Le equazioni goniometriche differiscono da quelle algebriche per una caratteristica essenziale: hanno infinite
soluzioni. La periodicità delle funzioni \(\operatorname{sen} \), \(\cos \), \(\operatorname{tg} \) obbliga a esprimere le soluzioni come “famiglie” parametrizzate da
\(k \in \mathbb{Z} \). Risolverle significa trovare tutte le famiglie, e poi eventualmente selezionare quelle che cadono in un
intervallo dato.”
— Joseph-Louis Lagrange, Leçons sur le calcul des fonctions (1806) — prima esposizione sistematica della
struttura delle soluzioni di equazioni trigonometriche
In questo capitolo affrontiamo la risoluzione delle equazioni goniometriche: equazioni in cui
l’incognita compare come argomento di una o più funzioni goniometriche. Le più semplici, dette
elementari, sono nella forma
\[ \operatorname{sen} x = m, \qquad \cos x = m, \qquad \operatorname{tg} x = m, \]
dove \(m\) è un numero reale assegnato.
Tre osservazioni fondamentali distinguono questo tipo di equazioni da quelle algebriche viste
finora.
1.
Periodicità \(\to \) infinite soluzioni. Se \(x_0\) è una soluzione, lo è anche \(x_0 + 2k\pi \) per ogni \(k \in \mathbb{Z} \) (e \(x_0 + k\pi \) per la tangente).
Le soluzioni vanno scritte come “famiglie” dipendenti da un parametro intero.
2.
Esistenza vincolata da \(|m|\). Per \(\operatorname{sen} x = m\) e \(\cos x = m\) ci sono soluzioni solo se \(|m| \le 1\). Per \(\operatorname{tg} x = m\) ci sono soluzioni per ogni
\(m \in \mathbb{R} \).
3.
Doppia famiglia di soluzioni. In un periodo, \(\operatorname{sen} x = m\) e \(\cos x = m\) hanno generalmente due soluzioni (l’angolo
principale e il suo associato), mentre \(\operatorname{tg} x = m\) ne ha una sola.
Imparare a risolvere correttamente queste equazioni — con la giusta gestione del segno e delle
famiglie infinite — è il primo passo verso la risoluzione delle equazioni più complesse (lineari,
omogenee, parametriche) che vedremo nel capitolo 103.
Poiché \(-1 \le \operatorname{sen} x \le 1\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \), l’equazione \(\operatorname{sen} x = m\) ha soluzioni se e solo se \(-1 \le m \le 1\). Se \(|m| > 1\), l’equazione è impossibile.
Struttura delle soluzioni
Geometricamente, \(\operatorname{sen} x = m\) chiede di trovare tutti gli angoli \(x\) tali che il punto \(P_x\) del cerchio goniometrico
abbia ordinata pari a \(m\). Tracciando la retta orizzontale \(y = m\), essa interseca il cerchio in:
un solo punto se \(m = \pm 1\) (la retta è tangente);
due punti se \(-1 < m < 1\), simmetrici rispetto all’asse \(y\).
Figura 102.1: Risoluzione grafica di \(\operatorname{sen} x = m\). La retta orizzontale \(y = m\) taglia il cerchio in due punti:
l’angolo principale \(x_1 = \operatorname{arcsen} m\) (rosso) e il suo supplementare \(x_2 = \pi - x_1\) (verde).
Soluzioni di \(\operatorname{sen} x = m\) (per \(|m| \le 1\)):
\[ x = \operatorname{arcsen} m + 2k\pi \quad \text {oppure} \quad x = \pi - \operatorname{arcsen} m + 2k\pi , \qquad k \in \mathbb{Z} . \]
Si scrive anche in forma compatta:
\[ x = (-1)^k \operatorname{arcsen} m + k\pi , \qquad k \in \mathbb{Z} . \]
Funzione \(\operatorname{arcsen} \). La funzione \(\operatorname{arcsen} : [-1, 1] \to [-\pi /2, \pi /2]\) è l’inversa del seno ristretto a \([-\pi /2, \pi /2]\). Restituisce l’angolo principale: l’unico
angolo in \([-\pi /2, \pi /2]\) il cui seno vale \(m\).
Casi particolari
Soluzioni notevoli (memorizzare):
\(\operatorname{sen} x = 0 \iff x = k\pi \);
\(\operatorname{sen} x = 1 \iff x = \pi /2 + 2k\pi \);
\(\operatorname{sen} x = -1 \iff x = -\pi /2 + 2k\pi = 3\pi /2 + 2k\pi \);
\(\operatorname{sen} x = 1/2 \iff x = \pi /6 + 2k\pi \) oppure \(x = 5\pi /6 + 2k\pi \);
\(\operatorname{sen} x = -1/2 \iff x = -\pi /6 + 2k\pi \) oppure \(x = 7\pi /6 + 2k\pi \);
Come per il seno, l’equazione \(\cos x = m\) ha soluzioni se e solo se \(-1 \le m \le 1\).
Struttura delle soluzioni
Geometricamente, \(\cos x = m\) chiede gli angoli \(x\) tali che \(P_x\) abbia ascissa \(m\). La retta verticale \(x_{\text {cart}} = m\) taglia il cerchio in:
un solo punto se \(m = \pm 1\);
due punti se \(-1 < m < 1\), simmetrici rispetto all’asse \(x\).
Soluzioni di \(\cos x = m\) (per \(|m| \le 1\)):
\[ x = \arccos m + 2k\pi \quad \text {oppure} \quad x = -\arccos m + 2k\pi , \qquad k \in \mathbb{Z} . \]
Si scrive anche in forma compatta:
\[ x = \pm \arccos m + 2k\pi , \qquad k \in \mathbb{Z} . \]
Funzione \(\arccos \). La funzione \(\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi ]\) è l’inversa del coseno ristretto a \([0, \pi ]\). Restituisce l’angolo principale: l’unico
angolo in \([0, \pi ]\) il cui coseno vale \(m\).
Casi particolari
Soluzioni notevoli:
\(\cos x = 0 \iff x = \pi /2 + k\pi \);
\(\cos x = 1 \iff x = 2k\pi \);
\(\cos x = -1 \iff x = \pi + 2k\pi \);
\(\cos x = 1/2 \iff x = \pm \pi /3 + 2k\pi \);
\(\cos x = -1/2 \iff x = \pm 2\pi /3 + 2k\pi \);
\(\cos x = \sqrt {2}/2 \iff x = \pm \pi /4 + 2k\pi \);
\(\cos x = \sqrt {3}/2 \iff x = \pm \pi /6 + 2k\pi \).
A differenza di seno e coseno, la tangente non è limitata: ha codominio \(\mathbb{R} \). Quindi l’equazione \(\operatorname{tg} x = m\) ha
soluzioni per ogni \(m \in \mathbb{R} \).
Struttura delle soluzioni
La tangente ha periodo \(\pi \) (non \(2\pi \)): in ogni intervallo del tipo \((-\pi /2 + k\pi , \, \pi /2 + k\pi )\) la funzione è strettamente crescente da \(-\infty \)
a \(+\infty \), quindi attraversa una sola volta ogni valore. Le soluzioni di \(\operatorname{tg} x = m\) sono dunque tutte distanziate di
\(\pi \).
Soluzioni di \(\operatorname{tg} x = m\) (per ogni \(m \in \mathbb{R} \)):
\[ x = \operatorname{arctg} m + k\pi , \qquad k \in \mathbb{Z} . \]
Funzione \(\operatorname{arctg} \). La funzione \(\operatorname{arctg} : \mathbb{R} \to (-\pi /2, \pi /2)\) è l’inversa della tangente ristretta a \((-\pi /2, \pi /2)\).
Casi particolari
Soluzioni notevoli:
\(\operatorname{tg} x = 0 \iff x = k\pi \);
\(\operatorname{tg} x = 1 \iff x = \pi /4 + k\pi \);
\(\operatorname{tg} x = -1 \iff x = -\pi /4 + k\pi = 3\pi /4 + k\pi \);
\(\operatorname{tg} x = \sqrt {3} \iff x = \pi /3 + k\pi \);
\(\operatorname{tg} x = \sqrt {3}/3 \iff x = \pi /6 + k\pi \);
\(\operatorname{tg} x \to \pm \infty \) in \(x = \pi /2 + k\pi \) (non è una soluzione, è un asintoto!).
Quando l’argomento dell’equazione non è semplicemente \(x\) ma una sua trasformazione \(f(x)\) (per
esempio \(2x + \pi /3\), \(x/2\), ecc.), si applica lo stesso metodo: prima si trovano tutti i valori di \(f(x)\) che soddisfano
l’equazione elementare, poi si risolve per \(x\).
Procedura — Equazioni con argomento
composto
Per risolvere \(\operatorname{sen} f(x) = m\):
1.
Calcolare \(\operatorname{arcsen} m\) (e/o \(\pi - \operatorname{arcsen} m\)) per ottenere le due famiglie di valori di \(f(x)\).
2.
Scrivere \(f(x) = \operatorname{arcsen} m + 2k\pi \) e \(f(x) = \pi - \operatorname{arcsen} m + 2k\pi \).
3.
Risolvere ciascuna delle due equazioni rispetto a \(x\).
4.
Verificare che le soluzioni cadano nel dominio della funzione \(f\) (per esempio, se \(f(x) = \operatorname{tg} x\),
escludere \(\pi /2 + k\pi \)).
Sono quattro soluzioni in \([0, 2\pi )\) (mentre \(\operatorname{sen} x = 1/2\) ne ha solo due). Coerente: \(2x\) ricopre due volte \([0, 2\pi )\) quando
\(x\) lo ricopre una.
Equazioni riconducibili tramite identità
Spesso un’equazione apparentemente complicata si riconduce a una elementare usando le identità
studiate nei capitoli precedenti (fondamentale, archi associati, duplicazione, prostaferesi). Per
esempio:
\(\operatorname{sen} ^2 x = 1/4\) (vedi cap. 96) → \(\operatorname{sen} x = \pm 1/2\);
\(2 \operatorname{sen} x \cos x = \sqrt {3}/2\) → \(\operatorname{sen} 2x = \sqrt {3}/2\) (duplicazione del seno);
Attenzione: errore comune è “semplificare” dividendo entrambi i lati per \(\cos x\). Questo perde
le soluzioni con \(\cos x = 0\). Bisogna sempre fattorizzare.
Esempio 102.8 — Equazione con prostaferesi
Risolvere \(\operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} x = 0\) in \([0, 2\pi )\).
Determinare il numero di soluzioni di \(\operatorname{sen} 3x = 1/2\) nell’intervallo \([0, 2\pi )\).
8.
Determinare il numero di soluzioni di \(\operatorname{tg} (2x + \pi /4) = 0\) nell’intervallo \([0, \pi ]\).
9.
Per quali valori reali del parametro \(a\) l’equazione \(\operatorname{sen} x = a^2 - 2\) ha soluzioni? (Suggerimento: serve
\(|a^2 - 2| \le 1\).)
10.
Per quali valori del parametro \(b\) l’equazione \(\cos x = (b+1)/(b-1)\) ha soluzioni?
11.
Sfida. Risolvere \(\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} 2x + \operatorname{sen} 3x = 0\) in \([0, 2\pi )\). (Suggerimento: prostaferesi applicata al primo e terzo termine.)
12.
Risolvere \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\) in \([0, 2\pi )\) (analogo dell’esercizio precedente).
13.
Risolvere il sistema:
\[ \begin {cases} \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} y \\ x + y = \pi /2. \end {cases} \]
14.
Sfida con equazione trascendente. Mostrare graficamente che l’equazione \(\operatorname{sen} x = x/2\) ha
esattamente tre soluzioni in \(\mathbb{R} \). (Suggerimento: studiare l’intersezione delle curve \(y = \operatorname{sen} x\) e
\(y = x/2\).)
15.
L’altezza dell’acqua sopra un molo si modella con \(h(t) = 2 + \operatorname{sen} (\pi t/6)\) (in metri, con \(t\) in ore). A quali istanti
del primo giorno l’altezza è esattamente \(3\,{\mathrm{m} }\)? E quando è massima/minima?
Le equazioni goniometriche elementari sono \(\operatorname{sen} x = m\), \(\cos x = m\), \(\operatorname{tg} x = m\). Hanno infinite soluzioni, da scrivere
come famiglie parametrizzate da \(k \in \mathbb{Z} \).
Equazione \(\operatorname{sen} x = m\) (esiste sse \(|m| \le 1\)):
\[ x = \operatorname{arcsen} m + 2k\pi \quad \text {o} \quad x = \pi - \operatorname{arcsen} m + 2k\pi . \]
Equazione \(\cos x = m\) (esiste sse \(|m| \le 1\)):
\[ x = \pm \arccos m + 2k\pi . \]
Equazione \(\operatorname{tg} x = m\) (esiste per ogni \(m \in \mathbb{R} \)):
Equazioni con argomento composto \(\operatorname{sen} f(x) = m\): prima si risolve come elementare nell’argomento
\(f(x)\), poi si risolve per \(x\).
Errori comuni da evitare:
dimenticare \(|m| \le 1\) per seno e coseno;
scrivere una sola famiglia di soluzioni invece di due (per seno e coseno);
dividere per una funzione goniometrica che potrebbe essere nulla — fattorizzare
invece;
dimenticare di selezionare le soluzioni nell’intervallo richiesto;
per equazioni con argomento \(nx\), ricordare che ci sono \(n\) volte più soluzioni in \([0, 2\pi )\).
Strategia generale: prima di tutto, riconoscere se l’equazione è già elementare.
Altrimenti: identità fondamentale, duplicazione/bisezione, prostaferesi/Werner,
riduzione \(R\operatorname{sen} (x+\varphi )\). Si riconduce alle elementari, poi si applicano le formule risolutive
sopra.
Nel prossimo capitolo (103) affrontiamo le equazioni goniometriche non elementari: lineari
(\(a\operatorname{sen} x + b\cos x = c\)) e omogenee.
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