\) per opportuni \(R\), \(\varphi \) esprimibili in funzione di \(A_1, A_2, \varphi _1, \varphi _2\).
12.
In un triangolo \(ABC\) vale \(\alpha + \beta + \gamma = \pi \). Dimostrare che \(\operatorname{sen} \alpha + \operatorname{sen} \beta + \operatorname{sen} \gamma = 4\cos (\alpha /2)\cos (\beta /2)\cos (\gamma /2)\). (Identità classica del triangolo.)
13.
Sfida storica (Tolomeo). Tolomeo nell’Almagesta dimostra la formula con la corda \(\operatorname {crd}(\alpha ) = 2 \operatorname{sen} (\alpha /2)\). Mostrare che la sua relazione \(\operatorname {crd}(\alpha + \beta ) \cdot \operatorname {crd}(2\pi - \beta ) = \operatorname {crd}(\alpha )\cdot \operatorname {crd}(\alpha + 2\beta ) + \operatorname {crd}(\beta )\cdot \operatorname {crd}(2\pi - \alpha )\) è equivalente alla nostra formula di addizione del seno.
14.
Sapendo che \(\operatorname{tg} \alpha = 2\) e \(\operatorname{tg} \beta = 3\), calcolare \(\operatorname{tg} (\alpha + \beta )\) e dedurne che \(\alpha + \beta = 3\pi /4 + k\pi \). (Risultato sorprendente!)

99.9 Riepilogo del capitolo

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