98 Grafici delle funzioni goniometriche e trasformazioni

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Capitolo 98
Grafici delle funzioni goniometriche e trasformazioni

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Tracciare il grafico di una funzione goniometrica significa srotolare la circonferenza unitaria lungo l’asse delle ascisse. Le oscillazioni che vediamo — onde sonore, vibrazioni meccaniche, correnti alternate — non sono altro che la versione lineare della rotazione circolare.”

— Jean-Baptiste Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822) — la prima opera che mostra come ogni fenomeno periodico si scomponga in armonici di seno e coseno

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98.1 Introduzione motivazionale

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Finora abbiamo trattato seno, coseno, tangente come numeri associati a un angolo. In questo capitolo li guardiamo come funzioni \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e ne tracciamo il grafico nel piano cartesiano.

Ricaviamo i grafici direttamente dalla circonferenza goniometrica:

all’angolo \(\alpha = 0\) il punto \(P_0 = (1, 0)\) ha ordinata \(0\) e ascissa \(1\): dunque il grafico di \(\operatorname{sen} \alpha \) parte da \(0\) e il grafico di \(\cos \alpha \) parte da \(1\);
al crescere di \(\alpha \), \(P_\alpha \) percorre il cerchio in senso antiorario; l’ordinata (seno) sale da \(0\) a \(1\), scende a \(0\), poi a \(-1\), e torna a \(0\);
l’ascissa (coseno) percorre la stessa traiettoria ma sfasata di un quarto di periodo.

Le funzioni così generate sono periodiche di periodo \(2\pi \) (o \(\pi \) per la tangente): cioè \(f(x + T) = f(x)\) per ogni \(x\), dove \(T\) è il periodo.

Le applicazioni delle funzioni goniometriche sono ovunque: oscillazioni meccaniche (un pendolo, una molla), onde elettromagnetiche (luce, radio), correnti alternate, acustica, segnali digitali (FFT). La capacità di leggere e modificare il loro grafico — traslandolo, comprimendolo, dilatandolo — è un prerequisito per fisica, ingegneria e analisi.

98.2 Grafico di \(y = \operatorname{sen} x\)

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La funzione \(y = \operatorname{sen} x\) ha dominio \(\mathbb{R} \) e codominio \([-1, 1]\). È periodica di periodo \(2\pi \) e dispari. Il suo grafico è la sinusoide di base: una curva ondulata che oscilla fra \(-1\) e \(1\), con zeri nei multipli di \(\pi \).

Caratteristiche di \(y = \operatorname{sen} x\):

dominio: \(\mathbb{R} \); codominio: \([-1, 1]\);
periodicità: \(\operatorname{sen} (x + 2\pi ) = \operatorname{sen} x\) (periodo \(T = 2\pi \));
parità: \(\operatorname{sen} (-x) = -\operatorname{sen} x\) (dispari, simmetria rispetto all’origine);
zeri: \(x = k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z} \);
massimi \(y = 1\) in \(x = \pi /2 + 2k\pi \);
minimi \(y = -1\) in \(x = 3\pi /2 + 2k\pi \);
crescente in \([-\pi /2 + 2k\pi , \, \pi /2 + 2k\pi ]\), decrescente altrove.

[Picture] — Figura 98.1: Grafico della funzione \(y = \operatorname{sen} x\) su due periodi. La curva è simmetrica rispetto all’origine (funzione dispari) e oscilla fra \(-1\) e \(1\) con periodo \(2\pi \).

Costruzione punto per punto. Si ricava il grafico calcolando \(\operatorname{sen} x\) sui valori notevoli e poi unendo i punti con curva regolare:


\(x\)	\(0\)	\(\pi /6\)	\(\pi /4\)	\(\pi /3\)	\(\pi /2\)	\(2\pi /3\)	\(\pi \)	\(3\pi /2\)

\(\operatorname{sen} x\)	\(0\)	\(0{,}5\)	\(\approx 0{,}71\)	\(\approx 0{,}87\)	\(1\)	\(\approx 0{,}87\)	\(0\)	\(-1\)

98.3 Grafico di \(y = \cos x\)

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La funzione \(y = \cos x\) ha le stesse caratteristiche di \(\operatorname{sen} x\) (dominio \(\mathbb{R} \), codominio \([-1,1]\), periodo \(2\pi \)), ma è pari (\(\cos (-x) = \cos x\), simmetria rispetto all’asse \(y\)) e parte dal massimo \(y=1\) in \(x=0\). Il suo grafico è una sinusoide traslata di \(\pi /2\) a sinistra rispetto a \(\operatorname{sen} x\):

\[ \cos x = \operatorname{sen} \!\left (x + \frac {\pi }{2}\right ). \]

Caratteristiche di \(y = \cos x\):

dominio: \(\mathbb{R} \); codominio: \([-1, 1]\);
periodicità: \(\cos (x + 2\pi ) = \cos x\);
parità: \(\cos (-x) = \cos x\) (pari, simmetria rispetto all’asse \(y\));
zeri: \(x = \pi /2 + k\pi \);
massimi \(y = 1\) in \(x = 2k\pi \);
minimi \(y = -1\) in \(x = \pi + 2k\pi \);
decrescente in \([2k\pi , \, \pi + 2k\pi ]\), crescente altrove.

98.4 Grafico di \(y = \operatorname{tg} x\)

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La funzione \(y = \operatorname{tg} x = \operatorname{sen} x / \cos x\) ha un grafico molto diverso da quelli di seno e coseno: non limitato e con infiniti asintoti verticali.

Caratteristiche di \(y = \operatorname{tg} x\):

dominio: \(\{x \in \mathbb{R} : x \ne \pi /2 + k\pi , k \in \mathbb{Z} \}\); codominio: \(\mathbb{R} \);
periodicità: \(\operatorname{tg} (x + \pi ) = \operatorname{tg} x\) (periodo \(T = \pi \));
parità: \(\operatorname{tg} (-x) = -\operatorname{tg} x\) (dispari);
zeri: \(x = k\pi \);
asintoti verticali: \(x = \pi /2 + k\pi \);
monotona crescente su ciascun intervallo \((-\pi /2 + k\pi , \, \pi /2 + k\pi )\);
nessun massimo o minimo assoluto: la funzione diverge a \(\pm \infty \) vicino agli asintoti.

Confronto coi grafici di seno e coseno. Mentre \(\operatorname{sen} \) e \(\cos \) sono limitate fra \(-1\) e \(1\) e continue ovunque, \(\operatorname{tg} \) diverge agli asintoti e ha periodo dimezzato (\(\pi \) invece di \(2\pi \)).

98.5 Trasformazioni: ampiezza, periodo, fase, traslazione verticale

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A partire da \(y = \operatorname{sen} x\) (o \(\cos x\)) si costruisce una famiglia generale di sinusoidi:

\[ y = A \operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) + k. \]

Ciascuno dei quattro parametri \(A, \omega , \varphi , k\) ha un significato geometrico preciso.

Parametro \(A\) — ampiezza

Moltiplicare il seno per \(A\) dilata verticalmente il grafico di un fattore \(|A|\):

se \(|A| > 1\), la curva si allunga verticalmente (oscilla fra \(-|A|\) e \(+|A|\));
se \(0 < |A| < 1\), la curva si schiaccia verso l’asse \(x\);
se \(A < 0\), c’è in più una riflessione rispetto all’asse \(x\).

\(|A|\)si chiama ampiezza della sinusoide e rappresenta la massima distanza della curva dall’asse \(x\) (o dalla linea di base, se c’è una traslazione verticale).

Parametro \(\omega \) — pulsazione (frequenza angolare)

Sostituire \(x\) con \(\omega x\) comprime orizzontalmente il grafico di un fattore \(1/|\omega |\):

\(\omega > 1\) comprime (più oscillazioni nello stesso intervallo);
\(0 < \omega < 1\) dilata (oscillazioni più lente);
\(\omega < 0\) riflette rispetto all’asse \(y\) (ma per il seno è equivalente a un cambio di segno dell’ampiezza).

Il periodo risultante è

\[ T = \frac {2\pi }{|\omega |}. \]

Cioè la curva \(y = A \operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) + k\) si ripete identica quando \(x\) aumenta di \(T\).

Frequenza. La frequenza è il reciproco del periodo, \(f = 1/T = |\omega |/(2\pi )\), e indica quante oscillazioni complete si compiono in un’unità di \(x\). In fisica \(\omega \) si chiama pulsazione o frequenza angolare e \(f\) è la frequenza in Hertz quando \(x\) è il tempo.

Parametro \(\varphi \) — fase

Aggiungere \(\varphi \) all’argomento trasla orizzontalmente il grafico. Più precisamente:

\[ y = A \operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) = A \operatorname{sen} \!\left (\omega \left (x + \frac {\varphi }{\omega }\right )\right ), \]

cioè il grafico è quello di \(A\operatorname{sen} (\omega x)\) traslato a sinistra di \(\varphi /\omega \) se \(\varphi > 0\), a destra se \(\varphi < 0\). La quantità \(\varphi /\omega \) si chiama sfasamento; \(\varphi \) in radianti si chiama fase.

Parametro \(k\) — traslazione verticale

Sommare \(k\) trasla l’intero grafico verso l’alto di \(k\) (verso il basso se \(k<0\)). La curva oscilla allora attorno alla retta \(y = k\) invece che attorno all’asse \(x\).

Sintesi

Trasformazioni standard di \(y = A \operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) + k\) (con \(A, \omega > 0\)):

ampiezza \(|A|\): oscilla fra \(k - |A|\) e \(k + |A|\);
periodo \(T = 2\pi /\omega \);
frequenza \(f = 1/T = \omega /(2\pi )\);
sfasamento: \(-\varphi /\omega \) (a sinistra se \(\varphi > 0\));
linea di base (centro delle oscillazioni): \(y = k\).

98.6 Funzioni del tipo \(y = A\operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) + k\)

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Riuniamo i quattro parametri in un esempio paradigmatico.

Esempio 98.1 — Analisi di una sinusoide composta

Studiare la funzione \(y = 3 \operatorname{sen} \!\left (2x - \dfrac {\pi }{3}\right ) + 1\) e determinarne ampiezza, periodo, sfasamento, linea di base, massimo, minimo.

Identificazione dei parametri. \(A = 3\), \(\omega = 2\), \(\varphi = -\pi /3\), \(k = 1\).

Ampiezza: \(|A| = 3\). La curva oscilla in un intervallo di altezza \(6\).

Linea di base: \(y = k = 1\). Le oscillazioni avvengono attorno a \(y = 1\).

Massimo: \(y_{\max } = k + |A| = 1 + 3 = 4\).

Minimo: \(y_{\min } = k - |A| = 1 - 3 = -2\).

Periodo: \(T = 2\pi /\omega = 2\pi /2 = \pi \).

Sfasamento: \(-\varphi /\omega = -(-\pi /3)/2 = \pi /6\). La curva è quella di \(3\operatorname{sen} (2x) + 1\) traslata a destra di \(\pi /6\).

Procedura sintetica

Procedura — Tracciare il grafico di \(y = A\operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) + k\)

1.: Calcolare ampiezza \(|A|\), periodo \(T = 2\pi /\omega \), sfasamento \(-\varphi /\omega \), linea di base \(y = k\).
2.: Tracciare la linea di base \(y = k\) orizzontale.
3.: Identificare il punto di partenza di un ciclo: \(x_0 = -\varphi /\omega \), \(y = k\) (la curva attraversa la linea di base in salita lì, se \(A>0\)).
4.: Disegnare un periodo completo da \(x_0\) a \(x_0 + T\): la curva sale fino a \(y = k + |A|\) in \(x_0 + T/4\), ritorna a \(k\) in \(x_0 + T/2\), scende a \(k - |A|\) in \(x_0 + 3T/4\), risale a \(k\) in \(x_0 + T\).
5.: Replicare per periodicità a destra e a sinistra.

98.7 Esempi svolti

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Esempio 98.2 — Riconoscere i parametri da un grafico

Una curva è una sinusoide con ampiezza \(2\), periodo \(4\pi \), oscilla attorno a \(y = 3\) e ha massimo in \(x = \pi /2\). Trovarne l’equazione.

Parametri. \(|A| = 2\), \(T = 4\pi \) implica \(\omega = 2\pi /T = 1/2\), \(k = 3\).

Fase dal massimo. Per \(y = A\operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) + k\) con \(A > 0\), il massimo si ha quando \(\omega x + \varphi = \pi /2 + 2k\pi \). In \(x = \pi /2\): \((1/2)(\pi /2) + \varphi = \pi /2 \Rightarrow \varphi = \pi /2 - \pi /4 = \pi /4\).

Equazione: \(y = 2 \operatorname{sen} \!\left (\dfrac {x}{2} + \dfrac {\pi }{4}\right ) + 3\).

Esempio 98.3 — Da seno a coseno e viceversa

Riscrivere \(y = \operatorname{sen} x\) usando il coseno.

Algebra. Dalla relazione \(\cos \!\left (\dfrac {\pi }{2} - x\right ) = \operatorname{sen} x\) (archi associati, cap. 97):

\[ \operatorname{sen} x = \cos \!\left (\frac {\pi }{2} - x\right ) = \cos \!\left (x - \frac {\pi }{2}\right ), \]

sfruttando la parità del coseno. Dunque \(y = \operatorname{sen} x\) si scrive anche come \(y = \cos \!\left (x - \dfrac {\pi }{2}\right )\): stesso grafico, espressione diversa.

Esempio 98.4 — Onde sonore: ampiezza e frequenza

Una nota musicale “La” (440 Hz) ha forma d’onda

\[ y(t) = A \operatorname{sen} (2\pi \cdot 440 \cdot t), \]

dove \(t\) è il tempo in secondi e \(A\) è l’intensità (ampiezza) del segnale.

Periodo: \(T = 1/440 \approx 2.27\,{\mathrm{m} \mathrm{s} }\) (intervallo fra due picchi).

Pulsazione: \(\omega = 2\pi \cdot 440 \approx 2765\) rad/s.

Frequenza: \(f = 440\) Hz (numero di oscillazioni al secondo).

Esempio 98.5 — Sinusoide con coefficiente negativo

Studiare \(y = -2 \cos \!\left (\pi x + \dfrac {\pi }{2}\right )\).

Riscrittura. Usando \(-\cos \beta = \cos (\beta + \pi )\): \(y = 2 \cos (\pi x + \pi /2 + \pi ) = 2 \cos (\pi x + 3\pi /2)\). Oppure usando \(\cos (\beta + \pi /2) = -\operatorname{sen} \beta \): \(y = -2 \cdot (-\operatorname{sen} (\pi x)) = 2 \operatorname{sen} (\pi x)\). Quindi la funzione è semplicemente \(y = 2 \operatorname{sen} (\pi x)\).

Parametri. \(A = 2\), \(\omega = \pi \), \(\varphi = 0\), \(k = 0\). Periodo \(T = 2\pi /\pi = 2\). Ampiezza \(2\).

Esempio 98.6 — Punti di intersezione

Determinare i punti in cui le curve \(y = \operatorname{sen} x\) e \(y = \cos x\) si intersecano nell’intervallo \([0, 2\pi )\).

Equazione. \(\operatorname{sen} x = \cos x \iff \operatorname{tg} x = 1\) (per \(\cos x \ne 0\)).

Soluzioni: \(x = \pi /4\) e \(x = 5\pi /4\), entrambe valide (in nessuna \(\cos x = 0\)). In \(x = \pi /4\) entrambe valgono \(\sqrt {2}/2\); in \(x = 5\pi /4\) entrambe valgono \(-\sqrt {2}/2\).

Esempio 98.7 — Dominio di una funzione con tangente

Determinare il dominio di \(y = \operatorname{tg} (2x - \pi /4)\).

Condizione. \(\cos (2x - \pi /4) \ne 0\), cioè \(2x - \pi /4 \ne \pi /2 + k\pi \).

Risolvendo: \(2x \ne 3\pi /4 + k\pi \iff x \ne 3\pi /8 + k\pi /2\).

Dominio: \(D = \{x \in \mathbb{R} : x \ne 3\pi /8 + k\pi /2, \, k \in \mathbb{Z} \}\).

98.8 Esercizi proposti

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Esercizio 98.1

1.

Per ciascuna delle seguenti funzioni, determinare ampiezza, periodo, sfasamento, linea di base, massimo, minimo:

(a): \(y = 2 \operatorname{sen} x\);
(b): \(y = \operatorname{sen} (3x)\);
(c): \(y = \cos (x/2)\);
(d): \(y = \operatorname{sen} (x - \pi /4)\);
(e): \(y = -3 \cos (\pi x) + 2\);
(f): \(y = 5 \operatorname{sen} (2x + \pi /6) - 1\);
(g): \(y = (1/2) \cos (3x - \pi /4) + 3\).

2.

Tracciare a mano (o con GeoGebra) i grafici delle funzioni dell’esercizio precedente, indicando chiaramente massimi, minimi, zeri, e la linea di base.

3.

Determinare l’equazione della sinusoide che ha:

(a): ampiezza \(4\), periodo \(2\pi \), sfasamento \(0\), linea di base \(y = 0\);
(b): ampiezza \(1\), periodo \(\pi \), sfasamento \(\pi /4\) a destra, linea di base \(y = -2\);
(c): ampiezza \(3\), periodo \(4\), sfasamento \(1\) a sinistra, linea di base \(y = 5\).

4.

Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

(a): \(y = \operatorname{tg} (3x)\);
(b): \(y = \operatorname{tg} (x + \pi /6)\);
(c): \(y = 1/\operatorname{sen} x\);
(d): \(y = 1/\cos (2x)\);
(e): \(y = \operatorname{tg} (x/2 - \pi /3)\).

5.

Determinare i massimi e minimi assoluti delle seguenti funzioni (cioè \(\max \) e \(\min \) della funzione su \(\mathbb{R} \)):

(a): \(y = 1 + 2 \operatorname{sen} (3x)\);
(b): \(y = -4 \cos (x + \pi /3)\);
(c): \(y = 5 - 3 \operatorname{sen} (x)\);
(d): \(y = 2 + |\operatorname{sen} x|\) (attenzione: il valore assoluto cambia il codominio!).

6.

Risolvere graficamente l’equazione \(\operatorname{sen} x = 1/2\) nell’intervallo \([0, 4\pi ]\), contando il numero di soluzioni.

7.

Risolvere graficamente l’equazione \(\cos x = x/4\) nell’intervallo \([0, 4\pi ]\), individuando approssimativamente le soluzioni (numero e ascissa).

8.

Riscrivere \(y = \cos x\) come \(y = \operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) + k\) scegliendo opportunamente i parametri.

9.

Determinare a quale altezza si trova la marea \(h(t) = 3 \operatorname{sen} \!\left (\dfrac {\pi t}{6}\right ) + 4\) (in metri) per:

(a): \(t = 0\) ore;
(b): \(t = 3\) ore (massimo!);
(c): \(t = 6\) ore;
(d): \(t = 9\) ore (minimo).

Verificare che il periodo è \(12\) ore (compatibile con il fenomeno reale delle maree semidiurne).

10.

Sfida. Mostrare che la funzione \(f(x) = \operatorname{sen} x + \cos x\) è anch’essa una sinusoide e determinarne ampiezza, periodo, fase. (Suggerimento: si può riscrivere come \(\sqrt {2} \operatorname{sen} (x + \pi /4)\).)

11.

Generalizzare l’esercizio precedente: mostrare che \(a \operatorname{sen} x + b \cos x = R \operatorname{sen} (x + \varphi )\) con \(R = \sqrt {a^2 + b^2}\) e \(\operatorname{tg} \varphi = b/a\). (Formula importantissima per le equazioni goniometriche lineari, cap. 103.)

12.

Un’altalena oscilla con angolo \(\theta (t) = 0{,}3 \operatorname{sen} (2t + \pi /6)\) rad (con \(t\) in secondi). Determinare:

(a): l’angolo massimo (in gradi);
(b): il periodo dell’oscillazione;
(c): l’angolo a \(t = 0\);
(d): l’istante in cui l’angolo è massimo per la prima volta dopo \(t = 0\).

13.

Tracciare il grafico di \(y = \operatorname{sen} (1/x)\) per \(x \ne 0\) in un intorno dell’origine. (Sfida visiva: la funzione oscilla infinitamente più volte vicino a \(x = 0\).) Cosa si può dire del limite \(\lim _{x\to 0} \operatorname{sen} (1/x)\)?

14.

Una corrente alternata in un circuito elettrico ha la forma \(I(t) = I_0 \operatorname{sen} (2\pi f t)\) con \(I_0 = 10\,{\mathrm{A} }\) e \(f = 50\,{\mathrm{Hz} }\). Calcolare:

(a): il periodo \(T\) in millisecondi;
(b): la corrente a \(t = 2.5\,{\mathrm{m} \mathrm{s} }\);
(c): gli istanti del primo periodo in cui \(I(t) = 5\) A.

98.9 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Grafico di \(\operatorname{sen} x\): sinusoide standard, dominio \(\mathbb{R} \), codominio \([-1, 1]\), periodo \(2\pi \), dispari, zeri in \(k\pi \), massimo \(1\) in \(\pi /2 + 2k\pi \), minimo \(-1\) in \(3\pi /2 + 2k\pi \).
Grafico di \(\cos x\): identico al precedente, traslato a sinistra di \(\pi /2\). Pari, zeri in \(\pi /2 + k\pi \), massimo \(1\) in \(2k\pi \), minimo \(-1\) in \(\pi + 2k\pi \).
Grafico di \(\operatorname{tg} x\): periodo \(\pi \), dispari, codominio \(\mathbb{R} \), asintoti verticali in \(x = \pi /2 + k\pi \), monotona crescente fra due asintoti consecutivi.
Funzione sinusoidale generale: \(y = A \operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) + k\).
- ampiezza \(|A|\): max distanza dalla linea di base;
- periodo \(T = 2\pi /|\omega |\);
- frequenza \(f = 1/T\) (oscillazioni per unità di \(x\));
- sfasamento \(-\varphi /\omega \) (positivo a sinistra);
- linea di base \(y = k\), attorno cui la curva oscilla.
Massimi e minimi: \(y_{\max } = k + |A|\), \(y_{\min } = k - |A|\).
Per riscrivere \(\cos \) come \(\operatorname{sen} \) (o viceversa): \(\cos x = \operatorname{sen} (x + \pi /2)\).
Per riconoscere una sinusoide nascosta in \(a\operatorname{sen} x + b\cos x\): c’è sempre una scrittura \(R\operatorname{sen} (x + \varphi )\) con \(R = \sqrt {a^2 + b^2}\).
Nel prossimo capitolo (99) introduciamo le formule di addizione e sottrazione, che generalizzano \(\operatorname{sen} (\alpha \pm \beta )\) e \(\cos (\alpha \pm \beta )\).

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Capitolo 98 Grafici delle funzioni goniometriche e trasformazioni

98.1 Introduzione motivazionale

98.2 Grafico di \(y = \operatorname{sen} x\)

98.3 Grafico di \(y = \cos x\)

98.4 Grafico di \(y = \operatorname{tg} x\)

98.5 Trasformazioni: ampiezza, periodo, fase, traslazione verticale

Parametro \(A\) — ampiezza

Parametro \(\omega \) — pulsazione (frequenza angolare)

Parametro \(\varphi \) — fase

Parametro \(k\) — traslazione verticale

Sintesi

98.6 Funzioni del tipo \(y = A\operatorname{sen} (\omega x + \varphi ) + k\)

Procedura sintetica

98.7 Esempi svolti

98.8 Esercizi proposti

98.9 Riepilogo del capitolo

Capitolo 98
Grafici delle funzioni goniometriche e trasformazioni