In ogni triangolo, il rapporto fra un lato e il seno dell’angolo opposto è costante, e quella costante è il
diametro del cerchio circoscritto. È sorprendente: una proprietà “locale” dei singoli vertici si trasforma in una
proprietà “globale” del triangolo intero, legata al cerchio che lo contiene.”
— Nasir al-Din al-Tusi, Kitāb al-Shākl al-qatta (XIII sec.) — prima formulazione esplicita del teorema dei
seni in forma autonoma rispetto all’astronomia tolemaica
Nel capitolo precedente (105) abbiamo studiato la trigonometria del triangolo rettangolo, in cui
un angolo retto semplifica la geometria. Cosa succede in un triangolo qualsiasi, senza angolo
retto?
Esistono due risultati fondamentali che permettono di trattare il caso generale:
il teorema dei seni (questo capitolo);
il teorema del coseno di Carnot (capitolo successivo).
Il teorema dei seni stabilisce un legame profondo fra i lati di un triangolo, gli angoli opposti, e il
cerchio circoscritto al triangolo: il rapporto \(a/\operatorname{sen} \alpha \) è uguale per tutti e tre i vertici, e vale esattamente il
diametro del cerchio circoscritto. È uno dei risultati più eleganti della trigonometria e ha
applicazioni in topografia, navigazione, astronomia.
Convenzioni di notazione che useremo:
\(\widehat {A}, \widehat {B}, \widehat {C}\) (o per brevità \(\alpha , \beta , \gamma \)) sono gli angoli interni del triangolo nei vertici \(A, B, C\);
\(a, b, c\) sono le lunghezze dei lati opposti ai rispettivi vertici (e quindi opposti ai rispettivi angoli);
\(R\) è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo (il cerchio che passa per i tre vertici).
Dimostrazione (versione con cerchio circoscritto). Consideriamo il cerchio circoscritto al
triangolo \(ABC\), di centro \(O\) e raggio \(R\). Sia \(A'\) il punto diametralmente opposto a \(B\) sul cerchio (cioè il
prolungamento del raggio \(OB\) fino al cerchio dalla parte opposta). Il triangolo \(A'BC\) ha le proprietà:
l’angolo in \(C\) è retto (è inscritto in una semicirconferenza, teorema di Talete);
l’angolo in \(A'\) è uguale all’angolo in \(A\) del triangolo \(ABC\), perché entrambi sono angoli alla
circonferenza che insistono sullo stesso arco \(BC\).
Nel triangolo rettangolo \(A'BC\), con ipotenusa \(A'B = 2R\) (diametro), l’angolo in \(A'\) è \(\alpha \) e il cateto opposto è \(BC = a\). Per la
definizione del seno nel triangolo rettangolo (cap. 105):
Tutti e tre i rapporti sono uguali a \(2R\). \(\square \)
Figura 106.1: Dimostrazione del teorema dei seni. Il punto \(A'\) è diametralmente opposto a \(B\)
sul cerchio circoscritto. Il triangolo \(A'BC\) è rettangolo in \(C\) (Talete) e l’angolo in \(A'\) vale \(\alpha \) (angoli alla
circonferenza sullo stesso arco \(BC\)). Da qui \(\operatorname{sen} \alpha = a/2R\).
Dimostrazione alternativa (con altezza). Sia \(h\) l’altezza del triangolo \(ABC\) relativa al lato \(c = AB\).
Considerando i due triangoli rettangoli formati dall’altezza:
Il teorema dei seni si applica direttamente in due situazioni in cui si vuole risolvere un triangolo
qualsiasi (cap. 108):
Procedura — Quando applicare il teorema dei
seni
Caso ALA (angolo–lato–angolo, oppure due angoli e un lato qualsiasi): noti \(\alpha , \beta \) e un
lato, si calcola il terzo angolo da \(\alpha + \beta + \gamma = \pi \) e gli altri lati col teorema dei seni.
Caso LLA (lato–lato–angolo opposto a uno dei lati): noti due lati e un angolo opposto
a uno di essi, si ricava il secondo angolo col teorema dei seni. Attenzione: questo caso
è ambiguo (può dare \(0, 1\) o \(2\) triangoli).
Ambiguità del caso LLA
Supponiamo di conoscere \(a\), \(b\) e \(\alpha \), e di voler ricavare \(\beta \). Dal teorema dei seni:
\(0 < b\operatorname{sen} \alpha /a < 1\): due possibili valori di \(\beta \), uno acuto (\(\beta _1 = \operatorname{arcsen} (\cdot )\)) e uno ottuso (\(\beta _2 = \pi - \beta _1\)). Bisogna verificare quale (o quali)
di essi è geometricamente compatibile con il triangolo, controllando che \(\alpha + \beta < \pi \).
Triangolazione e topografia
Il teorema dei seni è alla base della triangolazione, la tecnica con cui per secoli i geometri hanno
costruito carte topografiche:
si fissa una base di lunghezza nota fra due punti accessibili;
si misurano gli angoli sotto cui un terzo punto (anche inaccessibile) è visto da entrambi
gli estremi della base;
col teorema dei seni si calcolano le distanze dai due estremi al terzo punto.
Ripetendo il procedimento si copre un’intera regione con una rete di triangoli, ottenendo una mappa
accurata.
Una conseguenza diretta del teorema dei seni: una corda di una circonferenza ha lunghezza pari
al diametro per il seno dell’angolo alla circonferenza che la sottende.
Definizione 106.2 — Teorema della corda
In un cerchio di raggio \(R\), una corda \(AB\) vista da un punto \(P\) del cerchio (dalla stessa parte
rispetto alla corda) sotto un angolo \(\theta \) alla circonferenza ha lunghezza
\[ AB = 2R \operatorname{sen} \theta . \]
Dimostrazione. Nel triangolo \(APB\) inscritto nel cerchio di raggio \(R\), applicando il teorema dei seni con
angolo \(\theta \) in \(P\) e lato opposto \(AB\):
Caso limite (angolo retto). Se \(\theta = \pi /2\), \(\operatorname{sen} \theta = 1\) e \(AB = 2R\): la corda è il diametro, e tutti gli angoli alla circonferenza che
la sottendono sono retti (teorema di Talete sul cerchio).
Applicazione. Il teorema della corda permette di passare “in entrambe le direzioni” fra lunghezza
di un arco/corda e angoli alla circonferenza, ed è la base di molti calcoli di geometria
circolare.
Esempio 106.1 — Lato di un poligono regolare
Un poligono regolare di \(n\) lati inscritto in un cerchio di raggio \(R\) ha lati di lunghezza:
Infatti, ciascun lato è una corda del cerchio sottesa da un arco di ampiezza \(2\pi /n\); l’angolo
alla circonferenza relativo è la metà di quello al centro, cioè \(\pi /n\).
Per \(n = 6\) (esagono): \(\ell _6 = 2R\operatorname{sen} (\pi /6) = R\). Il lato dell’esagono regolare inscritto vale il raggio del cerchio. (Risultato
classico.)
Esempio 106.7 — Distanza fra due punti sullo stesso lato di un
fiume
Sulla riva di un fiume due punti \(A\) e \(B\) distano \(200\) \(\mathrm {\mathrm{m} }\). Dalla riva opposta un punto \(P\) è visto da \(A\)
con angolo \(\widehat {A} = 70°\) e da \(B\) con angolo \(\widehat {B} = 60°\). Calcolare \(AP\) e la larghezza del fiume.
Larghezza del fiume. È la distanza di \(P\) dalla retta \(AB\). Tracciando la perpendicolare da \(P\)
ad \(AB\), si forma un triangolo rettangolo: distanza \(= AP \operatorname{sen} \widehat {A} = 226 \cdot \operatorname{sen} 70° \approx 226 \cdot 0{,}9397 \approx 212\,{\mathrm{m} }\).
Per ciascun caso LLA, stabilire quanti triangoli esistono (0, 1, o 2):
(a)
\(a = 4\), \(b = 7\), \(\alpha = 60°\);
(b)
\(a = 8\), \(b = 7\), \(\alpha = 50°\);
(c)
\(a = 5\), \(b = 10\), \(\alpha = 30°\);
(d)
\(a = 3\), \(b = 8\), \(\alpha = 25°\);
(e)
\(a = 10\), \(b = 12\), \(\alpha = 70°\).
3.
Calcolare il raggio del cerchio circoscritto al triangolo:
(a)
lati \(5, 12, 13\) (riconoscere il triangolo notevole!);
(b)
lati \(6, 8, 10\);
(c)
lati \(a = 7\), \(\alpha = 30°\) (sufficiente!).
4.
Calcolare l’area dei seguenti triangoli:
(a)
lati \(a = 5, b = 8\), angolo compreso \(\gamma = 60°\);
(b)
lati \(b = 10, c = 12\), angolo compreso \(\alpha = 45°\);
(c)
triangolo isoscele di lati congruenti \(\ell = 4\) e angolo al vertice \(\theta = 50°\) (suggerimento: \(A = (1/2) \ell ^2 \operatorname{sen} \theta \)).
5.
Un terreno di forma triangolare ha lati di \(50\,{\mathrm{m} }\), \(70\,{\mathrm{m} }\) e angolo compreso fra di essi di \(80°\). Calcolare
l’area e il terzo lato.
6.
Due fari sulla costa distano \(1.2\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). Una nave in mare aperto vede il faro \(A\) a sinistra con angolo \(\alpha = 50°\)
dalla direzione di prua e il faro \(B\) a sinistra con angolo \(\beta = 75°\). Determinare le distanze della nave
dai due fari.
7.
Un albero alto \(h\) proietta un’ombra che cade su una strada in salita con pendenza del \(10\%\).
L’ombra è lunga \(L\) misurata sulla strada (non in orizzontale). L’angolo di elevazione del sole
è \(\alpha \). Trovare \(h\) in funzione di \(L\) e \(\alpha \). (Suggerimento: triangolo qualsiasi con due angoli noti e il
lato \(L\).)
8.
Mostrare che, per ogni triangolo \(ABC\) con cerchio circoscritto di raggio \(R\), vale
\[ a + b + c = 2R(\operatorname{sen} \alpha + \operatorname{sen} \beta + \operatorname{sen} \gamma ). \]
Da cui dedurre la somma dei seni degli angoli di un triangolo.
9.
Per ogni triangolo \(ABC\), mostrare che \(a\cos \alpha + b\cos \beta + c\cos \gamma \) è uguale al doppio dell’area divisa per il raggio
circoscritto: \(\dfrac {a\cos \alpha + b\cos \beta + c\cos \gamma }{R} = \dfrac {4A}{R^2}\) (in versione semplificata). (Suggerimento: usare \(a = 2R\operatorname{sen} \alpha \) ecc. e formule di
duplicazione.)
10.
Calcolare il lato di un poligono regolare di:
(a)
\(n = 3\) lati (triangolo equilatero) inscritto in un cerchio di raggio \(R\);
(b)
\(n = 4\) lati (quadrato);
(c)
\(n = 5\) lati (pentagono regolare);
(d)
\(n = 8\) lati (ottagono);
(e)
\(n = 12\) lati (dodecagono).
11.
Sfida (Erone). Mostrare che l’area di un triangolo di lati \(a, b, c\) può essere calcolata con la
formula di Erone
\[ A = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}, \]
dove \(s = (a+b+c)/2\) è il semiperimetro. (Suggerimento: partire da \(A = (1/2)ab\operatorname{sen} \gamma \), esprimere \(\operatorname{sen} ^2\gamma = 1 - \cos ^2\gamma \), usare il teorema del
coseno (anticipo) per \(\cos \gamma \) in funzione dei lati.)
12.
In un triangolo \(ABC\), \(\alpha = 60°\), \(b = 5\), \(c = 4\). Calcolare \(a\) e l’area (usando area \(= (1/2)bc\operatorname{sen} \alpha \)).
13.
Dimostrare che, se in un triangolo \(\operatorname{sen} \alpha /\operatorname{sen} \beta = a/b\) (teorema dei seni), allora vale anche
(Identità detta di Mollweide, base per controlli di consistenza nei calcoli trigonometrici.)
14.
Una nave si avvicina a un porto. Da un punto \(A\) la cima di una torre alta \(60\) \(\mathrm {\mathrm{m} }\) è
vista con angolo di elevazione di \(15°\). Dopo aver percorso \(200\) \(\mathrm {\mathrm{m} }\) in linea retta verso la
torre, l’angolo di elevazione è \(25°\). Calcolare la distanza attuale della nave dalla base
della torre. (Suggerimento: il triangolo formato dalla nave e dalla torre cambia
angolo.)
15.
Sfida (parallasse). Due osservatori a \(1\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) di distanza guardano la Luna nello stesso istante e
misurano la differenza angolare nella posizione apparente: \(0{,}00015\) rad (cioè circa \(0.0086°\)). Stimare la
distanza della Luna. (Suggerimento: triangolo isoscele molto allungato; usare
l’approssimazione di piccoli angoli \(\operatorname{sen} \theta \approx \theta \) in radianti.)
Teorema dei seni: in un triangolo qualsiasi con lati \(a, b, c\) opposti agli angoli \(\alpha , \beta , \gamma \) e raggio del
cerchio circoscritto \(R\),
Dimostrazione standard: si costruisce il punto diametralmente opposto a un vertice;
si ottiene un triangolo rettangolo con ipotenusa \(2R\) e angolo \(\alpha \) corrispondente (per il
teorema dell’angolo alla circonferenza).
Area del triangolo qualsiasi:
\[ A = \frac {1}{2} ab \operatorname{sen} \gamma = \frac {1}{2} ac \operatorname{sen} \beta = \frac {1}{2} bc \operatorname{sen} \alpha = \frac {abc}{4R}. \]
Casi di applicazione: ALA (angolo–lato–angolo, soluzione unica) e LLA
(lato–lato–angolo opposto, ambiguo). Nel caso LLA si verifica se \(\operatorname{sen} \beta = b\operatorname{sen} \alpha /a\) dà \(0, 1\) o \(2\) soluzioni.
Teorema della corda: una corda \(AB\) di un cerchio di raggio \(R\), vista da un punto del cerchio
con angolo \(\theta \) alla circonferenza, vale \(AB = 2R\operatorname{sen} \theta \).
Lato del poligono regolare inscritto: \(\ell _n = 2R\operatorname{sen} (\pi /n)\). Per \(n = 6\), \(\ell _6 = R\) (esagono).
Applicazioni: triangolazione topografica, navigazione, parallasse astronomica, formula
di Erone.
Storia: la prima formulazione esplicita è di Nasir al-Din al-Tusi (XIII sec.); nella
tradizione occidentale fu sistemata da Regiomontano (1464). In passato si studiava il
teorema dei seni sferico, alla base della cartografia.
Nel prossimo capitolo (107) studiamo il teorema del coseno (di Carnot), che fornisce
il legame mancante quando il teorema dei seni non è sufficiente (per esempio quando
si conoscono i tre lati, o due lati e l’angolo compreso).
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