Un’equazione lineare in seno e coseno è una sinusoide nascosta: l’osservazione fondamentale — \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = R\operatorname{sen} (x+\varphi )\) — riconduce
ogni tale equazione a una elementare. È la stessa idea che permette di scomporre qualunque oscillazione in
componenti armoniche.”
— Joseph Fourier, dalle premesse alla Théorie analytique de la chaleur (1822)
Nel capitolo precedente (102) abbiamo risolto le equazioni elementari \(\operatorname{sen} x = m\), \(\cos x = m\), \(\operatorname{tg} x = m\). In questo capitolo
affrontiamo tre famiglie di equazioni non elementari ma ricorrenti, ciascuna con un metodo
dedicato:
1.
Equazioni lineari in seno e coseno: \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = c\). Tre metodi principali: riduzione \(R\operatorname{sen} (x+\varphi )\), sostituzione
parametrica \(t = \operatorname{tg} (x/2)\), soluzione grafica.
2.
Equazioni omogenee di secondo grado: \(a\operatorname{sen} ^2 x + b\operatorname{sen} x\cos x + c\cos ^2 x = 0\). Si dividono per \(\cos ^2 x\) e si riducono a un’equazione
algebrica in \(\operatorname{tg} x\).
3.
Equazioni razionali in seno e coseno: si applicano le formule parametriche di cap. 101.
Tutte e tre le tecniche si basano sugli strumenti dei capitoli precedenti (formule di addizione,
parametriche, identità fondamentale): riportano un problema apparentemente complesso a
un’equazione elementare o algebrica.
Definizione 103.1 — Equazione lineare in \(\operatorname{sen} x\) e
\(\cos x\)
Un’equazione si dice lineare in \(\operatorname{sen} x\) e \(\cos x\) se ha la forma
\[ a \operatorname{sen} x + b \cos x = c, \]
con \(a, b, c\) costanti reali, \(a\) e \(b\) non entrambi nulli.
Casi particolari semplici.
Se \(a = 0\), si riduce a \(\cos x = c/b\), elementare.
Se \(b = 0\), si riduce a \(\operatorname{sen} x = c/a\), elementare.
Se \(c = 0\), è una equazione omogenea di primo grado: \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = 0 \iff \operatorname{tg} x = -b/a\) (dividendo per \(\cos x\), escludendo \(\cos x = 0\), da verificare).
Quando \(a, b, c\) sono tutti non nulli, l’equazione non si risolve direttamente: occorrono tecniche
specifiche. Ne presentiamo tre, complementari.
Metodo 1: riduzione \(R\operatorname{sen} (x+\varphi )\) (angolo aggiunto)
Condizione di esistenza (metodo \(R\operatorname{sen} \)): l’equazione \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = c\) ha soluzioni se e solo se
\[ |c| \le R = \sqrt {a^2 + b^2}. \]
Dimostrazione della condizione. La funzione \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = R\operatorname{sen} (x+\varphi )\) assume valori in \([-R, R]\). Quindi \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = c\) ha soluzioni
\(\iff |c| \le R = \sqrt {a^2+b^2}\).
Metodo 2: sostituzione \(t = \operatorname{tg} (x/2)\) (Weierstrass)
Posto \(t = \operatorname{tg} (x/2)\), dalle formule parametriche (cap. 101):
\[ \operatorname{sen} x = \frac {2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}. \]
L’equazione \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = c\) diventa:
\[ a \cdot \frac {2t}{1+t^2} + b \cdot \frac {1-t^2}{1+t^2} = c. \]
Equazione quadratica in \(t\). Risolvendo per \(t\) si trovano i valori che dànno \(\operatorname{tg} (x/2)\), e da questi le
soluzioni \(x = 2 \operatorname{arctg} t + 2k\pi \).
Attenzione!
La sostituzione \(t = \operatorname{tg} (x/2)\) presuppone che \(\operatorname{tg} (x/2)\) sia definita, cioè \(x/2 \ne \pi /2 + k\pi \), ovvero \(x \ne \pi + 2k\pi \). Si deve sempre verificare
separatamente se \(x = \pi + 2k\pi \) è soluzione (sostituendolo nell’equazione originale).
Metodo 3: soluzione grafica sul cerchio goniometrico
una retta nel piano \(XY\). Le soluzioni sono i punti di intersezione fra questa retta e la circonferenza
\(X^2 + Y^2 = 1\). Geometricamente, ci sono soluzioni se e solo se la distanza della retta dall’origine è
\(\le 1\).
Figura 103.1: Risoluzione grafica di \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = c\): le soluzioni sono gli angoli corrispondenti ai punti di
intersezione \(P_1, P_2\) fra la retta \(aY + bX = c\) e la circonferenza goniometrica. Esistono soluzioni se la distanza
della retta dall’origine, \(|c|/\sqrt {a^2+b^2}\), è \(\le 1\).
Confronto dei tre metodi
Procedura — Quale metodo scegliere?
Per equazioni simboliche o quando si vogliono soluzioni in forma chiusa: metodo 1
(\(R\operatorname{sen} \)). Elegante e veloce, ma richiede di calcolare \(\operatorname{arctg} (b/a)\).
Per equazioni numeriche concrete: metodo 2 (\(t = \operatorname{tg} (x/2)\)). Sicuro ma può portare a calcoli con
radici brutte; richiede di verificare \(x = \pi + 2k\pi \).
Per equazioni che vogliamo visualizzare: metodo 3 (grafico). Utile per ragionare su
esistenza, parametri, casi limite.
Definizione 103.2 — Equazione omogenea di secondo
grado
Un’equazione si dice omogenea di secondo grado in \(\operatorname{sen} x\) e \(\cos x\) se ha la forma
\[ a \operatorname{sen} ^2 x + b \operatorname{sen} x \cos x + c \cos ^2 x = 0, \]
con \(a, b, c \in \mathbb{R} \). Tutti i termini hanno grado complessivo \(2\) in \(\operatorname{sen} x\) e \(\cos x\) (da cui “omogenea”).
Metodo risolutivo: divisione per \(\cos ^2 x\)
Idea fondamentale: dividere entrambi i membri per \(\cos ^2 x\). Se \(\cos x \ne 0\):
\[ a \operatorname{tg} ^2 x + b \operatorname{tg} x + c = 0, \]
equazione algebrica di secondo grado in \(\operatorname{tg} x\). Risolvendo si ottengono al massimo due valori di \(\operatorname{tg} x\), da
cui le soluzioni \(x = \operatorname{arctg} (\cdot ) + k\pi \).
Verifica per \(\cos x = 0\): occorre ricontrollare se \(x = \pi /2 + k\pi \) (cioè \(\operatorname{sen} x = \pm 1\), \(\cos x = 0\)) è soluzione dell’equazione originale.
Sostituendo: \(a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = a\). Quindi \(x = \pi /2 + k\pi \) è soluzione se e solo se \(a = 0\).
Procedura — Risoluzione di un’omogenea di secondo
grado
1.
Verificare se \(\cos x = 0\) è soluzione: lo è solo se \(a = 0\).
2.
Dividere per \(\cos ^2 x\) (lecito sui \(x\) con \(\cos x \ne 0\)).
3.
Risolvere l’equazione algebrica \(a t^2 + bt + c = 0\) in \(t = \operatorname{tg} x\).
4.
Tornare a \(x\) usando \(\operatorname{tg} x = t\), soluzioni elementari \(x = \operatorname{arctg} t + k\pi \).
Equazioni omogenee generalizzate (di secondo grado, non omogenee)
A volte si incontra
\[ a\operatorname{sen} ^2 x + b\operatorname{sen} x \cos x + c\cos ^2 x = d, \]
con \(d \ne 0\). Questa non è omogenea, ma può essere ricondotta a una omogenea sostituendo \(d = d(\operatorname{sen} ^2 x + \cos ^2 x)\) (identità
fondamentale!):
\[ a\operatorname{sen} ^2 x + b\operatorname{sen} x\cos x + c\cos ^2 x - d(\operatorname{sen} ^2 x + \cos ^2 x) = 0, \]
\[ (a - d)\operatorname{sen} ^2 x + b\operatorname{sen} x\cos x + (c - d)\cos ^2 x = 0. \]
Ora è omogenea (con coefficienti modificati) e si applica il metodo della divisione per
\(\cos ^2 x\).
103.4 Equazioni risolvibili per sostituzione \(t = \operatorname{tg} (x/2)\)
Il metodo della sostituzione parametrica \(t = \operatorname{tg} (x/2)\) trasforma qualunque equazione razionale in \(\operatorname{sen} x\), \(\cos x\) in una
equazione algebrica razionale in \(t\). È il metodo più generale, anche se a volte conduce a calcoli
pesanti.
Procedura — Sostituzione parametrica
generale
Per risolvere \(R(\operatorname{sen} x, \cos x) = 0\) con \(R\) funzione razionale:
1.
Porre \(t = \operatorname{tg} (x/2)\).
2.
Sostituire \(\operatorname{sen} x = 2t/(1+t^2)\), \(\cos x = (1-t^2)/(1+t^2)\).
3.
Liberarsi dei denominatori (\(1+t^2\)).
4.
Risolvere l’equazione algebrica risultante in \(t\).
5.
Tornare a \(x\) con \(x = 2\operatorname{arctg} t + 2k\pi \).
6.
Verificare separatamente se \(x = \pi + 2k\pi \) è soluzione (caso \(\cos (x/2) = 0\), in cui \(t\) non è definito).
Vantaggio. Funziona sempre, anche quando le altre tecniche non si applicano.
Svantaggio. Spesso porta a polinomi di grado alto (quartici, sestici) con soluzioni numericamente
brutte; e la verifica del caso \(x = \pi + 2k\pi \) è facile da dimenticare.
\(\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \pi /4 + k\pi \);
\(\operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 2 + k\pi \).
Esempio 103.5 — Omogenea generalizzata
Risolvere \(\operatorname{sen} ^2 x + 2 \operatorname{sen} x\cos x - \cos ^2 x = 1\).
Trasformazione in omogenea. Sostituendo \(1 = \operatorname{sen} ^2 x + \cos ^2 x\):
\[ \operatorname{sen} ^2 x + 2\operatorname{sen} x\cos x - \cos ^2 x - \operatorname{sen} ^2 x - \cos ^2 x = 0 \iff 2\operatorname{sen} x\cos x - 2\cos ^2 x = 0. \]
Fattorizzazione: \(2\cos x(\operatorname{sen} x - \cos x) = 0\).
Verifica \(x = \pi + 2k\pi \): \(\operatorname{sen} \pi = 0\), condizione di esistenza non soddisfatta (denominatore zero). Escluso.
Conferma: il risultato \(1/t = \sqrt {3}\) è la nota identità \(\operatorname{cotg} (x/2) = (1 + \cos x)/\operatorname{sen} x\), vista in cap. 100 (formule di bisezione).
Discutere la risolubilità di \(\operatorname{sen} x + a\cos x = a\) al variare del parametro \(a \in \mathbb{R} \). (Suggerimento: condizione \(|a| \le \sqrt {1 + a^2}\), sempre
vera!)
7.
Dimostrare, geometricamente sul cerchio, che l’equazione \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = c\) ha:
nessuna soluzione se \(|c| > \sqrt {a^2+b^2}\);
una sola famiglia (cioè \(x_0 + 2k\pi \)) se \(|c| = \sqrt {a^2+b^2}\) (retta tangente);
due famiglie distinte se \(|c| < \sqrt {a^2+b^2}\).
8.
Risolvere il sistema:
\[ \begin {cases} \operatorname{sen} x + \cos y = 0 \\ \operatorname{sen} y + \cos x = 0 \end {cases} \]
in \([0, 2\pi )^2\). (Suggerimento: sommare e sottrarre le due equazioni, applicare prostaferesi.)
Trovare il massimo valore di \(f(x) = 3\operatorname{sen} x + 4\cos x + 1\) su \(\mathbb{R} \), e determinare in quali punti viene assunto.
12.
Un’oscillazione composta è descritta da \(y = 2\operatorname{sen} (\omega t) + 3\cos (\omega t)\). Determinare ampiezza, fase, periodo (ipotizzando
\(\omega = 2\pi \)).
13.
Trovare tutti gli angoli \(x\) tali che \(\operatorname{sen} x \cdot \cos x = 1/4\). (Suggerimento: \(\operatorname{sen} 2x = 1/2\).)
14.
Sfida (un solo angolo). Risolvere \(3\operatorname{sen} x + 4\cos x = 5\) in \([0, 2\pi )\) e mostrare che c’è una sola soluzione. Calcolarla in
forma chiusa con \(\operatorname{arctg} \).
15.
Mostrare che l’equazione \(\operatorname{sen} x = c\cos x + d\) con \(d \ne 0\) è una particolare equazione lineare (mettendola nella forma
\(\operatorname{sen} x - c\cos x = d\)). Discuterne la risolubilità al variare di \(c\) e \(d\).
Metodo \(R\operatorname{sen} \) (angolo aggiunto): scrivere \(a\operatorname{sen} x + b\cos x = R\operatorname{sen} (x + \varphi )\) con \(\cos \varphi = a/R\), \(\operatorname{sen} \varphi = b/R\), e ridurre a \(\operatorname{sen} (x+\varphi ) = c/R\);
Metodo \(t = \operatorname{tg} (x/2)\): sostituire le formule parametriche e risolvere un quadratico in \(t\) (verificare
separatamente \(x = \pi + 2k\pi \));
Metodo grafico: intersezione della retta \(aY + bX = c\) con la circonferenza unitaria.
Equazione omogenea di secondo grado \(a\operatorname{sen} ^2 x + b\operatorname{sen} x\cos x + c\cos ^2 x = 0\):
verificare se \(\cos x = 0\) è soluzione: lo è se e solo se \(a = 0\);
dividere per \(\cos ^2 x\) e risolvere \(a\operatorname{tg} ^2 x + b\operatorname{tg} x + c = 0\) come quadratica in \(\operatorname{tg} x\);
tornare a \(x\) con \(x = \operatorname{arctg} (\cdot ) + k\pi \).
Equazione di grado \(2\) con termine noto \(a\operatorname{sen} ^2 x + b\operatorname{sen} x\cos x + c\cos ^2 x = d\) (non omogenea):
sostituire \(d = d(\operatorname{sen} ^2 x + \cos ^2 x)\) per renderla omogenea con coefficienti \((a-d), b, (c-d)\);
applicare il metodo omogeneo.
Sostituzione parametrica \(t = \operatorname{tg} (x/2)\) per equazioni razionali generali:
\(\operatorname{sen} x = 2t/(1+t^2)\), \(\cos x = (1-t^2)/(1+t^2)\);
porta sempre a un’equazione algebrica in \(t\);
verificare separatamente il caso \(x = \pi + 2k\pi \) (per il quale \(t\) non è definito).
Errori comuni:
dividere per \(\cos x\) o \(\operatorname{sen} x\) senza verificare prima il caso = 0;
dimenticare la verifica di \(x = \pi + 2k\pi \) con la sostituzione parametrica;
dimenticare la condizione \(|c| \le R\) nelle lineari (e poi cercare soluzioni inesistenti).
Nel prossimo capitolo (104) affrontiamo le disequazioni goniometriche, che si risolvono
visualizzando l’arco di cerchio in cui la disequazione è soddisfatta.
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