“Dividere ciascuna delle difficoltà che esaminerò in tante parti quante possibili e necessarie a meglio
risolverla.”
— René Descartes, Discorso sul metodo
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Il regno dei quadrilateri è il più ricco di sotto-famiglie e di classificazioni di tutta la geometria piana elementare. A partire dal quadrilatero generico (quattro lati, quattro vertici, quattro angoli) si scendono gerarchie di figure sempre più specializzate: il trapezio (almeno una coppia di lati paralleli), il parallelogramma (due coppie), il rettangolo (parallelogramma con angoli retti), il rombo (parallelogramma con lati congruenti), e infine il quadrato che riunisce le proprietà di rettangolo e rombo.
Questa gerarchia non è solo una nomenclatura: ogni passaggio aggiunge proprietà geometriche che si dimostrano rigorosamente a partire dalle proprietà del livello superiore e dai criteri di congruenza del Capitolo 32. In questo capitolo costruiremo l’intera architettura, capitolo dopo capitolo, applicando il metodo dimostrativo che abbiamo affinato in tutta la sezione di geometria.
Le caratterizzazioni che presenteremo — i teoremi della forma “un quadrilatero è un X se e solo se vale Y” — sono lo strumento operativo con cui, in concreto, si dimostra che una certa figura appartiene a una certa categoria.
Definizione 37.1 — Trapezio
Nota
Convenzioni alternative. Alcuni testi moderni adottano una definizione inclusiva: trapezio = quadrilatero con almeno una coppia di lati paralleli. Con quella scelta, ogni parallelogramma è un caso particolare di trapezio, e la gerarchia delle figure è più simile a quella già adottata in queste dispense per i triangoli (equilatero \(\subset \) isoscele). In queste pagine seguiamo la convenzione tradizionale del liceo italiano — definizione esclusiva — perché è quella implicita in quasi tutti i testi scolastici e nei problemi di esame: per noi, trapezio e parallelogramma sono insiemi disgiunti.
I trapezi si classificano in tre famiglie, secondo le proprietà dei lati obliqui.
Definizione 37.2 — Classificazione dei trapezi
Indipendentemente dal tipo, in ogni trapezio gli angoli adiacenti a un lato obliquo sono supplementari.
Teorema 37.1 — Angoli adiacenti a un lato obliquo
Dimostrazione. Sia \(ABCD\) un trapezio con \(AB \parallel CD\), e siano \(A\) e \(D\) i due vertici di uno stesso lato obliquo \(AD\). Gli angoli \(\widehat {A}\) e \(\widehat {D}\) del trapezio si trovano dalla stessa parte rispetto al lato obliquo \(AD\) visto come trasversale delle due basi parallele \(AB\) e \(CD\). Sono dunque coniugati interni; per il criterio di parallelismo (Capitolo 34), la loro somma è un angolo piatto:
Il trapezio isoscele è la figura più ricca di proprietà fra i trapezi, grazie alla simmetria assiale che possiede.
Teorema 37.2 — Angoli alla base del trapezio isoscele
Ipotesi. \(ABCD\) trapezio isoscele con \(AB \parallel CD\), \(AD \cong BC\).
Tesi. \(\widehat {A} \cong \widehat {B}\) e \(\widehat {D} \cong \widehat {C}\).
Dimostrazione. Tracciamo da \(D\) la parallela al lato obliquo \(BC\), che incontra la base \(AB\) in un punto \(E\). Per costruzione \(DEBC\) è un parallelogramma (un caso particolare: ha due coppie di lati paralleli per costruzione e per ipotesi), dunque \(DE \cong BC\). Poiché per ipotesi \(AD \cong BC\), segue \(AD \cong DE\), ovvero il triangolo \(\triangle ADE\) è isoscele su base \(AE\).
Per il teorema diretto del triangolo isoscele (Capitolo 33), \(\widehat {DAE} \cong \widehat {DEA}\). Ma \(\widehat {DAE} = \widehat {A}\) (angolo del trapezio in \(A\)), mentre \(\widehat {DEA}\) e \(\widehat {B}\) sono corrispondenti rispetto alle parallele \(DE\) e \(BC\) tagliate dalla trasversale \(AB\), dunque \(\widehat {DEA} \cong \widehat {B}\). Per transitività \(\widehat {A} \cong \widehat {B}\).
L’altra coppia \(\widehat {D} \cong \widehat {C}\) segue dalla precedente e dal fatto che \(\widehat {A} + \widehat {D} = \widehat {B} + \widehat {C} = 180\,{^\circ }\) (angoli adiacenti ai lati obliqui).
Teorema 37.3 — Diagonali del trapezio isoscele
Ipotesi. \(ABCD\) trapezio isoscele con \(AB \parallel CD\), \(AD \cong BC\).
Tesi. \(AC \cong BD\).
Dimostrazione. Confrontiamo i triangoli \(\triangle ABD\) e \(\triangle BAC\). Si ha:
Per il primo criterio di congruenza (LAL), \(\triangle ABD \cong \triangle BAC\). In particolare \(BD \cong AC\).
Definizione 37.3 — Parallelogramma
Da questa unica definizione discendono molte proprietà, che enunciamo e dimostriamo nei prossimi teoremi.
Teorema 37.4 — Proprietà fondamentali del parallelogramma
In un parallelogramma \(ABCD\) valgono le seguenti proprietà:
Dimostrazione delle proprietà (1) e (2). Tracciamo la diagonale \(AC\). Confrontiamo i triangoli \(\triangle ABC\) e \(\triangle CDA\). Si ha:
Per il secondo criterio di congruenza (ALA), \(\triangle ABC \cong \triangle CDA\). In particolare:
L’altra congruenza della (2), \(\widehat {A} \cong \widehat {C}\), si ottiene tracciando la diagonale \(BD\) e ragionando in modo analogo.
Dimostrazione della proprietà (3). Gli angoli \(\widehat {A}\) e \(\widehat {B}\) sono coniugati interni rispetto alle parallele \(AD \parallel BC\) tagliate dalla trasversale \(AB\), dunque sono supplementari.
Dimostrazione della proprietà (4). Sia \(M = AC \cap BD\). Confrontiamo i triangoli \(\triangle AMB\) e \(\triangle CMD\). Si ha:
Per il secondo criterio (ALA), \(\triangle AMB \cong \triangle CMD\). In particolare \(AM \cong CM\) e \(BM \cong DM\).
Le quattro proprietà appena dimostrate hanno un valore notevole: ciascuna di esse, presa come ipotesi, caratterizza il parallelogramma. Cioè, valgono tutti gli inversi.
Teorema 37.5 — Criteri di parallelogramma
Un quadrilatero (convesso) \(ABCD\) è un parallelogramma se e solo se vale una qualsiasi delle seguenti condizioni (e dunque, automaticamente, tutte le altre):
Dimostrazione di un criterio (il terzo). Sia \(ABCD\) un quadrilatero con \(AB \parallel CD\) e \(AB \cong CD\); dimostriamo che è un parallelogramma. Tracciamo la diagonale \(AC\). I triangoli \(\triangle ABC\) e \(\triangle CDA\) hanno:
Per il primo criterio di congruenza (LAL), \(\triangle ABC \cong \triangle CDA\). In particolare \(\widehat {BCA} \cong \widehat {DAC}\). Ma questi sono alterni interni rispetto alle rette \(BC\) e \(AD\) tagliate dalla trasversale \(AC\): la loro congruenza implica \(BC \parallel AD\) (criterio di parallelismo, Capitolo 34).
Le altre direzioni dei criteri si dimostrano in modo simile e sono proposte come esercizi.
Procedura — Riconoscere un parallelogramma
Per dimostrare che un quadrilatero \(ABCD\) è un parallelogramma è sufficiente verificare una qualsiasi delle cinque condizioni del teorema dei criteri. Nella pratica, conviene scegliere il criterio per cui i dati del problema sono più direttamente disponibili:
La definizione richiede un solo angolo retto: i restanti tre angoli sono retti come conseguenza. Infatti, in un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti e gli angoli adiacenti sono supplementari: se \(\widehat {A} = 90\,{^\circ }\), allora \(\widehat {C} = \widehat {A} = 90\,{^\circ }\) e \(\widehat {B} = \widehat {D} = 180\,{^\circ } - 90\,{^\circ } = 90\,{^\circ }\). Tutti e quattro gli angoli sono retti.
Ipotesi. \(ABCD\) rettangolo.
Tesi. \(AC \cong BD\).
Dimostrazione. Confrontiamo i triangoli rettangoli \(\triangle ABD\) e \(\triangle BAC\). Si ha:
Per il primo criterio (LAL) — qui usato come criterio dei cateti dei triangoli rettangoli — i due triangoli sono congruenti. In particolare \(BD \cong AC\).
Teorema 37.7 — Caratterizzazione del rettangolo
La direzione \(\Rightarrow \) è il teorema precedente. La direzione \(\Leftarrow \) si dimostra in modo analogo, partendo da \(AC \cong BD\) e usando il terzo criterio (LLL) per ottenere \(\widehat {DAB} \cong \widehat {CBA}\); ma questi sono anche supplementari (lati adiacenti del parallelogramma con lo stesso lato \(AB\)), quindi entrambi retti.
Anche qui, come nel rettangolo, la definizione richiede solo due lati consecutivi congruenti, ma la proprietà si estende automaticamente: per i lati opposti del parallelogramma, \(AB \cong CD\) e \(BC \cong AD\); per ipotesi, \(AB \cong BC\); per transitività, tutti e quattro i lati sono congruenti.
Teorema 37.8 — Diagonali del rombo
Ipotesi. \(ABCD\) rombo, \(M\) intersezione delle diagonali.
Tesi. \(AC \perp BD\); le diagonali \(AC\) e \(BD\) sono bisettrici degli angoli del rombo.
Dimostrazione. Confrontiamo i triangoli \(\triangle ABM\) e \(\triangle CBM\). Si ha:
Per il terzo criterio (LLL), \(\triangle ABM \cong \triangle CBM\). Allora:
La bisettrice degli altri angoli si dimostra in modo analogo.
Teorema 37.9 — Caratterizzazione del rombo
La direzione \(\Rightarrow \) è il teorema precedente. La direzione \(\Leftarrow \) si dimostra confrontando i quattro triangoli che le diagonali formano: se \(AC \perp BD\), i triangoli sono congruenti per LAL e i quattro lati del quadrilatero risultano congruenti.
Definizione 37.6 — Quadrato
Il quadrato è la figura “più speciale” dell’intera gerarchia: eredita tutte le proprietà di parallelogramma, rettangolo e rombo, e ne aggiunge altre. In particolare:
Riunendo: le diagonali di un quadrato si bisecano scambievolmente, sono perpendicolari, congruenti, e bisettrici degli angoli. Il punto di intersezione delle diagonali è il centro di simmetria del quadrato; le due rette che contengono le diagonali sono assi di simmetria, e così pure le rette parallele ai lati passanti per il centro.
Attenzione!
Quadrato e rettangolo: il rapporto inclusione/uguaglianza. Una fonte di confusione comune: la frase “ogni quadrato è un rettangolo” è vera (un quadrato soddisfa la definizione di rettangolo: parallelogramma con un angolo retto), ma “ogni rettangolo è un quadrato” è falsa. La relazione fra rettangolo e quadrato è di inclusione propria: l’insieme dei quadrati è un sottoinsieme stretto dell’insieme dei rettangoli, contenente le sole figure con i lati anche congruenti.
Chiudiamo il capitolo con un risultato che lega le proprietà del trapezio alla nozione di punto medio e che, in forma generalizzata, è una specializzazione del teorema di Talete (Capitolo 61).
Teorema 37.10 — della congiungente dei punti medi nel trapezio
Sia \(ABCD\) un trapezio con \(AB \parallel CD\). Detti \(M\) il punto medio del lato obliquo \(AD\) ed \(N\) il punto medio del lato obliquo \(BC\), il segmento \(MN\):
La dimostrazione completa fa uso del teorema di Talete sulle rette parallele tagliate da trasversali; la riprenderemo nel Capitolo 61. Per ora osserviamo soltanto un caso particolare, immediatamente intuitivo: se \(CD\) si riduce a un punto (\(\overline {CD} = 0\)), il trapezio degenera in un triangolo e \(MN\) diventa la congiungente dei punti medi di due lati, parallela al terzo e di lunghezza la metà di esso (è il caso applicato nell’esempio finale del Capitolo 32).
Esempio 37.1 — Lati di un parallelogramma
In un parallelogramma il perimetro vale \(36\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e un lato supera il consecutivo di \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Determinare i quattro lati.
Impostazione algebrica. Siano \(a\) e \(b\) i due lati consecutivi di un parallelogramma. I lati opposti sono congruenti, quindi il perimetro è \(2(a + b) = 36\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), ovvero \(a + b = 18\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). L’altra condizione si scrive \(a - b = 4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Sistema.
Sommando: \(2a = 22\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(a = 11\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Sottraendo: \(2b = 14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(b = 7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
I lati del parallelogramma misurano alternativamente \(11\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Esempio 37.2 — Angoli di un trapezio isoscele
In un trapezio isoscele un angolo alla base maggiore misura \(68\,{^\circ }\). Determinare gli altri tre angoli.
Angoli alla base maggiore. Per il teorema degli angoli alla base del trapezio isoscele, \(\widehat {A} \cong \widehat {B} = 68\,{^\circ }\).
Angoli adiacenti ai lati obliqui. La somma degli angoli adiacenti a un lato obliquo è \(180\,{^\circ }\), quindi
Verifica. La somma degli angoli interni del trapezio è \(2 \cdot 68\,{^\circ } + 2 \cdot 112\,{^\circ } = 136\,{^\circ } + 224\,{^\circ } = 360\,{^\circ }\), in accordo con la formula \(S_4 = (4-2) \cdot 180\,{^\circ } = 360\,{^\circ }\). \(\checkmark\)
Esempio 37.3 — Riconoscere un parallelogramma
Si abbia un quadrilatero \(ABCD\) in cui le diagonali \(AC\) e \(BD\) si incontrano in un punto \(M\) tale che \(AM \cong MC\) e \(BM \cong MD\). Dimostriamo che \(ABCD\) è un parallelogramma.
Strategia. Usiamo il criterio (5) di parallelogramma: “diagonali che si bisecano scambievolmente”. È esattamente l’ipotesi del problema.
Dimostrazione esplicita (sviluppando il criterio). Confrontiamo i triangoli \(\triangle AMB\) e \(\triangle CMD\). Si ha:
Per il primo criterio (LAL), \(\triangle AMB \cong \triangle CMD\). In particolare \(AB \cong CD\) e \(\widehat {ABM} \cong \widehat {CDM}\) (alterni interni). La congruenza degli alterni interni implica \(AB \parallel CD\) (criterio di parallelismo).
Analogamente, confrontando \(\triangle AMD\) e \(\triangle CMB\) si ottiene \(AD \cong CB\) e \(AD \parallel CB\).
Le due coppie di lati opposti sono parallele, dunque \(ABCD\) è un parallelogramma.
Esempio 37.4 — Caratterizzazione del rombo: diagonali perpendicolari
Sia \(ABCD\) un parallelogramma in cui le diagonali sono perpendicolari. Dimostriamo che \(ABCD\) è un rombo.
Ipotesi. \(ABCD\) parallelogramma, \(M = AC \cap BD\), \(AC \perp BD\).
Tesi. \(AB \cong BC \cong CD \cong DA\).
Dimostrazione. Confrontiamo i triangoli \(\triangle ABM\) e \(\triangle CBM\). Si ha:
Per il primo criterio (LAL), \(\triangle ABM \cong \triangle CBM\). Quindi \(AB \cong CB\). Per i lati opposti del parallelogramma, \(AB \cong CD\) e \(BC \cong DA\). Combinando: \(AB \cong BC \cong CD \cong DA\). Il parallelogramma \(ABCD\) è un rombo.
Esercizio 37.1
Riepilogo
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