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Capitolo 64
Aree dei poligoni notevoli

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Concedimi che si possa, di un triangolo qualsiasi, conoscere l’area dati i tre lati, senza ricorrere all’altezza.”

— Erone di Alessandria, Metrica, libro I (i sec. d.C.)

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64.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo sull’equivalenza delle figure piane (58) abbiamo introdotto in modo astratto il concetto di area come grandezza geometrica, attribuita a una figura piana, additiva rispetto alla scomposizione e invariante per isometrie. Abbiamo anche definito due figure equivalenti se hanno la stessa area, e equiscomponibili se si possono decomporre in parti congruenti.

Adesso passiamo dal qualitativo al quantitativo: vogliamo calcolare numericamente l’area dei principali poligoni — rettangolo, parallelogramma, triangolo, trapezio, rombo, poligoni regolari — partendo da poche misure (lati, altezze, diagonali, apotema) e da una formula chiusa.

L’idea-guida è sempre la stessa: ricondurre la figura a un rettangolo equivalente. Una volta nota l’area del rettangolo come \(b \cdot h\) — postulato di base —, tutte le altre formule si ottengono per equivalenza geometrica (raddoppio del triangolo, taglio-e-incolla del parallelogramma, smontaggio del trapezio). Le formule che otterremo non sono regole da memorizzare a vuoto: sono teoremi di equivalenza, ciascuno con una dimostrazione visiva di una o due righe.

A chiusura del capitolo introdurremo due formule più potenti: la formula di Erone, che calcola l’area di un triangolo conoscendone solo i tre lati (senza altezza); e la formula generale per i poligoni regolari, basata sulla nozione di apotema (63). Queste formule saranno usate sistematicamente in geometria solida (volumi di prismi e piramidi) e in geometria analitica.

64.2 Area del rettangolo

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Teorema 64.1 — Area del rettangolo

L’area di un rettangolo di lati \(b\) (base) e \(h\) (altezza) vale

\[ A = b \cdot h. \]
\[ A_{\text {rett}} = b \cdot h. \]

Nota  — Perché lo assumiamo come postulato

La formula \(A = b \cdot h\) è il punto di partenza: la prendiamo come postulato (o, equivalentemente, come definizione di unità di area). Tutte le formule per gli altri poligoni si ricondurranno a quella del rettangolo per equivalenza.

In particolare, l’area del quadrato di lato \(\ell \) è \(A = \ell ^2\) (caso \(b=h=\ell \)).

Esempio 64.1 — Area di un rettangolo

Un rettangolo ha base \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e altezza \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). La sua area è

\[ A = b \cdot h = 8 \cdot 5 = 40\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }. \]

64.3 Area del parallelogramma

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Teorema 64.2 — Area del parallelogramma

L’area di un parallelogramma di base \(b\) e altezza relativa \(h\) (distanza tra la base e il lato ad essa opposto) vale

\[ A = b \cdot h. \]

Dimostrazione. Sia \(ABCD\) un parallelogramma di base \(AB = b\) e altezza \(h\). Tracciamo l’altezza da \(D\) alla retta \(AB\): questa intercetta sul lato \(AB\) (o sul suo prolungamento) un piede \(H\). Si ottiene così un triangolo rettangolo \(ADH\), che possiamo “staccare” da sinistra e “incollare” a destra del parallelogramma sul lato \(BC\) (i due triangoli rettangoli risultano congruenti per costruzione, perché \(AD \cong BC\) e gli angoli corrispondenti sono uguali per parallelismo). La figura risultante è un rettangolo di base \(b\) e altezza \(h\), equiscomponibile con il parallelogramma di partenza. Quindi \(A_{\text {parall}} = A_{\text {rett}} = b\cdot h\).

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Figura 64.1: Dimostrazione visiva dell’area del parallelogramma: il triangolo rettangolo \(T\) a sinistra viene spostato a destra, trasformando il parallelogramma in un rettangolo equivalente di base \(b\) e altezza \(h\). Le due figure sono equiscomponibili: stessa area \(b\cdot h\).
\[ A_{\text {parall}} = b \cdot h. \]

Attenzione!  — \(h\) è l’altezza, non il lato obliquo

L’altezza \(h\) è la distanza perpendicolare tra la base e il lato opposto, non la lunghezza del lato obliquo. Confondere le due cose è l’errore più comune.

64.4 Area del triangolo

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Teorema 64.3 — Area del triangolo

L’area di un triangolo di base \(b\) e altezza relativa \(h\) vale

\[ A = \frac {b \cdot h}{2}. \]

Dimostrazione. Sia \(ABC\) un triangolo qualsiasi, con base \(AB = b\) e altezza relativa \(h\). Considero la traslazione che porta \(C\) in un nuovo punto \(C'\) tale che \(ACBC'\) sia un parallelogramma (geometricamente: ribalto il triangolo attorno al punto medio di \(BC\)). Si ottiene un parallelogramma di base \(b\) e altezza \(h\), composto da due triangoli congruenti (l’originale e il suo ribaltato). Per il teorema precedente, l’area del parallelogramma è \(b \cdot h\), quindi quella del triangolo è la metà:

\[ A = \frac {b \cdot h}{2}. \]

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Figura 64.2: Dimostrazione dell’area del triangolo: “raddoppiando” il triangolo (ribaltamento attorno al punto medio di un lato) si ottiene un parallelogramma di base \(b\) e altezza \(h\). Il triangolo è metà del parallelogramma, quindi \(A = \tfrac {b\cdot h}{2}\).
\[ A_{\text {tri}} = \frac {b \cdot h}{2}. \]

Nota  — Tre basi, tre altezze, stessa area

Un triangolo ha tre possibili basi (i tre lati) e quindi tre possibili altezze. La formula \(A = b\cdot h/2\) deve dare lo stesso valore qualunque coppia base-altezza si usi: questo è un test di coerenza che si può usare per controllare la correttezza dei calcoli.

Esempio 64.2 — Triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo, i due cateti sono base e altezza l’uno dell’altro. Quindi l’area è semplicemente il semiprodotto dei cateti:

\[ A = \frac {c_1 \cdot c_2}{2}. \]

Per esempio, cateti \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\): \(A = 6\cdot 8/2 = 24\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).

Esempio 64.3 — Triangolo equilatero

In un triangolo equilatero di lato \(\ell \), l’altezza misura \(h = \tfrac {\ell \sqrt {3}}{2}\) (capitolo 59). Quindi

\[ A = \frac {\ell \cdot \tfrac {\ell \sqrt {3}}{2}}{2} = \frac {\ell ^2 \sqrt {3}}{4}. \]

64.5 Area del trapezio

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Teorema 64.4 — Area del trapezio

L’area di un trapezio di basi \(B\) (maggiore) e \(b\) (minore) e altezza \(h\) vale

\[ A = \frac {(B + b) \cdot h}{2}. \]

Dimostrazione. Sia \(ABCD\) un trapezio con \(AB = B\), \(CD = b\) e altezza \(h\). Lo affianchiamo a un suo ribaltato \(A'B'C'D'\) in modo che le due basi maggiori si trovino su rette opposte: si ottiene un parallelogramma di base \(B + b\) e altezza \(h\). Il trapezio è metà di questo parallelogramma, quindi

\[ A = \frac {(B + b) \cdot h}{2}. \]

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Figura 64.3: Dimostrazione dell’area del trapezio: il trapezio (a sinistra, pieno) viene affiancato al suo ribaltato (a destra, tratteggiato). Si forma un parallelogramma di base \(B+b\) e altezza \(h\). Il trapezio è metà del parallelogramma.
\[ A_{\text {trap}} = \frac {(B + b) \cdot h}{2}. \]

Nota  — Trapezio rettangolo e trapezio isoscele

La formula vale per ogni tipo di trapezio. Nel caso del trapezio rettangolo, uno dei lati obliqui coincide con l’altezza. Nel caso del trapezio isoscele, l’altezza può essere ricavata dai lati obliqui con Pitagora.

64.6 Area del rombo

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Teorema 64.5 — Area del rombo (e di ogni quadrilatero con diagonali perpendicolari)

L’area di un rombo di diagonali \(d_1\) e \(d_2\) vale

\[ A = \frac {d_1 \cdot d_2}{2}. \]

La stessa formula vale per qualsiasi quadrilatero le cui diagonali siano perpendicolari (per esempio l’aquilone).

Dimostrazione. Le diagonali di un rombo sono perpendicolari e si bisecano (capitolo 37). Costruiamo il rettangolo i cui lati sono paralleli alle diagonali del rombo e passano per i suoi vertici: questo rettangolo ha lati \(d_1\) e \(d_2\), e contiene il rombo. Per simmetria, il rombo occupa esattamente la metà di questo rettangolo (i quattro triangoli rettangoli esterni al rombo, ciascuno con cateti \(d_1/2\) e \(d_2/2\), si possono ribaltare sui quattro triangoli rettangoli interni al rombo, ricoprendolo). Quindi

\[ A = \frac {d_1 \cdot d_2}{2}. \]
\[ A_{\text {rombo}} = \frac {d_1 \cdot d_2}{2}. \]

Nota  — Rombo come parallelogramma

Poiché il rombo è anche un parallelogramma, vale anche \(A = b\cdot h\) (lato per altezza). Le due formule sono entrambe valide e devono dare lo stesso risultato. Si sceglie quella più comoda secondo i dati disponibili.

Caso speciale: il quadrato è un rombo con \(d_1 = d_2 = d\) (la diagonale). Quindi \(A = d^2/2\). Confronto con \(A = \ell ^2\): i due valori coincidono perché \(d = \ell \sqrt {2}\) e dunque \(d^2/2 = 2\ell ^2/2 = \ell ^2\).

64.7 Formula di Erone

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Spesso di un triangolo si conoscono i tre lati ma non un’altezza. La formula di Erone di Alessandria (i sec. d.C.) permette di calcolare l’area direttamente dai lati.

Teorema 64.6 — Formula di Erone

Sia \(ABC\) un triangolo di lati \(a, b, c\), e sia

\[ p = \frac {a + b + c}{2} \]

il suo semiperimetro. Allora l’area del triangolo è

\[ A = \sqrt {p \,(p-a)\,(p-b)\,(p-c)}. \]
\[ A = \sqrt {p (p-a)(p-b)(p-c)},\qquad p = \frac {a+b+c}{2}. \]

Dimostrazione (idea). Si tracciano l’altezza \(h\) relativa al lato \(a\) e si esprime \(h\) in funzione dei tre lati usando il teorema di Pitagora applicato ai due triangoli rettangoli in cui l’altezza divide \(ABC\). Si ottiene

\[ h^2 = b^2 - \left (\frac {a^2 + b^2 - c^2}{2a}\right )^2, \]

che, sostituita in \(A = \tfrac {a\cdot h}{2}\) e dopo manipolazioni algebriche (differenza di quadrati ripetuta), conduce alla forma fattorizzata di Erone. La dimostrazione completa è elementare ma laboriosa; rimandiamo ad approfondimenti o a una verifica numerica negli esempi.

Esempio 64.4 — Triangolo \(13\)-\(14\)-\(15\) — terna pitagorica famosa

Sia \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 15\). Allora \(p = (13+14+15)/2 = 21\), e

\[ A = \sqrt {21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt {7056} = 84. \]

(Verifica: l’altezza relativa al lato \(14\) vale \(h = 2A/14 = 12\), e con Pitagora si controlla \(5^2 + 12^2 = 13^2\) e \(9^2 + 12^2 = 15^2\). \(\checkmark\))

Esempio 64.5 — Triangolo \(3\)-\(4\)-\(5\)

Triangolo rettangolo: \(p = 6\), \(A = \sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt {36} = 6\). Confronto con la formula del triangolo rettangolo: \(A = 3\cdot 4/2 = 6\). \(\checkmark\)

Nota  — Quando usare Erone

La formula di Erone è particolarmente utile quando i dati sono i tre lati e non si vuole (o non si può) calcolare un’altezza. Se invece si conoscono base e altezza, usare direttamente \(A = b\cdot h/2\) è più rapido.

64.8 Area dei poligoni regolari

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Per i poligoni regolari (capitolo 63) esiste una formula generale che usa l’apotema \(a\), cioè la distanza dal centro al punto medio di ogni lato.

Teorema 64.7 — Area di un poligono regolare

L’area di un poligono regolare di perimetro \(2p\) e apotema \(a\) vale

\[ A = \frac {2p \cdot a}{2} = p \cdot a, \]

dove \(p\) è il semiperimetro.

Dimostrazione. Un poligono regolare con \(n\) lati si scompone in \(n\) triangoli congruenti, ciascuno avente per base un lato del poligono (\(\ell \)) e per altezza l’apotema (\(a\)). L’area di ciascun triangolo è \(\tfrac {\ell \cdot a}{2}\). Sommando:

\[ A = n \cdot \frac {\ell \cdot a}{2} = \frac {(n\ell )\cdot a}{2} = \frac {2p \cdot a}{2} = p\cdot a. \]

[Picture]

Figura 64.4: Esagono regolare scomposto nei suoi \(6\) triangoli congruenti con vertice nel centro \(O\). Ciascun triangolo ha base \(\ell \) (lato del poligono) e altezza \(a\) (apotema). L’area totale è \(A = 6\cdot \tfrac {\ell \cdot a}{2} = p\cdot a\).
\[ A_{\text {poligono regolare}} = p \cdot a = \frac {2p \cdot a}{2}. \]

Il numero fisso

In pratica, dato un poligono regolare con \(n\) lati, il rapporto apotema/lato dipende solo da \(n\). Si chiama numero fisso:

\[ f_n = \frac {a}{\ell },\qquad \text {cosicché}\qquad a = f_n \cdot \ell . \]

Esempio 64.6 — Valori notevoli del numero fisso

\[ \begin {array}{c|c} n & f_n = a/\ell \\ \hline 3\ \text {(triangolo equilatero)} & \dfrac {\sqrt {3}}{6} \approx 0.2887 \\[4pt] 4\ \text {(quadrato)} & \dfrac {1}{2} = 0.5 \\[4pt] 5\ \text {(pentagono)} & \approx 0.6882 \\[4pt] 6\ \text {(esagono)} & \dfrac {\sqrt {3}}{2} \approx 0.8660 \\[4pt] 8\ \text {(ottagono)} & \approx 1.2071 \\ \end {array} \]

Nota che per l’esagono regolare \(f_6 = \tfrac {\sqrt {3}}{2}\) coincide con la metà del lato del triangolo equilatero costruito sull’apotema: l’esagono regolare è infatti composto da \(6\) triangoli equilateri di lato \(\ell \).

64.9 Esempi svolti

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Esempio 64.7 — Parallelogramma

Un parallelogramma ha base \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e altezza relativa \(7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare l’area.

Soluzione. \(A = b\cdot h = 12\cdot 7 = 84\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).

Esempio 64.8 — Trapezio rettangolo

Un trapezio rettangolo ha basi \(B = 15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(b = 9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), e altezza \(h = 6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare l’area.

Soluzione.

\[ A = \frac {(B+b)\cdot h}{2} = \frac {(15+9)\cdot 6}{2} = \frac {144}{2} = 72\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }. \]

Esempio 64.9 — Rombo dalle diagonali

Un rombo ha diagonali \(16\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare area e lato.

Soluzione. Area: \(A = d_1\cdot d_2/2 = 16\cdot 12/2 = 96\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).

Lato: per Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato da metà delle due diagonali,

\[ \ell = \sqrt {(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt {8^2 + 6^2} = \sqrt {100} = 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }. \]

(Verifica: l’altezza del rombo, calcolata da \(A = \ell \cdot h\), vale \(h = A/\ell = 96/10 = 9.6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).)

Esempio 64.10 — Triangolo con Erone

Calcolare l’area di un triangolo di lati \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Soluzione. È un triangolo rettangolo (terna \((6,8,10) = 2\cdot (3,4,5)\)), ma usiamo Erone come verifica.

\(p = (6+8+10)/2 = 12\).

\[ A = \sqrt {12\cdot 6\cdot 4\cdot 2} = \sqrt {576} = 24\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }. \]

Verifica diretta come triangolo rettangolo: \(A = 6\cdot 8/2 = 24\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\). \(\checkmark\)

Esempio 64.11 — Triangolo equilatero — verifica con Erone

Calcolare con Erone l’area di un triangolo equilatero di lato \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Soluzione. \(p = 30/2 = 15\).

\[ A = \sqrt {15\cdot 5\cdot 5\cdot 5} = \sqrt {1875} = 25\sqrt {3} \approx 43.30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }. \]

Verifica con la formula \(A = \ell ^2\sqrt {3}/4\): \(A = 100\sqrt {3}/4 = 25\sqrt {3}\). \(\checkmark\)

Esempio 64.12 — Esagono regolare

Calcolare l’area di un esagono regolare di lato \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Soluzione. Apotema: \(a = f_6\cdot \ell = \tfrac {\sqrt {3}}{2}\cdot 6 = 3\sqrt {3} \approx 5.196\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Semiperimetro: \(p = 6\cdot 6/2 = 18\).

Area: \(A = p\cdot a = 18\cdot 3\sqrt {3} = 54\sqrt {3} \approx 93.53\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).

(Verifica: l’esagono è composto da \(6\) triangoli equilateri di lato \(6\), ciascuno di area \(36\sqrt {3}/4 = 9\sqrt {3}\). Totale: \(54\sqrt {3}\). \(\checkmark\))

Esempio 64.13 — Quadrato dalla diagonale

Calcolare l’area di un quadrato di diagonale \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Soluzione. Usiamo la formula del rombo con \(d_1 = d_2 = 8\):

\[ A = \frac {d_1\cdot d_2}{2} = \frac {64}{2} = 32\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }. \]

In alternativa, dal lato: \(\ell = d/\sqrt {2} = 8/\sqrt {2} = 4\sqrt {2}\), e \(A = \ell ^2 = 32\cdot \,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).

64.10 Esercizi proposti

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Esercizio 64.1

1.
Calcola l’area dei seguenti rettangoli: (a) \(b = 12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(h = 5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (b) \(b = 2.5\,{\mathrm{m} }\), \(h = 1.8\,{\mathrm{m} }\); (c) quadrato di lato \(7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
2.
Un parallelogramma ha lati \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), e l’altezza relativa al lato di \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) misura \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola l’area e poi l’altezza relativa al lato di \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
3.
Calcola l’area dei seguenti triangoli (base e altezza): (a) \(b = 14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(h = 9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (b) \(b = 5.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(h = 4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (c) triangolo rettangolo di cateti \(9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
4.
Un triangolo equilatero ha lato \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola altezza e area (esatte e approssimate).
5.
Un trapezio isoscele ha basi \(20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), e i lati obliqui misurano \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola altezza e area.
6.
Un trapezio rettangolo ha basi \(18\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), e il lato obliquo misura \(17\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola altezza, perimetro e area.
7.
Calcola l’area di un rombo di diagonali: (a) \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(24\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (b) \(18\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Per il caso (a), calcola anche il lato del rombo.
8.
Usa la formula di Erone per calcolare l’area dei triangoli di lati: (a) \(5, 5, 6\); (b) \(7, 8, 9\); (c) \(13, 14, 15\); (d) \(9, 10, 17\).
9.
Calcola l’area di un esagono regolare di lato \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Confronta poi con l’area di un quadrato avente lo stesso perimetro: quale figura ha area maggiore?
10.
Un pentagono regolare ha lato \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Sapendo che \(f_5 \approx 0.6882\), calcola apotema, perimetro e area.
11.
(Discussione.) Tra tutti i rettangoli di perimetro \(20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), quale ha area massima? E tra tutti i quadrilateri di perimetro \(20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)? (Risposta intuitiva — verrà dimostrata in analisi, 143.)
12.
(Erone alternativo.) Un triangolo ha lati \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 15\). Calcola l’area con Erone, poi ricava le tre altezze relative ai tre lati. Verifica che \(A = b\cdot h_b/2\) dia lo stesso risultato per tutte e tre le scelte di base.

64.11 Riepilogo del capitolo

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