[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

Capitolo 109
Rette e piani nello spazio: posizioni reciproche

WEB (Materiali vari)

“

Studia questo capitolo con l’AI: quiz, esercizi e altro

Ripassa con le flashcard

Esercizi auto-generati

Sorgente di questo capitolo

Schede, test e video di matematika.it

Nel piano due rette o sono parallele o si incontrano: tertium non datur. Nello spazio aggiungiamo una terza possibilità — le rette sghembe, che non si incontrano e non sono parallele. Aggiungere una dimensione significa aggiungere una nuova categoria di posizione reciproca.”

— Euclide, Elementi libro XI, definizioni preliminari — prima trattazione sistematica delle proprietà di rette e piani nello spazio

____________________________________________________________________________________

109.1 Introduzione motivazionale

quiz e materiali con l’AI

Apriamo qui la parte di geometria solida, ovvero la geometria delle figure nello spazio tridimensionale. Tutto quanto fatto finora — triangoli, cerchi, poligoni — viveva nel piano, in due dimensioni. Spostandoci nello spazio guadagniamo una nuova dimensione e nuove possibilità:

Le applicazioni della geometria dello spazio sono ovunque: architettura, ingegneria, computer grafica, fisica (cinematica del moto nello spazio, ottica), chimica (geometria molecolare), cartografia. Cominciamo dagli oggetti fondamentali — punti, rette, piani — e dalle loro posizioni reciproche.

109.2 Postulati dello spazio

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

I postulati fondamentali della geometria dello spazio estendono quelli del piano (cap. 29). Considereremo come enti primitivi i punti, le rette e i piani; le loro proprietà sono fissate dai seguenti postulati.

Postulati di esistenza e determinazione (geometria dello spazio):

Conseguenze dirette.

Cinque modi di determinare un piano:

1.
tre punti non allineati;
2.
una retta e un punto fuori di essa;
3.
due rette incidenti;
4.
due rette parallele;
5.
un punto e una direzione di un vettore normale (vedi cap. 117).

109.3 Posizioni di due rette nello spazio

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

Definizione 109.1 — Rette complanari, incidenti, parallele, sghembe

Due rette \(r\) e \(s\) nello spazio si dicono:

Differenza rispetto al piano. Nel piano due rette o si incontrano o sono parallele: la categoria “sghembe” non esiste, perché tutte le rette del piano sono già complanari.

[Picture]

Figura 109.1: Le tre posizioni reciproche di due rette nello spazio: parallele (complanari, no punti in comune), incidenti (complanari, un punto in comune), sghembe (non complanari).

Come riconoscere se due rette sono sghembe

Due rette sono sghembe se e solo se non esiste alcun piano che le contiene entrambe. Operativamente:

Angolo fra due rette nello spazio

Per due rette incidenti, l’angolo è quello fra esse formato (uno qualunque dei due supplementari).

Per due rette sghembe, l’angolo si definisce come l’angolo formato da due rette parallele alle date, passanti per un qualunque punto \(P\) dello spazio (l’angolo è ben definito perché non dipende dalla scelta di \(P\), grazie al parallelismo).

109.4 Posizioni di retta e piano

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

Definizione 109.2 — Retta giacente, incidente, parallela a un piano

Una retta \(r\) e un piano \(\pi \) nello spazio possono presentarsi nelle seguenti posizioni:

Esistenza. Per il postulato P2, se una retta ha due punti in comune con un piano, vi giace tutta. Quindi se ha più di un punto in comune con \(\pi \), vi è contenuta. Da qui il tertium non datur: una retta ha \(0\), \(1\), oppure \(\infty \) punti in comune con un piano.

Criterio di parallelismo retta-piano

Criterio di parallelismo: una retta \(r\) esterna a un piano \(\pi \) è parallela a \(\pi \) se e solo se esiste una retta \(s\) contenuta in \(\pi \) tale che \(r \parallel s\).

Visualizzazione. La retta \(r\) è “parallela” a una retta del piano: tirando una corda parallela a \(r\) sul pavimento, l’intera \(r\) resta a quota fissa sopra il pavimento.

Angolo fra retta e piano

Quando una retta \(r\) è incidente a un piano \(\pi \) in un punto \(P\), l’angolo fra retta e piano si definisce come l’angolo fra \(r\) e la sua proiezione ortogonale \(r'\) sul piano. È l’angolo minimo fra \(r\) e una qualunque retta di \(\pi \) passante per \(P\). Si ha sempre \(0 \le \widehat {(r, \pi )} \le \pi /2\).

Caso particolare: se \(r \perp \pi \) (vedi cap. 110), l’angolo è \(\pi /2\).

109.5 Posizioni di due piani

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

Definizione 109.3 — Piani paralleli, incidenti, coincidenti

Due piani \(\pi _1\) e \(\pi _2\) nello spazio possono essere:

Tertium non datur. Per i postulati, due piani distinti non possono avere come intersezione un solo punto: se hanno un punto in comune, hanno un’intera retta in comune.

Criterio di parallelismo fra piani

Criterio di parallelismo fra piani: due piani \(\pi _1\) e \(\pi _2\) sono paralleli se e solo se esistono due rette incidenti in \(\pi _1\) entrambe parallele a \(\pi _2\).

Idea. “Bastano due direzioni indipendenti” su un piano per garantire il parallelismo: se entrambe sono parallele all’altro piano, l’intero piano è “orizzontale” rispetto all’altro.

Diedro: anticipo

Quando due piani sono incidenti, formano un diedro, una figura solida che generalizza il concetto di angolo. Lo studieremo in dettaglio in cap. 110.

109.6 Esempi svolti

quiz e materiali con l’AI

Esempio 109.1 — Spigoli di un cubo: classificazione

Considerare il cubo \(ABCDEFGH\) con \(ABCD\) faccia inferiore ed \(EFGH\) faccia superiore (in corrispondenza diretta: \(A\) sotto \(E\), ecc.). Classificare le posizioni reciproche delle coppie di rette individuate da:

1.
\(AB\) e \(CD\) (spigoli opposti della faccia inferiore);
2.
\(AB\) e \(EF\) (spigoli paralleli su facce opposte);
3.
\(AB\) e \(BC\) (spigoli consecutivi della faccia inferiore);
4.
\(AB\) e \(DH\) (spigoli su facce diverse, non incidenti).

Risposte.

1.
Parallele: complanari (sulla faccia \(ABCD\)) e senza punti in comune.
2.
Parallele: complanari sul piano che contiene la faccia laterale \(ABFE\).
3.
Incidenti in \(B\).
4.
Sghembe: non sono complanari (qualunque piano contenente \(AB\) non contiene \(DH\), perché \(H\) non è coplanare con \(AB\) e \(D\)).

Esempio 109.2 — Posizione di una diagonale rispetto a una faccia

Considerando ancora il cubo, qual è la posizione reciproca della diagonale \(AG\) rispetto al piano della faccia \(ABCD\)?

Risposta. La diagonale \(AG\) passa per il vertice \(A\) (che appartiene al piano \(ABCD\)) e per il vertice \(G\) (che non appartiene a \(ABCD\), essendo sulla faccia superiore). Quindi \(AG\) ha esattamente un punto in comune con \(ABCD\) (il punto \(A\)): è incidente al piano.

Angolo fra \(AG\) e il piano \(ABCD\). La proiezione di \(G\) su \(ABCD\) è \(C\) (perpendicolare allo spigolo verticale). Quindi la proiezione di \(AG\) sul piano è \(AC\). L’angolo fra \(AG\) e \(AC\) è \(\widehat {GAC}\), che nel cubo di lato \(\ell \) ha:

\[ AC = \ell \sqrt {2} \quad \text {(diagonale di faccia)}, \quad CG = \ell , \quad AG = \ell \sqrt {3} \quad \text {(diagonale del cubo)}. \]

Nel triangolo rettangolo \(ACG\) (rettangolo in \(C\)):

\[ \operatorname{tg} \widehat {GAC} = \frac {CG}{AC} = \frac {\ell }{\ell \sqrt {2}} = \frac {1}{\sqrt {2}}, \qquad \widehat {GAC} = \operatorname{arctg} (1/\sqrt {2}) \approx 35.26°. \]

Esempio 109.3 — Due piani paralleli e una retta secante

Due piani paralleli \(\pi _1\) e \(\pi _2\) sono “tagliati” da una stessa retta \(r\). Mostrare che \(r\) interseca entrambi i piani.

Argomento. Se \(r\) fosse parallela a \(\pi _1\) (e diversa da una sua retta), non lo intersecherebbe; per la stessa ragione sarebbe parallela a \(\pi _2\) (per il parallelismo di \(\pi _1\) e \(\pi _2\)). Ma una retta o è parallela a entrambi i piani o li interseca entrambi: non ci sono casi misti, perché \(\pi _1\) e \(\pi _2\) sono congruenti rispetto alle direzioni.

Lezione. La distanza fra due piani paralleli è costante: la lunghezza del segmento \(r \cap \pi _1 \, r \cap \pi _2\), se \(r\) è perpendicolare ad entrambi, è la distanza fra i due piani.

Esempio 109.4 — Tre rette concorrenti: complanari?

Tre rette \(r, s, t\) a coppie incidenti si dicono concorrenti. Sono necessariamente complanari?

Risposta. No, in generale: tre spigoli di un tetraedro uscenti dallo stesso vertice si incontrano nel vertice (a coppie), ma non sono complanari.

Caso speciale. Tre rette a coppie incidenti sono complanari se e solo se passano per uno stesso punto, oppure se sono a due a due incidenti in tre punti diversi che giacciono su uno stesso piano (caso degenere).

Esempio 109.5 — Determinazione del piano da una retta e un punto esterno

Date la retta \(r\) e il punto \(P\) esterno a \(r\), descrivere il piano determinato.

Geometria. Prendiamo due punti distinti \(A, B \in r\). Il piano è determinato dai tre punti non allineati \(A, B, P\) (P1).

Concretamente, è il piano che contiene \(r\) e che “si solleva” verso \(P\). Tutti i punti di \(r\) vi appartengono (P2), e anche \(P\) vi appartiene per costruzione.

109.7 Esercizi proposti

quiz e materiali con l’AI

Esercizio 109.1

1.
Considerare un cubo \(ABCDEFGH\) (con \(EFGH\) sopra \(ABCD\)). Classificare la posizione reciproca delle seguenti coppie di rette:
(a)
\(AB\) e \(GH\);
(b)
\(AE\) e \(CG\);
(c)
\(AB\) e \(EH\);
(d)
\(AC\) (diagonale della faccia inferiore) e \(EG\);
(e)
\(AC\) ed \(EH\);
(f)
\(AB\) e \(DG\) (diagonale di una faccia laterale).
2.
Sia \(\pi \) il piano della faccia \(ABCD\) del cubo. Per ciascuna retta, stabilire se è parallela, incidente o giacente in \(\pi \):
(a)
\(EF\);
(b)
\(AE\);
(c)
\(BD\);
(d)
\(EG\) (diagonale della faccia superiore);
(e)
\(AG\) (diagonale del cubo).
3.
Classificare la posizione reciproca dei seguenti piani in un cubo \(ABCDEFGH\):
(a)
piano \(ABCD\) e piano \(EFGH\);
(b)
piano \(ABCD\) e piano \(ABFE\);
(c)
piano \(ABFE\) e piano \(DCGH\);
(d)
piano \(ABCD\) e piano \(ACGE\) (passante per la diagonale del cubo).
4.
Vero o falso (giustificando):
(a)
se due rette nello spazio non si intersecano, sono parallele;
(b)
se una retta è parallela a due rette di un piano, è parallela al piano;
(c)
due rette parallele a una stessa retta sono parallele fra loro;
(d)
due piani paralleli a una stessa retta sono paralleli fra loro;
(e)
due rette parallele a uno stesso piano sono parallele fra loro.
5.
Mostrare che, dati una retta \(r\) e un piano \(\pi \) paralleli, esiste una sola retta \(s\) contenuta in \(\pi \) e parallela a \(r\) passante per un punto fissato \(P \in \pi \).
6.
In un tetraedro regolare \(ABCD\) (le quattro facce sono triangoli equilateri), classificare la posizione reciproca delle coppie di spigoli:
(a)
\(AB\) e \(AC\);
(b)
\(AB\) e \(CD\).
7.
Mostrare che, dati tre punti non allineati nello spazio, il piano da essi determinato è unico. (Suggerimento: per assurdo, due piani distinti per i tre punti avrebbero almeno tre punti in comune, contraddicendo P4.)
8.
Considerando una stanza rettangolare (come un parallelepipedo), elencare:
(a)
tutte le coppie di spigoli paralleli che escono da un vertice;
(b)
tutte le coppie di facce parallele;
(c)
tutte le coppie di facce perpendicolari;
(d)
un esempio di spigoli sghembi.
9.
Una retta \(r\) è parallela a un piano \(\pi \). La sua proiezione ortogonale sul piano è una retta \(r'\). Mostrare che \(r \parallel r'\).
10.
In un cubo di lato \(\ell = 1\,{\mathrm{m} }\), calcolare:
(a)
la lunghezza della diagonale di una faccia;
(b)
la lunghezza della diagonale del cubo;
(c)
l’angolo fra la diagonale del cubo e una faccia (vedi esempio svolto);
(d)
l’angolo fra la diagonale del cubo e uno spigolo.
11.
Sfida. Mostrare che nello spazio è possibile disporre quattro rette a due a due sghembe (cioè ogni coppia di rette è sghemba). Esempio: i prolungamenti di quattro spigoli di un cubo opportunamente scelti.
12.
Sfida (rette sghembe). Date due rette sghembe \(r\) e \(s\), esiste un’unica perpendicolare comune: una retta che incontra entrambe formando angolo retto con entrambe. (Risultato classico, da accettare per ora.) Verificarne l’unicità in un esempio: cubo con \(r = AB\) e \(s = EH\).
13.
Dimostrare il teorema di Talete nello spazio: tre piani paralleli intersecano due rette trasversali secondo segmenti proporzionali. (Suggerimento: ridursi a un piano usando una retta ausiliaria.)
14.
In un parallelepipedo rettangolo di dimensioni \(a, b, c\) (parallelepipedo retto a base rettangolare), calcolare:
(a)
la lunghezza della diagonale principale (suggerimento: due applicazioni di Pitagora);
(b)
l’angolo che la diagonale forma con la base.
15.
Dimostrare che, se una retta \(r\) è parallela a un piano \(\pi \) e \(\pi \) è parallelo a un altro piano \(\pi '\), allora \(r\) è parallela a \(\pi '\) (oppure giace in \(\pi '\)). (Transitività debole.)

109.8 Riepilogo del capitolo

quiz e materiali con l’AI

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]