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Capitolo 57
Luoghi geometrici fondamentali

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Ogni curva nasce da una regola: il luogo è la geometria che ricorda una proprietà.”

— adattamento didattico

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57.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo 56 abbiamo definito la circonferenza come “il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso”. Questa formulazione ha qualcosa di sorprendente: descrive una curva attraverso una proprietà che caratterizza tutti i suoi punti, anziché tramite una formula algebrica. È il concetto generale di luogo geometrico.

Un luogo geometrico è dunque l’insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una certa proprietà. La circonferenza, l’asse di un segmento, la bisettrice di un angolo, le rette parallele a una retta data: sono tutti esempi di luoghi. Studiarli geometricamente significa imparare a leggere proprietà metriche (distanze, angoli) come curve.

I luoghi geometrici sono il ponte fra la geometria sintetica (di Euclide) e la geometria analitica (di Cartesio): in capitoli successivi vedremo che ogni luogo geometrico ha un’equazione, e che ellisse, parabola, iperbole sono luoghi con proprietà metriche caratterizzanti (rispettivamente, somma costante di distanze da due punti, equidistanza da un punto e una retta, differenza costante di distanze). Approfondiremo questi luoghi notevoli nei capitoli 74–78.

In questo capitolo formalizziamo l’idea di luogo, presentiamo i luoghi geometrici elementari (asse, bisettrice, circonferenza, rette parallele) e introduciamo la tecnica della doppia inclusione per dimostrare che un certo insieme di punti è effettivamente il luogo che pretendiamo essere.

57.2 Concetto di luogo geometrico

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Definizione 57.1 — Luogo geometrico

Si chiama luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti del piano (o dello spazio) che godono di una determinata proprietà \(P\):

\[ L = \{\, X\in \text {piano} \mid X\text { soddisfa la proprietà } P\,\}. \]

Nota  — “Tutti e soli”

La frase “tutti e soli” è essenziale: l’insieme deve contenere ogni punto con la proprietà, e nessun altro. Per dimostrare che un certo insieme è il luogo richiesto, occorre dimostrare entrambe le inclusioni:

1.
ogni punto con la proprietà appartiene all’insieme (“tutti”);
2.
ogni punto dell’insieme ha la proprietà (“soli”).

È la tecnica della doppia inclusione, già incontrata nel capitolo 2 sugli insiemi.

Procedura  — Dimostrare che \(L\) è un luogo geometrico

Per dimostrare che un certo insieme \(L\) è il luogo dei punti con la proprietà \(P\):

1.
Diretta (“tutti”): si prende un punto \(X\) con la proprietà \(P\) e si mostra che \(X\in L\).
2.
Inversa (“soli”): si prende un punto \(Y\in L\) e si mostra che \(Y\) soddisfa la proprietà \(P\).

Solo dimostrando entrambe si è davvero caratterizzato il luogo.

57.3 Asse di un segmento

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Teorema 57.1 — Asse del segmento

Dato un segmento \(\overline {AB}\), il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi \(A\) e \(B\) è la perpendicolare ad \(\overline {AB}\) nel suo punto medio, detta asse del segmento.

Dimostrazione. Sia \(M\) il punto medio di \(AB\) e \(r\) la retta perpendicolare ad \(AB\) passante per \(M\).

(Diretta) Sia \(P\in r\) un punto qualsiasi. Consideriamo i triangoli \(PAM\) e \(PBM\): hanno \(PM\) in comune, \(AM=BM\) (per definizione di punto medio), e gli angoli in \(M\) retti (per definizione di perpendicolare). Per il primo criterio di congruenza dei triangoli (capitolo 32), \(\triangle PAM \cong \triangle PBM\), dunque \(PA = PB\): \(P\) è equidistante da \(A\) e \(B\).

(Inversa) Sia \(Q\) un punto equidistante da \(A\) e \(B\), cioè \(QA = QB\). Allora \(Q\) appartiene al luogo dei punti equidistanti. Costruiamo il triangolo \(QAB\): è isoscele (capitolo 33) con base \(AB\). L’altezza dal vertice \(Q\) alla base è anche mediana e asse della base: dunque la perpendicolare per \(M\) (punto medio) passa per \(Q\), cioè \(Q\in r\).

In conclusione, \(r\) è esattamente il luogo cercato.

[Picture]

Figura 57.1: L’asse di un segmento \(\overline {AB}\) è la retta perpendicolare ad \(AB\) passante per il punto medio \(M\). Ogni punto \(P\) dell’asse è equidistante da \(A\) e \(B\) (\(PA = PB\)); viceversa, ogni punto equidistante da \(A\) e \(B\) appartiene all’asse.

57.4 Bisettrice di un angolo

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Teorema 57.2 — Bisettrice

Dato un angolo \(\widehat {aOb}\) formato da due semirette \(a, b\) uscenti da \(O\), il luogo dei punti interni all’angolo equidistanti dai due lati è la bisettrice dell’angolo: la semiretta che divide l’angolo in due angoli congruenti.

Dimostrazione (idea). Per ogni punto \(P\) della bisettrice, i triangoli ottenuti proiettando \(P\) sui due lati sono congruenti (per il criterio ipotenusa-angolo: angolo retto e angolo del semiangolo). Quindi le distanze dai due lati sono uguali. Viceversa, se \(P\) ha uguali distanze dai due lati, i due triangoli rettangoli formati con i piedi della perpendicolare sono congruenti (per cateto-cateto), e gli angoli in \(O\) sono uguali: quindi \(P\) sta sulla bisettrice.

Nota  — Conseguenze

57.5 Circonferenza come luogo

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Già introdotta nel capitolo 56, la circonferenza è il primo luogo che si studia.

Teorema 57.3 — Circonferenza

Dati un punto \(O\) e un numero \(r>0\), il luogo dei punti del piano a distanza esattamente \(r\) da \(O\) è la circonferenza di centro \(O\) e raggio \(r\).

(È la definizione stessa del capitolo 56: la dimostrazione di doppia inclusione è banale.)

Nota  — Cerchio come luogo di disequazione

Variante: il cerchio chiuso di centro \(O\) e raggio \(r\) è il luogo dei punti con \(\overline {OP}\le r\) (distanza minore o uguale). Equivalentemente, è la circonferenza più i suoi punti interni.

Altri luoghi notevoli (cenni)

Nota  — Parallela a distanza data

Date una retta \(r\) e un numero \(d>0\), il luogo dei punti del piano a distanza \(d\) da \(r\) è costituito da due rette parallele a \(r\), una da ciascun lato.

Variante: se si chiede “distanza \(\le d\) da \(r\)”, il luogo è la striscia di larghezza \(2d\) centrata su \(r\).

Nota  — Sezioni coniche come luoghi

Tre celebri luoghi geometrici, che riprenderemo nei capitoli di geometria analitica:

Sono tutte “coniche”, ottenibili come sezioni di un cono con un piano. Apollonio (iii sec. a.C.) le studiò esaustivamente.

[Picture]

Figura 57.2: Altri luoghi geometrici elementari. (a) La bisettrice dell’angolo \(\widehat {aOb}\): ogni punto \(P\) della bisettrice è equidistante dai due lati \(a\) e \(b\). (b) Le due rette parallele a \(r\) a distanza \(d\): ognuna è il luogo dei punti che dista esattamente \(d\) da \(r\) (da un determinato lato).

57.6 Costruzioni con riga e compasso

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Molti luoghi geometrici si costruiscono con riga e compasso. Sono le costruzioni classiche della geometria euclidea, che hanno una storia bimillenaria.

Procedura  — Asse di un segmento \(\overline {AB}\)

1.
Centrato in \(A\), si traccia un arco di raggio \(r > \tfrac {1}{2}\overline {AB}\).
2.
Centrato in \(B\), con lo stesso raggio \(r\), si traccia un altro arco.
3.
I due archi si intersecano in due punti \(P\) e \(Q\). La retta \(PQ\) è l’asse di \(\overline {AB}\).

Spiegazione: i punti \(P\) e \(Q\) sono entrambi equidistanti da \(A\) e \(B\) (per costruzione), dunque appartengono al luogo cercato.

Procedura  — Bisettrice di un angolo \(\widehat {aOb}\)

1.
Centrato in \(O\), si traccia un arco di raggio qualsiasi che taglia i lati in \(A\) (su \(a\)) e \(B\) (su \(b\)).
2.
Centrato in \(A\) e \(B\), con lo stesso raggio, si tracciano due archi che si intersecano in un punto \(P\).
3.
La semiretta \(OP\) è la bisettrice di \(\widehat {aOb}\).

Spiegazione: il triangolo \(OAP\) è congruente al triangolo \(OBP\) (per il terzo criterio), dunque gli angoli in \(O\) sono uguali.

Procedura  — Perpendicolare a una retta per un punto

Per costruire la perpendicolare a una retta \(r\) passante per un punto \(P\) (sia \(P\) su \(r\) o no):

1.
Si centra in \(P\) un arco di raggio qualsiasi, che taglia \(r\) (o una sua opportuna estensione) in due punti \(A\) e \(B\).
2.
Si costruisce l’asse di \(\overline {AB}\) (procedura precedente).

L’asse passa per \(P\) (perché \(PA = PB\) per costruzione) ed è perpendicolare a \(r\).

57.7 Esempi svolti

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Esempio 57.1 — Centro di una circonferenza data

Data una circonferenza disegnata, trovare il suo centro.

Soluzione. Si scelgono due corde qualsiasi della circonferenza, \(\overline {AB}\) e \(\overline {CD}\). Si costruiscono gli assi delle due corde (procedura della bisettrice/asse). Per il teorema visto nel capitolo 56, l’asse di una corda passa per il centro. Quindi i due assi si intersecano nel centro \(O\) della circonferenza.

Esempio 57.2 — Punto equidistante da tre rette concorrenti

Tre rette passano per uno stesso punto \(V\) formando tre angoli a due a due. Determinare un punto interno a uno dei sei settori, equidistante dalle tre rette.

Soluzione. Per le considerazioni sulla bisettrice, il luogo dei punti equidistanti da due rette concorrenti è la coppia di bisettrici dei quattro angoli che formano. Prendendo due bisettrici (una per coppia di rette), il loro punto di intersezione è equidistante da tutte e tre le rette.

Esempio 57.3 — Circoscrivere una circonferenza a un triangolo

Dato un triangolo \(ABC\), trovare la circonferenza che passa per i tre vertici (circoscritta).

Soluzione. Il centro \(O\) della circonferenza circoscritta è equidistante da \(A\), \(B\), \(C\) (perché tutti e tre sono sulla circonferenza, cioè a distanza \(R\)). Quindi \(O\) appartiene all’asse di \(\overline {AB}\) (equidistanza da \(A\) e \(B\)) e anche all’asse di \(\overline {BC}\) (equidistanza da \(B\) e \(C\)). Intersezione dei due assi: \(O\). Raggio: \(R = OA = OB = OC\). \(O\) è detto circocentro.

(L’asse di \(\overline {AC}\) passa automaticamente per \(O\), per la proprietà transitiva dell’equidistanza.)

Esempio 57.4 — Iscrivere una circonferenza in un triangolo

Dato un triangolo \(ABC\), trovare la circonferenza tangente ai tre lati (inscritta).

Soluzione. Il centro \(I\) della circonferenza inscritta è equidistante dai tre lati (perché tutti i lati sono tangenti, a distanza \(r\) dal centro). Quindi \(I\) appartiene alla bisettrice dell’angolo in \(A\) (equidistanza dai lati \(AB\) e \(AC\)) e alla bisettrice in \(B\) (equidistanza da \(AB\) e \(BC\)). Intersezione: l’incentro \(I\). Raggio \(r\) = distanza di \(I\) da uno qualsiasi dei lati.

Esempio 57.5 — Luogo definito da una distanza

Trova il luogo dei punti del piano che distano esattamente \(3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dal punto \(A\) e esattamente \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dal punto \(B\), sapendo che \(\overline {AB}=4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Soluzione. I punti a distanza \(3\) da \(A\) formano una circonferenza \(\mathcal {C}_1\) di centro \(A\) e raggio \(3\). I punti a distanza \(5\) da \(B\) formano una circonferenza \(\mathcal {C}_2\) di centro \(B\) e raggio \(5\). Il luogo cercato è \(\mathcal {C}_1 \cap \mathcal {C}_2\). Poiché \(|R_1 - R_2| = 2 < 4 < 8 = R_1 + R_2\), le due circonferenze sono secanti: il luogo è formato da due punti.

57.8 Esercizi proposti

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Esercizio 57.1

1.
Descrivi il luogo dei punti del piano che: (a) distano \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) da un punto fissato \(O\); (b) distano \(2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) da una retta \(r\); (c) sono equidistanti da due rette parallele (caso speciale!); (d) sono equidistanti da due rette incidenti.
2.
Costruisci con riga e compasso (descrivi i passaggi): (a) l’asse di un segmento dato; (b) la bisettrice di un angolo dato; (c) la perpendicolare a una retta data per un suo punto; (d) la perpendicolare a una retta data per un punto esterno.
3.
Trova, descrivendolo come intersezione di luoghi noti: (a) un punto equidistante da due punti \(A\), \(B\) dati e a distanza \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) da un terzo punto \(C\); (b) un punto equidistante dai tre vertici di un triangolo dato; (c) un punto equidistante dai tre lati di un triangolo dato.
4.
Spiega perché i tre assi dei lati di un triangolo si incontrano in un unico punto (circocentro). (Suggerimento: usa la proprietà transitiva dell’equidistanza.)
5.
Spiega perché le tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un unico punto (incentro).
6.
Determina il luogo dei centri delle circonferenze tangenti a una retta data \(r\), di raggio fissato \(R\). (Suggerimento: il centro è equidistante dalla retta?)
7.
In un piano, dati due punti \(A\) e \(B\), trova il luogo dei punti \(P\) tali che \(\widehat {APB}\) è un angolo retto. (Suggerimento: cosa dice il teorema di Talete sull’angolo nel semicerchio?)
8.
(Discussione.) Considera la frase “il luogo dei punti tali che \(\overline {PA} > \overline {PB}\) dove \(A\) e \(B\) sono due punti fissi”. È un luogo geometrico? Quale figura del piano descrive?

57.9 Riepilogo del capitolo

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