58 Equivalenza di figure piane

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Capitolo 58
Equivalenza di figure piane

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Due figure piane sono equivalenti quando hanno la stessa estensione: non importa la forma, importa quanta superficie occupano.”

— adattamento didattico

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58.1 Introduzione motivazionale

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Due figure piane diverse possono occupare la stessa quantità di spazio: un rettangolo lungo e stretto può avere la stessa area di un quadrato, o di un triangolo opportunamente scelto. Quando questo accade, le figure si dicono equivalenti (o equiestese).

L’equivalenza è il concetto-chiave per parlare di area senza prima introdurre formule numeriche: due figure sono equivalenti se “coprono la stessa quantità di piano”. Da questa idea geometrica, mediante una sequenza di teoremi di trasformazione, si ricavano poi le formule delle aree dei poligoni più importanti (rettangolo, parallelogramma, triangolo, trapezio).

Questo capitolo è la base dei due teoremi più celebri di tutta la geometria euclidea, che vedremo subito dopo:

Il teorema di Pitagora (capitolo 59): in un triangolo rettangolo, l’area del quadrato sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati sui cateti.
I teoremi di Euclide (capitolo 60): mettono in relazione le aree di quadrati e rettangoli costruiti su lati e proiezioni di un triangolo rettangolo.

Tutta la geometria delle aree del biennio poggia su questo capitolo.

58.2 Concetto di equivalenza tra figure piane

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Definizione 58.1 — Equivalenza di figure piane

Due figure piane \(F\) e \(G\) si dicono equivalenti (o equiestese) se “occupano la stessa quantità di superficie”. Si scrive \(F\doteq G\).

In modo più rigoroso (Euclide): due figure piane sono equivalenti se si possono scomporre in un numero finito di parti congruenti, oppure se ne differiscono per parti che si possono aggiungere o togliere in modo congruente.

Nota — Congruenza vs equivalenza

Figure congruenti (capitolo 32): sono “identiche”, ovvero sovrapponibili con un movimento rigido. La congruenza implica l’equivalenza.
Figure equivalenti: hanno la stessa area, ma possono avere forme diverse. L’equivalenza non implica la congruenza.

Esempio: un quadrato di lato \(2\,{\mathrm{m} }\) e un rettangolo di dimensioni \(1\,{\mathrm{m} }\times 4\,{\mathrm{m} }\) hanno entrambi area \(4\,{\mathrm{m}^{2} }\). Sono equivalenti ma non congruenti.

Teorema 58.1 — Postulati dell’equivalenza

La relazione di equivalenza tra figure piane soddisfa:

Riflessiva: \(F\doteq F\);
Simmetrica: se \(F\doteq G\), allora \(G\doteq F\);
Transitiva: se \(F\doteq G\) e \(G\doteq H\), allora \(F\doteq H\).
Somma: se \(F\doteq F'\) e \(G\doteq G'\), allora \(F\cup G\doteq F'\cup G'\) (con \(F\cap G\) e \(F'\cap G'\) senza area, cioè una linea o un punto).
Differenza: se \(F\subseteq F'\) ed \(F\doteq F'\), allora ogni figura ottenuta sottraendo a \(F'\) una sottofigura \(G\subseteq F\) è equivalente alla sottrazione corrispondente in \(F\).

Definizione 58.2 — Equiscomponibilità

Due figure piane \(F\) e \(G\) si dicono equiscomponibili se si possono scomporre in un numero finito di parti, in modo che ogni parte di \(F\) sia congruente a una parte di \(G\).

Si dimostra che due figure equiscomponibili sono equivalenti. Il viceversa vale per i poligoni: due poligoni equivalenti sono sempre equiscomponibili (teorema di Bolyai-Gerwien, 1833).

58.3 Teoremi sull’equivalenza dei parallelogrammi

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Teorema 58.2 — Parallelogrammi con stessa base e altezza

Due parallelogrammi che hanno una base congruente e la stessa altezza relativa sono equivalenti.

Dimostrazione (idea geometrica). Si considerano due parallelogrammi \(ABCD\) e \(ABEF\) con la stessa base \(AB\) e con i lati \(DC\) ed \(EF\) paralleli ad \(AB\) alla stessa altezza. Tagliando opportunamente uno dei due con un movimento rigido, si ottiene l’altro: è una applicazione classica della equiscomponibilità (figura 58.1).

[Picture] — Figura 58.1: Due parallelogrammi con la stessa base \(AB\) e la stessa altezza \(h\) sono equivalenti: \(ABCD\doteq ABC'D'\). Anche se hanno inclinazioni diverse, “occupano la stessa quantità di piano”.

Teorema 58.3 — Parallelogramma e rettangolo

Ogni parallelogramma è equivalente al rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza.

Dimostrazione (per equiscomponibilità). Si “raddrizza” il parallelogramma tagliando un triangolo da un lato e attaccandolo all’altro, ottenendo il rettangolo equivalente.

Nota — Formula dell’area del parallelogramma

Da questo teorema discende che, se chiamiamo \(b\) la base e \(h\) l’altezza, l’area di un parallelogramma è

\[ A = b\cdot h. \]

È la stessa formula del rettangolo, perché parallelogramma e rettangolo della stessa base e altezza sono equivalenti.

58.4 Equivalenza tra triangolo e rettangolo

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Teorema 58.4 — Triangolo e rettangolo

Un triangolo è equivalente alla metà di un parallelogramma che abbia la stessa base e la stessa altezza. Equivalentemente: ogni triangolo è equivalente a un rettangolo di base uguale e altezza uguale alla metà dell’altezza del triangolo.

Dimostrazione (per equiscomponibilità). Dato un triangolo \(ABC\), si traccia la mediana relativa a un lato (o si raddoppia il triangolo). Il quadrilatero ottenuto duplicando il triangolo lungo un lato è un parallelogramma (con vertici opposti \(C\) e \(C'\) allineati simmetricamente). Quindi il triangolo è metà del parallelogramma.

\[ A_{\triangle } = \dfrac {b\cdot h}{2}. \]

58.5 Equivalenza tra trapezio e triangolo

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Teorema 58.5 — Area del trapezio

Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha:

come base la somma delle basi del trapezio,
come altezza l’altezza del trapezio.

Equivalentemente, l’area del trapezio è

\[ A_{\text {trap}} = \dfrac {(B + b)\cdot h}{2}, \]

dove \(B\) è la base maggiore, \(b\) la base minore, \(h\) l’altezza.

Dimostrazione (per equiscomponibilità). Si taglia il trapezio lungo una diagonale, ottenendo due triangoli. Il primo ha come base la base maggiore \(B\) e altezza \(h\); il secondo ha base la base minore \(b\) e stessa altezza \(h\). Sommando le aree:

\[ A_{\text {trap}} = \dfrac {B\,h}{2} + \dfrac {b\,h}{2} = \dfrac {(B+b)\,h}{2}. \]

\[ A_{\text {trap}} = \dfrac {(B + b)\,h}{2}. \]

Nota — Cenno: formula di Erone

Per il triangolo, esiste un’altra formula molto utile quando si conoscono i tre lati ma non l’altezza: la formula di Erone. Se \(a, b, c\) sono i lati e \(s = \tfrac {a+b+c}{2}\) è il semiperimetro, allora

\[ A_{\triangle } = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}. \]

La dimostrazione richiede la trigonometria (capitolo 107); qui la diamo come formula da usare.

Esempio: triangolo di lati \(3, 4, 5\). \(s = 6\). \(A = \sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt {36}=6\). (Verifica diretta: è un triangolo rettangolo, area \(\tfrac {3\cdot 4}{2}=6\). \(\checkmark\))

Riepilogo delle formule

\[ A_{\text {rettangolo}} = b\cdot h,\quad A_{\text {parallel.}} = b\cdot h,\quad A_{\triangle } = \dfrac {b\cdot h}{2},\quad A_{\text {trap}} = \dfrac {(B+b)\cdot h}{2}. \]

(Per la circonferenza \(A_\text {cerchio} = \pi r^2\) vedere capitolo 65; le formule per i poligoni regolari e le aree con apotema, capitolo 63.)

58.6 Esempi svolti

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Esempio 58.1 — Area di un triangolo

Un triangolo ha base \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e altezza \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare l’area.

Soluzione. \(A = \dfrac {12\cdot 8}{2} = 48\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\).

Esempio 58.2 — Area di un trapezio

Un trapezio ha basi \(14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), altezza \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare l’area.

Soluzione. \(A = \dfrac {(14+6)\cdot 5}{2} = \dfrac {100}{2} = 50\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\).

Esempio 58.3 — Triangolo equivalente a un rettangolo

Un rettangolo ha dimensioni \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\times 4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Determinare la base di un triangolo equivalente, sapendo che ha altezza \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Soluzione. Area rettangolo \(= 6\cdot 4 = 24\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\). Se il triangolo ha base \(b\) e altezza \(8\), l’area è \(\tfrac {b\cdot 8}{2} = 4b\). Imponendo \(4b = 24\): \(b = 6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Esempio 58.4 — Formula di Erone applicata

Calcolare l’area di un triangolo con lati \(5, 7, 8\) cm.

Soluzione. Semiperimetro: \(s = \tfrac {5+7+8}{2} = 10\). Area:

\[ A = \sqrt {10\cdot (10-5)\cdot (10-7)\cdot (10-8)} = \sqrt {10\cdot 5\cdot 3\cdot 2} = \sqrt {300} = 10\sqrt {3}\approx 17{,}3\,\text {cm}^2. \]

Esempio 58.5 — Triangolo dato uno il rettangolo equivalente

Un triangolo equilatero ha lato \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Determinare le dimensioni di un rettangolo equivalente avente base \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Soluzione. L’altezza di un triangolo equilatero di lato \(\ell \) è \(h = \tfrac {\ell \sqrt {3}}{2} = \tfrac {6\sqrt {3}}{2} = 3\sqrt {3}\approx 5{,}196\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Area del triangolo: \(A = \tfrac {6\cdot 3\sqrt {3}}{2} = 9\sqrt {3}\approx 15{,}59\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\). Rettangolo: \(b = 4\), \(h = \tfrac {A}{b} = \tfrac {9\sqrt {3}}{4}\approx 3{,}90\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

58.7 Esercizi proposti

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Esercizio 58.1

1.: Calcola l’area: (a) di un rettangolo \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\times 5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (b) di un quadrato di lato \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (c) di un parallelogramma con base \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e altezza \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (d) di un triangolo con base \(14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e altezza \(9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
2.: Calcola l’area di un trapezio: (a) basi \(8\,{}\) e \(5\,{}\), altezza \(4\,{}\) cm; (b) basi \(20\,{}\) e \(12\,{}\), altezza \(7\,{}\) cm; (c) base maggiore \(15\,{}\), base minore metà della maggiore, altezza \(6\,{}\) cm.
3.: Determina l’altezza di un triangolo di area \(36\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\) e base \(9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
4.: Un rettangolo ha le dimensioni una doppia dell’altra, e area \(72\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\). Trova le dimensioni.
5.: Per la formula di Erone, calcola l’area dei triangoli con lati: (a) \(5, 5, 6\); (b) \(7, 24, 25\) (verifica che è un triangolo rettangolo); (c) \(13, 14, 15\).
6.: Un triangolo ha lati \(13\) e \(14\) cm e l’angolo compreso di \(\ang {60}\). Calcola l’area con la formula trigonometrica \(A = \tfrac {1}{2}ab\operatorname{sen} \gamma \). (Cenno, capitolo 107.)
7.: Mostra (con riga e compasso o GeoGebra) che un triangolo qualsiasi è equiscomponibile con un rettangolo della stessa base e metà altezza. Spiega i passi.
8.: Determina la base di un triangolo equivalente a un parallelogramma di base \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e altezza \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), sapendo che il triangolo ha altezza \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
9.: (Discussione.) Considera due rettangoli di area uguale ma con dimensioni diverse, per esempio \(1\times 12\) e \(3\times 4\). Sono equivalenti (sì, per definizione). Sono equiscomponibili? Trova una scomposizione esplicita che lo dimostri.

58.8 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Due figure piane \(F\) e \(G\) sono equivalenti (o equiestese) se occupano la stessa quantità di superficie. Si scrive \(F\doteq G\).
L’equivalenza è una relazione riflessiva, simmetrica, transitiva; si conserva per somma e differenza di figure.
Due figure piane si dicono equiscomponibili se si possono scomporre in parti congruenti. Equiscomponibilità \(\Rightarrow \) equivalenza; per i poligoni vale anche il viceversa (Bolyai-Gerwien).
Parallelogramma: equivalente al rettangolo della stessa base e altezza. \(A_{\text {parall.}}=b\cdot h\).
Triangolo: equivalente alla metà di un parallelogramma con la stessa base e altezza. \(A_\triangle = \dfrac {b\cdot h}{2}\).
Trapezio: equivalente a un triangolo con base \(B+b\) e stessa altezza. \(A_{\text {trap}} = \dfrac {(B+b)\cdot h}{2}\).
Formula di Erone: per un triangolo di lati \(a, b, c\) e semiperimetro \(s\), \(A_\triangle = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\).
Tutte queste formule sono conseguenze geometriche dell’idea di equivalenza, non assiomi a sé.
I capitoli 59 (Pitagora) e 60 (Euclide) costruiscono i loro enunciati su queste basi.

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Capitolo 58 Equivalenza di figure piane

58.1 Introduzione motivazionale

58.2 Concetto di equivalenza tra figure piane

58.3 Teoremi sull’equivalenza dei parallelogrammi

58.4 Equivalenza tra triangolo e rettangolo

58.5 Equivalenza tra trapezio e triangolo

Riepilogo delle formule

58.6 Esempi svolti

58.7 Esercizi proposti

58.8 Riepilogo del capitolo

Capitolo 58
Equivalenza di figure piane