Nel piano due rette o sono parallele o si incontrano: tertium non datur. Nello spazio aggiungiamo una terza
possibilità — le rette sghembe, che non si incontrano e non sono parallele. Aggiungere una dimensione
significa aggiungere una nuova categoria di posizione reciproca.”
— Euclide, Elementi libro XI, definizioni preliminari — prima trattazione sistematica delle proprietà di rette
e piani nello spazio
Apriamo qui la parte di geometria solida, ovvero la geometria delle figure nello spazio
tridimensionale. Tutto quanto fatto finora — triangoli, cerchi, poligoni — viveva nel piano, in due
dimensioni. Spostandoci nello spazio guadagniamo una nuova dimensione e nuove possibilità:
due rette possono essere parallele, incidenti, oppure sghembe (nuova categoria);
retta e piano possono essere paralleli, incidenti, oppure la retta può giacere nel piano;
due piani possono essere paralleli o incidenti (intersecandosi in una retta, non in un punto).
Le applicazioni della geometria dello spazio sono ovunque: architettura, ingegneria, computer
grafica, fisica (cinematica del moto nello spazio, ottica), chimica (geometria molecolare), cartografia.
Cominciamo dagli oggetti fondamentali — punti, rette, piani — e dalle loro posizioni
reciproche.
I postulati fondamentali della geometria dello spazio estendono quelli del piano (cap. 29).
Considereremo come enti primitivi i punti, le rette e i piani; le loro proprietà sono fissate dai
seguenti postulati.
Postulati di esistenza e determinazione (geometria dello spazio):
P1 (postulato del piano per tre punti): per tre punti non allineati passa uno e un solo
piano.
P2 (postulato della retta nel piano): se due punti di una retta appartengono a un
piano, l’intera retta appartiene al piano.
P3 (postulato di Euclide nello spazio): per un punto esterno a un piano passa uno e
un solo piano parallelo al primo.
P4 (intersezione di due piani): se due piani distinti hanno un punto in comune, allora
la loro intersezione è una retta.
Conseguenze dirette.
Tre punti allineati non individuano un piano: ne passano infiniti.
Una retta e un punto fuori di essa individuano sempre un piano (corollario di P1: il punto
e due punti distinti della retta sono tre non allineati).
Due rette incidenti individuano un piano (corollario: due punti su una retta + un punto
dell’altra retta fuori dalla prima, sono tre non allineati).
Due rette parallele individuano un piano (per definizione di rette parallele nello spazio,
vedi sotto).
Cinque modi di determinare un piano:
1.
tre punti non allineati;
2.
una retta e un punto fuori di essa;
3.
due rette incidenti;
4.
due rette parallele;
5.
un punto e una direzione di un vettore normale (vedi cap. 117).
complanari se esiste un piano che le contiene entrambe;
incidenti se sono complanari e hanno un punto in comune;
parallele se sono complanari e non hanno punti in comune (oppure se coincidono,
secondo alcune convenzioni); per indicare il parallelismo si scrive \(r \parallel s\);
sghembe se non sono complanari (e quindi non hanno nemmeno punti in comune).
Differenza rispetto al piano. Nel piano due rette o si incontrano o sono parallele: la categoria
“sghembe” non esiste, perché tutte le rette del piano sono già complanari.
Figura 109.1: Le tre posizioni reciproche di due rette nello spazio: parallele (complanari, no
punti in comune), incidenti (complanari, un punto in comune), sghembe (non complanari).
Come riconoscere se due rette sono sghembe
Due rette sono sghembe se e solo se non esiste alcun piano che le contiene entrambe.
Operativamente:
se hanno una direzione comune (vettori direttori proporzionali), sono parallele o
coincidenti;
se hanno direzioni diverse e si intersecano, sono incidenti;
se hanno direzioni diverse e non si intersecano, sono sghembe.
Angolo fra due rette nello spazio
Per due rette incidenti, l’angolo è quello fra esse formato (uno qualunque dei due supplementari).
Per due rette sghembe, l’angolo si definisce come l’angolo formato da due rette parallele alle
date, passanti per un qualunque punto \(P\) dello spazio (l’angolo è ben definito perché non dipende
dalla scelta di \(P\), grazie al parallelismo).
Definizione 109.2 — Retta giacente, incidente, parallela a un
piano
Una retta \(r\) e un piano \(\pi \) nello spazio possono presentarsi nelle seguenti posizioni:
\(r\) giace (è contenuta) in \(\pi \) se ogni punto di \(r\) appartiene a \(\pi \);
\(r\) è incidente a \(\pi \) se ha un solo punto in comune con \(\pi \);
\(r\) è parallela a \(\pi \) se non ha alcun punto in comune con \(\pi \) (e scriviamo \(r \parallel \pi \)).
Esistenza. Per il postulato P2, se una retta ha due punti in comune con un piano, vi giace tutta.
Quindi se ha più di un punto in comune con \(\pi \), vi è contenuta. Da qui il tertium non datur: una retta
ha \(0\), \(1\), oppure \(\infty \) punti in comune con un piano.
Criterio di parallelismo retta-piano
Criterio di parallelismo: una retta \(r\) esterna a un piano \(\pi \) è parallela a \(\pi \) se e solo se esiste
una retta \(s\) contenuta in \(\pi \) tale che \(r \parallel s\).
Visualizzazione. La retta \(r\) è “parallela” a una retta del piano: tirando una corda parallela a \(r\) sul
pavimento, l’intera \(r\) resta a quota fissa sopra il pavimento.
Angolo fra retta e piano
Quando una retta \(r\) è incidente a un piano \(\pi \) in un punto \(P\), l’angolo fra retta e piano si definisce come
l’angolo fra \(r\) e la sua proiezione ortogonale \(r'\) sul piano. È l’angolo minimo fra \(r\) e una qualunque retta
di \(\pi \) passante per \(P\). Si ha sempre \(0 \le \widehat {(r, \pi )} \le \pi /2\).
Caso particolare: se \(r \perp \pi \) (vedi cap. 110), l’angolo è \(\pi /2\).
Due piani \(\pi _1\) e \(\pi _2\) nello spazio possono essere:
coincidenti se sono lo stesso piano (l’intersezione è tutto il piano);
paralleli se non hanno alcun punto in comune (scriviamo \(\pi _1 \parallel \pi _2\));
incidenti (o secanti) se hanno punti in comune ma non coincidono: per il postulato
P4, l’intersezione è una retta.
Tertium non datur. Per i postulati, due piani distinti non possono avere come intersezione un
solo punto: se hanno un punto in comune, hanno un’intera retta in comune.
Criterio di parallelismo fra piani
Criterio di parallelismo fra piani: due piani \(\pi _1\) e \(\pi _2\) sono paralleli se e solo se esistono due
rette incidenti in \(\pi _1\) entrambe parallele a \(\pi _2\).
Idea. “Bastano due direzioni indipendenti” su un piano per garantire il parallelismo: se entrambe
sono parallele all’altro piano, l’intero piano è “orizzontale” rispetto all’altro.
Diedro: anticipo
Quando due piani sono incidenti, formano un diedro, una figura solida che generalizza il concetto di
angolo. Lo studieremo in dettaglio in cap. 110.
Esempio 109.1 — Spigoli di un cubo:
classificazione
Considerare il cubo \(ABCDEFGH\) con \(ABCD\) faccia inferiore ed \(EFGH\) faccia superiore (in corrispondenza diretta: \(A\)
sotto \(E\), ecc.). Classificare le posizioni reciproche delle coppie di rette individuate
da:
1.
\(AB\) e \(CD\) (spigoli opposti della faccia inferiore);
2.
\(AB\) e \(EF\) (spigoli paralleli su facce opposte);
3.
\(AB\) e \(BC\) (spigoli consecutivi della faccia inferiore);
4.
\(AB\) e \(DH\) (spigoli su facce diverse, non incidenti).
Risposte.
1.
Parallele: complanari (sulla faccia \(ABCD\)) e senza punti in comune.
2.
Parallele: complanari sul piano che contiene la faccia laterale \(ABFE\).
3.
Incidenti in \(B\).
4.
Sghembe: non sono complanari (qualunque piano contenente \(AB\) non contiene \(DH\), perché \(H\)
non è coplanare con \(AB\) e \(D\)).
Esempio 109.2 — Posizione di una diagonale rispetto a una
faccia
Considerando ancora il cubo, qual è la posizione reciproca della diagonale \(AG\) rispetto al
piano della faccia \(ABCD\)?
Risposta. La diagonale \(AG\) passa per il vertice \(A\) (che appartiene al piano \(ABCD\)) e per il vertice \(G\)
(che non appartiene a \(ABCD\), essendo sulla faccia superiore). Quindi \(AG\) ha esattamente un punto
in comune con \(ABCD\) (il punto \(A\)): è incidente al piano.
Angolo fra \(AG\) e il piano \(ABCD\). La proiezione di \(G\) su \(ABCD\) è \(C\) (perpendicolare allo spigolo verticale).
Quindi la proiezione di \(AG\) sul piano è \(AC\). L’angolo fra \(AG\) e \(AC\) è \(\widehat {GAC}\), che nel cubo di lato \(\ell \) ha:
\[ AC = \ell \sqrt {2} \quad \text {(diagonale di faccia)}, \quad CG = \ell , \quad AG = \ell \sqrt {3} \quad \text {(diagonale del cubo)}. \]
Nel triangolo rettangolo \(ACG\) (rettangolo in \(C\)):
Esempio 109.3 — Due piani paralleli e una retta
secante
Due piani paralleli \(\pi _1\) e \(\pi _2\) sono “tagliati” da una stessa retta \(r\). Mostrare che \(r\) interseca
entrambi i piani.
Argomento. Se \(r\) fosse parallela a \(\pi _1\) (e diversa da una sua retta), non lo intersecherebbe;
per la stessa ragione sarebbe parallela a \(\pi _2\) (per il parallelismo di \(\pi _1\) e \(\pi _2\)). Ma una retta o è
parallela a entrambi i piani o li interseca entrambi: non ci sono casi misti, perché \(\pi _1\) e \(\pi _2\)
sono congruenti rispetto alle direzioni.
Lezione. La distanza fra due piani paralleli è costante: la lunghezza del segmento \(r \cap \pi _1 \, r \cap \pi _2\), se \(r\) è
perpendicolare ad entrambi, è la distanza fra i due piani.
Esempio 109.4 — Tre rette concorrenti:
complanari?
Tre rette \(r, s, t\) a coppie incidenti si dicono concorrenti. Sono necessariamente complanari?
Risposta. No, in generale: tre spigoli di un tetraedro uscenti dallo stesso vertice si
incontrano nel vertice (a coppie), ma non sono complanari.
Caso speciale. Tre rette a coppie incidenti sono complanari se e solo se passano per
uno stesso punto, oppure se sono a due a due incidenti in tre punti diversi che giacciono
su uno stesso piano (caso degenere).
Esempio 109.5 — Determinazione del piano da una retta e un punto
esterno
Date la retta \(r\) e il punto \(P\) esterno a \(r\), descrivere il piano determinato.
Geometria. Prendiamo due punti distinti \(A, B \in r\). Il piano è determinato dai tre punti non
allineati \(A, B, P\) (P1).
Concretamente, è il piano che contiene \(r\) e che “si solleva” verso \(P\). Tutti i punti di \(r\) vi
appartengono (P2), e anche \(P\) vi appartiene per costruzione.
Considerare un cubo \(ABCDEFGH\) (con \(EFGH\) sopra \(ABCD\)). Classificare la posizione reciproca delle seguenti coppie
di rette:
(a)
\(AB\) e \(GH\);
(b)
\(AE\) e \(CG\);
(c)
\(AB\) e \(EH\);
(d)
\(AC\) (diagonale della faccia inferiore) e \(EG\);
(e)
\(AC\) ed \(EH\);
(f)
\(AB\) e \(DG\) (diagonale di una faccia laterale).
2.
Sia \(\pi \) il piano della faccia \(ABCD\) del cubo. Per ciascuna retta, stabilire se è parallela, incidente o
giacente in \(\pi \):
(a)
\(EF\);
(b)
\(AE\);
(c)
\(BD\);
(d)
\(EG\) (diagonale della faccia superiore);
(e)
\(AG\) (diagonale del cubo).
3.
Classificare la posizione reciproca dei seguenti piani in un cubo \(ABCDEFGH\):
(a)
piano \(ABCD\) e piano \(EFGH\);
(b)
piano \(ABCD\) e piano \(ABFE\);
(c)
piano \(ABFE\) e piano \(DCGH\);
(d)
piano \(ABCD\) e piano \(ACGE\) (passante per la diagonale del cubo).
4.
Vero o falso (giustificando):
(a)
se due rette nello spazio non si intersecano, sono parallele;
(b)
se una retta è parallela a due rette di un piano, è parallela al piano;
(c)
due rette parallele a una stessa retta sono parallele fra loro;
(d)
due piani paralleli a una stessa retta sono paralleli fra loro;
(e)
due rette parallele a uno stesso piano sono parallele fra loro.
5.
Mostrare che, dati una retta \(r\) e un piano \(\pi \) paralleli, esiste una sola retta \(s\) contenuta in \(\pi \) e
parallela a \(r\) passante per un punto fissato \(P \in \pi \).
6.
In un tetraedro regolare \(ABCD\) (le quattro facce sono triangoli equilateri), classificare la posizione
reciproca delle coppie di spigoli:
(a)
\(AB\) e \(AC\);
(b)
\(AB\) e \(CD\).
7.
Mostrare che, dati tre punti non allineati nello spazio, il piano da essi determinato è unico.
(Suggerimento: per assurdo, due piani distinti per i tre punti avrebbero almeno tre punti in
comune, contraddicendo P4.)
8.
Considerando una stanza rettangolare (come un parallelepipedo), elencare:
(a)
tutte le coppie di spigoli paralleli che escono da un vertice;
(b)
tutte le coppie di facce parallele;
(c)
tutte le coppie di facce perpendicolari;
(d)
un esempio di spigoli sghembi.
9.
Una retta \(r\) è parallela a un piano \(\pi \). La sua proiezione ortogonale sul piano è una retta \(r'\).
Mostrare che \(r \parallel r'\).
10.
In un cubo di lato \(\ell = 1\,{\mathrm{m} }\), calcolare:
(a)
la lunghezza della diagonale di una faccia;
(b)
la lunghezza della diagonale del cubo;
(c)
l’angolo fra la diagonale del cubo e una faccia (vedi esempio svolto);
(d)
l’angolo fra la diagonale del cubo e uno spigolo.
11.
Sfida. Mostrare che nello spazio è possibile disporre quattro rette a due a due sghembe
(cioè ogni coppia di rette è sghemba). Esempio: i prolungamenti di quattro spigoli di un
cubo opportunamente scelti.
12.
Sfida (rette sghembe). Date due rette sghembe \(r\) e \(s\), esiste un’unica perpendicolare comune:
una retta che incontra entrambe formando angolo retto con entrambe. (Risultato
classico, da accettare per ora.) Verificarne l’unicità in un esempio: cubo con \(r = AB\) e
\(s = EH\).
13.
Dimostrare il teorema di Talete nello spazio: tre piani paralleli intersecano due rette
trasversali secondo segmenti proporzionali. (Suggerimento: ridursi a un piano usando una
retta ausiliaria.)
14.
In un parallelepipedo rettangolo di dimensioni \(a, b, c\) (parallelepipedo retto a base rettangolare),
calcolare:
(a)
la lunghezza della diagonale principale (suggerimento: due applicazioni di
Pitagora);
(b)
l’angolo che la diagonale forma con la base.
15.
Dimostrare che, se una retta \(r\) è parallela a un piano \(\pi \) e \(\pi \) è parallelo a un altro piano \(\pi '\), allora \(r\)
è parallela a \(\pi '\) (oppure giace in \(\pi '\)). (Transitività debole.)
per tre punti non allineati passa un unico piano (P1);
se due punti di una retta sono in un piano, l’intera retta è nel piano (P2);
per un punto esterno passa un unico piano parallelo a un piano dato (P3);
due piani distinti con un punto in comune si intersecano in una retta (P4).
Modi di determinare un piano: tre punti non allineati; retta + punto esterno; due rette
incidenti; due rette parallele; punto + direzione normale.
Posizioni di due rette nello spazio:
incidenti (complanari, un punto in comune);
parallele (complanari, nessun punto in comune);
sghembe (non complanari, ovviamente senza punti in comune).
Posizioni di retta e piano: la retta giace nel piano (\(\infty \) punti in comune), oppure è incidente (1
punto in comune), oppure è parallela (\(0\) punti in comune).
Posizioni di due piani: coincidenti, paralleli (nessun punto in comune), incidenti
(intersezione = una retta).
Criterio di parallelismo retta-piano: \(r \parallel \pi \) sse esiste \(s \subset \pi \) con \(r \parallel s\).
Criterio di parallelismo fra piani: \(\pi _1 \parallel \pi _2\) sse esistono due rette incidenti in \(\pi _1\) entrambe parallele a
\(\pi _2\).
Angolo fra due rette sghembe: angolo fra rette parallele alle date, passanti per un punto
comune (definizione indipendente dal punto).
Angolo fra retta e piano (retta incidente al piano): angolo fra la retta e la sua proiezione
ortogonale sul piano.
Categoria nuova: le rette sghembe, assenti nel piano, sono la novità della geometria nello
spazio.
Nel prossimo capitolo (110) introduciamo diedri, perpendicolarità retta-piano e il teorema
delle tre perpendicolari.
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