108 Risoluzione di triangoli qualsiasi e applicazioni

“

Risolvere un triangolo significa, dati alcuni dei suoi elementi, determinare tutti gli altri. È un problema millenario — da Tolomeo ai geometri arabi, da Regiomontano a Cassini — e ha la struttura più semplice possibile: tre lati, tre angoli, due teoremi (seni e coseno), una formula di chiusura (\(\alpha + \beta + \gamma = \pi \)).”

— Adattato da Jacques Cassini, De la grandeur et de la figure de la terre (1720) — una delle prime opere a sistematizzare la triangolazione su scala geografica

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108.1 Introduzione motivazionale

In questo capitolo riuniamo i risultati dei due capitoli precedenti — teorema dei seni (106) e teorema del coseno (107) — in una sintesi operativa. Mostriamo come si risolve un triangolo qualsiasi a partire da tre dei suoi elementi (lati e angoli), in ognuno dei quattro casi classici.

Risolvere un triangolo significa determinare tutti e sei i suoi elementi (tre lati \(a, b, c\) e tre angoli \(\alpha , \beta , \gamma \)) a partire dai dati assegnati. È un’operazione che ha occupato la matematica applicata per millenni: dal calcolo astronomico classico (Tolomeo, Aryabhata) alla triangolazione cartografica moderna (Cassini, Gauss), fino alle moderne tecniche di posizionamento GPS.

108.2 Triangolo qualsiasi: dati conosciuti

Un triangolo ha \(6\) elementi (3 lati + 3 angoli), legati da \(3\) relazioni indipendenti (somma degli angoli \(\pi \), e due fra teorema dei seni/coseno/Pitagora). Quindi servono 3 elementi indipendenti per determinarlo univocamente (a meno di simmetria).

I quattro casi di risoluzione del triangolo:


Caso	Dati	Strumento	Soluzioni

LLL	3 lati	Carnot (\(\to \) angoli)	1 (se \(a < b+c\) ecc.)
LAL	2 lati e angolo compreso	Carnot (\(\to \) 3\(^{\circ }\) lato), poi seni	1
ALA	1 lato e 2 angoli	Seni	1
LLA	2 lati e angolo opposto a uno	Seni	0, 1 o 2 (ambiguo)

Caso non ben definito. Dati tre angoli (AAA), il triangolo non è univocamente determinato: tutti i triangoli simili soddisfano le condizioni. Serve almeno un lato.

Compatibilità dei dati. Non tutte le combinazioni di tre numeri portano a un triangolo:

Schema unificato dei due teoremi

Teorema dei seni: \(\dfrac {a}{\operatorname{sen} \alpha } = \dfrac {b}{\operatorname{sen} \beta } = \dfrac {c}{\operatorname{sen} \gamma } = 2R\) (con \(R\) raggio circoscritto).

Teorema del coseno: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \) (e cicliche).

Somma degli angoli: \(\alpha + \beta + \gamma = \pi \).

Area: \(A = (1/2) bc \operatorname{sen} \alpha = (1/2) ac \operatorname{sen} \beta = (1/2) ab \operatorname{sen} \gamma = abc/(4R)\).

108.3 Caso LLL: tre lati noti

Procedura — Risoluzione caso LLL

Dati i tre lati \(a, b, c\):

1.: Verificare la disuguaglianza triangolare: \(a + b > c\), \(a + c > b\), \(b + c > a\). Se violata, il triangolo non esiste.
2.: Calcolare due angoli con Carnot (uno alla volta):
\[ \alpha = \arccos \!\left (\frac {b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right ), \quad \beta = \arccos \!\left (\frac {a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right ). \]
3.: Calcolare il terzo angolo con \(\gamma = \pi - \alpha - \beta \) (o di nuovo Carnot, come controllo).
4.: Eventualmente calcolare area \(A = abc/(4R)\) con \(R = a/(2\operatorname{sen} \alpha )\) del teorema dei seni, o \(A = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\) con Erone.

Consiglio pratico. Conviene partire dal coseno del lato maggiore: se è negativo, l’angolo è ottuso (il maggiore degli angoli); se è positivo, il triangolo è acuto.

108.4 Caso LAL: due lati e angolo compreso

Procedura — Risoluzione caso LAL

Dati due lati \(b, c\) e l’angolo compreso \(\alpha \):

1.: Calcolare il terzo lato con Carnot: \(a = \sqrt {b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha }\).
2.: Calcolare un secondo angolo col teorema dei seni: \(\operatorname{sen} \beta = b\operatorname{sen} \alpha /a\), \(\beta = \operatorname{arcsen} (\cdot )\). Non c’è ambiguità: almeno uno fra \(\beta \) e \(\gamma \) è acuto (perché \(\alpha + \beta + \gamma = \pi \) con \(\alpha \) già parzialmente impegnato), e l’arcsen restituisce l’angolo acuto.
3.: \(\gamma = \pi - \alpha - \beta \).
4.: Area: \(A = (1/2)bc\operatorname{sen} \alpha \) (immediata!).

Attenzione. Se entrambi \(\beta \) e \(\gamma \) devono risultare ottusi, l’arcsen sbaglia. Per sicurezza, scegliere come “secondo angolo” quello opposto al più piccolo dei due lati (sicuramente acuto).

108.5 Caso ALA (o LAA): un lato e due angoli

Procedura — Risoluzione caso ALA / LAA

Dati un lato (per esempio \(a\)) e due angoli (per esempio \(\beta , \gamma \), oppure \(\alpha , \beta \)):

1.: Calcolare il terzo angolo: \(\alpha = \pi - \beta - \gamma \) (verificando che sia positivo).
2.: Calcolare i lati mancanti col teorema dei seni:
\[ b = a \cdot \frac {\operatorname{sen} \beta }{\operatorname{sen} \alpha }, \qquad c = a \cdot \frac {\operatorname{sen} \gamma }{\operatorname{sen} \alpha }. \]
3.: Area: \(A = (1/2) bc \operatorname{sen} \alpha \).

Soluzione unica. Il caso ALA dà sempre un triangolo unico (a meno di simmetria), perché i due angoli e il lato fra essi sono sufficienti a fissare la geometria completamente.

108.6 Caso LLA: due lati e angolo opposto (ambiguo)

Procedura — Risoluzione caso LLA, con discussione delle soluzioni

Dati due lati \(a, b\) e l’angolo \(\alpha \) opposto al primo:

1.

Calcolare \(\operatorname{sen} \beta = b\operatorname{sen} \alpha / a\) (teorema dei seni).

2.

Discutere il valore:

se \(\operatorname{sen} \beta > 1\): nessuna soluzione (triangolo impossibile);
se \(\operatorname{sen} \beta = 1\): una sola soluzione, \(\beta = \pi /2\) (triangolo rettangolo limite);
se \(0 < \operatorname{sen} \beta < 1\): due possibili valori \(\beta _1 = \operatorname{arcsen} (\cdot )\) e \(\beta _2 = \pi - \beta _1\).

3.

Per ciascun \(\beta _i\), verificare la compatibilità \(\alpha + \beta _i < \pi \).

4.

Per ogni \(\beta \) valida, \(\gamma = \pi - \alpha - \beta \), \(c = a\operatorname{sen} \gamma /\operatorname{sen} \alpha \).

Quando c’è una sola soluzione? Quando \(a > b\) (lato opposto all’angolo dato è il maggiore) c’è sempre una sola soluzione. Quando \(a < b\) ci possono essere \(0, 1\) o \(2\) soluzioni a seconda di \(\operatorname{sen} \beta \).

Riepilogo del caso LLA in tabella


Condizione	Geometria	Soluzioni

\(b \operatorname{sen} \alpha > a\)	il lato \(a\) non raggiunge	0
\(b \operatorname{sen} \alpha = a\)	tangente; \(\beta = \pi /2\)	1
\(b \operatorname{sen} \alpha < a\) e \(b \le a\)	lato \(a\) è maggiore o uguale	1
\(b \operatorname{sen} \alpha < a\) e \(b > a\)	due intersezioni	2

108.7 Area del triangolo con il seno

Tre forme della formula dell’area di un triangolo:

1.: con due lati e l’angolo compreso: \(A = (1/2) bc \operatorname{sen} \alpha \);
2.: con tutti i lati (Erone): \(A = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\), \(s = (a+b+c)/2\);
3.: col raggio circoscritto: \(A = abc/(4R)\).

Formula del raggio inscritto

dove \(s = (a+b+c)/2\) è il semiperimetro. Si dimostra notando che l’area di un triangolo si può scomporre nella somma delle aree dei tre triangoli con vertice nell’incentro e base sui lati: ciascuno ha altezza \(r\), dunque \(A = (1/2)(a+b+c)r = sr\).

108.8 Applicazioni a problemi di topografia e fisica

Triangolazione topografica

La triangolazione, base storica della cartografia (Cassini, Snell), funziona così:

La precisione cresce evitando angoli “acuti” (vicini a \(0\)) o “ottusi” estremi: triangoli equilateri o quasi sono i più precisi.

Composizione di vettori (fisica)

Due vettori \(\vec {F}_1\) e \(\vec {F}_2\) di moduli \(F_1, F_2\) e angolo compreso \(\theta \) hanno una risultante \(\vec {F} = \vec {F}_1 + \vec {F}_2\) il cui modulo si calcola col teorema di Carnot applicato al parallelogramma di forze:

(Attenzione: il più segno deriva dal fatto che nel parallelogramma di forze l’angolo opposto alla risultante è \(\pi - \theta \), da cui \(\cos (\pi - \theta ) = -\cos \theta \), che nella formula standard diventa segno positivo.)

L’angolo \(\varphi \) fra \(\vec {F}\) e \(\vec {F}_1\) si calcola col teorema dei seni:

Determinazione della posizione (trilaterazione)

Conoscendo la distanza da tre punti di riferimento noti (GPS, fari, antenne), si determina la propria posizione come intersezione di tre cerchi. Il calcolo dell’intersezione usa essenzialmente il teorema di Carnot.

108.9 Esempi svolti

Esempio 108.1 — Triangolo LAL completo

Dati \(b = 10\,{\mathrm{m} }\), \(c = 14\,{\mathrm{m} }\), \(\alpha = 50°\). Risolvere il triangolo e calcolarne l’area.

Terzo lato (Carnot): \(a^2 = 100 + 196 - 280\cos 50° = 296 - 280 \cdot 0{,}643 \approx 116{,}0\), dunque \(a \approx 10.77\,{\mathrm{m} }\).

Angolo \(\beta \) (seni): \(\operatorname{sen} \beta = b\operatorname{sen} \alpha /a = 10 \cdot 0{,}766/10{,}77 \approx 0{,}711\), dunque \(\beta \approx 45.32°\).

Verifica scelta: \(b < c\), quindi \(\beta < \gamma \) e \(\beta \) è acuto. \(\checkmark\)Sono nel ramo principale dell’arcsen.

Terzo angolo: \(\gamma = 180° - 50° - 45{,}32° \approx 84.68°\).

Area: \(A = (1/2)bc\operatorname{sen} \alpha = (1/2) \cdot 10 \cdot 14 \cdot 0{,}766 \approx 53.6\,{\mathrm{m} ^{2} }\).

Esempio 108.2 — Triangolo LLL: tutti gli angoli e l’area

Dati \(a = 7\), \(b = 9\), \(c = 12\). Risolvere e calcolare l’area.

Verifica della disuguaglianza: \(7 + 9 = 16 > 12\), OK.

Angoli (Carnot):

\[ \cos \alpha = \frac {81 + 144 - 49}{216} = \frac {176}{216} \approx 0{,}8148, \quad \alpha \approx 35.42°. \]

\[ \cos \beta = \frac {49 + 144 - 81}{168} = \frac {112}{168} = \frac {2}{3} \approx 0{,}667, \quad \beta \approx 48.19°. \]

\[ \gamma = 180° - 35{,}42° - 48{,}19° \approx 96.39°. \]

(\(\gamma \) è ottuso: il lato \(c\) è il maggiore, e infatti \(c^2 = 144 > 49 + 81 = 130 = a^2 + b^2\).)

Area (Erone): \(s = (7+9+12)/2 = 14\). \(A = \sqrt {14 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt {980} \approx 31.3\).

Verifica con formula del seno: \(A = (1/2)ab\operatorname{sen} \gamma = (1/2) \cdot 7 \cdot 9 \cdot \operatorname{sen} 96{,}39° \approx 31{,}5 \cdot 0{,}994 \approx 31{,}3\). \(\checkmark\)

Esempio 108.3 — Composizione di due forze

Due forze di modulo \(F_1 = 20\,{\mathrm{N} }\) e \(F_2 = 15\,{\mathrm{N} }\) formano un angolo di \(60°\). Calcolare il modulo e la direzione della risultante.

Modulo (Carnot al parallelogramma):

\[ F = \sqrt {400 + 225 + 600\cos 60°} = \sqrt {625 + 300} = \sqrt {925} \approx 30.41\,{\mathrm{N} }. \]

Angolo \(\varphi \) fra \(\vec {F}\) e \(\vec {F}_1\) (seni):

\[ \operatorname{sen} \varphi = \frac {F_2 \operatorname{sen} 60°}{F} = \frac {15 \cdot 0{,}866}{30{,}41} \approx 0{,}427, \quad \varphi \approx 25.3°. \]

Esempio 108.4 — Topografia: distanza inaccessibile

Per misurare la distanza fra due punti \(X\) e \(Y\) separati da un lago, un topografo sceglie un punto \(A\) accessibile sulla riva, misura \(AX = 120\,{\mathrm{m} }\), \(AY = 180\,{\mathrm{m} }\), e l’angolo \(\widehat {XAY} = 65°\) (LAL). Calcolare \(XY\).

Carnot:

\[ XY^2 = 120^2 + 180^2 - 2 \cdot 120 \cdot 180 \cos 65° = 14400 + 32400 - 43200 \cdot 0{,}4226 \approx 28543. \]

Risultato: \(XY \approx 169\,{\mathrm{m} }\).

108.10 Esercizi proposti

Esercizio 108.1

1.

Risolvere il triangolo (calcolare lati, angoli e area) nei casi:

(a): LAL: \(b = 8\), \(c = 11\), \(\alpha = 65°\);
(b): LLL: \(a = 9\), \(b = 10\), \(c = 14\);
(c): ALA: \(a = 12\), \(\beta = 40°\), \(\gamma = 75°\);
(d): LLA: \(a = 6\), \(b = 10\), \(\alpha = 30°\) (quante soluzioni?).

2.

Per i seguenti dati, stabilire se il triangolo è acuto, rettangolo o ottuso (senza risolverlo):

(a): \(a = 7, b = 24, c = 25\);
(b): \(a = 6, b = 8, c = 11\);
(c): \(a = 5, b = 5, c = 5\).

3.

Un appezzamento triangolare ha lati di \(80\,{\mathrm{m} }\), \(100\,{\mathrm{m} }\), \(120\,{\mathrm{m} }\). Calcolare:

(a): l’area in \({\mathrm{m} ^{2} }\);
(b): gli angoli interni;
(c): il raggio del cerchio inscritto.

4.

Una nave naviga in mare aperto. Da un punto \(A\) il faro si vede sotto un angolo di \(70°\) rispetto alla prua; dopo aver navigato per \(1.5\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) in linea retta fino a \(B\), lo stesso faro è ora a \(40°\) dalla prua. Calcolare la distanza \(BF\) del faro dalla nave al punto \(B\).

5.

Due forze di moduli \(30\,{\mathrm{N} }\) e \(40\,{\mathrm{N} }\) formano un angolo di \(120°\). Calcolare la risultante e l’angolo che essa forma con la forza maggiore.

6.

In un triangolo isoscele di base \(14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e lati congruenti \(25\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), calcolare:

(a): l’altezza;
(b): l’area;
(c): gli angoli;
(d): il raggio circoscritto.

7.

Un triangolo ha area \(60\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\), lati \(a = 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(b = 15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare l’angolo \(\gamma \) compreso fra essi e il terzo lato \(c\). (Due soluzioni: \(\gamma \) acuto e \(\gamma \) ottuso!)

8.

In un parallelogramma di lati \(12\,{\mathrm{m} }\) e \(20\,{\mathrm{m} }\) una diagonale misura \(16\,{\mathrm{m} }\). Calcolare l’altra diagonale e gli angoli interni.

9.

Un triangolo equilatero è inscritto in un cerchio di raggio \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare il suo lato, la sua area, e il raggio del cerchio inscritto.

10.

Mostrare che il raggio inscritto \(r\) e il raggio circoscritto \(R\) di un triangolo soddisfano \(r/R = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma - 1\). (Identità classica.)

11.

Un satellite si trova a un’altezza \(h\) sopra la superficie terrestre. Da due stazioni di terra \(A\) e \(B\) allineate sul meridiano del satellite, distanti \(1000\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\), si misurano gli angoli di elevazione: \(\alpha = 70°\) da \(A\) e \(\beta = 65°\) da \(B\). Calcolare \(h\) (trascurando la curvatura terrestre).

12.

Sfida (problema di Snell, triangolazione). Per misurare la distanza di una torre \(T\) inaccessibile da un punto \(P\), si fissa una base \(AB = 50\,{\mathrm{m} }\) con \(A, B, P\) allineati. Da \(A\) si vede \(T\) con angolo \(\widehat {TAB} = 75°\), da \(B\) con angolo \(\widehat {TBA} = 100°\) (notare: ottuso!). Calcolare \(PT\).

13.

Una persona alta \(1.8\,{\mathrm{m} }\) proietta un’ombra di \(2.4\,{\mathrm{m} }\) su una strada in salita di pendenza \(10°\). L’ombra è misurata lungo la strada (non in orizzontale). Calcolare l’angolo di elevazione del sole.

14.

Un poligono regolare di \(n\) lati è inscritto in un cerchio di raggio \(R\). Mostrare che la sua area è \(A = (n/2) R^2 \operatorname{sen} (2\pi /n)\). Calcolare il limite per \(n \to \infty \) e verificare che vale \(\pi R^2\) (area del cerchio).

15.

Sfida finale (geodesia). Due punti \(A\) e \(B\) sulla superficie terrestre hanno latitudini \(\phi _A, \phi _B\) e longitudini \(\lambda _A, \lambda _B\). Mostrare che la distanza geodetica (lungo l’arco di grande cerchio) è \(d = R \arccos (\operatorname{sen} \phi _A \operatorname{sen} \phi _B + \cos \phi _A \cos \phi _B \cos (\lambda _B - \lambda _A))\), dove \(R\) è il raggio terrestre. (Suggerimento: teorema del coseno sferico, generalizzazione del Carnot piano alla sfera.)

108.11 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Strumenti: somma angoli (\(\alpha + \beta + \gamma = \pi \)), teorema dei seni (\(a/\operatorname{sen} \alpha = 2R\)), teorema del coseno (\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \)).
I quattro casi di risoluzione:
- LLL: tre lati \(\rightarrow \) Carnot per gli angoli;
- LAL: due lati e angolo compreso \(\rightarrow \) Carnot per il terzo lato, poi seni;
- ALA: un lato e due angoli \(\rightarrow \) seni per gli altri lati;
- LLA: due lati e angolo opposto (ambiguo: \(0, 1\) o \(2\) triangoli).
Compatibilità: per tre lati, disuguaglianza triangolare; per LLA, \(\operatorname{sen} \beta \le 1\).
Formule dell’area:
- \(A = (1/2) bc \operatorname{sen} \alpha \) (due lati e angolo compreso);
- \(A = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\) (Erone, tre lati);
- \(A = abc/(4R)\) (col cerchio circoscritto);
- \(A = sr\) (\(s\) semiperimetro, \(r\) raggio inscritto).
Applicazioni: triangolazione topografica, composizione di forze, problemi di navigazione e astronomia, trilaterazione GPS.
Estensione naturale: trigonometria sferica, che generalizza i teoremi a triangoli su una sfera (rilevante per geodesia, astronomia, navigazione transoceanica).
Si chiude qui la parte di goniometria/trigonometria della Quarta. Nel prossimo capitolo (109) iniziamo la geometria solida: rette e piani nello spazio.

Capitolo 108 Risoluzione di triangoli qualsiasi e applicazioni