“
Il teorema di Carnot è la versione generale del teorema di Pitagora: la differenza fra il quadrato del lato
opposto a un angolo e la somma dei quadrati degli altri due lati misura — moltiplicata per due e divisa per il
prodotto dei lati — proprio il coseno dell’angolo. Quando l’angolo è retto, il coseno è zero e Pitagora
riappare.”
— Lazare Carnot, Géométrie de position (1803) — prima formulazione moderna, da cui il nome “teorema di Carnot” nei manuali italiani
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Il teorema dei seni del capitolo precedente (106) lega lati e angoli opposti, ma in due casi non basta per risolvere un triangolo:
Il teorema del coseno, detto anche teorema di Carnot nella tradizione italiana, colma questa lacuna. Lega il quadrato di un lato al quadrato degli altri due e al coseno dell’angolo compreso, ed è una generalizzazione del teorema di Pitagora a triangoli qualsiasi: quando l’angolo è retto, il termine col coseno si annulla e si riottiene Pitagora.
Insieme al teorema dei seni, il teorema di Carnot permette di risolvere qualunque triangolo, in qualunque dei quattro casi standard (LLL, LAL, ALA, LLA). Una sintesi completa è in cap. 108.
Definizione 107.1 — Teorema del coseno di Carnot
In un triangolo \(ABC\) qualsiasi, di lati \(a, b, c\) opposti agli angoli \(\alpha , \beta , \gamma \), vale
In ognuna delle tre formule il lato a sinistra è opposto all’angolo che compare nel coseno.
Dimostrazione (per via geometrica, caso angolo acuto). Tracciamo l’altezza \(h\) dal vertice \(C\) al lato \(AB\). Sia \(H\) il piede dell’altezza. Indichiamo con \(m = AH\) la proiezione di \(b\) (\(= CA\)) su \(c\). Si formano due triangoli rettangoli, \(AHC\) e \(BHC\):
Sostituendo:
Raggruppando \(b^2(\operatorname{sen} ^2\alpha + \cos ^2\alpha ) = b^2\):
Caso angolo ottuso \(\alpha \). Il piede \(H\) dell’altezza cade fuori dal segmento \(AB\) (dalla parte opposta a \(B\)). Si ha allora \(\cos \alpha < 0\) e \(m = b\cos \alpha < 0\), mentre \(BH = c - m = c + |m|\). La formula resta valida: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \) con \(\cos \alpha < 0\) (e quindi \(-2bc\cos \alpha > 0\), contribuendo positivamente). Coerente.
Caso angolo retto \(\alpha = \pi /2\). \(\cos \alpha = 0\), dunque \(a^2 = b^2 + c^2\) (Pitagora). Trattato nella prossima sezione.
Le formule possono essere ribaltate per esprimere il coseno di un angolo in funzione dei lati:
Coseno di un angolo in funzione dei tre lati:
Da queste si ricava \(\alpha = \arccos (\cdot )\), e quindi l’angolo. Il vantaggio rispetto al teorema dei seni: nessuna ambiguità, perché \(\arccos \) restituisce un unico angolo in \((0, \pi )\).
Quando il triangolo è rettangolo — supponiamo l’angolo retto in \(A\), cioè \(\alpha = \pi /2\) — abbiamo \(\cos \alpha = 0\). Il teorema di Carnot \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \) diventa
Riconosciamo il teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo, il quadrato dell’ipotenusa (\(a\), opposta all’angolo retto) è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
Teorema di Pitagora come caso particolare di Carnot: \(\alpha = \pi /2 \Rightarrow \cos \alpha = 0 \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2\).
Senso del termine \(-2bc\cos \alpha \). Il teorema di Carnot mostra che in un triangolo qualsiasi il termine \(-2bc\cos \alpha \) corregge Pitagora:
Questo dà un criterio rapido per riconoscere triangoli acuti, rettangoli o ottusi: basta confrontare \(a^2\) con \(b^2 + c^2\), dove \(a\) è il lato maggiore.
Conoscendo i tre lati \(a, b, c\) di un triangolo, i tre angoli si calcolano tramite le formule del coseno:
e \(\gamma = \pi - \alpha - \beta \) (o calcolato direttamente).
Conoscendo due lati e l’angolo compreso (es. \(b, c, \alpha \)), il terzo lato si calcola direttamente:
Gli altri due angoli si ricavano poi col teorema dei seni o di nuovo con Carnot. Nel primo caso (seni), si ha una sola soluzione perché \(\operatorname{arcsen} \) usato su un angolo che sappiamo essere acuto (i due angoli non noti sommano al complemento di \(\alpha \), dunque almeno uno è acuto).
In un parallelogramma di lati \(a, b\) e angoli interni \(\alpha \) (e \(\pi - \alpha \)), le diagonali \(d_1, d_2\) hanno lunghezze:
Sommando:
identità del parallelogramma: la somma dei quadrati delle diagonali è il doppio della somma dei quadrati dei lati. Un risultato classico, indipendente dall’angolo \(\alpha \).
Tracciando i due raggi vettori a \(P_1 = (r_1\cos \theta _1, r_1\operatorname{sen} \theta _1)\) e \(P_2 = (r_2\cos \theta _2, r_2\operatorname{sen} \theta _2)\) in coordinate polari, la distanza fra \(P_1\) e \(P_2\) si calcola col teorema di Carnot nel triangolo \(OP_1P_2\):
È un caso particolarmente elegante del teorema, naturale in coordinate polari.
Esempio 107.1 — Caso LAL
In un triangolo \(a = ?\), \(b = 7\,{\mathrm{m} }\), \(c = 5\,{\mathrm{m} }\), \(\alpha = 60°\). Calcolare il lato \(a\).
Carnot: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha = 49 + 25 - 70 \cdot 0.5 = 74 - 35 = 39\).
Risultato: \(a = \sqrt {39} \approx 6.24\,{\mathrm{m} }\).
Esempio 107.2 — Caso LLL
Calcolare gli angoli del triangolo di lati \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 7\).
Coseni:
dunque \(\alpha = \arccos (5/7) \approx 44.42°\).
dunque \(\beta \approx 57.12°\).
Terzo angolo: \(\gamma = 180° - \alpha - \beta \approx 78.46°\).
Verifica: \(\cos \gamma = (25 + 36 - 49)/(2 \cdot 5 \cdot 6) = 12/60 = 0{,}2\), dunque \(\gamma = \arccos 0{,}2 \approx 78.46°\). \(\checkmark\)
Esempio 107.3 — Riconoscere acuto/ottuso/rettangolo
Un triangolo ha lati \(a = 6\), \(b = 8\), \(c = 11\). Stabilire se è acuto, rettangolo o ottuso.
Confronto. \(a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100\); \(c^2 = 121 > 100\). Quindi \(\gamma \) (opposto al lato maggiore) è ottuso.
Verifica numerica: \(\cos \gamma = (36 + 64 - 121)/(2 \cdot 6 \cdot 8) = -21/96 \approx -0{,}219\), dunque \(\gamma = \arccos (-0{,}219) \approx 102.6°\). Conferma: \(\gamma > 90°\).
Esempio 107.4 — Diagonale di un parallelogramma
Un parallelogramma ha lati \(a = 5\), \(b = 8\) e angolo interno \(\alpha = 70°\). Calcolare le due diagonali.
Diagonale “corta” (opposta a \(\alpha \)):
\(d_1 \approx 7{,}85\).
Diagonale “lunga” (opposta a \(\pi - \alpha = 110°\)):
\(d_2 \approx 10{,}79\).
Verifica con identità: \(d_1^2 + d_2^2 \approx 61{,}64 + 116{,}36 = 178 = 2(25 + 64) = 2(a^2 + b^2)\). \(\checkmark\)
Esempio 107.5 — Mediana di un triangolo
La mediana di un triangolo \(ABC\) relativa al lato \(a\) è il segmento dal vertice \(A\) al punto medio \(M\) di \(BC\). Calcolare la lunghezza \(m_a = AM\) in funzione dei lati.
Geometria. Nel triangolo \(ABM\) (con \(BM = a/2\)), applicando Carnot:
Sostituendo \(\cos \beta = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)\) (Carnot nel triangolo originale):
Riducendo allo stesso denominatore:
Riformulando con calcolo più diretto (\(\cdot 4\)):
Formula finale: \(m_a = \dfrac {1}{2}\sqrt {2b^2 + 2c^2 - a^2}\). Risultato classico (teorema di Apollonio).
Esempio 107.6 — Distanza in coordinate polari
Due punti hanno coordinate polari \((r_1, \theta _1) = (3, \pi /6)\) e \((r_2, \theta _2) = (5, 2\pi /3)\). Calcolare la distanza.
Algebra:
Distanza: \(|P_1 P_2| = \sqrt {34} \approx 5{,}83\).
Verifica con coordinate cartesiane: \(P_1 = (3\cos 30°, 3\operatorname{sen} 30°) = (3\sqrt {3}/2, 3/2) \approx (2{,}60, 1{,}5)\); \(P_2 = (5\cos 120°, 5\operatorname{sen} 120°) = (-5/2, 5\sqrt {3}/2) \approx (-2{,}5, 4{,}33)\). Distanza euclidea: \(\sqrt {(2{,}60+2{,}5)^2 + (1{,}5-4{,}33)^2} = \sqrt {26{,}01 + 8{,}01} \approx \sqrt {34{,}02}\). \(\checkmark\)
Esercizio 107.1
con \(s = (a+b+c)/2\). (Risultato già anticipato in cap. 106.)
Riepilogo
Teorema del coseno (Carnot): in un triangolo qualsiasi di lati \(a, b, c\) opposti agli angoli \(\alpha , \beta , \gamma \),
(e analoghe per \(b^2\), \(c^2\), ciascuna col proprio angolo opposto).
Formula inversa per il coseno:
che dà \(\alpha = \arccos (\cdot )\), senza ambiguità (a differenza del seno).
Criterio acuto/rettangolo/ottuso (con \(a\) lato maggiore):
Conseguenze classiche:
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