Le simmetrie del cerchio sono le simmetrie delle funzioni goniometriche: ogni asse di simmetria, ogni
rotazione di un quarto di giro, ogni inversione attraverso l’origine si traduce in una identità tra seno,
coseno e tangente. Memorizzare cinque tabelle è meno utile che capire le cinque figure da cui
discendono.”
— Felix Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus (1908) — approccio geometrico unificato
alla trigonometria
Nei capitoli precedenti abbiamo definito seno, coseno e tangente per un angolo \(\alpha \) qualsiasi. In
pratica però la calcolatrice (e la nostra memoria) sa fornire solo i valori notevoli per gli angoli del I
quadrante: \(0, \pi /6, \pi /4, \pi /3, \pi /2\). Come si fa quando l’angolo cade negli altri quadranti, oppure è negativo, oppure è più
grande di un giro?
La risposta è negli archi associati: angoli che, partendo da un dato \(\alpha \), si ottengono per simmetria
sul cerchio goniometrico. Per ognuno di essi le funzioni goniometriche valgono le stesse dell’angolo \(\alpha \),
eventualmente cambiate di segno.
Cinque sono i casi fondamentali, corrispondenti alle cinque simmetrie naturali del cerchio:
\(\pi + \alpha \) (angoli che differiscono di \(\pi \)) — simmetria centrale rispetto all’origine;
\(-\alpha \) (angoli opposti) — simmetria rispetto all’asse \(x\);
\(\pi /2 - \alpha \) (angoli complementari) — simmetria rispetto alla bisettrice \(y = x\);
\(\pi /2 + \alpha \) (angoli che differiscono di \(\pi /2\)) — rotazione antioraria di un quarto di giro.
Imparare a usare queste cinque relazioni permette di ridurre il calcolo di una funzione
goniometrica su qualunque angolo al calcolo sull’angolo notevole equivalente nel I quadrante.
Figura 97.1: I cinque archi associati a \(\alpha \): \(\pi - \alpha \) (verde, riflesso rispetto all’asse \(y\)), \(\pi + \alpha \) (arancio, simmetrico
rispetto all’origine), \(-\alpha \) (viola, riflesso rispetto all’asse \(x\)), \(\pi /2 - \alpha \) (celeste, riflesso rispetto alla bisettrice
\(y=x\)). Ogni simmetria si traduce in una identità sulle funzioni goniometriche.
Due angoli \(\alpha \) e \(\beta \) si dicono supplementari se \(\alpha + \beta = \pi \) (cioè \(\beta = \pi - \alpha \)). Sulla circonferenza goniometrica, il punto \(P_{\pi - \alpha }\) è il
simmetrico di \(P_\alpha \) rispetto all’asse \(y\): ha stessa ordinata e ascissa opposta. Dunque:
Visualizzare: se \(\alpha \) è nel I quadrante, \(\pi - \alpha \) è nel II; il seno (ordinata) si conserva, il coseno (ascissa)
cambia segno. Esempio: \(\operatorname{sen} (2\pi /3) = \operatorname{sen} (\pi - \pi /3) = \operatorname{sen} (\pi /3) = \sqrt {3}/2\).
Dimostrazione formale. Ruotando di \(\pi \) il punto \((1, 0)\) si arriva in \((-1, 0)\). Ruotando indietro di \(\alpha \) (cioè di \(-\alpha \)
partendo dal nuovo orientamento) si arriva nel punto simmetrico di \(P_\alpha \) rispetto all’asse \(y\): \((-\cos \alpha , \operatorname{sen} \alpha )\). Quindi \(\cos (\pi - \alpha ) = -\cos \alpha \) e \(\operatorname{sen} (\pi - \alpha ) = \operatorname{sen} \alpha \).
Per la tangente: \(\operatorname{tg} (\pi -\alpha ) = \operatorname{sen} (\pi -\alpha )/\cos (\pi -\alpha ) = \operatorname{sen} \alpha /(-\cos \alpha ) = -\operatorname{tg} \alpha \).
97.3 Angoli che differiscono di \(\pi \): \(\pi + \alpha \)
Il punto \(P_{\pi + \alpha }\) è il simmetrico di \(P_\alpha \) rispetto all’origine: ha ascissa e ordinata opposte. Geometricamente
\(P_{\pi + \alpha } = -P_\alpha \). Dunque:
Angoli che differiscono di \(\pi \) (cioè \(\beta = \pi + \alpha \)):
Osservazione importante. La tangente non cambia: questo è un altro modo di vedere il fatto che
la tangente ha periodo \(\pi \) (cap. 95), invece di \(2\pi \). \(\operatorname{sen} \) e \(\cos \) cambiano entrambi segno, ma il loro rapporto resta
invariato.
Il punto \(P_{-\alpha }\) è il simmetrico di \(P_\alpha \) rispetto all’asse \(x\): stessa ascissa, ordinata opposta. È la situazione
che fa di seno una funzione dispari e di coseno una funzione pari.
Due angoli \(\alpha \) e \(\beta \) si dicono complementari se \(\alpha + \beta = \pi /2\) (cioè \(\beta = \pi /2 - \alpha \)). Sulla circonferenza, \(P_{\pi /2 - \alpha }\) è il simmetrico di \(P_\alpha \)
rispetto alla bisettrice del I quadrante (\(y = x\)). La simmetria rispetto a quella retta scambia le coordinate
\((x, y) \to (y, x)\):
Etimologia. È da questa relazione che “co-seno” (latino cosinus, da complementi sinus, “seno del
complemento”) prende il nome: \(\cos \alpha = \operatorname{sen} (\pi /2 - \alpha )\). Analogamente cotangente e cosecante sono tangente e secante
dell’angolo complementare.
Figura 97.2: Angoli complementari: \(P_{\pi /2 - \alpha }\) è il riflesso di \(P_\alpha \) rispetto alla bisettrice \(y = x\). Le coordinate si
scambiano: ascissa e ordinata di un punto sono ordinata e ascissa dell’altro. Da qui \(\operatorname{sen} (\pi /2 - \alpha ) = \cos \alpha \) e \(\cos (\pi /2 - \alpha ) = \operatorname{sen} \alpha \).
97.6 Angoli che differiscono di \(\pi /2\): \(\pi /2 + \alpha \)
Il punto \(P_{\pi /2 + \alpha }\) si ottiene da \(P_\alpha \) con una rotazione antioraria di \(\pi /2\). La rotazione di un quarto di giro nel
piano cartesiano manda \((x, y) \to (-y, x)\). Quindi:
Angoli che differiscono di \(\pi /2\) (\(\beta = \pi /2 + \alpha \)):
Osservazione. La differenza rispetto ai complementari è il segno del coseno: \(\cos (\pi /2 - \alpha ) = +\operatorname{sen} \alpha \), mentre \(\cos (\pi /2 + \alpha ) = -\operatorname{sen} \alpha \). Bisogna
prestare attenzione a distinguere \(\pi /2 - \alpha \) (sottrazione) da \(\pi /2 + \alpha \) (addizione).
Tabella riassuntiva
Arco associato
\(\operatorname{sen} \)
\(\cos \)
\(\operatorname{tg} \)
\(\pi - \alpha \) (supplementare)
\(+\operatorname{sen} \alpha \)
\(-\cos \alpha \)
\(-\operatorname{tg} \alpha \)
\(\pi + \alpha \)
\(-\operatorname{sen} \alpha \)
\(-\cos \alpha \)
\(+\operatorname{tg} \alpha \)
\(-\alpha \) (opposto)
\(-\operatorname{sen} \alpha \)
\(+\cos \alpha \)
\(-\operatorname{tg} \alpha \)
\(\pi /2 - \alpha \) (complementare)
\(+\cos \alpha \)
\(+\operatorname{sen} \alpha \)
\(+\operatorname{cotg} \alpha \)
\(\pi /2 + \alpha \)
\(+\cos \alpha \)
\(-\operatorname{sen} \alpha \)
\(-\operatorname{cotg} \alpha \)
Strategia operativa: ridurre al I quadrante
Procedura — Ridurre il calcolo al I quadrante
Per calcolare \(\operatorname{sen} \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\operatorname{tg} \alpha \) di un angolo \(\alpha \) qualsiasi:
1.
Periodicità: portare \(\alpha \) nell’intervallo \([0, 2\pi )\) sommando o sottraendo multipli di \(2\pi \).
2.
Quadrante: identificare in quale quadrante cade \(\alpha \).
3.
Riduzione: scrivere \(\alpha \) come \(\pi - \alpha '\), \(\pi + \alpha '\), \(2\pi - \alpha '\) (\(= -\alpha '\)), con \(\alpha '\) nel I quadrante.
4.
Applicare l’identità degli archi associati per ottenere il valore in funzione di \(\operatorname{sen} \alpha '\), \(\cos \alpha '\), \(\operatorname{tg} \alpha '\).
5.
Calcolare il valore numerico se \(\alpha '\) è un angolo notevole.
Esempio 97.1 — Riduzione di un angolo del II
quadrante
Calcolare \(\operatorname{sen} (5\pi /6)\) e \(\cos (5\pi /6)\).
Quadrante: \(5\pi /6 = \pi - \pi /6\), è nel II quadrante.
Determinare l’angolo \(\alpha \in [0, 2\pi )\) tale che \(\operatorname{sen} \alpha = \operatorname{sen} (\pi /7)\) ma \(\alpha \ne \pi /7\). (Suggerimento: usare la formula degli angoli
supplementari.)
8.
Determinare tutti gli angoli \(\alpha \in [0, 2\pi )\) tali che \(\cos \alpha = \cos (2\pi /9)\). (Suggerimento: oltre allo stesso \(2\pi /9\), c’è il suo opposto
modulo \(2\pi \).)
9.
Calcolare la somma \(\operatorname{sen} (\pi /6) + \operatorname{sen} (2\pi /6) + \operatorname{sen} (3\pi /6) + \operatorname{sen} (4\pi /6) + \operatorname{sen} (5\pi /6)\). (Suggerimento: notare le coppie supplementari.)
vale \(-1\) per ogni \(\alpha \). (Suggerimento: ridurre e usare \(\operatorname{sen} ^2 + \cos ^2 = 1\).)
11.
Mostrare che la somma \(\operatorname{sen} \alpha + \operatorname{sen} (\pi /2 + \alpha ) + \operatorname{sen} (\pi + \alpha ) + \operatorname{sen} (3\pi /2 + \alpha )\) è identicamente nulla per ogni \(\alpha \). Lo stesso vale per la
corrispondente somma di coseni.
12.
Disegnare sul cerchio goniometrico, per \(\alpha = \pi /5\), i cinque punti \(P_\alpha \), \(P_{\pi - \alpha }\), \(P_{\pi + \alpha }\), \(P_{-\alpha }\), \(P_{\pi /2 - \alpha }\). Verificare graficamente le
simmetrie.
13.
Si consideri la funzione \(f(\alpha ) = \operatorname{sen} \alpha + \operatorname{sen} (\pi - \alpha )\). Mostrare che \(f(\alpha ) = 2\operatorname{sen} \alpha \), e dedurre che \(f\) assume valori in \([-2, 2]\) (e non in \([-1, 1]\) come ci
si potrebbe aspettare per il solo seno).
14.
Una calcolatrice scientifica fornisce \(\operatorname{sen} (1.234)\approx 0.9436\) (in radianti). Senza usare la calcolatrice, dedurne i
valori approssimati di \(\operatorname{sen} (\pi - 1.234)\), \(\operatorname{sen} (\pi + 1.234)\), \(\cos (\pi /2 - 1.234)\), \(\cos (\pi /2 + 1.234)\).
Da queste si deducono le relazioni per \(\operatorname{tg} \), \(\operatorname{cotg} \) ecc. dividendo seno per coseno: la tangente è
dispari (\(\operatorname{tg} (-\alpha ) = -\operatorname{tg} \alpha \)) e ha periodo \(\pi \) (\(\operatorname{tg} (\pi + \alpha ) = \operatorname{tg} \alpha \)).
Procedura operativa di calcolo: \((1)\) portare l’angolo in \([0, 2\pi )\) con la periodicità; \((2)\) identificare il
quadrante; \((3)\) ricondurre a un angolo \(\alpha '\) del I quadrante; \((4)\) applicare la formula corrispondente; \((5)\)
calcolare \(\operatorname{sen} \alpha '\), \(\cos \alpha '\), \(\operatorname{tg} \alpha '\) sul valore notevole.
Nel prossimo capitolo (98) studiamo i grafici delle funzioni goniometriche e le loro
trasformazioni (ampiezza, periodo, fase).
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli2204x.svg)
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli2213x.svg)