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Risolvere una disequazione goniometrica significa individuare gli archi della circonferenza in cui una certa
funzione assume valori in un dato intervallo. La risposta non è mai un singolo punto, ma una collezione di
archi — da estendere poi periodicamente a tutta la retta reale.”
— Adattato da Augustin-Louis Cauchy, Cours d’analyse (1821) — prima trattazione moderna delle disequazioni e dei loro insiemi di soluzioni
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Risolvere una disequazione goniometrica significa determinare tutti gli angoli \(x\) per cui una certa espressione contenente funzioni goniometriche assume valori coerenti con una disuguaglianza (\(>, \ge , <, \le \)).
A differenza delle equazioni del capitolo precedente (102, 103), le soluzioni di una disequazione non sono punti isolati ma archi continui sulla circonferenza — replicati periodicamente a tutto \(\mathbb{R} \).
Il metodo standard è grafico: si visualizza la circonferenza goniometrica, si segna l’arco (o gli archi) in cui la condizione è soddisfatta, e si trasla in linguaggio analitico la risposta.
Caso \(-1 < m < 1\). Tracciata la retta \(y = m\), l’arco del cerchio dove \(\operatorname{sen} x > m\) è la parte sopra la retta. Posto \(\alpha = \operatorname{arcsen} m\), l’arco va da \(\alpha \) a \(\pi - \alpha \):
Casi limite:
Simmetricamente, l’arco va dalla parte sotto la retta \(y = m\). Per \(-1 < m < 1\):
Le due scritture sono equivalenti modulo \(2\pi \); conviene usare quella che cade nel range richiesto.
Caso \(-1 < m < 1\). Tracciata la retta verticale \(x_{\text {cart}} = m\), l’arco dove \(\cos x > m\) è la parte a destra della retta. Posto \(\beta = \arccos m\):
L’arco è la parte a sinistra:
La tangente attraversa ogni valore reale in ciascun intervallo \((-\pi /2 + k\pi , \pi /2 + k\pi )\). Posto \(\gamma = \operatorname{arctg} m\) (con \(\gamma \in (-\pi /2, \pi /2)\)), la disequazione \(\operatorname{tg} x > m\) vale per gli \(x\) in cui la tangente è “oltre” \(m\), cioè in
La disequazione \(\operatorname{tg} x < m\) ha soluzioni:
Sintesi delle disequazioni elementari (per \(|m| < 1\), salvo tangente):
Disuguaglianze non strette (\(\ge , \le \)): si includono gli estremi (le soluzioni dell’equazione corrispondente sono ammesse).
Il metodo grafico è sempre lo strumento più sicuro, anche quando le formule diventano scomode da ricordare. Funziona in modo unificato per ogni disequazione elementare.
Procedura — Disequazione elementare per via grafica
Per risolvere \(\operatorname{sen} x \lessgtr m\), \(\cos x \lessgtr m\) o \(\operatorname{tg} x \lessgtr m\):
Vantaggio. È visivo e quasi infallibile. Lo stesso schema si applica a equazioni con argomento composto: si trova l’arco per l’argomento, poi si risolve per \(x\).
Per disequazioni non elementari si applicano gli stessi metodi visti per le equazioni del capitolo precedente (riduzione \(R\operatorname{sen} (x+\varphi )\), omogenee, sostituzione parametrica), più una accortezza:
Attenzione!
Quando si moltiplica o divide per una quantità che dipende da \(x\), occorre verificarne il segno e gestire i casi separatamente (come nelle disequazioni algebriche). Esempio: in \(\operatorname{sen} x / \cos x > 1\) si non moltiplica direttamente per \(\cos x\), perché il segno di \(\cos x\) può cambiare.
Si applica la riduzione \(R\operatorname{sen} (x + \varphi )\), riconducendo a:
disequazione elementare nell’argomento \(x + \varphi \).
Per \(a\operatorname{sen} ^2 x + b\operatorname{sen} x\cos x + c\cos ^2 x \lessgtr 0\), dividere per \(\cos ^2 x\) (che è \(\ge 0\) ovunque, ma può essere zero — da gestire) riduce a una disequazione algebrica in \(\operatorname{tg} x\).
Per disequazioni fratte o prodotti di disequazioni si compone una tabella di segno delle funzioni goniometriche coinvolte sui vari archi della circonferenza, esattamente come si farebbe per le disequazioni algebriche su intervalli di \(\mathbb{R} \).
Procedura — Disequazione fratta o prodotto
Per \(f(x)/g(x) > 0\) o \(f(x) \cdot g(x) > 0\) con \(f, g\) espressioni goniometriche:
Esempio 104.1 — Disequazione elementare del seno
Risolvere \(\operatorname{sen} x > 1/2\) in \([0, 2\pi )\).
Angoli di confine: \(\operatorname{sen} x = 1/2\) in \(x = \pi /6\) e \(x = 5\pi /6\).
Arco soluzione: dove la circonferenza sta sopra \(y = 1/2\), cioè fra i due punti, andando da \(\pi /6\) a \(5\pi /6\) in senso antiorario.
Soluzione in \([0, 2\pi )\): \(x \in (\pi /6, \, 5\pi /6)\).
Soluzione generale in \(\mathbb{R} \): \(x \in (\pi /6 + 2k\pi , \, 5\pi /6 + 2k\pi )\), \(k \in \mathbb{Z} \).
Esempio 104.2 — Disequazione elementare del coseno
Risolvere \(\cos x \le -\sqrt {2}/2\) in \([0, 2\pi )\).
Angoli di confine: \(\cos x = -\sqrt {2}/2\) in \(x = 3\pi /4\) e \(x = 5\pi /4\).
Arco soluzione: dove la circonferenza sta a sinistra della retta verticale \(x_{\text {cart}} = -\sqrt {2}/2\), cioè dall’angolo \(3\pi /4\) all’angolo \(5\pi /4\). Includendo gli estremi:
Soluzione: \(x \in [3\pi /4, \, 5\pi /4]\).
Esempio 104.3 — Disequazione della tangente
Risolvere \(\operatorname{tg} x \ge \sqrt {3}\) in \([0, 2\pi )\).
Angoli di confine: \(\operatorname{tg} x = \sqrt {3}\) in \(x = \pi /3 + k\pi \).
Arco soluzione in \((-\pi /2, \pi /2)\): \(\operatorname{tg} \) è crescente in questo intervallo, vale \(\sqrt {3}\) in \(\pi /3\), e \(\operatorname{tg} x \ge \sqrt {3}\) in \([\pi /3, \pi /2)\).
Estensione per periodicità \(\pi \): \(x \in [\pi /3 + k\pi , \, \pi /2 + k\pi )\).
Soluzione in \([0, 2\pi )\): \(x \in [\pi /3, \pi /2) \cup [4\pi /3, 3\pi /2)\).
Nota: gli estremi \(\pi /2\) e \(3\pi /2\) sono esclusi perché la tangente non è definita lì (asintoti verticali).
Esempio 104.4 — Disequazione con argomento composto
Risolvere \(\operatorname{sen} (2x - \pi /3) > -1/2\) in \([0, 2\pi )\).
Posto \(u = 2x - \pi /3\). Si parte da \(\operatorname{sen} u > -1/2\).
Disequazione elementare in \(u\): \(\operatorname{sen} u = -1/2\) in \(u = -\pi /6 + 2k\pi \) e \(u = 7\pi /6 + 2k\pi \). La disequazione \(\operatorname{sen} u > -1/2\) è soddisfatta nell’arco che esclude la zona dove \(\operatorname{sen} u \le -1/2\):
Sostituire \(u = 2x - \pi /3\) e risolvere per \(x\): \(-\pi /6 + 2k\pi < 2x - \pi /3 < 7\pi /6 + 2k\pi \), ovvero \(\pi /6 + 2k\pi < 2x < 3\pi /2 + 2k\pi \), ovvero \(\pi /12 + k\pi < x < 3\pi /4 + k\pi \).
In \([0, 2\pi )\): \(k = 0\) dà \(x \in (\pi /12, 3\pi /4)\); \(k = 1\) dà \(x \in (13\pi /12, 7\pi /4)\).
Esempio 104.5 — Disequazione fattorizzata
Risolvere \((2\operatorname{sen} x - 1)(\cos x + 1/2) > 0\) in \([0, 2\pi )\).
Zeri: \(2\operatorname{sen} x - 1 = 0 \iff x = \pi /6, 5\pi /6\). \(\cos x + 1/2 = 0 \iff x = 2\pi /3, 4\pi /3\).
Tabella di segno (su \([0, 2\pi )\), in ordine: \(0, \pi /6, 2\pi /3, 5\pi /6, 4\pi /3, 2\pi \)):
| arco | \(0..\pi /6\) | \(\pi /6\) | \(..2\pi /3\) | \(2\pi /3\) | \(..5\pi /6\) | \(5\pi /6\) | \(..4\pi /3\) | \(4\pi /3..2\pi \) |
| \(2\operatorname{sen} x - 1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\cos x + 1/2\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) (ricalc.) |
| prodotto | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | |||
Nota: la riga \(\cos x + 1/2\) va ricontrollata: in \(4\pi /3\) è zero, poi \(\cos x\) aumenta da \(-1/2\) a \(1\) (passando da \(4\pi /3\) a \(2\pi \)), quindi è positivo lì.
Soluzioni (dove prodotto \(> 0\)): \(x \in (\pi /6, 2\pi /3) \cup (5\pi /6, 4\pi /3)\).
Esempio 104.6 — Disequazione lineare con \(R\operatorname{sen} \)
Risolvere \(\operatorname{sen} x + \cos x > 1\) in \([0, 2\pi )\).
Riduzione \(R\operatorname{sen} \): \(R = \sqrt {2}\), \(\varphi = \pi /4\). L’equazione diventa:
Disequazione elementare in \(u = x + \pi /4\): \(\operatorname{sen} u > \sqrt {2}/2\) vale in \(u \in (\pi /4, 3\pi /4) + 2k\pi \).
Tornando a \(x\): \(\pi /4 < x + \pi /4 < 3\pi /4 \iff 0 < x < \pi /2\).
Soluzione in \([0, 2\pi )\): \(x \in (0, \pi /2)\).
Esempio 104.7 — Disequazione omogenea
Risolvere \(\operatorname{sen} ^2 x - 3\operatorname{sen} x\cos x + 2\cos ^2 x > 0\).
Verifica \(\cos x = 0\): sostituendo \(\operatorname{sen} x = \pm 1\), \(\cos x = 0\), otteniamo \(1 - 0 + 0 = 1 > 0\). \(\checkmark\)\(x = \pi /2 + k\pi \) è soluzione.
Divisione per \(\cos ^2 x\) (dove \(\cos x \ne 0\)): \(\operatorname{tg} ^2 x - 3\operatorname{tg} x + 2 > 0 \iff (\operatorname{tg} x - 1)(\operatorname{tg} x - 2) > 0\).
Disequazione algebrica in \(t = \operatorname{tg} x\): \((t-1)(t-2) > 0 \iff t < 1\) o \(t > 2\).
Tornando a \(x\): \(\operatorname{tg} x < 1\) vale in \((-\pi /2 + k\pi , \pi /4 + k\pi )\); \(\operatorname{tg} x > 2\) vale in \((\operatorname{arctg} 2 + k\pi , \pi /2 + k\pi )\).
Unione (per ogni \(k\)): \((-\pi /2 + k\pi , \pi /4 + k\pi ) \cup (\operatorname{arctg} 2 + k\pi , \pi /2 + k\pi )\), più i punti \(x = \pi /2 + k\pi \).
Nota: i punti \(x = \pi /2 + k\pi \) sono inclusi nelle soluzioni (sono i confini dei due intervalli aperti, e funzionano per continuità).
Esercizio 104.1
in \([0, 2\pi )\).
Costruire la tabella di segno completa.
Riepilogo
Metodo grafico standard:
Si selezionano gli archi dove la disuguaglianza è soddisfatta.
Soluzioni elementari (per \(|m|<1\), salvo tangente):
Errori comuni:
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