63 Poligoni regolari inscritti e circoscritti

“

Un poligono regolare è la perfezione geometrica fatta figura: lati uguali, angoli uguali, simmetria che gira attorno a un solo centro.”

— adattamento didattico

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63.1 Introduzione motivazionale

I poligoni regolari sono i poligoni più “simmetrici” del piano: tutti i lati sono congruenti e tutti gli angoli sono congruenti. Il triangolo equilatero, il quadrato, l’esagono regolare, l’ottagono regolare sono esempi familiari. La loro perfezione formale li rende oggetti centrali della geometria e dell’arte: tutto, dal pavimento dei Romani alla cupola di Brunelleschi, dalle alveari delle api ai cristalli, si appoggia sui poligoni regolari.

In questo capitolo studiamo le proprietà di base dei poligoni regolari: l’esistenza del centro (punto equidistante da tutti i vertici e da tutti i lati), il raggio della circonferenza circoscritta, l’apotema (distanza dal centro al lato), e l’area che si ottiene dalla bellissima formula \(A = \tfrac {P\cdot a}{2}\). Vedremo poi che ogni poligono regolare è sempre sia inscrivibile che circoscrivibile a circonferenze concentriche.

Le proporzioni metriche tra raggio, lato, apotema dipendono dal numero di lati: la sezione dei numeri apotemici (e dei numeri fissi) raccoglie quelle dei poligoni regolari più comuni.

63.2 Poligoni regolari: definizione

Definizione 63.1 — Poligono regolare

Un poligono regolare è un poligono con tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti. Si dice regolare di ordine \(n\) (o \(n\)-gono regolare) se ha \(n\) lati.

Esempio 63.1 — Poligoni regolari notevoli

\(n=3\): triangolo equilatero;
\(n=4\): quadrato;
\(n=5\): pentagono regolare;
\(n=6\): esagono regolare;
\(n=8\): ottagono regolare;
\(n=10\): decagono regolare;
\(n=12\): dodecagono regolare.

Anche il cerchio si può vedere come “poligono regolare con infiniti lati” (è il limite della successione di \(n\)-goni regolari inscritti in una circonferenza quando \(n\to \infty \)).

Teorema 63.1 — Angoli del poligono regolare

Un poligono regolare con \(n\) lati ha:

somma degli angoli interni: \((n-2)\cdot \ang {180}\);
angolo interno: \(\dfrac {(n-2)\cdot \ang {180}}{n}\);
angolo esterno: \(\dfrac {\ang {360}}{n}\).

Esempio 63.2

Esagono regolare (\(n=6\)): angolo interno \(= \tfrac {4\cdot 180}{6} = \ang {120}\). Pentagono (\(n=5\)): \(\tfrac {3\cdot 180}{5} = \ang {108}\). Ottagono (\(n=8\)): \(\tfrac {6\cdot 180}{8} = \ang {135}\).

63.3 Apotema e numero fisso

Definizione 63.2 — Centro, raggio, apotema

Sia \(P\) un poligono regolare con \(n\) lati di lunghezza \(\ell \).

Il centro di \(P\) è il punto equidistante da tutti i vertici (e da tutti i lati). Esiste sempre.
Il raggio \(R\) è la distanza dal centro a un vertice. È anche il raggio della circonferenza circoscritta.
L’apotema \(a\) è la distanza dal centro al punto medio di un lato. È anche il raggio della circonferenza inscritta.

Teorema 63.2 — Area di un poligono regolare

L’area di un poligono regolare di perimetro \(P\) e apotema \(a\) è

\[ A = \dfrac {P\cdot a}{2}. \]

Dimostrazione (idea). Il poligono si scompone in \(n\) triangoli isosceli congruenti, ciascuno con base \(\ell \) (un lato) e altezza \(a\) (l’apotema). L’area di ognuno è \(\tfrac {\ell \cdot a}{2}\). Sommando le \(n\) aree: \(A = n\cdot \tfrac {\ell \cdot a}{2} = \tfrac {(n\ell )\cdot a}{2} = \tfrac {P\cdot a}{2}\).

\[ A = \dfrac {P\cdot a}{2}, \qquad P = n\cdot \ell . \]

Definizione 63.3 — Numero fisso e numero apotemico

Per ogni \(n\)-gono regolare:

Il rapporto \(\dfrac {a}{\ell }\) tra apotema e lato è una costante che dipende solo da \(n\): si chiama numero apotemico (o numero fisso del poligono).
Si denota \(f_n\), e si trova nelle tavole geometriche.

Nota — Valori notevoli di \(f_n\)

Per i poligoni più comuni (con \(\ell = 1\)):

\[ \begin {array}{l|c} n & f_n = a/\ell \\ \hline 3 \text { (equilatero)} & \tfrac {\sqrt {3}}{6}\approx 0{,}2887 \\ 4 \text { (quadrato)} & \tfrac {1}{2} = 0{,}5 \\ 5 \text { (pentagono)} & \tfrac {\sqrt {25+10\sqrt {5}}}{10}\approx 0{,}6882 \\ 6 \text { (esagono)} & \tfrac {\sqrt {3}}{2}\approx 0{,}8660 \\ 8 \text { (ottagono)} & \tfrac {1+\sqrt {2}}{2}\approx 1{,}2071 \\ 10 \text { (decagono)} & \tfrac {\sqrt {5+2\sqrt {5}}}{2}\approx 1{,}5388 \\ \end {array} \]

Si vede che \(f_n\) cresce con \(n\) (il poligono diventa più “vicino al cerchio”). Per \(n\to \infty \), \(f_n\to \) raggio del cerchio, e \(A\to \) area del cerchio.

63.4 Inscrivibilità e circoscrivibilità

Teorema 63.3 — Proprietà fondamentale dei poligoni regolari

Ogni poligono regolare è sia inscrivibile (esiste la circonferenza che passa per tutti i vertici) sia circoscrivibile (esiste la circonferenza tangente a tutti i lati). Le due circonferenze hanno lo stesso centro.

Dimostrazione (idea). Per la simmetria del poligono (tutti i vertici e tutti i lati “uguali”), il punto equidistante dai vertici e il punto equidistante dai lati coincidono: è il centro del poligono. La circonferenza circoscritta ha raggio \(R\), la inscritta raggio \(a\) (apotema).

Nota — Relazione \(R\) e \(a\)

Tra raggio \(R\), apotema \(a\) e mezzo lato \(\ell /2\) vale per Pitagora:

\[ R^2 = a^2 + \left (\dfrac {\ell }{2}\right )^2 \quad \iff \quad R = \sqrt {a^2 + \dfrac {\ell ^2}{4}}. \]

È la relazione metrica fondamentale dei poligoni regolari.

\[ R^2 = a^2 + \dfrac {\ell ^2}{4}. \]

63.5 Calcolo di lati noti raggio e apotema

I poligoni regolari più semplici (triangolo equilatero, quadrato, esagono) si esprimono con relazioni metriche esatte coinvolgenti \(\sqrt {2}, \sqrt {3}\) e il rapporto aureo.

Teorema 63.4 — Triangolo equilatero

Per un triangolo equilatero di lato \(\ell \):

\[ R = \dfrac {\ell \sqrt {3}}{3} = \dfrac {\ell }{\sqrt {3}}, \qquad a = \dfrac {\ell \sqrt {3}}{6}, \qquad h = \dfrac {\ell \sqrt {3}}{2}, \qquad A = \dfrac {\ell ^2\sqrt {3}}{4}. \]

Teorema 63.5 — Quadrato

Per un quadrato di lato \(\ell \):

\[ R = \dfrac {\ell \sqrt {2}}{2}, \qquad a = \dfrac {\ell }{2}, \qquad A = \ell ^2, \qquad d = \ell \sqrt {2}\ \text {(diagonale)}. \]

Teorema 63.6 — Esagono regolare

Per un esagono regolare di lato \(\ell \):

\[ R = \ell , \qquad a = \dfrac {\ell \sqrt {3}}{2}, \qquad A = \dfrac {3\ell ^2\sqrt {3}}{2}. \]

Nota — L’esagono e il suo lato uguale al raggio

È una proprietà notevole dell’esagono regolare: il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato. Conseguenza: l’esagono regolare si costruisce con riga e compasso semplicemente riportando \(6\) volte il raggio sulla circonferenza.

63.6 Esempi svolti

Esempio 63.3 — Area dell’esagono regolare

Calcolare l’area di un esagono regolare di lato \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Soluzione. \(P = 6\cdot 6 = 36\) cm. \(a = \tfrac {6\sqrt {3}}{2} = 3\sqrt {3}\approx 5{,}196\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Area: \(A = \tfrac {36\cdot 3\sqrt {3}}{2} = 54\sqrt {3}\approx 93{,}5\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\).

Esempio 63.4 — Raggio e apotema noto il lato

In un ottagono regolare di lato \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), calcolare raggio e apotema.

Soluzione. Dalla tavola, \(f_8 \approx 1{,}2071\). Quindi \(a = 4\cdot 1{,}2071\approx 4{,}83\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Raggio: \(R = \sqrt {a^2 + (\ell /2)^2} = \sqrt {4{,}83^2 + 2^2}\approx \sqrt {23{,}33 + 4} = \sqrt {27{,}33}\approx 5{,}23\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Esempio 63.5 — Lato dell’esagono inscritto in una circonferenza

Un esagono regolare è inscritto in una circonferenza di raggio \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare lato, apotema, area.

Soluzione. Per l’esagono \(R = \ell \), dunque \(\ell = 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Apotema: \(a = \tfrac {10\sqrt {3}}{2} = 5\sqrt {3}\approx 8{,}66\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Area: \(A = \tfrac {(6\cdot 10)\cdot 5\sqrt {3}}{2} = 150\sqrt {3}\approx 259{,}8\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\).

Esempio 63.6 — Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

Un triangolo equilatero è inscritto in una circonferenza di raggio \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Trovare lato e area.

Soluzione. \(R = \tfrac {\ell \sqrt {3}}{3} \Rightarrow \ell = R\sqrt {3} = 6\sqrt {3}\approx 10{,}39\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Area: \(A = \tfrac {\ell ^2\sqrt {3}}{4} = \tfrac {(6\sqrt {3})^2\sqrt {3}}{4} = \tfrac {108\sqrt {3}}{4} = 27\sqrt {3}\approx 46{,}77\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\).

Esempio 63.7 — Angolo al centro

In un poligono regolare di \(12\) lati, quanto vale l’angolo al centro che insiste su un lato?

Soluzione. L’angolo al centro è \(\tfrac {\ang {360}}{n} = \tfrac {\ang {360}}{12} = \ang {30}\).

63.7 Esercizi proposti

Esercizio 63.1

1.: Calcola somma e ampiezza degli angoli interni e dell’angolo esterno per: (a) pentagono regolare; (b) ottagono regolare; (c) decagono regolare; (d) dodecagono regolare.
2.: Calcola l’area di: (a) un triangolo equilatero di lato \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (b) un quadrato di lato \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (c) un esagono regolare di lato \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (d) un ottagono regolare di lato \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) (usa il numero apotemico \(\approx 1{,}207\)).
3.: In un poligono regolare di \(10\) lati, l’apotema misura \(6{,}15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola perimetro e area sapendo che \(f_{10}\approx 1{,}539\).
4.: Un esagono regolare ha area \(96\sqrt {3}\) cm\(^2\). Trova il lato e l’apotema.
5.: Un quadrato e un esagono regolare hanno lo stesso perimetro \(60\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Qual è la differenza tra le loro aree?
6.: Verifica con Pitagora la relazione \(R^2 = a^2 + (\ell /2)^2\) per: (a) un esagono di lato \(4\); (b) un quadrato di lato \(6\).
7.: Costruisci con riga e compasso (o GeoGebra) un esagono regolare inscritto in una circonferenza data.
8.: In un dodecagono regolare di lato \(\ell = 5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), calcola apotema e area sapendo che \(f_{12}\approx 1{,}866\).
9.: (Discussione.) Se all’esagono regolare aggiungo continuamente un lato (passando da esagono a ettagono regolare, ottagono, ecc.) cosa succede al rapporto \(\tfrac {A}{R^2}\) (area su raggio al quadrato)? A cosa tende per \(n\to \infty \)? (Suggerimento: il poligono diventa un cerchio.)

63.8 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Un poligono regolare ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti. Con \(n\) lati: angolo interno \(\tfrac {(n-2)\cdot \ang {180}}{n}\), angolo esterno \(\tfrac {\ang {360}}{n}\).
Ogni poligono regolare ha un centro, un raggio \(R\) (circonferenza circoscritta) e un apotema \(a\) (circonferenza inscritta), con relazione \(R^2 = a^2 + (\ell /2)^2\).
Area: \(A = \dfrac {P\cdot a}{2}\), dove \(P = n\ell \) è il perimetro.
Numero apotemico \(f_n = a/\ell \): rapporto costante che dipende solo da \(n\), tabulato per i poligoni standard.
Per \(n\to \infty \), il poligono regolare tende al cerchio: \(f_n\) cresce verso il rapporto \(R\) del cerchio.
Casi notevoli:
- Triangolo equilatero: \(R = \ell \sqrt {3}/3\), \(a = \ell \sqrt {3}/6\), \(A = \ell ^2\sqrt {3}/4\).
- Quadrato: \(R = \ell \sqrt {2}/2\), \(a = \ell /2\), \(A = \ell ^2\).
- Esagono: \(R = \ell \), \(a = \ell \sqrt {3}/2\), \(A = 3\ell ^2\sqrt {3}/2\).
Ogni poligono regolare è sempre sia inscrivibile sia circoscrivibile in/a circonferenze concentriche.

Capitolo 63 Poligoni regolari inscritti e circoscritti