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“
Le formule di prostaferesi — dal greco pros-thesis (aggiunta) e aph-airesis (sottrazione) — furono inventate
dagli astronomi del XVI secolo come scorciatoia per trasformare prodotti in somme, prima che John Napier
inventasse i logaritmi (1614). Per circa cinquant’anni furono lo strumento principale del calcolo
astronomico.”
— Johannes Werner, De triangulis sphæricis libri quattuor (ca. 1505) — prima formulazione sistematica
delle identità prodotto-somma
____________________________________________________________________________________
101.1 Introduzione motivazionale
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In questo capitolo derivare tre nuove famiglie di identità a partire dalle formule di addizione e
duplicazione viste nei capitoli precedenti (99 e 100):
- formule parametriche: esprimono \(\operatorname{sen} \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\operatorname{tg} \alpha \) in funzione di un singolo parametro \(t = \operatorname{tg} (\alpha /2)\). Sono lo
strumento per convertire qualunque espressione goniometrica in una espressione razionale
di \(t\), indispensabile in analisi (sostituzione di Weierstrass negli integrali);
- formule di prostaferesi: trasformano somme e differenze di seni o coseni in prodotti;
- formule di Werner: trasformano prodotti di seni e coseni in somme.
A che cosa servono? A scomporre le espressioni goniometriche complesse: una somma
fattorizzata si risolve più facilmente (per esempio l’equazione \(\operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} x = 0\) diventa \(2\operatorname{sen} 2x\cos x = 0\), immediata). Storicamente le
formule di prostaferesi precedono i logaritmi e li sostituirono in astronomia per circa mezzo secolo
(XVI secolo): trasformare un prodotto in somma significava ridurre il calcolo numerico a operazioni
più semplici.
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Idea. Posto \(t = \operatorname{tg} (\alpha /2)\), vogliamo esprimere \(\operatorname{sen} \alpha \), \(\cos \alpha \) e \(\operatorname{tg} \alpha \) razionalmente in funzione del solo \(t\).
Derivazione
Dalle formule di duplicazione (cap. 100) applicate a \(\alpha = 2 \cdot (\alpha /2)\):
\[ \operatorname{sen} \alpha = 2 \operatorname{sen} (\alpha /2) \cos (\alpha /2), \qquad \cos \alpha = \cos ^2(\alpha /2) - \operatorname{sen} ^2(\alpha /2). \]
Dividiamo e moltiplichiamo entrambe per \(\cos ^2(\alpha /2)\):
\[ \operatorname{sen} \alpha = \frac {2 \operatorname{sen} (\alpha /2) \cos (\alpha /2)}{\cos ^2(\alpha /2)} \cdot \cos ^2(\alpha /2) = \frac {2 \operatorname{tg} (\alpha /2)}{1} \cdot \cos ^2(\alpha /2). \]
Ricordando che \(1 + \operatorname{tg} ^2(\alpha /2) = 1/\cos ^2(\alpha /2)\), si ha \(\cos ^2(\alpha /2) = 1/(1 + t^2)\). Quindi:
\[ \operatorname{sen} \alpha = \frac {2t}{1 + t^2}. \]
Analogamente per il coseno, dividendo e moltiplicando per \(\cos ^2(\alpha /2)\):
\[ \cos \alpha = \cos ^2(\alpha /2) - \operatorname{sen} ^2(\alpha /2) = (1 - \operatorname{tg} ^2(\alpha /2)) \cos ^2(\alpha /2) = \frac {1 - t^2}{1 + t^2}. \]
Per la tangente, dividendo membro a membro:
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac {\operatorname{sen} \alpha }{\cos \alpha } = \frac {2t/(1+t^2)}{(1-t^2)/(1+t^2)} = \frac {2t}{1 - t^2}. \]
Dominio. Le formule valgono quando \(\operatorname{tg} (\alpha /2)\) è definita, cioè \(\alpha /2 \ne \pi /2 + k\pi \), ovvero \(\alpha \ne \pi + 2k\pi \). La tangente \(\operatorname{tg} \alpha \) aggiunge la
condizione \(1 - t^2 \ne 0\), cioè \(t \ne \pm 1\) (equivalente a \(\alpha \ne \pi /2 + k\pi \), come ci si aspetta).
Osservazione geometrica: parametrizzazione del cerchio
Le prime due formule parametriche, viste insieme, dicono qualcosa di profondo: il punto \(P_\alpha = (\cos \alpha , \operatorname{sen} \alpha )\) della
circonferenza goniometrica si parametrizza razionalmente in funzione di un parametro reale \(t\):
\[ P(t) = \left ( \frac {1 - t^2}{1 + t^2}, \, \frac {2t}{1 + t^2} \right ), \qquad t \in \mathbb{R} . \]
Al variare di \(t \in \mathbb{R} \), il punto \(P(t)\) percorre la circonferenza unitaria tranne il punto \((-1, 0)\) (che si ottiene per \(t \to \pm \infty \)).
Questa è la parametrizzazione razionale del cerchio, di importanza centrale in geometria
algebrica.
Applicazione: sostituzione di Weierstrass
In analisi, quando occorre calcolare un integrale del tipo \(\int R(\operatorname{sen} x, \cos x) \, dx\) con \(R\) una funzione razionale, si pone \(t = \operatorname{tg} (x/2)\):
l’integrale si trasforma in un integrale di funzione razionale di \(t\), calcolabile coi metodi algebrici visti
negli integrali (cap. 147). Questa è la sostituzione di Weierstrass, e dipende essenzialmente dalle
formule parametriche.
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Idea. Vogliamo trasformare \(\operatorname{sen} p \pm \operatorname{sen} q\) (e analoghi col coseno) in un prodotto di seni e coseni. Partiamo
dalle formule di addizione del seno:
\[ \operatorname{sen} (\alpha + \beta ) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta , \]
\[ \operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta - \cos \alpha \operatorname{sen} \beta . \]
Sommando e sottraendo membro a membro:
\[ \operatorname{sen} (\alpha + \beta ) + \operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = 2\operatorname{sen} \alpha \cos \beta , \]
\[ \operatorname{sen} (\alpha + \beta ) - \operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = 2\cos \alpha \operatorname{sen} \beta . \]
Posto \(p = \alpha + \beta \) e \(q = \alpha - \beta \) (cioè \(\alpha = (p + q)/2\) e \(\beta = (p - q)/2\)):
Analogamente, partendo dalle formule di addizione del coseno e sommando/sottraendo:
Attenzione al segno. La quarta formula — coseno meno coseno — ha un segno meno davanti al
prodotto. È l’unica fra le quattro: ricordarsene.
Schema mnemonico
Pattern: \((p+q)/2\) compare sempre nel primo fattore, \((p-q)/2\) nel secondo. Il primo fattore eredita la funzione del
primo termine se è una somma (sen+sen → sen, cos+cos → cos), o quella “opposta” se è una
differenza (sen-sen → cos×sen, cos-cos → sen×sen col meno).
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Idea. Riprendiamo le stesse equazioni di addizione, ma ora le risolviamo rispetto al prodotto, non
alla somma. Da:
\[ \cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha + \beta ) = 2\cos \alpha \cos \beta , \]
si ricava direttamente:
Le tre formule corrispondono alle tre combinazioni del prodotto: \(\cos \cdot \cos \), \(\operatorname{sen} \cdot \operatorname{sen} \), \(\operatorname{sen} \cdot \cos \) (essendo il prodotto
commutativo, \(\cos \alpha \operatorname{sen} \beta \) rientra nell’ultima per simmetria).
Quando usare prostaferesi e quando Werner?
Procedura — Strategia di trasformazione
101.5 Esempi svolti
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Esempio 101.1 — Valore di \(\operatorname{sen} \alpha \) con la formula
parametrica
Sapendo che \(\operatorname{tg} (\alpha /2) = 3\), calcolare \(\operatorname{sen} \alpha \) e \(\cos \alpha \).
Algebra. Posto \(t = 3\):
\[ \operatorname{sen} \alpha = \frac {2 \cdot 3}{1 + 9} = \frac {6}{10} = \frac {3}{5}. \]
\[ \cos \alpha = \frac {1 - 9}{1 + 9} = -\frac {8}{10} = -\frac {4}{5}. \]
Verifica: \(\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 9/25 + 16/25 = 1\). \(\checkmark\)
Esempio 101.2 — Da prodotto a somma con
Werner
Trasformare \(\cos 7x \cos 3x\) in somma di coseni.
Werner: con \(\alpha = 7x\), \(\beta = 3x\):
\[ \cos 7x \cos 3x = \frac {1}{2}\bigl [ \cos (7x - 3x) + \cos (7x + 3x) \bigr ] = \frac {1}{2}\bigl [\cos 4x + \cos 10x\bigr ]. \]
Utilità: trasforma un prodotto difficile da integrare in una somma di coseni con
coefficienti elementari.
Esempio 101.3 — Da somma a prodotto con
prostaferesi
Trasformare \(\operatorname{sen} 80° + \operatorname{sen} 20°\) in prodotto.
Prostaferesi: con \(p = 80°\), \(q = 20°\):
\[ \operatorname{sen} 80° + \operatorname{sen} 20° = 2 \operatorname{sen} \!\left (\frac {80° + 20°}{2}\right ) \cos \!\left (\frac {80° - 20°}{2}\right ) = 2 \operatorname{sen} 50° \cos 30°. \]
Poiché \(\operatorname{sen} 50° = \cos 40°\) e \(\cos 30° = \sqrt {3}/2\):
\[ = 2 \cos 40° \cdot \frac {\sqrt {3}}{2} = \sqrt {3} \cos 40°. \]
Esempio 101.4 — Equazione goniometrica con
prostaferesi
Risolvere \(\operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} x = 0\) in \([0, 2\pi )\).
Prostaferesi: \(\operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} x = 2 \operatorname{sen} \!\left (\dfrac {3x + x}{2}\right ) \cos \!\left (\dfrac {3x - x}{2}\right ) = 2 \operatorname{sen} 2x \cos x\).
Equazione fattorizzata: \(2 \operatorname{sen} 2x \cos x = 0 \iff \operatorname{sen} 2x = 0 \text { o } \cos x = 0\).
Soluzioni di \(\operatorname{sen} 2x = 0\): \(2x = k\pi \), ovvero \(x = k\pi /2\). In \([0, 2\pi )\): \(x = 0, \pi /2, \pi , 3\pi /2\).
Soluzioni di \(\cos x = 0\): \(x = \pi /2 + k\pi \). In \([0, 2\pi )\): \(x = \pi /2, 3\pi /2\) (già incluse).
Soluzioni totali in \([0, 2\pi )\): \(x \in \{0, \pi /2, \pi , 3\pi /2\}\).
Esempio 101.5 — Identità mista
Mostrare che \(\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x = 4 \cos x \cos 2x \cos 4x\).
Strategia. Raggruppiamo a coppie e applichiamo prostaferesi due volte.
\[ (\cos x + \cos 7x) + (\cos 3x + \cos 5x) = 2\cos 4x\cos 3x + 2\cos 4x\cos x = 2\cos 4x (\cos x + \cos 3x). \]
Applichiamo di nuovo:
\[ \cos x + \cos 3x = 2\cos 2x \cos x. \]
Conclusione:
\[ \cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x = 2\cos 4x \cdot 2 \cos 2x \cos x = 4 \cos x \cos 2x \cos 4x. \]
\(\checkmark\)
Esempio 101.6 — Werner per un integrale
Calcolare \(\int \operatorname{sen} 5x \cos 2x \, dx\).
Werner: \(\operatorname{sen} 5x \cos 2x = (1/2)\bigl [\operatorname{sen} (5x + 2x) + \operatorname{sen} (5x - 2x)\bigr ] = (1/2)(\operatorname{sen} 7x + \operatorname{sen} 3x)\).
Integrale:
\[ \int \operatorname{sen} 5x \cos 2x \, dx = \frac {1}{2} \int (\operatorname{sen} 7x + \operatorname{sen} 3x) \, dx = -\frac {1}{14} \cos 7x - \frac {1}{6} \cos 3x + C. \]
101.6 Esercizi proposti
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-
1.
- Usando le formule parametriche, calcolare \(\operatorname{sen} \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\operatorname{tg} \alpha \) sapendo che:
-
(a)
- \(\operatorname{tg} (\alpha /2) = 2\);
-
(b)
- \(\operatorname{tg} (\alpha /2) = -1/3\);
-
(c)
- \(\operatorname{tg} (\alpha /2) = 5\);
-
(d)
- \(\operatorname{tg} (\alpha /2) = 1\) (attenzione: \(\operatorname{tg} \alpha \) non è definita; perché?).
-
2.
- Trasformare in prodotto, usando le formule di prostaferesi:
-
(a)
- \(\operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} 3x\);
-
(b)
- \(\operatorname{sen} 4x - \operatorname{sen} 2x\);
-
(c)
- \(\cos 6x + \cos 2x\);
-
(d)
- \(\cos x - \cos 3x\);
-
(e)
- \(\operatorname{sen} 75° + \operatorname{sen} 15°\);
-
(f)
- \(\cos (\pi /12) - \cos (5\pi /12)\).
-
3.
- Trasformare in somma, usando le formule di Werner:
-
(a)
- \(\operatorname{sen} 5x \operatorname{sen} 3x\);
-
(b)
- \(\cos 7x \cos x\);
-
(c)
- \(\operatorname{sen} 4x \cos 2x\);
-
(d)
- \(\cos 3x \operatorname{sen} 5x\);
-
(e)
- \(\operatorname{sen} (\pi /12) \cos (5\pi /12)\).
-
4.
- Risolvere le seguenti equazioni in \([0, 2\pi )\) usando le prostaferesi:
-
(a)
- \(\operatorname{sen} 3x = \operatorname{sen} x\);
-
(b)
- \(\cos 5x = \cos 3x\);
-
(c)
- \(\operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} x = \cos x\);
-
(d)
- \(\cos 2x - \cos 4x = 0\);
-
(e)
- \(\operatorname{sen} 2x + \operatorname{sen} 4x + \operatorname{sen} 6x = 0\).
-
5.
- Calcolare i seguenti integrali usando le formule di Werner:
-
(a)
- \(\int \operatorname{sen} 3x \cos 5x \, dx\);
-
(b)
- \(\int \cos 2x \cos 4x \, dx\);
-
(c)
- \(\int \operatorname{sen} 7x \operatorname{sen} 3x \, dx\);
-
(d)
- \(\int \operatorname{sen} x \operatorname{sen} 2x \operatorname{sen} 3x \, dx\) (suggerimento: applicare Werner due volte).
-
6.
- Verificare le seguenti identità:
-
(a)
- \(\dfrac {\operatorname{sen} p + \operatorname{sen} q}{\cos p + \cos q} = \operatorname{tg} \!\left (\dfrac {p + q}{2}\right )\);
-
(b)
- \(\dfrac {\operatorname{sen} p - \operatorname{sen} q}{\cos p + \cos q} = \operatorname{tg} \!\left (\dfrac {p - q}{2}\right )\);
-
(c)
- \(\dfrac {\cos p - \cos q}{\operatorname{sen} p + \operatorname{sen} q} = -\operatorname{tg} \!\left (\dfrac {p - q}{2}\right )\);
-
(d)
- \(\dfrac {\operatorname{sen} p + \operatorname{sen} q}{\operatorname{sen} p - \operatorname{sen} q} = \operatorname{tg} \!\left (\dfrac {p+q}{2}\right ) \operatorname{cotg} \!\left (\dfrac {p-q}{2}\right )\).
-
7.
- Mostrare che, per ogni \(\alpha \),
\[ \operatorname{sen} \alpha + \operatorname{sen} (\alpha + 2\pi /3) + \operatorname{sen} (\alpha + 4\pi /3) = 0. \]
(Suggerimento: applicare prostaferesi alle prime due, semplificare, sommare con
la terza. Risultato classico: la somma di tre seni equiripartiti su un giro vale
zero.)
-
8.
- Verificare l’identità di Lagrange (anticipo):
\[ \sum _{k=1}^{n} \cos k\theta = \frac {\operatorname{sen} (n\theta /2) \cos ((n+1)\theta /2)}{\operatorname{sen} (\theta /2)}, \]
almeno per \(n = 2\) e \(n = 3\). (Suggerimento: induzione, o moltiplicazione per \(2\operatorname{sen} (\theta /2)\) e prostaferesi.)
-
9.
- Dato \(f(x) = \operatorname{sen} x \operatorname{sen} 2x \operatorname{sen} 3x\), riscrivere \(f(x)\) come somma di seni o coseni di multipli di \(x\). (Suggerimento: applicare
prima Werner a \(\operatorname{sen} x \operatorname{sen} 3x\) e poi a quello che resta.)
-
10.
- Sfida (parametrizzazione razionale del cerchio). Mostrare che, al variare di \(t \in \mathbb{R} \), il punto
\[ P(t) = \left ( \frac {1 - t^2}{1 + t^2}, \, \frac {2t}{1 + t^2} \right ) \]
percorre tutti i punti del cerchio unitario \(x^2 + y^2 = 1\) tranne \((-1, 0)\) (escluso). Verificare che la retta
passante per \((-1, 0)\) con pendenza \(t\) interseca la circonferenza nel punto \(P(t)\). (Geometria
proiettiva!)
-
11.
- Calcolare \(\cos (\pi /12)\) usando la formula parametrica con \(t = \operatorname{tg} (\pi /24)\). Comparare con il risultato ottenuto in
cap. 100 usando la bisezione.
-
12.
- Sfida storica. Tradurre nelle prostaferesi e Werner gli “incartamenti” di Tycho Brahe (XVI
sec.) per calcolare prodotti astronomici. Esempio: per moltiplicare due numeri \(a, b \in [-1, 1]\) si pone \(a = \cos x\), \(b = \cos y\)
(tramite tavole goniometriche) e si calcola \(a \cdot b = (\cos (x-y) + \cos (x+y))/2\), riducendo il prodotto a una somma di numeri
ottenibili da tavole. È così che si calcolava la moltiplicazione prima dei logaritmi
(1614).
-
13.
- Risolvere il sistema goniometrico:
\[ \begin {cases} \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} y = 1 \\ \cos x + \cos y = 1 \end {cases} \]
con \(x, y \in [0, 2\pi )\). (Suggerimento: applicare prostaferesi ad entrambe le equazioni, ridursi a un sistema
in \((x+y)/2\) e \((x-y)/2\).)
-
14.
- Mostrare che \(\operatorname{sen} 3\alpha = \operatorname{sen} \alpha (2\cos 2\alpha + 1)\). (Suggerimento: scrivere \(\operatorname{sen} 3\alpha = \operatorname{sen} \alpha + (\operatorname{sen} 3\alpha - \operatorname{sen} \alpha )\) e usare prostaferesi.)
101.7 Riepilogo del capitolo
quiz e materiali con
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-
Formule parametriche (posto \(t = \operatorname{tg} (\alpha /2)\)):
\[ \operatorname{sen} \alpha = \frac {2t}{1+t^2}, \qquad \cos \alpha = \frac {1-t^2}{1+t^2}, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac {2t}{1-t^2}. \]
Dominio: \(\alpha \ne \pi + 2k\pi \) (per le prime due) e \(\alpha \ne \pi /2 + k\pi \) (per la terza).
- Parametrizzazione razionale del cerchio: \(P(t) = ((1-t^2)/(1+t^2), 2t/(1+t^2))\) copre tutto il cerchio unitario tranne \((-1, 0)\), al
variare di \(t \in \mathbb{R} \).
- Applicazione in analisi: la sostituzione di Weierstrass \(t = \operatorname{tg} (x/2)\) permette di ridurre \(\int R(\operatorname{sen} x, \cos x) \, dx\) a un
integrale di funzione razionale di \(t\).
-
Formule di prostaferesi (somma/differenza \(\to \) prodotto), con \(\alpha = (p+q)/2\), \(\beta = (p-q)/2\):
\begin{align*} \operatorname{sen} p + \operatorname{sen} q &= 2 \operatorname{sen} \alpha \cos \beta , & \operatorname{sen} p - \operatorname{sen} q &= 2 \cos \alpha \operatorname{sen} \beta , \\ \cos p + \cos q &= 2 \cos \alpha \cos \beta , & \cos p - \cos q &= -2 \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta . \end{align*}
Attenzione al segno meno nell’ultima formula.
-
Formule di Werner (prodotto \(\to \) somma/differenza):
\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta &= \tfrac {1}{2}[\cos (\alpha -\beta ) + \cos (\alpha +\beta )], \\ \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta &= \tfrac {1}{2}[\cos (\alpha -\beta ) - \cos (\alpha +\beta )], \\ \operatorname{sen} \alpha \cos \beta &= \tfrac {1}{2}[\operatorname{sen} (\alpha +\beta ) + \operatorname{sen} (\alpha -\beta )]. \end{align*}
- Strategia operativa: prostaferesi per fattorizzare somme/differenze (utile in equazioni),
Werner per spezzare prodotti in somme (utile in integrali).
- Storia: le formule di prostaferesi (Werner, 1505) precedono i logaritmi (Napier, 1614) e
furono il principale strumento di calcolo astronomico per quasi un secolo — trasformando
prodotti, difficili, in somme, facili.
- Nel prossimo capitolo (102) usiamo tutte le formule viste finora per risolvere le equazioni
goniometriche elementari: \(\operatorname{sen} x = m\), \(\cos x = m\), \(\operatorname{tg} x = m\).