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Capitolo 72
Distanza punto-retta

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Tra tutti i segmenti che da un punto esterno si possono condurre a una retta, la perpendicolare è il più breve.”

— Corollario della Proposizione I.19, Euclide, Elementi (iii sec. a.C.)

____________________________________________________________________________________

72.1 Introduzione motivazionale

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Nei capitoli precedenti abbiamo imparato a misurare la distanza tra due punti (69) e a scrivere l’equazione di una retta (70). Adesso colmiamo la naturale lacuna: quanto dista un punto da una retta?

In geometria sintetica la distanza tra un punto e una retta è definita come la distanza più breve che separa il punto dalla retta, e coincide con la lunghezza del segmento perpendicolare condotto dal punto alla retta (il piede della perpendicolare). Questo concetto era già perfettamente noto a Euclide.

In geometria analitica, questa distanza ammette una formula chiusa, molto compatta, che evita ogni costruzione esplicita:

\[ d(P, r) = \frac {|a\,x_0 + b\,y_0 + c|}{\sqrt {a^2 + b^2}} \]

dove \(P(x_0, y_0)\) e \(r: ax + by + c = 0\). Bastano una sostituzione e una radice quadrata, e si ottiene immediatamente la distanza senza bisogno di trovare il piede della perpendicolare. Questa è la formula cardine di questo capitolo, e una delle più usate in tutto il resto della geometria analitica.

Con essa potremo poi rivisitare in modo più potente concetti già incontrati: l’altezza di un triangolo (distanza di un vertice dalla retta del lato opposto), l’asse di un segmento (luogo dei punti equidistanti dai due estremi, 71), la bisettrice di un angolo (luogo dei punti equidistanti dai due lati dell’angolo).

72.2 Formula della distanza punto-retta

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Teorema 72.1 — Distanza punto-retta

La distanza di un punto \(P(x_0, y_0)\) dalla retta \(r\) di equazione implicita \(ax + by + c = 0\) (con \((a, b) \neq (0, 0)\)) è

\[ d(P, r) = \frac {|a\,x_0 + b\,y_0 + c|}{\sqrt {a^2 + b^2}}. \]
\[ d(P, r) = \dfrac {|a\,x_0 + b\,y_0 + c|}{\sqrt {a^2 + b^2}}. \]

Dimostrazione. Sia \(H\) il piede della perpendicolare da \(P\) alla retta \(r\). La distanza cercata è \(\overline {PH}\). Mostriamo che \(\overline {PH}^2 = (ax_0 + by_0 + c)^2/(a^2 + b^2)\).

Sia \(H(x_H, y_H)\). Per costruzione, \(H \in r\) e il segmento \(PH\) è perpendicolare a \(r\). Il vettore direzione della retta \(r\) è proporzionale a \((b, -a)\) (perché se sostituiamo \((x_0 + b, y_0 - a)\) in \(a(x_0 + b) + b(y_0 - a) + c = ax_0 + by_0 + c\), vediamo che incrementare la posizione di \((b, -a)\) non altera il valore di \(ax + by + c\), quindi mantiene il punto sulla retta). Il vettore normale a \(r\) è dunque \((a, b)\).

Esprimiamo \(\vec {PH}\) come multiplo di \((a, b)\): \(\vec {PH} = t\,(a, b)\) per qualche scalare \(t\). Cioè \(H = (x_0 + t a,\ y_0 + t b)\).

Imponendo \(H \in r\):

\[ a(x_0 + ta) + b(y_0 + tb) + c = 0 \implies (ax_0 + by_0 + c) + t(a^2 + b^2) = 0 \implies t = -\frac {ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}. \]

Allora

\[ \overline {PH}^2 = (ta)^2 + (tb)^2 = t^2 (a^2 + b^2) = \frac {(ax_0 + by_0 + c)^2}{a^2 + b^2}. \]

Estraendo la radice e prendendo il valore assoluto:

\[ \overline {PH} = \frac {|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt {a^2 + b^2}}. \]

[Picture]

Figura 72.1: Distanza tra il punto \(P(x_0, y_0)\) e la retta \(r\): si misura sulla perpendicolare da \(P\) a \(r\), dove \(H\) è il piede. La formula chiusa \(d = |ax_0 + by_0 + c|/\sqrt {a^2+b^2}\) evita di calcolare esplicitamente \(H\).

Nota  — Vantaggi della formula

Esempio 72.1 — Distanza punto-retta

Calcolare la distanza del punto \(P(2, 5)\) dalla retta \(r: 3x + 4y - 12 = 0\).

Soluzione.

\[ d = \frac {|3\cdot 2 + 4\cdot 5 - 12|}{\sqrt {9 + 16}} = \frac {|6 + 20 - 12|}{\sqrt {25}} = \frac {14}{5} = 2.8. \]

Esempio 72.2 — Retta in forma esplicita

Calcolare la distanza del punto \(P(1, -2)\) dalla retta \(r: y = 2x - 3\).

Soluzione. Prima riscrivo in forma implicita: \(2x - y - 3 = 0\). Quindi \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -3\).

\[ d = \frac {|2\cdot 1 + (-1)\cdot (-2) - 3|}{\sqrt {4 + 1}} = \frac {|2 + 2 - 3|}{\sqrt {5}} = \frac {1}{\sqrt {5}} = \frac {\sqrt {5}}{5}. \]

Esempio 72.3 — Distanza dall’origine

Distanza dell’origine \(O(0, 0)\) dalla retta \(r: ax + by + c = 0\):

\[ d(O, r) = \frac {|a\cdot 0 + b\cdot 0 + c|}{\sqrt {a^2+b^2}} = \frac {|c|}{\sqrt {a^2+b^2}}. \]

Per esempio, distanza dell’origine dalla retta \(3x + 4y - 10 = 0\): \(|-10|/\sqrt {25} = 10/5 = 2\).

Nota  — Casi degeneri della retta

72.3 Applicazioni: altezza di un triangolo

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L’altezza di un triangolo relativa a un lato è la distanza dal vertice opposto alla retta che contiene il lato. Con la formula della distanza punto-retta, il calcolo è immediato.

Esempio 72.4 — Altezza relativa a un lato

Calcolare l’altezza relativa al lato \(BC\) del triangolo \(A(1, 4)\), \(B(0, 0)\), \(C(6, 0)\).

Soluzione. Il lato \(BC\) giace sulla retta \(y = 0\) (asse \(x\)). Distanza di \(A\) da questa retta: \(|4| = 4\).

Verifica dell’area: \(A = b\cdot h/2 = 6\cdot 4/2 = 12\).

Esempio 72.5 — Altezza in caso generale

Calcolare l’altezza relativa al lato \(BC\) del triangolo \(A(2, 5)\), \(B(0, 0)\), \(C(6, 2)\).

Soluzione.

Esempio 72.6 — Area di un triangolo via base e altezza

Calcolare l’area del triangolo precedente.

Soluzione. Lato \(BC = \sqrt {36+4} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10}\). Quindi

\[ A = \frac {\overline {BC}\cdot h}{2} = \frac {2\sqrt {10}\cdot \tfrac {13\sqrt {10}}{10}}{2} = \frac {2\cdot 13\cdot 10}{2\cdot 10} = 13. \]

(Verifica con la formula della scarpa di Gauss, 69:

\[ A = \tfrac {1}{2}|2(0-2) + 0(2-5) + 6(5-0)| = \tfrac {1}{2}|-4 + 0 + 30| = 13. \checkmark ) \]

72.4 Asse di un segmento rivisitato

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In geometria euclidea, l’asse di un segmento \(\overline {AB}\) è definito come il luogo dei punti equidistanti dagli estremi:

\[ \text {asse}(AB) = \{P : \overline {PA} = \overline {PB}\}. \]

Si dimostra (57) che questo luogo è la retta perpendicolare al segmento, passante per il suo punto medio.

In geometria analitica, possiamo ricavarne l’equazione direttamente dalla definizione.

Teorema 72.2 — Equazione dell’asse di un segmento

Dati \(A(x_A, y_A)\) e \(B(x_B, y_B)\), l’asse di \(\overline {AB}\) ha equazione

\[ (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2, \]

che dopo sviluppo e semplificazione si riduce a un’equazione lineare in \(x, y\) — quindi rappresenta una retta (70).

Dimostrazione. L’equazione \(\overline {PA} = \overline {PB}\) in coordinate, elevando al quadrato (le distanze sono \(\geq 0\)), diventa esattamente quella sopra. Sviluppando i quadrati:

\[ x^2 - 2 x x_A + x_A^2 + y^2 - 2y y_A + y_A^2 = x^2 - 2 x x_B + x_B^2 + y^2 - 2 y y_B + y_B^2. \]

I termini \(x^2\) e \(y^2\) si cancellano, restando un’equazione lineare in \(x\) e \(y\):

\[ 2(x_B - x_A) x + 2(y_B - y_A) y + (x_A^2 + y_A^2 - x_B^2 - y_B^2) = 0. \]

Esempio 72.7 — Asse di un segmento

Asse del segmento \(A(1, 2)\), \(B(5, 6)\).

Soluzione.

\[ (x-1)^2 + (y-2)^2 = (x-5)^2 + (y-6)^2. \]

Sviluppo: \(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 12y + 36\).

Semplifico (cancellando \(x^2\) e \(y^2\)): \(-2x + 1 - 4y + 4 = -10x + 25 - 12y + 36\).

\(8x + 8y - 56 = 0\), cioè \(x + y - 7 = 0\) ovvero \(y = -x + 7\).

(Verifica via [[cap:GA-003]]: punto medio \(M = (3, 4)\) — appartiene? \(3 + 4 - 7 = 0\) \(\checkmark\). Coeff. angolare di \(AB\): \((6-2)/(5-1) = 1\). Quello dell’asse deve essere \(-1\) \(\checkmark\).)

72.5 Bisettrice di angolo rivisitato

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Analogamente, in geometria euclidea, la bisettrice di un angolo è definita come il luogo dei punti equidistanti dai due lati dell’angolo. Due rette incidenti \(r, s\) formano due coppie di angoli opposti al vertice, e hanno quindi due bisettrici, perpendicolari tra loro.

Teorema 72.3 — Bisettrici di due rette

Date due rette \(r: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0\) e \(s: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0\), le due bisettrici degli angoli da esse formati hanno equazioni

\[ \frac {a_1 x + b_1 y + c_1}{\sqrt {a_1^2 + b_1^2}} = \pm \,\frac {a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt {a_2^2 + b_2^2}}. \]

Dimostrazione. La condizione “\(P\) equidistante da \(r\) e \(s\)” si scrive

\[ \frac {|a_1 x + b_1 y + c_1|}{\sqrt {a_1^2 + b_1^2}} = \frac {|a_2 x + b_2 y + c_2|}{\sqrt {a_2^2 + b_2^2}}. \]

Togliere il valore assoluto produce due equazioni (corrispondenti ai due segni \(\pm \)), che sono le due bisettrici.

Nota  — Bisettrici interne e esterne

Geometricamente, le due bisettrici corrispondono a due rette perpendicolari tra loro: la bisettrice interna (di una coppia di angoli) e la bisettrice esterna (di quelli adiacenti). Per decidere quale è quale in un contesto specifico, conviene controllare un punto noto (per esempio l’interno del triangolo se si stanno cercando le bisettrici dei suoi angoli interni).

Esempio 72.8 — Bisettrici degli assi cartesiani

Cercare le bisettrici di \(r: y = 0\) (asse \(x\)) e \(s: x = 0\) (asse \(y\)).

Soluzione. Forma normalizzata: \(\sqrt {a^2+b^2} = 1\) in entrambi i casi. La condizione di equidistanza:

\[ |y| = |x| \implies y = x \ \text {o} \ y = -x. \]

Le due bisettrici sono le bisettrici del I-III e del II-IV quadrante, come ci aspettavamo (70). Sono ortogonali tra loro.

Esempio 72.9 — Bisettrici di due rette generiche

Cercare le bisettrici di \(r: 3x + 4y - 12 = 0\) e \(s: 5x - 12y + 26 = 0\).

Soluzione. \(\sqrt {a_1^2+b_1^2} = 5\), \(\sqrt {a_2^2+b_2^2} = 13\). Condizione:

\[ \frac {3x + 4y - 12}{5} = \pm \frac {5x - 12y + 26}{13}. \]

Moltiplicando entrambi i membri per \(65 = 5\cdot 13\):

\[ 13(3x + 4y - 12) = \pm 5(5x - 12y + 26). \]

Caso \(+\): \(39x + 52y - 156 = 25x - 60y + 130 \Rightarrow 14x + 112y - 286 = 0 \Rightarrow x + 8y - \tfrac {143}{7}\)…Semplifico: divisione per \(2\) dà \(7x + 56y - 143 = 0\), e per \(7\) niente di intero. Semplifica per \(14\): niente. Lascio come \(14x + 112y - 286 = 0\), ovvero \(7x + 56y - 143 = 0\), cioè \(x + 8y = 143/7\) — non sembra particolarmente bella numericamente. Verifica con calcoli: ok, è una retta valida.

Caso \(-\): \(39x + 52y - 156 = -25x + 60y - 130 \Rightarrow 64x - 8y - 26 = 0 \Rightarrow 32x - 4y - 13 = 0\).

(Verifica che le due bisettrici sono perpendicolari: \(m_1 = -7/56 = -1/8\), \(m_2 = 32/4 = 8\). Prodotto: \(-1/8 \cdot 8 = -1\) \(\checkmark\).)

72.6 Esempi svolti

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Esempio 72.10 — Distanza tra due rette parallele

Due rette parallele \(r_1: 3x - 4y + 5 = 0\) e \(r_2: 3x - 4y - 15 = 0\). Calcolare la loro distanza.

Soluzione. La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto dell’una dall’altra. Scelgo un punto di \(r_1\): per \(x = 5\), \(r_1\) dà \(15 - 4y + 5 = 0 \Rightarrow y = 5\). Punto \(P(5, 5) \in r_1\).

Distanza di \(P\) da \(r_2\):

\[ d = \frac {|3\cdot 5 - 4\cdot 5 - 15|}{\sqrt {9+16}} = \frac {|15 - 20 - 15|}{5} = \frac {20}{5} = 4. \]

Soluzione alternativa. Per rette parallele in forma \(ax + by + c_1 = 0\) e \(ax + by + c_2 = 0\), la distanza è \(|c_1 - c_2|/\sqrt {a^2+b^2}\). Qui: \(|5 - (-15)|/5 = 20/5 = 4\). \(\checkmark\)

Esempio 72.11 — Punto a distanza data

Trovare i punti dell’asse \(x\) che distano \(3\) dalla retta \(r: 4x + 3y - 6 = 0\).

Soluzione. Punto generico sull’asse \(x\): \(P(x_0, 0)\). Distanza:

\[ \frac {|4x_0 + 0 - 6|}{\sqrt {16+9}} = 3 \implies \frac {|4x_0 - 6|}{5} = 3 \implies |4x_0 - 6| = 15. \]

Due casi: \(4x_0 - 6 = 15 \Rightarrow x_0 = 21/4\), oppure \(4x_0 - 6 = -15 \Rightarrow x_0 = -9/4\).

I punti sono \(P_1(21/4, 0)\) e \(P_2(-9/4, 0)\).

Esempio 72.12 — Retta a distanza data

Trovare l’equazione delle rette parallele a \(r: 2x - y + 1 = 0\) e distanti \(\sqrt {5}\) da essa.

Soluzione. Le rette parallele hanno la stessa parte direzionale: \(2x - y + k = 0\). Distanza dalla retta \(r\):

\[ \frac {|k - 1|}{\sqrt {4+1}} = \sqrt {5} \implies |k - 1| = 5 \implies k = 6 \ \text {o} \ k = -4. \]

Le due rette sono \(2x - y + 6 = 0\) e \(2x - y - 4 = 0\).

Esempio 72.13 — Distanza del baricentro da un lato

Triangolo \(A(0, 0), B(6, 0), C(0, 6)\). Calcolare la distanza del baricentro \(G\) dalla retta \(BC\).

Soluzione. Baricentro: \(G = (2, 2)\) (69). Retta \(BC\): passa per \((6,0)\) e \((0,6)\), equazione \(x + y - 6 = 0\).

\(d = |2 + 2 - 6|/\sqrt {1+1} = 2/\sqrt {2} = \sqrt {2}\).

(Nota didattica: il baricentro dista da ogni lato \(1/3\) dell’altezza relativa a quel lato. Verifica: altezza relativa a \(BC\) è la distanza di \(A(0,0)\) da \(x+y-6=0\): \(|0+0-6|/\sqrt {2}=3\sqrt {2}\). Un terzo: \(\sqrt {2}\). \(\checkmark\))

Esempio 72.14 — Centro di una circonferenza inscritta

Il centro della circonferenza inscritta in un triangolo è il punto di intersezione delle tre bisettrici interne, equidistante dai tre lati. Trovare le coordinate del centro della circonferenza inscritta nel triangolo \(A(0, 0), B(8, 0), C(0, 6)\), e il raggio della circonferenza.

Soluzione. Lati: \(AB\) è \(y = 0\); \(AC\) è \(x = 0\); \(BC\) passa per \((8,0)\) e \((0,6)\), \(\overline {BC} = 10\), equazione \(3x + 4y - 24 = 0\) (verifica: \(\sqrt {9+16}=5\)).

Centro \(I(x, y)\) deve avere \(d(I, AB) = d(I, AC) = d(I, BC)\):

Sistema:

\[ x = y \quad \text {e} \quad y = \frac {24 - 3x - 4y}{5}. \]

Sostituisco \(y = x\): \(5y = 24 - 3y - 4y \Rightarrow 12y = 24 \Rightarrow y = 2\). Quindi \(I(2, 2)\), raggio \(r = 2\).

(Il raggio della circonferenza inscritta di un triangolo si chiama inradius; per un triangolo rettangolo di cateti \(a, b\) e ipotenusa \(c\), vale \(r = (a + b - c)/2 = (6 + 8 - 10)/2 = 2\). \(\checkmark\))

72.7 Esercizi proposti

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Esercizio 72.1

1.
Calcola la distanza del punto \(P\) dalla retta \(r\):
  • (a) \(P(0, 0)\), \(r: 3x + 4y - 10 = 0\);
  • (b) \(P(2, 3)\), \(r: x + y - 1 = 0\);
  • (c) \(P(-1, 4)\), \(r: 5x - 12y + 26 = 0\);
  • (d) \(P(1, 1)\), \(r: y = 2x + 3\);
  • (e) \(P(3, 5)\), \(r: y = 5\);
  • (f) \(P(3, 5)\), \(r: x = -2\).
2.
Calcola la distanza tra le due rette parallele:
  • (a) \(3x + 4y - 7 = 0\) e \(3x + 4y + 8 = 0\);
  • (b) \(y = 2x + 1\) e \(y = 2x - 4\).
3.
Trova le altezze relative ai tre lati del triangolo \(A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4)\) e verifica con la formula dell’area \(A = b\cdot h/2\).
4.
Calcola l’area del triangolo \(A(1, 2), B(7, 3), C(4, 8)\) usando base e altezza (con la formula della distanza punto-retta), e confronta con la formula della scarpa (69).
5.
Trova i punti dell’asse \(y\) che distano \(5\) dalla retta \(r: 3x + 4y - 10 = 0\).
6.
Trova le rette parallele a \(r: x + 2y - 4 = 0\) e distanti \(\sqrt {5}\) da essa.
7.
Trova l’equazione dell’asse del segmento di estremi:
  • (a) \(A(0, 0)\) e \(B(4, 6)\);
  • (b) \(A(-1, 3)\) e \(B(5, -1)\).

Ricavalo sia con la condizione \(\overline {PA} = \overline {PB}\) (questo capitolo) sia con la formula del punto medio + perpendicolare (71). Verifica che il risultato coincida.

8.
Trova le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette:
  • (a) \(r: 3x + 4y - 5 = 0\) e \(s: 4x - 3y + 1 = 0\);
  • (b) \(r: x + y = 0\) e \(s: x - y = 0\).

Verifica nei due casi che le bisettrici sono perpendicolari tra loro.

9.
Calcola le coordinate del centro della circonferenza inscritta nel triangolo \(A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8)\).
10.
Verifica se i due punti \(P(1, 5)\) e \(Q(4, -1)\) sono dallo stesso lato della retta \(r: 2x - y + 3 = 0\) (usando il segno di \(ax + by + c\)).
11.
Trova il valore di \(k\) in modo che la distanza del punto \(P(2, k)\) dalla retta \(r: 3x - 4y + 5 = 0\) sia uguale a \(3\).
12.
(Discussione.) Mostra che la distanza di un punto generico \((x_0, y_0)\) dalla retta \(y = mx + q\) (in forma esplicita) è data dalla formula
\[ d = \frac {|y_0 - mx_0 - q|}{\sqrt {1 + m^2}}. \]
13.
(Sfida.) Trova il punto \(P\) della retta \(r: 2x - y + 1 = 0\) che minimizza la somma delle distanze da \(A(0, 0)\) e \(B(4, 2)\). (Suggerimento: principio del raggio luminoso riflesso — esiste una costruzione geometrica elegante.)

72.8 Riepilogo del capitolo

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