117 Equazione del piano nello spazio

“

Un piano nello spazio è interamente determinato dal suo vettore normale e da un punto. L’equazione cartesiana che ne deriva, \(ax + by + cz = d\), è la naturale generalizzazione della retta nel piano, \(ax + by = c\): si aggiunge una variabile, ma la forma è la stessa. Algebra e geometria si incontrano in una formula di una eleganza disarmante.”

— Adattato da Joseph-Louis Lagrange, Théorie des fonctions analytiques (1797) — formalizzazione moderna della rappresentazione cartesiana dei piani

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117.1 Introduzione motivazionale

In questo capitolo applichiamo gli strumenti vettoriali del capitolo precedente (116) al problema fondamentale della geometria analitica nello spazio: come si scrive l’equazione di un piano?

Il principio guida è il vettore normale: un piano è caratterizzato dalla direzione perpendicolare a esso. Conoscendo questa direzione (un vettore \(\vec {n}\)) e un punto del piano, l’equazione si scrive immediatamente. Tutte le proprietà del piano — parallelismo, perpendicolarità, distanza da un punto — si esprimono in termini di operazioni vettoriali sul vettore normale.

L’equazione cartesiana del piano è \(ax + by + cz = d\), dove \((a, b, c)\) sono le componenti del vettore normale. È la naturale generalizzazione della retta nel piano \(ax + by = c\) (cap. 70): si aggiunge una coordinata, ma la struttura algebrica è la stessa.

117.2 Equazione cartesiana del piano

Definizione 117.1 — Equazione cartesiana del piano

Un piano \(\pi \) nello spazio ha equazione cartesiana

\[ ax + by + cz + d = 0, \]

dove \(a, b, c, d \in \mathbb{R} \) e \((a, b, c) \ne (0, 0, 0)\) (cioè i tre coefficienti non sono tutti nulli).

Cosa rappresentano i coefficienti. Il vettore \(\vec {n} = (a, b, c)\) è il vettore normale al piano (vedremo nella prossima sezione perché). Il termine noto \(d\) è legato alla distanza del piano dall’origine.

Equazione di un piano passante per un punto, dato il vettore normale

Piano per \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) con vettore normale \(\vec {n} = (a, b, c)\):

\[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0. \]

Sviluppando: \(ax + by + cz - (ax_0 + by_0 + cz_0) = 0\), cioè \(ax + by + cz + d = 0\) con \(d = -(ax_0 + by_0 + cz_0)\).

Derivazione. Sia \(P = (x, y, z)\) un punto generico del piano. Allora \(\vec {P_0 P} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)\) giace nel piano e dunque è perpendicolare al vettore normale \(\vec {n}\). La condizione di perpendicolarità è \(\vec {n} \cdot \vec {P_0 P} = 0\):

Equazione di un piano per tre punti non allineati

Dati tre punti \(A, B, C\) non allineati nello spazio, l’equazione del piano è data dal determinante:

Piano per tre punti \(A, B, C\):

\[ \det \begin {pmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \end {pmatrix} = 0. \]

Interpretazione. L’equazione esprime che il prodotto misto \([\vec {AP}, \vec {AB}, \vec {AC}] = 0\), cioè i tre vettori sono complanari — esattamente quanto richiediamo se \(P\) deve appartenere al piano per \(A, B, C\).

Equazione segmentaria del piano

Se un piano non passa per l’origine, lo si può scrivere in forma segmentaria:

Forma segmentaria:

\[ \frac {x}{p} + \frac {y}{q} + \frac {z}{r} = 1, \]

dove \(p, q, r\) sono le coordinate dei punti di intersezione del piano con i tre assi (intercette).

Piani particolari

Piani coordinati e paralleli:

\(z = 0\): piano \(xy\);
\(y = 0\): piano \(xz\);
\(x = 0\): piano \(yz\);
\(z = k\): piano parallelo al piano \(xy\) a quota \(k\);
\(\pi \) passante per l’origine: \(d = 0\), cioè \(ax + by + cz = 0\).

117.3 Vettore normale al piano

Definizione 117.2 — Vettore normale al piano

Dato un piano di equazione \(ax + by + cz + d = 0\), il vettore \(\vec {n} = (a, b, c)\) si chiama vettore normale al piano: è perpendicolare a ogni vettore giacente nel piano.

Proprietà. Il vettore normale è definito a meno di un fattore moltiplicativo: \(\vec {n} = (a, b, c)\) e \(\lambda \vec {n} = (\lambda a, \lambda b, \lambda c)\) individuano lo stesso piano (le equazioni \(ax+by+cz+d=0\) e \(\lambda a x+\lambda b y+\lambda cz+\lambda d=0\) sono equivalenti).

Calcolo del vettore normale da tre punti

Dati tre punti \(A, B, C\) del piano, il vettore normale si calcola tramite il prodotto vettoriale:

È perpendicolare sia a \(\vec {AB}\) sia a \(\vec {AC}\), dunque a tutto il piano determinato dai tre punti.

Procedura — Equazione del piano per tre punti, via vettore normale

Dati \(A, B, C\) non allineati:

1.: Calcolare \(\vec {AB} = B - A\) e \(\vec {AC} = C - A\).
2.: Calcolare \(\vec {n} = \vec {AB} \times \vec {AC} = (a, b, c)\).
3.: Scrivere l’equazione: \(a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0\).

117.4 Posizione fra due piani

Dati due piani \(\pi _1: a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0\) e \(\pi _2: a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0\), con vettori normali \(\vec {n}_1 = (a_1, b_1, c_1)\) e \(\vec {n}_2 = (a_2, b_2, c_2)\):

Posizioni reciproche:

paralleli (coincidenti o distinti): \(\vec {n}_1 \parallel \vec {n}_2\), cioè i coefficienti \((a_1, b_1, c_1)\) e \((a_2, b_2, c_2)\) sono proporzionali. Se anche \(d\) è in proporzione: coincidenti; altrimenti: distinti paralleli.
perpendicolari: \(\vec {n}_1 \cdot \vec {n}_2 = 0\), cioè \(a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0\).
incidenti (non paralleli): formano una retta come intersezione, e si incontrano con un angolo diedro.

Angolo fra due piani

Angolo fra due piani incidenti (l’angolo diedro acuto):

\[ \cos \theta = \frac {|\vec {n}_1 \cdot \vec {n}_2|}{|\vec {n}_1| \cdot |\vec {n}_2|}. \]

(Il valore assoluto al numeratore garantisce \(\theta \in [0, \pi /2]\).)

117.5 Distanza punto-piano

Distanza di un punto \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\) dal piano \(\pi : ax + by + cz + d = 0\):

\[ d(P_1, \pi ) = \frac {|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}. \]

Dimostrazione. Sia \(P_0\) il piede della perpendicolare da \(P_1\) al piano. Il vettore \(\vec {P_0 P_1}\) è parallelo al vettore normale \(\vec {n} = (a, b, c)\). La sua proiezione scalare lungo \(\vec {n}\) è \(d(P_0, P_1)\) (con segno).

Per un punto \(P_*\) qualunque del piano (con \(a x_* + b y_* + c z_* + d = 0\)), la proiezione di \(\vec {P_* P_1}\) su \(\vec {n}\) vale:

Forma normalizzata dell’equazione del piano

Equazione normalizzata: dividendo per \(\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}\),

\[ \frac {ax + by + cz + d}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} = 0, \]

si ottiene il primo membro che, valutato in un punto \(P_1\), dà direttamente \(\pm d(P_1, \pi )\) (positivo nel “semispazio” indicato da \(\vec {n}\), negativo nell’altro).

117.6 Esempi svolti

Esempio 117.1 — Piano per un punto, dato il normale

Scrivere l’equazione del piano passante per \(P_0 = (1, 2, -1)\) con vettore normale \(\vec {n} = (3, -1, 2)\).

Algebra: \(3(x - 1) - (y - 2) + 2(z + 1) = 0 \iff 3x - y + 2z + (- 3 + 2 + 2) = 0 \iff 3x - y + 2z + 1 = 0\).

Esempio 117.2 — Piano per tre punti

Scrivere l’equazione del piano passante per \(A = (1, 0, 0)\), \(B = (0, 2, 0)\), \(C = (0, 0, 3)\).

Strategia 1 (forma segmentaria). Le intercette sono \(p = 1, q = 2, r = 3\):

\[ \frac {x}{1} + \frac {y}{2} + \frac {z}{3} = 1 \iff 6x + 3y + 2z = 6. \]

Strategia 2 (vettore normale). \(\vec {AB} = (-1, 2, 0)\), \(\vec {AC} = (-1, 0, 3)\).

\[ \vec {n} = \vec {AB} \times \vec {AC} = (6, 3, 2). \]

Equazione: \(6(x - 1) + 3 y + 2 z = 0 \iff 6x + 3y + 2z = 6\). \(\checkmark\)

Esempio 117.3 — Piani paralleli

Stabilire se i piani \(\pi _1: 2x - y + 3z + 5 = 0\) e \(\pi _2: -4x + 2y - 6z + 1 = 0\) sono paralleli.

Vettori normali: \(\vec {n}_1 = (2, -1, 3)\), \(\vec {n}_2 = (-4, 2, -6)\).

Verifica: \(\vec {n}_2 = -2 \vec {n}_1\), dunque sono proporzionali.

Conclusione: i piani sono paralleli. Sono coincidenti? No: per esserlo dovrebbe valere anche \(d_2 = -2 d_1\), ma \(1 \ne -2 \cdot 5 = -10\). Dunque sono paralleli distinti.

Esempio 117.4 — Piani perpendicolari

Stabilire se i piani \(\pi _1: x + 2y + 3z = 0\) e \(\pi _2: 2x + y - \dfrac {4}{3}z + 1 = 0\) sono perpendicolari.

Prodotto scalare dei normali: \(\vec {n}_1 \cdot \vec {n}_2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-4/3) = 2 + 2 - 4 = 0\).

Conclusione: sì, \(\pi _1 \perp \pi _2\).

Esempio 117.5 — Angolo fra due piani

Calcolare l’angolo fra i piani \(\pi _1: x + y + z = 0\) e \(\pi _2: x - y = 0\).

Normali: \(\vec {n}_1 = (1, 1, 1)\), \(\vec {n}_2 = (1, -1, 0)\).

Prodotto scalare: \(\vec {n}_1 \cdot \vec {n}_2 = 1 - 1 + 0 = 0\).

Angolo: \(\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi /2\). I piani sono perpendicolari.

Esempio 117.6 — Distanza punto-piano

Calcolare la distanza del punto \(P_1 = (1, -1, 2)\) dal piano \(\pi : 2x + 2y + z - 3 = 0\).

Algebra:

\[ d = \frac {|2(1) + 2(-1) + 1(2) - 3|}{\sqrt {4 + 4 + 1}} = \frac {|2 - 2 + 2 - 3|}{3} = \frac {1}{3}. \]

Esempio 117.7 — Distanza fra piani paralleli

Calcolare la distanza fra i piani paralleli \(\pi _1: x + 2y - 2z + 1 = 0\) e \(\pi _2: x + 2y - 2z + 4 = 0\).

Strategia. Prendere un punto qualunque di \(\pi _1\) e calcolarne la distanza da \(\pi _2\).

Punto su \(\pi _1\): ponendo \(y = z = 0\) in \(x + 1 = 0\), \(P_1 = (-1, 0, 0)\).

Distanza da \(\pi _2\):

\[ d = \frac {|(-1) + 0 - 0 + 4|}{\sqrt {1 + 4 + 4}} = \frac {3}{3} = 1. \]

117.7 Esercizi proposti

Esercizio 117.1

1.

Scrivere l’equazione del piano passante per il punto \(P_0\) con vettore normale \(\vec {n}\):

(a): \(P_0 = (1, 0, 0)\), \(\vec {n} = (1, 1, 1)\);
(b): \(P_0 = (2, -3, 1)\), \(\vec {n} = (4, 0, -2)\);
(c): \(P_0 = (0, 0, 0)\), \(\vec {n} = (2, -1, 3)\);
(d): \(P_0 = (1, 2, 3)\), \(\vec {n} = (0, 1, 0)\) (piano parallelo al piano \(xz\)).

2.

Scrivere l’equazione del piano passante per tre punti:

(a): \(A = (1, 0, 0)\), \(B = (0, 1, 0)\), \(C = (0, 0, 1)\);
(b): \(A = (1, 1, 1)\), \(B = (2, 0, 0)\), \(C = (0, 2, 0)\);
(c): \(A = (-1, 2, 3)\), \(B = (2, 1, -1)\), \(C = (3, 0, 4)\).

3.

Determinare il vettore normale e il punto di intersezione con l’asse \(z\) dei seguenti piani:

(a): \(2x + 3y - z = 6\);
(b): \(x - y + 2z + 4 = 0\);
(c): \(z = 5\).

4.

Stabilire la posizione reciproca dei seguenti piani (paralleli, perpendicolari, incidenti generici):

(a): \(\pi _1: x + y + z = 1\), \(\pi _2: 2x + 2y + 2z = 5\);
(b): \(\pi _1: x - y + z = 0\), \(\pi _2: x + y = 0\);
(c): \(\pi _1: 3x + 4y - 5z + 7 = 0\), \(\pi _2: -6x - 8y + 10z + 1 = 0\);
(d): \(\pi _1: x + 2y + 3z = 0\), \(\pi _2: 2x + 4y + 6z = 0\).

5.

Calcolare l’angolo fra i piani:

(a): \(\pi _1: x + y = 0\), \(\pi _2: x + z = 0\);
(b): \(\pi _1: 2x - y + z = 1\), \(\pi _2: x + y + z = 2\);
(c): \(\pi _1: x = 0\), \(\pi _2: x + y + z = 0\).

6.

Calcolare la distanza dal punto \(P\) al piano \(\pi \):

(a): \(P = (0, 0, 0)\), \(\pi : 2x + y - 2z + 6 = 0\);
(b): \(P = (1, 2, 3)\), \(\pi : x + y + z = 0\);
(c): \(P = (1, 0, -1)\), \(\pi : 3x - 4z + 5 = 0\);
(d): \(P = (2, -1, 4)\), \(\pi : x + 2y + 2z - 9 = 0\).

7.

Calcolare la distanza fra i seguenti piani paralleli:

(a): \(\pi _1: x + y + z = 0\), \(\pi _2: x + y + z = 3\);
(b): \(\pi _1: 2x + y - 2z + 1 = 0\), \(\pi _2: 2x + y - 2z + 10 = 0\).

8.

Scrivere l’equazione del piano passante per \(P = (1, 2, 3)\) e parallelo al piano \(\pi : 2x - 3y + z + 5 = 0\).

9.

Scrivere l’equazione del piano passante per \(P = (1, -1, 2)\) e perpendicolare alla retta che congiunge \(A = (1, 1, 1)\) e \(B = (3, 2, 0)\).

10.

Determinare per quale valore di \(k\) i piani \(\pi _1: x + ky + 2z = 1\) e \(\pi _2: 2x - y + (k-1) z = 0\) sono perpendicolari.

11.

Sfida. Un piano contiene la retta di equazione (parametrica) \(r: (1, 0, 0) + t(0, 1, 1)\) (cioè passa per \((1, 0, 0)\) con direzione \((0, 1, 1)\)) ed è anche perpendicolare al piano \(\pi : x + 2y + z = 0\). Scriverne l’equazione.

12.

Determinare l’equazione del piano che taglia gli assi cartesiani nei punti di ascissa \(2\), ordinata \(3\), quota \(4\). (Suggerimento: forma segmentaria.)

13.

Mostrare che la distanza dall’origine al piano \(ax + by + cz + d = 0\) è \(|d|/\sqrt {a^2+b^2+c^2}\).

14.

Determinare il simmetrico del punto \(P = (1, 2, 3)\) rispetto al piano \(\pi : x + y + z = 0\). (Suggerimento: il punto medio fra \(P\) e il suo simmetrico è la proiezione di \(P\) sul piano.)

15.

Una stanza ha pareti che si intersecano negli spigoli (rette del soffitto e del pavimento) e nei vertici (angoli). Modellare un cubo di lato \(3\,{\mathrm{m} }\) con vertice in origine e spigoli sugli assi: scrivere le equazioni di tutte e \(6\) le facce.

16.

Sfida (fascio di piani). Mostrare che, dati due piani non paralleli \(\pi _1: a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0\) e \(\pi _2: a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0\), l’insieme di tutti i piani che contengono la loro retta di intersezione è la famiglia parametrizzata da \((\alpha , \beta ) \ne (0,0)\):

\[ \alpha (a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1) + \beta (a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2) = 0. \]

117.8 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Equazione cartesiana del piano: \(ax + by + cz + d = 0\) con \((a, b, c) \ne (0, 0, 0)\).
Vettore normale: \(\vec {n} = (a, b, c)\), perpendicolare al piano. Definito a meno di un fattore moltiplicativo.
Piano per un punto con vettore normale dato:
\[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0. \]
Piano per tre punti non allineati: usare \(\vec {n} = \vec {AB} \times \vec {AC}\), poi scrivere l’equazione col primo metodo. Equivalentemente: condizione \([\vec {AP}, \vec {AB}, \vec {AC}] = 0\) (determinante \(= 0\)).
Forma segmentaria (per piani non passanti per l’origine): \(x/p + y/q + z/r = 1\) con \(p, q, r\) = intercette sugli assi.
Posizione fra due piani:
- paralleli sse \(\vec {n}_1 \parallel \vec {n}_2\) (componenti proporzionali);
- perpendicolari sse \(\vec {n}_1 \cdot \vec {n}_2 = 0\);
- incidenti generici: intersezione \(= \) retta.
Angolo fra piani: \(\cos \theta = |\vec {n}_1 \cdot \vec {n}_2|/(|\vec {n}_1||\vec {n}_2|)\).
Distanza punto-piano:
\[ d(P_1, \pi ) = \frac {|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}. \]

È l’analogo tridimensionale della distanza punto-retta nel piano (cap. 72).
Distanza fra piani paralleli: distanza dal piano di un punto qualunque dell’altro.
Fascio di piani attraverso una retta data come intersezione di due piani: combinazione lineare delle loro equazioni.
Nel prossimo capitolo (118) studiamo l’equazione della retta nello spazio: forma parametrica e cartesiana (= intersezione di due piani).

Capitolo 117 Equazione del piano nello spazio