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Capitolo 96
Identità goniometrica fondamentale

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Una sola relazione, \(\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1\), collega per sempre seno e coseno. Da essa discende l’intero edificio delle identità trigonometriche: conoscere una funzione goniometrica, e il quadrante in cui giace l’angolo, basta a determinare tutte le altre.”

— Adattato da Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801) — Gauss esprimeva con questa formula il legame “pitagorico” tra le coordinate di un punto sul cerchio unitario

____________________________________________________________________________________

96.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (95) abbiamo definito seno e coseno come coordinate del punto \(P_\alpha \) sulla circonferenza goniometrica, e abbiamo già visto, di passaggio, l’identità \(\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1\). In questo capitolo le diamo la centralità che merita: è la relazione fondamentale della goniometria, e da essa discendono praticamente tutte le altre identità.

A che cosa serve?

Imparare a manovrare l’identità fondamentale — e i suoi corollari — è il primo passo verso la fluidità in trigonometria.

96.2 La relazione fondamentale \(\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1\)

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Definizione 96.1 — Identità goniometrica fondamentale

Per ogni angolo \(\alpha \in \mathbb{R} \) vale

\[ \operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1. \]

(Si scrive anche \(\operatorname{sen} ^2(\alpha ) + \cos ^2(\alpha ) = 1\); la potenza \(^2\) qui significa \((\operatorname{sen} \alpha )^2\), non \(\operatorname{sen} (\operatorname{sen} \alpha )\).)

Dimostrazione (per via geometrica analitica). Il punto \(P_\alpha = (\cos \alpha , \, \operatorname{sen} \alpha )\) appartiene per definizione alla circonferenza goniometrica \(x^2 + y^2 = 1\). Sostituendo \(x = \cos \alpha \) e \(y = \operatorname{sen} \alpha \) si ottiene direttamente la tesi.

Dimostrazione (col teorema di Pitagora). Sia \(\alpha \) un angolo del I quadrante. Il triangolo rettangolo \(OHP_\alpha \), dove \(H = (\cos \alpha , 0)\) è il piede della perpendicolare da \(P_\alpha \) all’asse \(x\), ha cateti di lunghezza \(|\cos \alpha |\) e \(|\operatorname{sen} \alpha |\) e ipotenusa di lunghezza \(1\) (raggio del cerchio). Per il teorema di Pitagora:

\[ |\cos \alpha |^2 + |\operatorname{sen} \alpha |^2 = 1^2 \iff \cos ^2\alpha + \operatorname{sen} ^2\alpha = 1. \]

Negli altri quadranti la stessa dimostrazione vale ripetendo il ragionamento con i moduli; il risultato è lo stesso perché compaiono solo quadrati. Vedi fig. 96.1.

[Picture]

Figura 96.1: Dimostrazione pitagorica dell’identità fondamentale: nel triangolo rettangolo \(OHP_\alpha \) i cateti misurano \(|\cos \alpha |\) e \(|\operatorname{sen} \alpha |\), l’ipotenusa misura \(1\) (il raggio). Pitagora dà \(\cos ^2\alpha + \operatorname{sen} ^2\alpha = 1\).

Attenzione!

La scrittura \(\operatorname{sen} ^2\alpha \) è una convenzione comoda ma ambigua a chi inizia: significa \((\operatorname{sen} \alpha )^2\), mai \(\operatorname{sen} (\operatorname{sen} \alpha )\) né \(\operatorname{sen} (\alpha ^2)\). Per gli esponenti negativi, però, la convenzione non si usa: \(\operatorname{sen} ^{-1}\alpha \) indica la funzione inversa \(\operatorname{arcsen} \alpha \), non \(1/\operatorname{sen} \alpha \) (che si scrive \(\operatorname {cosec}\alpha \) o \(1/\operatorname{sen} \alpha \)).

96.3 Seno in funzione del coseno (e viceversa)

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Dall’identità fondamentale si ricavano subito le relazioni inverse, che permettono di esprimere il seno conoscendo il coseno (o viceversa). La cosa importante — e dove gli studenti sbagliano più spesso — è la scelta del segno, che dipende dal quadrante.

Risolvendo l’identità rispetto al seno:

\[ \operatorname{sen} ^2\alpha = 1 - \cos ^2\alpha \iff \operatorname{sen} \alpha = \pm \sqrt {1 - \cos ^2\alpha }. \]

Analogamente, risolvendo rispetto al coseno:

\[ \cos ^2\alpha = 1 - \operatorname{sen} ^2\alpha \iff \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - \operatorname{sen} ^2\alpha }. \]

Relazioni inverse (con scelta del segno secondo il quadrante):

\[ \operatorname{sen} \alpha = \pm \sqrt {1 - \cos ^2\alpha }, \qquad \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - \operatorname{sen} ^2\alpha }. \]

Regole per il segno

Quadrante \(\operatorname{sen} \alpha \) \(\cos \alpha \)
I \(+\) \(+\)
II \(+\) \(-\)
III \(-\) \(-\)
IV \(-\) \(+\)

Procedura  — Da \(\cos \alpha \) a \(\operatorname{sen} \alpha \) (o viceversa)

1.
Calcolare \(\sqrt {1 - \cos ^2\alpha }\) (o \(\sqrt {1 - \operatorname{sen} ^2\alpha }\)).
2.
Determinare il quadrante di \(\alpha \) dalla traccia.
3.
Scegliere il segno coerente col quadrante.

Esempio 96.1 — Calcolo con il segno corretto

Sapendo che \(\cos \alpha = -3/5\) e che \(\alpha \in (\pi /2, \pi )\) (II quadrante), determinare \(\operatorname{sen} \alpha \).

Algebra. \(\operatorname{sen} ^2\alpha = 1 - 9/25 = 16/25\), dunque \(\operatorname{sen} \alpha = \pm 4/5\).

Scelta del segno. Nel II quadrante il seno è positivo, dunque \(\operatorname{sen} \alpha = +4/5\).

Esempio 96.2 — Quadrante non specificato

Sapendo solo che \(\operatorname{sen} \alpha = -0.6\), determinare \(\cos \alpha \).

Algebra. \(\cos ^2\alpha = 1 - 0.36 = 0.64\), dunque \(\cos \alpha = \pm 0.8\).

Senza informazioni sul quadrante il segno del coseno resta indeterminato: \(\alpha \) potrebbe essere nel III quadrante (con \(\cos \alpha = -0.8\)) o nel IV quadrante (con \(\cos \alpha = +0.8\)).

Lezione: l’informazione sul quadrante è essenziale; senza, ci sono sempre due possibili soluzioni.

96.4 Tangente in funzione di seno e coseno

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Dalla definizione \(\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{sen} \alpha / \cos \alpha \) e dall’identità fondamentale si ricavano le espressioni della tangente in funzione di una sola fra le altre due funzioni.

Tangente da coseno

Combinando \(\operatorname{sen} \alpha = \pm \sqrt {1 - \cos ^2\alpha }\) con \(\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{sen} \alpha /\cos \alpha \):

\[ \operatorname{tg} \alpha = \pm \frac {\sqrt {1 - \cos ^2\alpha }}{\cos \alpha }. \]

Il segno è positivo nel I e III quadrante, negativo nel II e IV.

Tangente da seno

Analogamente, da \(\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - \operatorname{sen} ^2\alpha }\):

\[ \operatorname{tg} \alpha = \pm \frac {\operatorname{sen} \alpha }{\sqrt {1 - \operatorname{sen} ^2\alpha }}. \]

Il segno è positivo nel I e III quadrante, negativo nel II e IV (cioè il segno della tangente).

Seno e coseno da tangente

Talvolta serve l’operazione inversa: dato \(\operatorname{tg} \alpha \), ricavare \(\operatorname{sen} \alpha \) e \(\cos \alpha \). Si parte dall’identità \(\operatorname {sec}^2\alpha = 1 + \operatorname{tg} ^2\alpha \) (dimostrata in cap. 95):

\[ \frac {1}{\cos ^2\alpha } = 1 + \operatorname{tg} ^2\alpha \iff \cos ^2\alpha = \frac {1}{1 + \operatorname{tg} ^2\alpha } \iff \cos \alpha = \pm \frac {1}{\sqrt {1 + \operatorname{tg} ^2\alpha }}. \]

Da cui \(\operatorname{sen} \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \).

Da tangente a seno e coseno:

\[ \cos \alpha = \pm \frac {1}{\sqrt {1 + \operatorname{tg} ^2\alpha }}, \qquad \operatorname{sen} \alpha = \pm \frac {\operatorname{tg} \alpha }{\sqrt {1 + \operatorname{tg} ^2\alpha }}. \]

(Il segno si sceglie in base al quadrante.)

Esempio 96.3 — Da tangente a seno e coseno

Sapendo che \(\operatorname{tg} \alpha = -2\) e che \(\alpha \in (3\pi /2, 2\pi )\) (IV quadrante), determinare \(\operatorname{sen} \alpha \) e \(\cos \alpha \).

Algebra. \(1 + \operatorname{tg} ^2\alpha = 1 + 4 = 5\), dunque

\[ \cos \alpha = \pm \frac {1}{\sqrt {5}}, \qquad \operatorname{sen} \alpha = \pm \frac {-2}{\sqrt {5}} = \mp \frac {2}{\sqrt {5}}. \]

Nel IV quadrante il coseno è positivo, dunque

\[ \cos \alpha = +\frac {1}{\sqrt {5}} = \frac {\sqrt {5}}{5}, \qquad \operatorname{sen} \alpha = -\frac {2}{\sqrt {5}} = -\frac {2\sqrt {5}}{5}. \]

Verifica: \(\operatorname{sen} \alpha /\cos \alpha = -2\) \(\checkmark\); \(\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 4/5 + 1/5 = 1\) \(\checkmark\).

96.5 Identità derivate e tecniche di dimostrazione

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Definizione 96.2 — Identità goniometrica

Un’identità goniometrica è un’uguaglianza che coinvolge funzioni goniometriche e che è vera per tutti i valori dell’angolo per cui i due membri sono definiti.

Identità vs equazione. Un’equazione goniometrica è invece vera solo per certi valori particolari dell’angolo (che vanno trovati). Per esempio:

Identità derivate fondamentali

Identità ricorrenti, derivate dalla fondamentale:

\[ 1 - \cos ^2\alpha = \operatorname{sen} ^2\alpha , \qquad 1 - \operatorname{sen} ^2\alpha = \cos ^2\alpha , \]
\[ \operatorname{tg} ^2\alpha + 1 = \frac {1}{\cos ^2\alpha } = \operatorname {sec}^2\alpha , \qquad \operatorname{cotg} ^2\alpha + 1 = \frac {1}{\operatorname{sen} ^2\alpha } = \operatorname {cosec}^2\alpha . \]

Tecniche per dimostrare un’identità

Procedura  — Verifica di un’identità goniometrica

1.
Lavorare separatamente sul primo e sul secondo membro: non passare quantità da una parte all’altra (potrebbe sembrare un’equazione).
2.
Trasformare il membro più “complicato” (più termini, frazioni, potenze) per ricondurlo all’altro.
3.
Strumenti standard:
  • sostituire \(\operatorname{sen} ^2\alpha \) con \(1 - \cos ^2\alpha \) o viceversa;
  • esprimere \(\operatorname{tg} , \operatorname{cotg} , \operatorname {sec}, \operatorname {cosec}\) in termini di \(\operatorname{sen} \) e \(\cos \);
  • portare a denominatore comune le frazioni;
  • raccogliere fattori comuni, riconoscere prodotti notevoli (somma per differenza, quadrato di binomio).
4.
Verificare il dominio: l’identità vale dove entrambi i membri sono definiti.

Esempio 96.4 — Identità con prodotto notevole

Dimostrare che \((\operatorname{sen} \alpha + \cos \alpha )^2 = 1 + 2\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha \).

Sviluppo del primo membro. Quadrato di binomio:

\[ (\operatorname{sen} \alpha + \cos \alpha )^2 = \operatorname{sen} ^2\alpha + 2\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha + \cos ^2\alpha . \]

Identità fondamentale: \(\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1\). Sostituendo:

\[ = 1 + 2\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha , \]

che è il secondo membro. \(\checkmark\)

Esempio 96.5 — Riduzione a \(\operatorname{sen} \) e \(\cos \)

Dimostrare che \(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{cotg} \alpha = \dfrac {1}{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }\), per \(\operatorname{sen} \alpha , \cos \alpha \ne 0\).

Primo membro a \(\operatorname{sen} \) e \(\cos \):

\[ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{cotg} \alpha = \frac {\operatorname{sen} \alpha }{\cos \alpha } + \frac {\cos \alpha }{\operatorname{sen} \alpha }. \]

Denominatore comune:

\[ = \frac {\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha }{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha } = \frac {1}{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }, \]

usando l’identità fondamentale. \(\checkmark\)

Esempio 96.6 — Differenza di quadrati

Dimostrare che \(\operatorname{sen} ^4\alpha - \cos ^4\alpha = \operatorname{sen} ^2\alpha - \cos ^2\alpha \).

Primo membro, scomponendo come differenza di quadrati:

\[ \operatorname{sen} ^4\alpha - \cos ^4\alpha = (\operatorname{sen} ^2\alpha - \cos ^2\alpha )(\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha ) = (\operatorname{sen} ^2\alpha - \cos ^2\alpha ) \cdot 1. \]

Conclusione: l’espressione è uguale a \(\operatorname{sen} ^2\alpha - \cos ^2\alpha \), come voluto. \(\checkmark\)

96.6 Esempi svolti

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Esempio 96.7 — Da \(\operatorname{sen} \) a \(\cos \), con scelta del segno

Sapendo che \(\operatorname{sen} \alpha = \sqrt {3}/3\) e che \(\alpha \in (\pi /2, \pi )\), determinare \(\cos \alpha \) e \(\operatorname{tg} \alpha \).

Algebra. \(\cos ^2\alpha = 1 - 1/3 = 2/3\), dunque \(\cos \alpha = \pm \sqrt {2/3} = \pm \sqrt {6}/3\).

Scelta del segno: nel II quadrante il coseno è negativo, dunque \(\cos \alpha = -\sqrt {6}/3\).

Tangente: \(\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{sen} \alpha / \cos \alpha = (\sqrt {3}/3) / (-\sqrt {6}/3) = -\sqrt {3}/\sqrt {6} = -\sqrt {1/2} = -\sqrt {2}/2\).

Esempio 96.8 — Espressione semplificata

Semplificare \(\dfrac {\operatorname{sen} ^2\alpha }{1 - \cos \alpha }\) per \(\cos \alpha \ne 1\).

Algebra. Sostituendo \(\operatorname{sen} ^2\alpha = 1 - \cos ^2\alpha = (1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )\):

\[ \frac {(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )}{1 - \cos \alpha } = 1 + \cos \alpha . \]

Risultato: \(\dfrac {\operatorname{sen} ^2\alpha }{1 - \cos \alpha } = 1 + \cos \alpha \) (per \(\cos \alpha \ne 1\), cioè \(\alpha \ne 2k\pi \)).

Esempio 96.9 — Verifica di un’identità con tangente

Dimostrare che \((1 - \cos ^2\alpha ) \cdot \operatorname {sec}\alpha = \operatorname{sen} \alpha \operatorname{tg} \alpha \), per \(\cos \alpha \ne 0\).

Primo membro: \((1 - \cos ^2\alpha ) \cdot \dfrac {1}{\cos \alpha } = \dfrac {\operatorname{sen} ^2\alpha }{\cos \alpha }\).

Secondo membro: \(\operatorname{sen} \alpha \cdot \dfrac {\operatorname{sen} \alpha }{\cos \alpha } = \dfrac {\operatorname{sen} ^2\alpha }{\cos \alpha }\).

Conclusione: i due membri coincidono. \(\checkmark\)

Esempio 96.10 — Espressione in termini di tangente

Esprimere \(\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha \) in funzione di \(\operatorname{tg} \alpha \).

Algebra. Moltiplichiamo e dividiamo per \(\cos ^2\alpha \):

\[ \operatorname{sen} \alpha \cos \alpha = \frac {\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha \cdot \cos ^2\alpha }{\cos ^2\alpha } = \frac {\operatorname{sen} \alpha /\cos \alpha }{1/\cos ^2\alpha } \cdot \cos ^2\alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos ^2\alpha . \]

E poiché \(\cos ^2\alpha = 1/(1 + \operatorname{tg} ^2\alpha )\):

\[ \operatorname{sen} \alpha \cos \alpha = \frac {\operatorname{tg} \alpha }{1 + \operatorname{tg} ^2\alpha }. \]

(Formula utilissima negli integrali e nelle sostituzioni \(t = \operatorname{tg} (\alpha /2)\).)

Esempio 96.11 — Razionalizzazione di un’espressione goniometrica

Mostrare che \(\dfrac {1}{1 - \operatorname{sen} \alpha } + \dfrac {1}{1 + \operatorname{sen} \alpha } = 2 \operatorname {sec}^2\alpha \).

Algebra. Denominatore comune (prodotto somma per differenza):

\[ \frac {(1 + \operatorname{sen} \alpha ) + (1 - \operatorname{sen} \alpha )}{(1 - \operatorname{sen} \alpha )(1 + \operatorname{sen} \alpha )} = \frac {2}{1 - \operatorname{sen} ^2\alpha } = \frac {2}{\cos ^2\alpha } = 2 \operatorname {sec}^2\alpha . \]

\(\checkmark\)

Esempio 96.12 — Verifica con valori notevoli

Verificare numericamente l’identità \(\operatorname{tg} ^2\alpha + 1 = 1/\cos ^2\alpha \) per \(\alpha = \pi /3\).

Calcolo. \(\operatorname{tg} (\pi /3) = \sqrt {3}\), \(\cos (\pi /3) = 1/2\).

Primo membro: \(\operatorname{tg} ^2(\pi /3) + 1 = 3 + 1 = 4\).

Secondo membro: \(1/\cos ^2(\pi /3) = 1/(1/4) = 4\). \(\checkmark\)

96.7 Esercizi proposti

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Esercizio 96.1

1.
Per ciascuna delle seguenti tracce, determinare le altre due funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente). Attenzione alla scelta del segno!
(a)
\(\operatorname{sen} \alpha = 4/5\), \(\alpha \in (\pi /2, \pi )\);
(b)
\(\cos \alpha = -5/13\), \(\alpha \in (\pi , 3\pi /2)\);
(c)
\(\operatorname{tg} \alpha = -7/24\), \(\alpha \in (3\pi /2, 2\pi )\);
(d)
\(\operatorname{sen} \alpha = -1/3\), \(\alpha \in (\pi , 3\pi /2)\);
(e)
\(\cos \alpha = 0.6\), \(\alpha \in (-\pi /2, 0)\).
2.
Verificare le seguenti identità (cioè dimostrarle):
(a)
\(\operatorname{sen} ^2\alpha (1 + \operatorname{cotg} ^2\alpha ) = 1\);
(b)
\(\cos ^2\alpha (1 + \operatorname{tg} ^2\alpha ) = 1\);
(c)
\((1 - \cos \alpha )(1 + \cos \alpha ) = \operatorname{sen} ^2\alpha \);
(d)
\(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha = 1\) (specificando il dominio);
(e)
\(\operatorname{sen} \alpha \operatorname {cosec}\alpha = 1\) (specificando il dominio).
3.
Verificare le seguenti identità un po’ più ricche:
(a)
\(\operatorname{sen} ^4\alpha + \cos ^4\alpha = 1 - 2 \operatorname{sen} ^2\alpha \cos ^2\alpha \);
(b)
\(\operatorname{sen} ^2\alpha - \operatorname{sen} ^4\alpha = \operatorname{sen} ^2\alpha \cos ^2\alpha \);
(c)
\(\dfrac {\cos \alpha }{1 - \operatorname{sen} \alpha } = \dfrac {1 + \operatorname{sen} \alpha }{\cos \alpha }\) (con \(\operatorname{sen} \alpha \ne 1\), \(\cos \alpha \ne 0\));
(d)
\(\dfrac {1}{1 + \cos \alpha } + \dfrac {1}{1 - \cos \alpha } = 2 \operatorname {cosec}^2\alpha \);
(e)
\(\operatorname{tg} ^2\alpha - \operatorname{sen} ^2\alpha = \operatorname{tg} ^2\alpha \cdot \operatorname{sen} ^2\alpha \).
4.
Semplificare le espressioni:
(a)
\((1 - \operatorname{sen} \alpha )(1 + \operatorname{sen} \alpha )\);
(b)
\(\dfrac {\operatorname{sen} \alpha + \cos \alpha \operatorname{tg} \alpha }{\cos \alpha }\);
(c)
\(\dfrac {1 - \cos ^2\alpha }{\operatorname{sen} \alpha }\) (per \(\operatorname{sen} \alpha \ne 0\));
(d)
\(\cos ^2\alpha - \operatorname{sen} ^2\alpha - 1\);
(e)
\(\dfrac {\operatorname{sen} \alpha }{1 + \cos \alpha } + \dfrac {1 + \cos \alpha }{\operatorname{sen} \alpha }\).
5.
Esprimere in funzione della sola tangente:
(a)
\(\operatorname{sen} ^2\alpha \) (formula utile per le sostituzioni in integrali);
(b)
\(\cos ^2\alpha \);
(c)
\(\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha \) (verificare il risultato dell’esempio: \(\operatorname{tg} \alpha /(1+\operatorname{tg} ^2\alpha )\));
(d)
\(1 + \operatorname{sen} \alpha \cos \alpha \).
6.
Sapendo che \(\operatorname{sen} \alpha + \cos \alpha = 1.2\), calcolare \(\operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \alpha \). (Suggerimento: elevare al quadrato e usare l’identità fondamentale.)
7.
Sapendo che \(\operatorname{sen} \alpha - \cos \alpha = k\), esprimere \(\operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \alpha \) in funzione di \(k\).
8.
Sapendo che \(\operatorname{sen} \alpha + \cos \alpha = a\) e \(\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha = b\), mostrare che \(a^2 - 2b = 1\). (Lega fra due quantità simmetriche.)
9.
Mostrare che, per ogni \(\alpha \) con \(\cos \alpha \ne 0\), vale \(1 + \operatorname{tg} ^2\alpha \ge 1\), e quindi \(|\cos \alpha | \le 1\).
10.
Sfida. Mostrare che \(\operatorname{sen} ^6\alpha + \cos ^6\alpha = 1 - 3 \operatorname{sen} ^2\alpha \cos ^2\alpha \). (Suggerimento: \(\operatorname{sen} ^6 + \cos ^6 = (\operatorname{sen} ^2 + \cos ^2)(\operatorname{sen} ^4 - \operatorname{sen} ^2\cos ^2 + \cos ^4)\).)
11.
Determinare per quali \(\alpha \in [0, 2\pi )\) l’espressione \(\sqrt {1 - \cos ^2\alpha } - \operatorname{sen} \alpha \) è uguale a \(0\). (Suggerimento: la radice è \(|\operatorname{sen} \alpha |\), dunque l’espressione vale \(0\) quando \(\operatorname{sen} \alpha \ge 0\), cioè \(\alpha \in [0, \pi ]\).)
12.
Una calcolatrice difettosa fornisce \(\cos \alpha = -0.97\) ma cancella ogni informazione sul quadrante. Quali sono i due possibili valori di \(\operatorname{sen} \alpha \)?
13.
Sfida algebrica. Mostrare che, per ogni \(\alpha \) in cui le funzioni sono definite,
\[ \frac {\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{sen} \alpha }{\operatorname{sen} ^3\alpha } = \frac {1}{\cos \alpha (1 + \cos \alpha )}. \]

(Suggerimento: a primo membro raccogliere \(\operatorname{sen} \alpha \) al numeratore.)

96.8 Riepilogo del capitolo

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